CAPÍTULO 1 FUNDAMENTACIÓN BÁSICA PARA LA MATEMÁTICA FINANCIERA JUSTIFICACIÓN

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3 CAPÍTULO 1 FUNDAMENTACIÓN BÁSICA PARA LA MATEMÁTICA FINANCIERA JUSTIFICACIÓN En la actualidad el mundo de los negocios, ya sean personales o empresariales, se mueve con la aplicación de la matemática financiera. El dominio de este conocimiento le permitirá actuar eficiente y eficazmente en el manejo del efectivo y de los pasivos de su empresa o entidad para la cual labora y cooperar como persona en el desarrollo social y económico de su entorno inmediato, ciudad y región. Como estudiante, ahora que tomaste la decisión de iniciar el estudio de la matemática financiera, empezaremos por conocer las herramientas que le facilitarán el trabajo en la solución de los problemas a los cuales debe dar respuesta en la vida como asistente financiero o como empresario. En el estudio de este mundo interesante y útil de la matemática financiera, también recordaremos los conceptos de aritmética y álgebra para que pueda comprender rápidamente el proceso de desarrollo de las ecuaciones que nos permitan llegar a los resultados esperados. 3

4 I OBJETIVO GENERAL Apropiarme y dominar los conceptos de fundamentación de la matemática financiera y de las herramientas que me posibilitarán un desempeño eficiente y eficaz en la búsqueda de alternativas de soluciones como respuesta a problemas financieros. Fundamentar los estudiantes que ingresan al curso de matemática financiera, para hacer la materia de fácil comprensión. MIS OBJETIVOS Dominar el manejo de la calculadora financiera como herramienta indispensable en la solución de problemas financieros. Desarrollar competencias en el manejo del Excel para dar solución a problemas financieros y reconocer su importancia en el desarrollo empresarial. Desplegar habilidades para el uso eficaz de las tablas financieras. Revisar y dominar los fundamentos matemáticos necesarios para el aprendizaje de la matemática financiera. CONDUCTA DE ENTRADA Conozco el manejo de una calculadora Financiera? He utilizado el Excel como herramienta financiera? Qué es un logaritmo? Para qué se utiliza el logaritmo? Qué aplicación tiene el logaritmo en la matemática financiera? Qué es una ecuación de primer grado? Cómo se despeja la incógnita en una ecuación? Tengo un orden para la solución de ejercicios en las matemáticas? Conozco cómo se determina el precio de venta de un producto? Cómo se realizan los descuentos? 4

5 1.1 USO DE LA CALCULADORA La calculadora es junto al computador, herramienta fundamental tanto en las actividades académicas como laborales, dado que permite el desarrollo de ejercicios complejos de forma rápida y exacta. La calculadora financiera es muy utilizada en el medio empresarial y el mundo bancario y bursátil, para este texto se utilizó la Hewlett - Packard 19B II, y la Casio FC 200. En este capítulo no se busca mostrar el manual de las calculadoras sino explicar los puntos básicos para el uso de éstas en los temas fundamentales de la matemática financiera. Se recomienda en el momento de comprar su calculadora, estudiar detenidamente su manual. Antes de explicar los aspectos más importantes en el uso de la calculadora, es significativo que el estudiante entienda que esta herramienta no reemplaza el proceso de entendimiento para resolver los diferentes cuestionamientos financieros y mucho menos la interpretación de los resultados. En este primer capítulo se hace una explicación general sobre el uso de la calculadora y en los siguientes capítulos se presenta la aplicación de ésta en cada uno de los temas tratados. HEWLETT -PACKARD 19 B II MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES. El modo en el que debe estar la calculadora para el inicio de operaciones, es el algebraico, el procedimiento para llegar allí es el siguiente: Encienda la calculadora ON Digite la tecla naranja Pulse la tecla DISP Aparece en el menú varias opciones entre ellas digite OTROS En el siguiente menú digite ALG Digite EXIT Se encuentra listo para iniciar a efectuar las operaciones. 5

6 MENÚ PRINCIPAL Para el inicio de las operaciones, la calculadora deberá estar en el menú principal (MAIN). Para llegar al menú principal se pulsa la tecla EXIT, las veces que se requieran. O digitando la tecla naranja y EXIT, o sea con MAIN, para hacerlo directamente. ORDEN DE LAS OPERACIONES. Al efectuar las operaciones se requiere claridad en cuanto al orden establecido, con el propósito de asegurar la calidad del resultado. Las operaciones que se realizan en primera instancia son las que están ubicadas dentro de un paréntesis. El segundo paso es el de las multiplicaciones y divisiones. El tercero y último son las sumas y restas. OPERACIONES BÁSICAS Es importante señalar las operaciones fundamentales que se realizan en los problemas de matemática financiera, ellos son: Potencias, raíces, porcentajes y memorias. POTENCIAS Y RAÍCES. Para elevar a una potencia se maneja la tecla [^], la cual se encuentra como segunda función de la tecla [x]. La tecla de cambio está ubicada en el teclado de la pantalla en la segunda fila, su color es el naranja. En el manual está señalada con el número cinco (5).Para digitar la potencia se presiona la tecla de cambio y luego la tecla x, la cual tiene como función secundaria en potencia. EJEMPLO 1.1: Se desea lograr el resultado de 3 5, se procede de la siguiente manera: 3 Tecla de Cambio ^x 5 = 243 Para el cálculo de raíces se utilizan las teclas [^] y [1/x] (segunda función de la tecla [ ]). Por ejemplo, para obtener el resultado de la raíz cuadrada de 16, se sigue la siguiente secuencia de tecleo: 16 Tecla de cambio ^x Tecla de cambio 1/x 2 = 4 6

7 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el resultado de 43 Calcule la raíz cúbica de 125 Cuál es el resultado de 5 4? Obtenga la raíz quinta de PORCENTAJES La tecla % se requiere para obtener el porcentaje de un valor dado, para esto solo se digita la tecla precedida por el correspondiente valor. EJEMPLO 1.2: Se quiere conocer el valor de la cuota inicial de un electrodoméstico cuyo valor total es de $ =, se entrega financiado, la cuota inicial es del 30% del valor total * 30 % = EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el valor de la cuota inicial de un vehículo, cuyo precio es de $ y para financiarlo se requiere pagar el 20% de cuota inicial. Cuánto debe pagar inicialmente en la universidad si para financiar el semestre debe abonar el 30%, el valor del semestre es de $ CAMBIO DE SIGNO La tecla [+/-] es para el cambio de signo, se emplea para cambiar el signo del número exhibido en pantalla; también admite introducir números negativos directamente. LOGARITMOS Para calcular el logaritmo de un número se requiere entrar al menú MATH, el cual se encuentra ubicado como función secundaria de %. Una vez en el menú MATH, se observan los siguientes elementos: 7

8 RDN PI LOGS TRIG CONV PROB Para efectuar una operación con cualquiera de estos elementos se digitan las teclas que están debajo de cada uno de ellos. Para el caso del logaritmo se digita la tecla que está debajo de LOGS, observándose el menú de las funciones exponenciales y logarítmicas. Los elementos que se utilizan son tres: LOG: Logaritmo en base diez (10) 10 ^x: Antilogaritmo LN: Logaritmo Natural. EJEMPLO 1.3: Calcular el Log de 2. Tecla de cambio % LOGS 2 LOG = 0,30103 El Log de 2 es 0,30103 EJEMPLO 1.4: Calcular el antilogaritmo de 0,69897 Tecla de cambio % LOGS 0, x = 5 El antilogaritmo de 0,69897 es 5 NOTA: Para el LN es el mismo procedimiento sólo se modifica el elemento. ANTILOGARITMO Para el cálculo del antilogaritmo, se utiliza la tecla marcada como 10^x, y antilogaritmo natural e x. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Obtenga el Log de 25 Calcule el LN de 30 Determine el antilogaritmo de 0, Establezca el antilogaritmo natural de 0,

9 MEMORIA Todas las calculadoras tienen por lo menos un registro de memoria, el utilizar las memorias permite minimizar la probabilidad de error y la optimización del tiempo. Esta calculadora posee 10 memorias disponibles, numeradas del 0 al 9, las cuales pueden ser utilizadas para acumular números. Para guardar el número que se muestra en pantalla en una memoria, se oprime la tecla [STO] seguida de un número entre 0 y 9; para rescatar un número almacenado en una memoria, se oprime la tecla [RCL] seguida del dígito en donde se encuentre el número que deseamos recobrar. El número se muestra en la pantalla y continúa almacenado en la memoria. Por lo general, resulta innecesario borrar las memorias ya que un número nuevo reemplaza al número almacenado anteriormente. Sin embargo, se puede borrar una memoria almacenando en ella un 0; para borrar todas las memorias simultáneamente, se teclea [STO] [DEL]. MENÚ FINANCIERO Para la solución de ejercicios ya aplicados a la matemática financiera con la calculadora HP, se sigue el siguiente procedimiento: 1. Ubíquese en el menú MAIN (principal). Allí se muestra un tablero de opciones primarias. Los elementos de este menú son: FIN: Menú Financiero COM: Menú Comercial SUMA: Menú Estadístico CALEN: Reloj, Calendario y Cálculos con fechas. RESOL: Programación de la calculadora TEXTO: Agenda 2. Digite la tecla que se encuentra debajo del elemento FIN. El menú FIN (Finanzas) es el más utilizado dentro del campo financiero, bancario y bursátil. Este menú contiene los siguientes submenús: VDT: Valor del Dinero en el Tiempo CONVI: Conversión de Tasas de Interés. 9

10 F. CAJ: Manejo de fluidos de efectivo BONO: Cálculos con Bonos DEPRC: Cálculos de Depreciación 3. Presione la tecla que se encuentra debajo del elemento VDT. El menú VDT se utiliza para llevar a cabo cálculos de interés compuesto y de anualidades. El menú se divide en dos partes: primario y secundario. El menú primario contiene 6 elementos, que son los siguientes: N: Allí se almacena o calcula el número total de períodos de capitalización (o de pagos, en una anualidad). N puede expresarse en cualquier período de tiempo. %IA: Almacena o calcula la tasa de interés anual, en porcentaje. V. A: Determina el capital o valor presente. PAGO: Calcula la cantidad de cada pago periódico (anualidad). V. F.: Se estima el valor futuro OTRO: Pasa al submenú secundario, que se utiliza para modificar las condiciones de pago y para presentar el menú de amortización. Allí se muestra los siguientes elementos: P/AÑO: Almacena el número de períodos de capitalización por año, importante la relación con la tasa de interés. INIC: Determina el modo inicial, el cual se utiliza cuando la anualidad es anticipada. FINAL: Fija el modo final, el cual se utiliza cuando la anualidad es vencida. AMRT: Muestra el menú para la amortización de una deuda a interés compuesto. Para regresar al menú primario se oprime la tecla [EXIT]. Al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el signo adecuado, + (más) o - (menos), de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo, mientras que el dinero cancelado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo. Si los valores no se ingresan de manera adecuada atendiendo a su signo, la calculadora podría mostrar el mensaje: no hay solución. 10

11 CASIO FC 200 MODO PARA INICIAR LAS OPERACIONES Esta calculadora es un poco más sencilla que la HP, pero para nuestro texto es de gran utilidad, además de ser más económica y estar al alcance de la mayoría de estudiantes. Las operaciones se inician cuando el interruptor que se encuentra a la izquierda se deslice hacia arriba y quede en ON. Como la idea del texto no es reemplazar el manual de la calculadora sino destacar algunos comandos, vamos a señalar algunas teclas claves para el estudiante de la matemática financiera. SELECCIÓN DE FUNCIONES TECLA DE CAMBIO SHIFT Esta tecla se digita para activar las funciones de color naranja ubicadas arriba de la tecla. Al digitarla aparece en la pantalla la letra S. INGRESO DE CARACTERES ALFABÉTICOS ALPHA Para ingresar los caracteres de color rojo o las memorias se digita la tecla ALPHA. MENÚ FINANCIERO Para efectuar las operaciones financieras se digita la tecla MODE y el número 4. Al realizar los diferentes cálculos se deben borrar las memorias financieras, se digita SHIFT AC EXE AC. Cuando se encuentra en el menú financiero en la pantalla se muestra FIN. SELECCIÓN DEL TIPO DE INTERÉS Para indicar el tipo de interés que se va a trabajar, se digita la tecla MODE y el número cero (0), y la calculadora va cambiando el modo. Para trabajar con el interés compuesto debe aparecer en la pantalla la letra C. 11

12 FUNCIONES Las funciones son las siguientes: PRN INT CFj Nj NPV IRR COMP n i% PV PMT FV Su forma de trabajar se explica en las páginas 121 a 123 del manual de su calculadora. MEMORIA El manejo de las memorias es fundamental para ganar tiempo en las operaciones y minimizar el riesgo de equivocarse. La calculadora Fc 200 cuenta con veintiséis memorias y están identificadas con las letras de A a Z de color rojo. Es importante conocer el procedimiento de almacenamiento en la memoria, como la forma de conocer la información guardada. ALMACENAMIENTO Para guardar información en la memoria la FC 200 cuenta con un gran número de celdas, se identifican porque se les asignó las letras del alfabeto. Para guardar en la memoria se digita STO ALPHA la letra de la casilla que se selecciona (Ejemplo A) y EXE. El procedimiento para guardar en la memoria el valor $1000 en la casilla A es el siguiente: STO - ALPHA- A - EXE. CONSULTA Para consultar la memoria y recuperar la información guardada se digita RCL después ALPHA y la letra donde se guardó la información. Si se procede a recuperar la información guardada anteriormente el proceso es: RCL - ALPHA - A - EXE. Para un mejor estudio vaya a la página 133 y 134 del manual de su calculadora, donde además aprenderá a efectuar operaciones con los resultados guardados en las memorias. 12

13 ENCENDIDO DE LA CALCULADORA Pulse ON/OFF. Si ha utilizado la tecla ON/OFF para apagar la calculadora, ésta volverá al modo de calculadora estándar mostrando un valor de cero. Se mantendrán todos los valores y parámetros de las hojas de trabajo, formatos de número, unidades de ángulo, fechas, separadores y métodos de cálculo anteriores. Si la calculadora se ha apagado por la acción de Automatic Power Down (APD TM ), al encenderla estará exactamente igual que cuando la dejó, sin que se hayan perdido ninguno de los parámetros de visualización, memoria almacenada o cualquier operación en curso o condición de error sin resolver. SELECCIÓN DE FUNCIONES SECUNDARIAS La función principal de una tecla es la que aparece sobre la propia tecla. Por ejemplo, la función principal de la tecla ON/OFF es apagar y encender la calculadora. La mayoría de las teclas incluyen una función secundaria impresa por encima de la tecla. Para seleccionar una función secundaria pulse 2nd y la tecla correspondiente. (Cuando se pulsa 2nd, el indicador 2nd aparece en la esquina superior izquierda de la pantalla). Por ejemplo, al pulsar 2nd [OUIT] se sale de la hoja de trabajo seleccionada y la calculadora regresa al modo estándar. Nota: Para cancelar la acción después de pulsar 2nd, pulse 2nd de nuevo. USO DE HOJAS DE TRABAJO: HERRAMIENTAS PARA SOLUCIONES FINANCIERAS La calculadora contiene hojas de trabajo que llevan integradas las fórmulas con las que podrá resolver problemas concretos. Solo tendrá que aplicar los parámetros o asignar los valores conocidos a las variables de la hoja de trabajo, y calcular luego el valor desconocido. El cambio de los valores permite formular preguntas hipotéticas de tipo qué ocurre si y comparar los resultados. Excepto para las variables de TVM, a las que se accede en el modo de calculadora estándar, es necesario solicitar todas las demás variables. Por ejemplo, para asignar valores a las variables de amortización deberá pulsar primero 2nd [AMORT] para acceder a la hoja de trabajo Amortización. 13

14 Cada hoja de trabajo es independiente de las demás: las operaciones realizadas en una hoja de trabajo no afectan a las variables de las otras. Al salir de una hoja de trabajo o apagar la calculadora, ésta retiene todos los datos de la hoja de trabajo. REINICIO DE LA CALCULADORA Cuando se reinicia la calculadora: Se borran la pantalla, las 10 memorias, los cálculos no finalizados y todos los datos de las hojas de trabajo. Se recuperan los valores de configuración predeterminados. Se recupera el funcionamiento del modo de calculadora estándar. La calculadora dispone de métodos alternativos que permiten borrar datos selectiva mente, por lo que el reinicio de la misma deberá utilizarse con cuidado para evitar la pérdida accidental de datos. (Consulte «Borrado de entradas y memorias de la calculadora» en la página 8.)Por ejemplo, puede reiniciar la calculadora después de utilizarla por primera vez, al iniciar un nuevo cálculo o cuando surja algún problema de funcionamiento y no consiga resolverlo con ninguna de las otras posibles soluciones. (Consulte «Si surge alguna dificultad» en la página 111.) Pulsación de 2nd [RESET] ENTER 1. Pulse 2nd [RESET). Aparecen los indicadores R5T? Y ENTER. Nota: Para cancelar el reinicio, pulse 2nd [QUIT). Aparece el valor Pulse ENTER. Aparecen R5T y 0.00, lo que confirma que se ha reiniciado la calculadora. Nota: Si se produce una condición de error, pulse CE/C para borrar la pantalla antes de intentar reiniciar la calculadora GENERALIDADES DEL EXCEL En la medida que se aumentan los negocios en el mundo, se han requerido instrumentos mucho más rápidos que permitan la toma de decisiones en períodos breves, y mecanismos que permita realizar comparaciones y elegir la mejor alternativa, sin tener que utilizar constantemente la calculadora para revisar las operaciones efectuadas y el papel para apuntar los resultados. 14

15 De allí partió la idea de crear un programa que permitiese anotar datos como en las hojas de papel, en celdas o memorias y luego poder efectuar operaciones con ellos. De esta forma las hojas de cálculo se han convertido en el instrumento perfecto para el desarrollo financiero de las empresas, dado que su avance es tal que se permite hacer simulaciones que son fundamentales en la solución de problemas. Para el desarrollo del texto se va a utilizar el EXCEL, hoja de cálculo por excelencia en estos momentos. CARACTERÍSTICAS La estructura principal que utiliza este tipo de software para almacenar y organizar la información es un área de trabajo en forma de matriz, estructurada por un determinado número de filas y columnas, denominadas hoja de cálculo. Los comandos principales que constituyen el menú principal son: INICIO, INSERTAR, DISEÑO DE PAGINA, FÓRMULAS, DATOS, REVISAR Y VISTA. Para el caso de la matemática financiera es una herramienta fundamental, dada su aplicación para el administrador financiero. Las funciones que más se utilizan se encuentran en el comando FÓRMULA. Una vez se ingresa a la opción de funciones, la hoja electrónica te muestra las diversas alternativas que se tienen para trabajar, en el desarrollo de este texto se utilizarán fundamentalmente tres: FINANCIERAS, LÓGICAS MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. 15

16 FUNCIONES FINANCIERAS En este comando se encuentran las diferentes funciones utilizadas en las finanzas, dado que allí ya están programados y organizados los procedimientos matemáticos. Las operaciones de más uso son las siguientes: INT. EFECTIVO: Calcula la tasa efectiva a partir de la nominal. NOMINAL: Devuelve la tasa de interés anual nominal si se conoce la tasa efectiva. NPER: Permite conocer el número de períodos que se requieren para pagar la totalidad de una obligación, cuando las cuotas son pagos iguales. PAGO: Esta función permite calcular el valor de una anualidad cuando se conoce el valor presente o el valor futuro. TASA: Con este comando se calcula el interés a partir del valor de las cuotas y el valor futuro o presente. TIR: Se halla la tasa de rentabilidad del flujo de caja de un proyecto. VA: Conocemos el valor presente de unos pagos futuros. VF: Determina el valor futuro a partir del valor presente o las anualidades. VNA: Calcula el valor presente de un flujo de caja donde se tienen ingresos y egresos. 16

17 FUNCIONES MATEMÁTICAS Y TRIGONOMÉTRICAS De igual forma en el menú funciones también se encuentran las matemáticas y trigonométricas, donde se desarrollan temas como los logaritmos, y las lógicas que se utilizan en el tema de amortizaciones y organización de los flujos de caja. Las funciones que se muestran son las que se requieren: LN: Calcula el logaritmo natural de un número. LOG: Devuelve el logaritmo de un número en la base que se le indique. LOG10: Determina el logaritmo en base diez de un número. POTENCIA: Permite obtener el resultado de elevar un número a una potencia. PRODUCTO: Multiplica una serie de números. RAÍZ: Se obtiene la raíz cuadrada de un número. SUMA: Suma una serie de números ubicados en un rango. SUMAR.SI: Sólo suma los números que cumplen determinada condición. MENÚ DE FUNCIONES LÓGICAS SI: Se asigna un valor si cumple determinado criterio, sino se le asigna otro valor, se utiliza en las condiciones de pago para las tablas de amortización. Es importante en el manejo del Excel, enlazar todas las variables, porque es allí donde se encuentra la ventaja de la hoja electrónica, dado que ante la modificación de cualquiera de ellas, inmediatamente afecta el resultado sin volver a realizar las operaciones. 1.3 LAS TABLAS FINANCIERAS Buscando optimizar el tiempo en el desarrollo de los ejercicios, se editaron tablas que contienen el valor de un factor, que no es más que el resultado de las diferentes fórmulas como VP, VF y ANUALIDADES, para diferentes períodos y tasas de interés. Cada hoja muestra el resultado para determinada tasa de interés y seis columnas, cada columna es el resultado de la deducción de una incógnita conociendo las demás variables. La hoja está organizada de la siguiente forma: 17

18 TASA 3% N PAGOS UNICOS ANUALIDADES GRADIENTES F/P P/F A/F F/A A/P P/A P/G A/G ,9426 0,4926 F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro. A/P: Con un valor presente calcular el valor de la anualidad. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente. P/G: Cálculo del valor presente con el factor de un gradiente aritmético. A/G: Cálculo de la anualidad con el factor de un gradiente aritmético. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el factor para determinar el valor presente con un futuro para N = 5 y una tasa de interés del 3%. Cuál es el factor para calcular una anualidad si se tiene un valor presente, con N = 6 y una tasa del 2%? 1.4 FUNDAMENTACIÓN DE MATEMÁTICA BÁSICA Para comprender la matemática financiera, el estudiante requiere recordar los conocimientos básicos de las matemáticas básicas, este repaso va a permitir el fortalecimiento de los conceptos para facilitar el desarrollo de la materia. Los temas que se estudiarán son los siguientes: Logaritmos Sucesiones y Progresiones. Ecuaciones. 18

19 Radicación Exponenciación Pasos para solución de problemas en las matemáticas. LOGARITMOS Atención: para qué sirven los logaritmos?. Son una herramienta muy útil que permite abreviar diversas operaciones aritméticas. En un principio fueron utilizados para la realización de cálculos aritméticos complejos principalmente en astronomía. Aun cuando hoy existen las calculadoras y los computadores, los cuales facilitan los cálculos, los logaritmos tienen amplia aplicación en muchas áreas de la ciencia, la tecnología, las finanzas, y otras. DEFINICIÓN: El logaritmo de un número es el exponente al cual se debe elevar un número llamado BASE para obtener el número requerido. a b = c Base = a Exponente = b Número = c EJEMPLO 1.5: Log = 2 10? = 100 A cuánto se debe potenciar 10 para que sea igual a 100? La respuesta es 2. Luego, 10 2 = 100 Loga b = c A cuánto debo potenciar a a para que sea igual a b? a c = b Se debe potenciar C. 19

20 Si lo comprende, puede continuar. Propiedades de los Logaritmos Como el logaritmo es un exponente tiene las mismas propiedades de los exponentes. 1. El logaritmo de los números negativos y de cero no existe en el conjunto de los números reales, es decir: Log a N no existe para todo N menor o igual a cero 2. El logaritmo de uno, es igual a cero, es decir Log a 1 = 0 Se sabe que todo número elevado a la potencia cero es igual a uno en el conjunto de los números reales. 3. El logaritmo del número a en la base a es igual a 1, es decir: Log a a = 1 porque a 1 = a 4. El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números, es decir Log a AB = log a A + log a B Log (6) (5)= Log 6 + Log 5 5. El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador, es decir Log a A/B = Log a A - Log a B Log 6/5= Log 6 - Log 5 6. El logaritmo de un número positivo elevado a un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número, es decir: Log a A n = n log a A EJERCICIOS DE PRÁCTICA Calcular el Log de 4 5. Determinar el Log de 4/3. Estimar el Log 4*6. BASES DE LOS LOGARITMOS El logaritmo de un número depende de la base que se utilice. Cualquier número positivo diferente de 1 puede ser usado como base de un sistema de logaritmos, luego el número de 20

21 sistemas de logaritmos es infinito. Sin embargo, los sistemas de logaritmos más utilizados son el sistema de logaritmos decimales que emplea el número 10 como base y el sistema de logaritmos naturales llamado también neperianos. Sistema de logaritmos decimales Este sistema es también llamado sistema de logaritmos comunes. El logaritmo decimal de un número positivo A, se escribe como log 10 A. Al trabajar con logaritmos decimales es costumbre omitir el subíndice 10. De esta forma, log 10 A es igual a log A. Sistema de logaritmos naturales También llamado sistema de logaritmos neperianos. Emplea como base un número irracional representado por la letra e cuyo valor aproximado es Se denomina logaritmo de A en base e o logaritmo natural o neperiano de A, se acostumbra escribir ln A en lugar de log e A. Al igual que para el cálculo del logaritmo decimal, el logaritmo natural se puede obtener mediante el uso de tablas o de calculadora. Se teclea el número y en seguida se oprime la tecla ln o se digita la tecla ln y en seguida se escribe el número, según el tipo de calculadora que se tenga. APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA. Una de las aplicaciones más importantes de los logaritmos en las finanzas es la solución de ecuaciones en que la incógnita aparece como un exponente. Este caso se presenta en el cálculo del tiempo (n). EJEMPLO 1.6: Se realiza una inversión de $100 a una tasa del 6% bimestral, en cuánto tiempo se tendrá un valor de $150? Utilizando la fórmula de valor presente, para obtener un valor futuro, tendríamos: 100*(1.06) N = 150 simplificando tenemos que (1.06) N = 1.5 Se saca el logaritmo a ambos lados de la ecuación y se simplifica: Log (1.06) N = log 1.5 N * log (1.06) = log

22 N = log 1,5 log 1,06 N = 6,96 Respuesta: Para alcanzar la inversión del valor de $150 debemos dejar los recursos 6.96 bimestres. NOTA: Esta aplicación se entenderá mejor cuando el estudiante conozca la fórmula de valor presente y valor futuro. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Cuánto tiempo se requiere para tener el doble del capital actual si mensualmente tiene una rentabilidad del 5%?. Determine el número de meses que se requiere esperar para alcanzar $ si hoy se tienen $ y mensualmente tiene una rentabilidad del 2%. USO DE LA CALCULADORA HP Para el ejemplo que se está trabajando; el logaritmo de 1.5, se digita el número y seguidamente la tecla ubicada debajo del elemento LOG así: 1.5 LOG = Al digitar la tecla EXIT retorna al menú MATH, y al digitar nuevamente EXIT, se retorna al menú principal MAIN. Si para el ejemplo se requiere el Logaritmo Natural, el elemento marcado será LN, del menú MATH. Para el ejercicio se digita el 1.5 y a continuación se digita la tecla que se encuentra debajo del elemento LN. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Calcular el Ln de 6 5. Determinar el Log de 4. Estimar el Log 8*6. 22

23 CÁLCULO DEL LOG EN EXCEL Se va a calcular el Log de 1.5 Se ingresa por funciones (fx) La categoría de la función es matemáticas y trigonométricas Se busca el nombre de la función, para el ejercicio se tomó el LOG 10 Una vez definida la función se señala el valor que se va a calcular. NOTA: Si el cálculo fuese el Logaritmo Natural se seleccionaría LN. SUCESIONES Y PROGRESIONES SUCESIONES Una sucesión es una lista ordenada de números. Ejemplo: 2, 5, 8, 11, 14 o 3, 6, 12, 24, 48 En la primera parte del ejemplo, el primer término es 2, el segundo 5, el tercero 8... Cada término se obtiene sumando 3 al término anterior. En la segunda parte del ejemplo, el primer término es 3, el segundo 6, el tercero 12,... Cada término se obtiene duplicando el anterior. PROGRESIONES DEFINICIÓN: Una progresión es una sucesión de números relacionados de tal forma que cada número es igual al anterior sumado o multiplicado por un valor constante. Existen dos clases de progresiones; aritméticas y geométricas. PROGRESIÓN ARITMÉTICA Se define como progresión aritmética a la sucesión cuya diferencia entre cualquier término y el anterior es la misma a lo largo de toda la sucesión. Esta diferencia se denomina diferencia común (DC). La expresión queda así: A+(A+DC) + (A+2DC) + (A+3DC) + (A+4DC) (A+(N-1) DC). 23

24 Dónde: A: Primer término. DC: Diferencia común. N: Número de términos. UT: Último término. La fórmula para calcular el último término es la siguiente: UT= A + (N-1)*DC El valor de la sumatoria de la serie se determina mediante la siguiente fórmula: Sumatoria Serie (SS) = N (A+UT) 2 EJEMPLO 1.7: EJEMPLO DE APLICACIÓN: Se tiene la siguiente serie: 2, 5, 8, 11, 14, 17,20... El total de términos es de 20. Calcular el UT y la Sumatoria de la serie. A: 2 DC: 3 N: 20 UT = 2+ (20-1) * 3 UT = 59 Sumatoria Serie (SS) = 20 (2+59) 2 Sumatoria Serie = 610. NOTA: Si se desea conocer un determinado término de la serie, por ejemplo el término 15 del ejercicio anterior, en la fórmula del UT, se reemplaza el UT, por el quince (15). 24

25 Aplicación en las finanzas: EJEMPLO 1.8: Se efectúa un crédito de $100 con un interés del 2% mensual. El cliente está de acuerdo en pagar $10 a capital cada mes, más el interés. Al finalizar el primer mes paga $10 más $2 de interés. El total del pago es de $12 y se adeuda $90 al banco. Para el segundo mes se paga $10 de capital más los intereses sobre $90, es decir; $1,80 por lo tanto, el segundo pago sería de $11,80. Para el tercer mes sería $10 de capital y $1,60 de interés Para el cuarto mes sería $10 de capital y $1,40 de interés Para el quinto mes sería $10 de capital y $1,20 de interés Los pagos sucesivos serían: 12, 11.80, 11.60, 11.40, 11.20, La diferencia común es 0.20 (20 centavos) EJERCICIOS DE PRÁCTICA Calcular el último término de la siguiente serie: 4, 9, 14,19...N La serie tiene 15 términos. Determinar la Sumatoria de la siguiente serie: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS E INTERÉS COMPUESTO Una progresión es geométrica (PG) cuando en una sucesión de términos, cada término es igual al anterior multiplicado por una constante denominada RAZÓN. Ejemplo: 2, 6, 18, 54, 162 2, 2x3 1, 2x3 2, 2x3 3, 2 x3 4 La RAZÓN es 3. Si A es el primer término y r es la razón, los términos sucesivos de la progresión geométrica (PG) son: 25

26 A, Ar, Ar 2, Ar 3 En esta PG se observa que la potencia de r en cualquier término es menor en uno al número de términos (N). Esto permite concluir que el último término o término n-ésimo se obtiene de la siguiente forma: UT = a*r n -1 Para calcular la sumatoria de la serie, se aplica la siguiente fórmula: Sumatoria Serie (SS) = r UT A r 1 EJEMPLO 1.9: Se tiene la siguiente serie: 2, 4, 8, 16, 32, si la serie tiene 10 términos, calcule el último término, y la sumatoria de la serie. A = 2, r = 2, N = 10, UT= UT = 2* 2 9 UT = 1024 El último término de la serie es La sumatoria de la serie se calcula así: Sumatoria serie (SS) = ( ) 2) 2 1 SS = La sumatoria de la serie es de EJEMPLO 1.10: APLICADO A LAS FINANZAS: Se depositan $100 en una entidad financiera que paga 1% mensual. Cuánto dinero se tendrá al finalizar un año? Los intereses se capitalizan cada mes. Al finalizar el primer mes se tendría 26

27 (0.01) = 101 El valor de la inversión para el segundo mes sería: % de (1.01) esto es equivalente a 100(1.01) 2 De igual forma el valor de la inversión para el tercer mes sería: 100(1.01) 3 La sucesión sería 100, 100(1.01) 1, 100(1.01) 2, 100(1.01) 3... Demostrando la aplicabilidad de la progresión geométrica para el cálculo de resultados donde se trabaja con el interés compuesto. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el décimo término de la siguiente progresión: 2, 6, 18, 54,... Calcule la sumatoria de la siguiente serie, la cual está compuesta por 8 términos: 4, 8, 16, 32,... ECUACIONES Una ecuación es una igualdad en la que existen una o varias cantidades desconocidas denominadas incógnitas, y sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. GRADOS DE UNA ECUACIÓN El grado de una ecuación está determinado por el mayor exponente de la incógnita en la ecuación. En una ecuación de primer grado el mayor exponente de X es 1. Ejemplo: 2X+8= 20 En una ecuación de segundo grado el mayor exponente de X es 2. Ejemplo: X 2- + X + 15=0 En la matemática financiera, el uso de las ecuaciones se limita a ecuaciones de primer grado con una incógnita, cuando se hace referencia a una incógnita se precisa que sólo se desconoce una variable. 27

28 El éxito de un estudiante de matemática financiera radica en el buen planteamiento de la ecuación, y éste se da cuando existe claridad en la ubicación de la incógnita. EJEMPLO 1.11: Determinar el precio de contado de un artículo que se financió de la siguiente forma cuota inicial, 30% del valor de contado y $ a 30 días (1 mes), con un interés del 2% mensual. La ecuación se plantea para el momento 0, porque es allí donde se quiere conocer el valor de contado. Valor de Contado = X X = 0,3X /(1,02) ANÁLISIS El precio de contado es igual al 30% de ese valor, más los , pero trayéndolos al momento cero, o sea, trayéndolos a valor presente. SOLUCIÓN: X-0,3X= / ,7X = ,07 X = ,07 /0,7 X = ,11 RTA: El valor de contado del artículo es de $ ,11 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el valor de X de la siguiente ecuación: 10x 5 = 4x + 20 Despeje el valor de X: 6x 2 + 8x 4 =

29 RADICACIÓN La raíz de un valor x, es aquel número que elevado a una potencia da como resultado el valor inicial. Ejemplo: La raíz de 16(dieciséis), su raíz cuadrada es 4(cuatro), porque al elevar 4 al cuadrado, se obtiene la cifra inicial de 16. El concepto de radicación se aplica en la matemática financiera para el despeje de la tasa de interés cuando se conoce los valores presente y futuro y el número de períodos. EJERCICIO DE APLICACIÓN: La operación que regularmente se utiliza es la de supresión del índice y del exponente. EJEMPLO 1.12: (1+ i ) 3-1=0, 08 (1+ i ) 3 = 1+0, 08 ((1 + i) 3 ) 1/3 = (1,08) 1/3 (1+ i) = 1, i = 1, i =0,02598 RTA: El valor de i = 2,5985%. Para despejar i se elevan las dos partes en (1/3) o expresado de otra forma se saca raíz cúbica a ambos lados, con el propósito de eliminar el exponente 3, porque cuando el exponente del radicando es igual al índice de la raíz, los dos valores se eliminan. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determinar el valor del interés despejando la siguiente ecuación: (1+ i) 4-1 = 16% Calcular la tasa de interés de: (1+ i) 3-1= 10% 29

30 EXPONENCIACIÓN Un exponente se puede definir como el producto de un número real que se multiplica por sí mismo un determinado número de veces. EJEMPLO 1.13 X * X = X 2 X * X * X = X 3 La X se denomina base y el número al cual se encuentra elevado se denomina exponente. El exponente indica el número de veces que la base se toma como factor. Leyes Exponenciales: PRODUCTO DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE: El producto de dos exponentes con la misma base es equivalente a elevar la base a la suma de los exponentes. EJEMPLO 1.14: 5 4 * 5 2 = COCIENTE DE DOS EXPONENTES CON LA MISMA BASE El cociente de dos exponentes con la misma base es similar a elevar la base por la diferencia del exponente del numerador menos el denominador. EJEMPLO 1.15: 5 4 / 5 2 = EXPONENTE DE UN EXPONENTE Al elevar un exponente a otro exponente, se eleva la base al producto de sus exponentes. EJEMPLO 1.16: (5 4 ) 2 = 5 4 * 2 EL EXPONENTE CERO Cualquier base cuyo exponente sea igual a CERO, su resultado es 1. 30

31 EJEMPLO 1.17: 5 0 = 1 EXPONENTE NEGATIVO Cuando la base tiene un exponente negativo éste es igual a 1 sobre esta misma base con exponente positivo. EJEMPLO = 1 / 5 4 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el resultado del producto de las siguientes potencias: X 3 * X 4 Calcule el resultado de la siguiente expresión: (5 2 ) Determinar el resultante de: (6 * 5) 2 LOS DIEZ PASOS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN LA MATEMÁTICA FINANCIERA La razón de existir este texto es la búsqueda de la forma para que el estudiante le encuentre gusto a las matemáticas, en especial a la financiera, es tratar de sugerir unos pasos estándar que se apliquen en la solución de cualquier problema matemático. Los diez pasos que, con mucho respeto, le sugiero a un estudiante interesado en resolver todo ejercicio que se le presente son los siguientes: 1. Piense que la matemática es muy fácil, es lógica, y exacta, que tú eres bueno para las matemáticas. 2. Lea cuidadosamente el problema sin dejar escapar detalle alguno. 3. Trate de aplicarlo a la cotidianidad de su vida, si la realidad te presenta esta situación. Cuál sería la forma de darle solución? 4. Tenga claridad en la pregunta del ejercicio. 5. Plantee el camino para encontrar la respuesta, aquí se utiliza el diagrama del flujo de caja. 6. El diagrama del flujo de caja le orienta cuando ingresa dinero y en qué momento efectúa erogaciones, de igual manera el período en el cual está ubicada la incógnita. 31

32 7. Plantee la ecuación que le va a permitir efectuar las operaciones requeridas en el desarrollo del ejercicio. 8. Evalúe las operaciones efectuadas, quizás se haya equivocado en alguna, o digitó mal la calculadora o el computador. 9. Revise si la repuesta está dentro de la lógica. 10. Interprete el resultado para saber dar respuesta a la pregunta. 1.5 FUNDAMENTACIÓN COMERCIAL PORCENTAJE Como porcentaje se define la proporcionalidad que se establece con relación a cada cien unidades. Se describe con el signo %. Si se expresa el 20%, esto quiere decir veinte unidades por cada 100, se representa de otras formas como: 20/100, EJEMPLO 1.19: La tasa de interés mensual es el 3%. Esto significa que mensualmente por cada $100 que a usted le presten, debe pagar $3. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el interés por un crédito de $ , si la tasa cobrada es 2% mensual. Para financiar un electrodoméstico se requiere pagar el 20% de cuota inicial, cual será la cantidad de dinero a desembolsar, si el artículo tiene un valor de $ =. DESCUENTO COMERCIAL El descuento comercial se define como una rebaja sobre el precio de lista de un artículo o mercancía y se expresa como un por ciento del precio fijado. Los descuentos en el comercio se dan por las siguientes razones: POR VOLUMEN 32

33 PAGO DE CONTADO, O ANTES DEL VENCIMIENTO. EJEMPLO 1.20: Un almacén mayorista, vende mercancía a la empresa ABC por un valor de $ , dado su volumen de compra, le concede un descuento del 10%, y si la empresa ABC paga de contado le da un descuento del 5%. Si ABC, pagó de contado determine el valor de la factura. VALOR INICIAL DE LA FACTURA $ Descuento por volumen (10%) Valor descuento x 10%= VALOR FACTURA $ Descuento pago de contado (5%) Valor descuento x 5% = VALOR FINAL DE LA FACTURA $ Aquí se observa que al efectuarse dos o más descuentos comerciales, éstos deben ser sucesivos. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el pago final de una factura, la cual tiene un valor de $ , por volumen tiene un descuento del 15%, y por pago de contado de un 4%. DETERMINACIÓN DEL PRECIO DE VENTA Para determinar el precio de venta de un artículo, se debe conocer el costo y el margen de utilidad. La fórmula es la siguiente: PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA 33

34 La utilidad bruta se determina como el margen de utilidad multiplicado por el precio de venta. EJEMPLO 1.21: EJERCICIO DE APLICACIÓN Cuál es el precio de venta de un artículo cuyo costo es de $ = y el margen de utilidad que se espera obtener es del 30%. Se reemplaza en la fórmula: PV = , 3 * PV 0, 7 PV = PV = / 0,7 PV = El precio al que se espera vender el artículo es de $ EJERCICIO DE PRÁCTICA Usted inicia un negocio de ventas de empanadas, el costo unitario es de $400, si se espera alcanzar un margen de utilidad del 50% determine el precio de venta de cada empanada. Si el costo de fabricar una carrocería es de $ , y el margen de utilidad esperado es el 15%, determine el precio de venta de cada carrocería. AUTOEVALUACIÓN a. Cómo debo operar la calculadora financiera para obtener el 37.8% de b. Comente cuál es el proceso para trabajar las funciones financieras en Excel. c. Entiendo la diferencia entre una progresión aritmética y una progresión geométrica? d. En una ecuación de primer grado cuál es el mayor exponente de X. e. En una operación matemática de exponenciales, cuál es el procedimiento para realizar la siguiente operación: (6 5 ) 4. 34

35 f. Cómo se determina el descuento comercial? Tienen las grandes empresas ventajas sobre las pequeñas, allí? g. Conociendo el margen de utilidad es suficiente para determinar el precio de venta de un artículo? GLOSARIO AHORRO: Parte del ingreso que una persona o ente jurídico no gasta en consumo, sino lo pospone para algún momento futuro. COMERCIALIZACIÓN: Proceso mediante el cual los productos se trasladan de los productores a los consumidores. COMERCIO EXTERIOR: Intercambio de productos y servicios entre países. DESCUENTO: Disminución del valor nominal de un título valor por pago anticipado. ECUACIÓN: Es una igualdad de valores, que relacionan dos o más variables, y que permite conocer los valores numéricos asignados a las letras. FACTURA COMERCIAL: Documento en el que se fija el valor de la mercancía vendida. FINANZAS: Rama de la administración de empresas que se preocupa por el flujo de fondos que requiere la empresa para su funcionamiento y la generación de utilidades. ÍNDICE: Indicador que tiene por objeto medir las variaciones de un fenómeno económico. INGRESO: Remuneración percibida por un trabajador por los servicios prestados durante un período de tiempo. INSOLVENCIA: Incapacidad para pagar las deudas en la fecha fijada. INSTITUCIÓN FINANCIERA: Empresa cuya actividad es la intermediación financiera. INSTRUMENTO FINANCIERO: Documento que representa una deuda. INVERSIÓN: Asignación de recursos económicos en determinado negocio cuyo propósito es el de obtener ganancias en un período de tiempo. INVERSIONISTA: Persona que emplea sus recursos económicos para adquirir activos productivos o títulos valores en el mercado financiero y bursátil. MARGEN DE INTERMEDIACIÓN FINANCIERA: Es la diferencia entre las tasas de interés de colocación y de captación. 35

36 MARGEN DE UTILIDAD: Es el margen que desea obtener quien vende un producto, el cual se determina restando al precio de venta el costo medio, y su resultado se divide por el precio. PRECIO: Cantidad de dinero que se paga por la adquisición de una mercancía o servicio. PRÉSTAMO: Contrato mediante el cual una persona denominada prestamista entrega un bien que le pertenece a otra persona llamada prestatario, con el propósito que éste lo disfrute, pague un interés y se comprometa a devolverlo en un determinado período de tiempo. FÓRMULAS F/P: Con el valor presente calcular el valor futuro. P/F: Con el valor futuro calcular el valor presente. A/F: Con el valor futuro calcular el valor de la anualidad. F/A: Con una anualidad calcular el valor futuro. A/P: Con el valor presente calcular el valor de la anualidad. P/A: Con el valor de la anualidad calcular el valor presente. P/G: Cálculo del valor presente con el gradiente aritmético. A/G: Cálculo de la anualidad con el gradiente aritmético. Factores para aplicar con las tablas financieras. UT= A + (N-1)*DC Cálculo del último término en una progresión aritmética. Sumatoria Serie (SS) = N (A+UT) 2 Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión aritmética, donde: A: Primer término. DC: Diferencia común. N: Número de términos. UT: Último término. 36

37 UT = a*r n-1 Cálculo del último término en una progresión geométrica. Sumatoria Serie (SS) = r UT A r 1 Cálculo del valor de la sumatoria de la serie de una progresión geométrica. PRECIO DE VENTA = COSTO DE VENTA + UTILIDAD BRUTA Determinación del precio de venta 37

38 CAPÍTULO 2 INTERÉS JUSTIFICACIÓN El concepto interés es la base donde se fundamenta la matemática financiera, cuantifica el valor del dinero en el tiempo. En otras palabras, es la forma como el inversionista conoce el valor que debe pagar como usuario del dinero, o la compensación que se da a la persona que deja utilizarlo en el presente en aras de que otro lo haga. En este capítulo se conocerán las diferentes formas como las entidades financieras cobran y pagan por captar el dinero de los ahorradores y a su vez como lo prestan a los inversionistas. Así mismo, el estudiante o la persona común y corriente aprenderá a calcular el verdadera rentabilidad o costo de su dinero, para que de esta forma tenga argumentos en el proceso de seleccionar alternativas de inversión. 38

39 MIS OBJETIVOS Como estudiante debo: Comprender y manejar, como parte de mi profesión, el concepto valor del dinero en el tiempo. Entender y manejar con habilidad las tasas de interés. Diferenciar interés simple e interés compuesto y saber con claridad cuándo es preciso utilizarlos. Distinguir tasa nominal y tasa efectiva, con la finalidad de realizar bien los cálculos financieros que estén bajo mi responsabilidad. Aprender a calcular una tasa efectiva, partiendo de una nominal. Comprender la importancia de calcular tasas nominales, a partir de efectivas. CONDUCTA DE ENTRADA Amigo estudiante la evaluación de entrada le permitirá saber si cuenta con los conocimientos y conceptos necesarios para continuar su estudio en finanzas. Así conocerá sus deficiencias y podrá superarlas antes de empezar a estudiar esta nueva unidad. Responda estas preguntas y reflexione sobre sus respuestas y sobre sus fortalezas y debilidades en este tema. Haga más fuertes sus conocimientos y supere sus deficiencias de una vez, y el manejo financiero será parte de su éxito. 1. Podría describir la diferencia existente entre el uso de la calculadora financiera, el Excel y las tablas financieras? Inténtelo! 2. Puede representar el proceso de llegar al menú financiero de la calculadora Hewlett - Packard? Por favor hágalo! 3. Cuál sería el proceso utilizado en Excel para trabajar las funciones financieras? 4. Puede hablar sobre el uso de los logaritmos en la matemática financiera? Tienen alguna importancia? Cómo se usan? 5. Cuándo una empresa ofrece descuentos por diferentes conceptos, para liquidar el valor del descuento, se utiliza la misma base? 39

40 2.1 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO Al ingresar ya en el campo financiero, el concepto más importante que debe tener claro el estudiante tanto como el profesional en finanzas es la incidencia del tiempo en el valor del dinero. No es lo mismo disponer de un millón de pesos hoy que dentro de un año, ya que, si cuento con el dinero hoy, lo puede usar en el momento, y aprovechar una oportunidad de negocio, en segunda instancia, porque éste va perdiendo valor como consecuencia de la inflación, y en tercera instancia, porque al prestar el dinero se está asumiendo el riesgo de que no sea devuelto en la fecha fijada, o nunca regrese. Por lo tanto, un millón de pesos en el momento actual será equivalente a un millón de pesos más una cifra adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la pérdida de valor que sufre el dinero durante ese período, un ingreso por asumir el riesgo de prestarlo y la utilidad de quien pospone su uso para cederle su derecho a otro. Hay dos conceptos básicos: Ante dos capitales de igual cuantía en momentos diferentes, se preferirá aquél que sea más cercano al día de hoy. Ante dos capitales de distinta cuantía en momentos diferentes, se prefiere el de mayor valor pero comparado en un mismo momento. Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en igual momento, y para ello se utilizan las fórmulas de matemática financiera. EJEMPLO 2.1: Cuál opción es preferible: disponer de cuatro millones de pesos dentro de un año o de ocho millones dentro de cuatro años? Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante. Así, por ejemplo, si aplicando las fórmulas de matemática financiera con determinada tasa de interés (25% anual), resulta que el primer valor equivale a 3,2 millones hoy y el segundo equivale a 3,216 millones, veremos que es preferible elegir la segunda opción. Se han calculado los valores equivalentes en el momento actual, pero se podría haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 4 años, otro.), y el resultado habría sido el mismo. 40

41 Las fórmulas que permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman leyes de capitalización. Estas leyes financieras, permiten sumar o restar capitales en distintos momentos. EJEMPLO 2.2: Si se va pagar 1 millón de pesos dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no se pueden sumar directamente, sino que se deben hallar sus equivalentes en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses...) Y entonces, si se podrá efectuar la suma. 2.2 LA TASA DE INTERÉS La tasa de interés, entendida como el costo del dinero en el tiempo, también se puede definir como el ingreso que debe recibir su dueño por no hacer uso de él hoy, o el precio que debe pagar alguien por tener acceso al dinero hoy. Es quizás la variable que más incide en la toma de decisiones cuando se trata del manejo de las finanzas. Cuando usted acude a una entidad financiera debe tener en cuenta diferentes aspectos para saber en definitiva cuál es el costo del crédito que va a solicitar o cuánto es lo que en realidad va a ganar por dejar su dinero allí. Para tener claridad sobre estas situaciones, se van a recordar conceptos como: Interés Simple. Interés Compuesto. Tasa de Interés Nominal. Tasa de Interés Efectiva. EL INTERÉS SIMPLE: Es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un tiempo futuro cuando no se capitalizan los intereses, es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo (períodos menores de 1 año). La fórmula que sirve para determinar los intereses que genera un capital (valor presente) es la siguiente: I = P * i * n 41

42 I Son los intereses que se generan. P Es el capital inicial (en el momento n = 0), es decir, el valor presente. i Es la tasa de Interés que se aplica. n Es el tiempo que dura la inversión. CARACTERÍSTICAS: El capital inicial permanece constante durante el período de la operación financiera, puesto que los intereses no se capitalizan. El valor de los intereses es igual en todos los períodos. No capitaliza sobre los intereses no pagados, la base de liquidación sigue siendo el capital inicial. (Ver tabla pág.50) EJEMPLO 2.3: Determinar los intereses que generan cinco millones de pesos a una tasa del 15% anual en un plazo de un año, y el valor a pagar una vez finalizado el período. I = * 0,15 * 1 I = pesos El valor de los intereses es de $ Una vez que se ha calculado el importe de los intereses se determina el valor futuro. V. F = P + I V. F = P + (P * i * n) (Sustituyendo I por su equivalente) V. F = P * (1 + (i * n)) (Sacando factor común P ) V. F Es el capital final con un interés simple. Para el ejemplo se tendría: V.F = x (1+(0,15x1)) V.F = = Nota: Es importante tener en cuenta que: el interés y el plazo deben referirse a la misma medida de tiempo (si el interés es anual, el plazo debe ir en años, si el interés es mensual, el plazo irá en meses.) 42

43 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora, intentemos desarrollar el siguiente ejercicio, para estar seguros de la comprensión del tema: Si a usted le prestan $ = por 6 meses, a un interés simple del 2% mensual. Cuánto dinero deberá desembolsar al finalizar el período?. Puede dar respuesta al siguiente ejercicio? desarrollémoslo: Cuál es el valor mensual que usted debe cancelar si le otorgan un préstamo de $ = por un trimestre, si el interés es simple, con una tasa del 3% mensual? INTERÉS COMPUESTO: El interés compuesto es aquel que permite calcular el equivalente de un capital en un futuro pero a diferencia del interés simple, los intereses pasan a ser parte del capital. La diferencia entre el interés simple y el interés compuesto, radica en que en el interés simple sólo genera interés el capital inicial, mientras que en el compuesto, se considera que los intereses que va generando el capital inicial, van formando nuevo capital. La fórmula de capitalización compuesta que permite calcular los intereses es la siguiente: I = P * ((1 + i) n - 1) I Son los intereses que se generan P es el capital inicial (en el momento n = 0) i es la tasa de interés del período de capitalización. n es el tiempo que dura la inversión EJEMPLO 2.4: Continuando con el ejemplo 2.3, el valor de los intereses con interés compuesto sería el siguiente: I = * ((1+0, 0125) 12-1) I = ,58 El total del interés es de $ ,58 El valor futuro que tendría el inversionista sería de $ ,58. 43

44 NOTA: Obsérvese que el interés que se aplicó fue el mensual, porque el período de capitalización es el mes. LIQUIDACIÓN COMPARATIVA EN EXCEL DEL INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO. En el cuadro siguiente se va a mostrar el ejercicio realizado con las fórmulas, pero mediante la liquidación periódica en la hoja electrónica. El supuesto del ejercicio es que los créditos se realizan con la condición de que todo se paga al finalizar el año. En este cuadro es importante observar cómo en el interés compuesto periódicamente aumenta el valor de los intereses, mientras que en el simple permanece constante. De igual forma el capital adeudado es igual, mientras que en el compuesto va aumentando a medida que se capitalizan los intereses. El resultado obtenido es equivalente a lo mostrado mediante las fórmulas, donde se muestra que el interés compuesto es el de mayor costo. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora intentemos desarrollar los mismos ejercicios elaborados con el interés simple, pero aplicando el interés compuesto, para comprender de mejor manera las diferencias. Si a usted le prestan $ = por 6 meses, a un interés compuesto del 2% mensual. Cuánto dinero deberá pagar al finalizar el período? 44

45 Intentemos, nuevamente con el segundo ejercicio: Cuál es el valor mensual de interés que usted causa mensualmente, si le otorgan un préstamo de $ = por un trimestre, el interés a cobrar es el compuesto, con una tasa del 3% mensual y el compromiso es de pagar la totalidad de dinero al finalizar el período? 2.3 TASA DE INTERÉS NOMINAL (IN): Es la que se declara en las operaciones financieras, equivale a la tasa de interés del período (Ip) por el número de períodos. Siempre al enunciarla se le adiciona el período de capitalización. Nominal; significa aparente, es decir, no real, por lo tanto se debe convertir a efectiva. Qué es el período de capitalización? El período de capitalización, corresponde al tiempo en el cual se considera la ganancia de interés del capital. CLASIFICACIÓN DE LA TASA NOMINAL La tasa de interés nominal se clasifica en vencida y anticipada. Vencida: Cuando el interés se cobra o paga al vencerse cada uno de los períodos de capitalización. Anticipada: Cuando el interés se cobra o paga al iniciarse cada uno de los períodos de capitalización. EJEMPLOS DE TASA NOMINALE: Vencida 24% anual mes vencido. Tasa Nominal: 24% Período de la tasa nominal: año. Período de capitalización: mes vencido. Anticipada 30% anual trimestre anticipado. 45

46 Tasa Nominal: 30%. Período de la tasa nominal: Año Período de capitalización: Trimestre anticipado Nota: Se sabe que es una tasa nominal porque cuando hace referencia al tiempo, va acompañado del período de capitalización, para el ejemplo era mes vencido y trimestre anticipado. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para una mejor comprensión los invito a indicar cuál es la tasa nominal, el período de la tasa nominal y el período de capitalización. 30% anual trimestre vencido 12% semestral mes anticipado 2.4 TASA DE INTERÉS EFECTIVA: Es aquella que indica cuál es el verdadero costo de un crédito o la verdadera rentabilidad de una inversión. Como la tasa nominal está expresada en vencida y anticipada; las siguientes son las fórmulas para hacer el cálculo del interés efectivo. Fórmulas: Interés Vencido: Ie = (1+ ip) n -1 Interés Anticipado: Ie = (1 - ip) -n -1 Antes de explicar el procedimiento de cómo se determina el interés efectivo, es importante recordar cómo se determina el interés del período de capitalización (ip). PROCESO PARA CALCULAR EL ip. Se toma la tasa nominal Se determina n. número de veces que está el período de capitalización en el período del interés nominal. Se divide el interés nominal en el valor de n, y es el ip 46

47 Cuando se dice ip se hace referencia al interés del período de capitalización. ip = In n Cálculo de la tasa de interés de los períodos de capitalización. INTERÉS TIPO Ip 32% Anual mes vencido Nominal 2,66% mensual 16% Semestral trimestre vencido Nominal 8% trimestral 24% Anual Efectivo 24% anual 4% Bimestral Efectivo 4% bimestral 18% Semestral mes vencido Nominal 3% mensual 15% Semestral bimestre vencido Nominal 5% bimestral 24% Anual bimestre anticipado Nominal 4% bimes.anticipado Nota: La tasa efectiva no hace referencia al período de capitalización. Ejemplo: 18% anual. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para una mejor comprensión los invito a indicar de la tasa nominal, el interés del período de capitalización. 36% Anual trimestre vencido. 15% Semestral mes vencido. 9% Trimestral mes vencido. Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Vencida. EJEMPLO 2.5: 24% anual mes vencido Determine el interés efectivo del semestre. PASOS: Se determina el período de capitalización (MES) 47

48 Se establece el período de la tasa nominal (AÑO) Se calcula el número de veces (n) que está el período de capitalización en el período de la tasa nominal. (12) Se divide la tasa nominal en n y se calcula el ip ip = 24%/12 ip =2% El interés del mes es del 2%. Se señala el período de cálculo del interés efectivo (n), número de veces que está el período de capitalización en el período de cálculo del interés efectivo (6). n = 6 Porque en un semestre hay 6 meses. Se aplica la fórmula. Interés Efectivo Semestral Ie = (1+0,24%/12) 6-1 Ie = (1,02) 6-1 Ie = Ie = % Semestral Ahora determine el interés efectivo del trimestre. Interés efectivo trimestral ip = 24%/12 = 2% mensual n= 3 En un trimestre hay 3 meses. Ie = (1 + 0,02) 3-1 Ie = % Trimestral EJEMPLO 2.6: Con una tasa nominal del 18% semestral mes vencido, calcular: Tasa Efectiva Semestre ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un semestre hay 6 meses. Ie = (1 + 0,03)

49 Ie = % semestral Tasa Efectiva Trimestral ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un trimestre hay 3 meses. Ie = (1 + 0,03) 3-1 Ie = 9.27% trimestral Tasa Efectiva Bimestral ip = 18%/6 = 3% mensual n = 3 En un bimestre hay 2 meses. Ie = (1 + 0,03) 2-1 Ie = 6.09% bimestral EJEMPLO 2.7: Con una tasa del 36% anual bimestre vencido, calcular: Tasa efectiva semestral El período de capitalización es el BIMESTRE ip = 36%/6 = 6% Bimestral n = 3 En un semestre hay 3 bimestres. Ie = (1 +0,06) 3-1 Ie = 19.1% semestral Tasa efectiva bimestral ip = 36%/6 = 6% bimestral n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre. Ie = (1 + 0,06) 1-1 Ie = 6% bimestral Tasa efectiva anual ip = 36%/6 = 6% bimestral 49

50 n = 6 En un año hay 6 bimestres. Ie = (1 + 0,06) 6-1 Ie = 41.8 % anual EJERCICIOS DE PRÁCTICA Evaluémonos antes de seguir con el siguiente tema, calcular las tasas efectivas anuales y semestrales de las tasas nominales que se muestran a continuación: 36% anual bimestre vencido. 15% semestral trimestre vencido. 9% trimestral mes vencido. Cálculo del Interés Efectivo a partir de una tasa de Interés Nominal Anticipado. Existe interés anticipado cuando se paga el interés del primer período de capitalización una vez que se efectúa el préstamo. Por ejemplo si se efectúa un préstamo de $ = al 24% anual mes anticipado, en el momento que le hacen el desembolso el usuario del crédito debe pagar de interés el 2%, es decir $20.000=, y así sucesivamente el interés se va pagando al principio del mes. Fórmula: Ie = (1 - ip) -n -1 Su cálculo es de la misma forma que el interés vencido, sólo se diferencia en la fórmula. EJEMPLO 2.8: Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado, determine el interés efectivo del año. ip = 24%/12 = 2% mes anticipado n = 12 En un año hay 12 meses. Ie = (1-0.02) Ie = Ie = 27.43% anual El interés efectivo del año es el 27,43% anual. EJEMPLO 2.9: Conociendo la tasa nominal del 16% semestral bimestre anticipado, establezca el interés efectivo semestral. 50

51 Ip = 16%/3 = 5,3% bimestre anticipado. n = 3 En un semestre hay 3 bimestres. Ie = ( ) -3-1 Ie = Ie = Ie = 17.74% semestral El interés efectivo del semestre es del 17,74%. EJEMPLO 2.10: Conociendo la tasa nominal del 16% semestral trimestre anticipado establezca el interés efectivo anual. ip = 16%/2 = 8% trimestre anticipado. n = 4 En un año hay 4 trimestres. Ia = (1-0.08) -4-1 Ia = Ia = 39.58% anual El interés efectivo del año es del 39,58%. EJEMPLO 2.11: Conociendo la tasa nominal del 4% bimestre anticipado, establezca el interés efectivo del bimestre. ip = 4%/1 = 4% bimestre anticipado. n = 1 En un bimestre hay 1 bimestre. Ib = (1-0.04) -1-1 Ib = Ib = 4.16 bimestral efectivo El interés efectivo del bimestre es del 4,16%. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Al haber realizado varios ejercicios vamos a verificar que ya se ha adquirido agilidad en el desarrollo de éstos. 51

52 Calcular el interés efectivo semestral y anual de las siguientes tasas nominales: 36% anual semestre anticipado 4% bimestral mes anticipado. 18% semestral trimestre anticipado. 9% trimestral mes anticipado. 2.5 TASAS EQUIVALENTES. Se denomina equivalente al término que significa igual, es decir su resultado es el mismo, para el caso de las tasas, es que a pesar de que se enuncien dos tasas de forma diferente el costo efectivo es igual. Cálculo del Interés Nominal Vencido partiendo de una Tasa Efectiva. A pesar que el procedimiento es en sentido inverso al cálculo de la tasa efectiva a partir de la nominal, el punto clave también es la determinación del ip. Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización. ip = (1 + Ie) (1/n) - 1 EJEMPLO 2.12: Conociendo que la tasa efectiva es el 19.4% semestral. Se va a calcular la tasa semestral mes vencido. Pasos: Se determina el período de capitalización de la tasa nominal (MES). Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. (6). Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip. imes = (1 + Isemestre) (1/6)

53 i mes = (1 + 0,194) (1/6) - 1 i mes = 0,03 Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n) 3% = mensual n = 6 En un semestre hay 6 meses. 3% x 6 = 18% semestral mes vencido EJEMPLOS 2.13: Conociendo la tasa efectiva del % anual, establezca la tasa nominal anual bimestre vencido. PASOS: Se determina el período de capitalización (BIMESTRE). Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. (6). En el año hay seis bimestres. Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip ibimestre = (1 + Iaño) (1/6) - 1 i bimestre = (1 + 0, ) (1/6) - 1 i bimestre = 0, 06 6% = bimestral n = 6, En un año hay 6 bimestres. Tasa Nominal = 6% x 6 = 36% anual bimestre vencido EJEMPLOS 2.14: Con un interés efectivo del % vencido. anual, determine la nominal semestral trimestre PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Trimestre vencido 53

54 n = En el año hay 4 trimestres Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip itrimestre = (1 + Iaño) (1/4) - 1 i trimestre = (1 + 0, ) (1/4) - 1 i trimestre = 0, 09 9% = trimestral n = 2, En un semestre hay 2 trimestres. Tasa Nominal = 9% x 2 = 18% semestral trimestre vencido EJEMPLO 2.15: Con un interés efectivo del % anual, determine la tasa nominal anual mes vencido. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes vencido n = En el año hay 12 meses. Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip imes = (1 + Iaño) (1/12) - 1 i mes = (1 + 0,344888) (1/12) - 1 i mes = 0, % = mensual n = 12, En un año hay 12 meses. 2.5% x 12 = 30% anual mes vencido EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora partiendo de las tasas efectivas, calculemos tasas nominales cuando el interés es vencido. 36% anual, calcular nominal semestral mes vencido. 15% Semestral, calcular nominal semestral bimestre vencido. 9% trimestral, calcular nominal anual mes vencido. 54

55 Calcular el Interés Efectivo de un período a partir de otro Interés Efectivo. Para este tipo de cálculo se emplean las dos fórmulas enunciadas anteriormente, lo importante es tener claridad si el período de la tasa que se va a calcular es mayor o menor al período de la tasa dada. 3. a. Cálculo del interés efectivo de un período mayor, con el interés efectivo de un período menor. Fórmula aplicada: Ie = (1 + ip) n - 1 NOTA: El ip, se asemeja a la tasa del interés efectivo del período menor, el Ie se interpreta como el interés efectivo del período mayor, y el n, corresponde al número de veces que está el período menor en el período mayor. EJEMPLO 2.16: Si el interés del semestre es %, establezca el interés efectivo anual. Ie (año) = (1 + isem) 2-1 Ie (año)= (1 +0,194052) 2-1 Ie (año)=1, Ie (año)=0,42576 El interés efectivo anual corresponde al 42,576%. Cálculo del Interés Efectivo de un período menor, conociendo el Interés Efectivo de un período mayor. Fórmula aplicada: ip = (1 + Ie) 1/n Si el interés del semestre es %, establezca el interés efectivo del bimestre. (1/3) ibim = (1+0, ) - 1 ibim = (1, ) - 1 ibim =0, El interés del bimestre es del 6,089 %. 55

56 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora vamos a tener presente el procedimiento para calcular la equivalencia entre tasas efectivas. 36% anual, calcular el interés semestral. 9% trimestral, calcular el interés semestral. 4% bimestral, calcular el interés mensual. 18% semestral, calcular el interés mensual. Cálculo del Interés Anticipado para un período a partir del Interés Efectivo de ese mismo período. La fórmula para efectuar este cálculo es: Ia = Ie (1 + Ie) Ia = Interés anticipado. EJEMPLO 2.17: Si un prestamista que ofrece dinero al 3% mensual, pero desea que se le paguen los intereses anticipadamente, sosteniendo que no hay aumento de tasa, cuál sería la tasa equivalente. Ia mes = 0,03 / (1 + 0,03) Ia mes= 2,9126 %. Cálculo del Interés Efectivo para un período partiendo del Interés Nominal anticipado de ese mismo período. Ie = Ia (1 Ia) Esta fórmula se sustenta con el ejercicio anterior pero partiendo del interés del 2,9126% mes anticipado. Ie mes = 0, / ( ) Ie mes = 3% 56

57 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Repasemos este concepto con un ejercicio. Determine la tasa anticipada del mes si se va a pagar una efectiva del mes del 4%. Calcular el interés efectivo del bimestre, si se tiene un interés del 3% bimestral anticipado. Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de una Tasa Efectiva. De igual manera al vencido, el punto clave es la determinación del ip, la fórmula es la siguiente: ip = 1 - (1 + Ie) -(1/n) Con esta fórmula se determina el interés del período de capitalización. PASOS: Se determina el período de capitalización (MES). Establece el número de veces que está el período de capitalización en el período del interés efectivo. (6). Se reemplaza en la fórmula y se determina el ip Una vez calculado el ip se multiplica por el número de veces que está el período de capitalización en el período de la tasa de interés nominal (n), que determina la tasa nominal. EJEMPLO 2.18: Con la tasa efectiva del 20,052% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre anticipado. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Bimestre anticipado n = En el año hay 6 bimestres ip = 1 - (1 + 0,20052) -(1/6) 3% = Bimestral anticipado n = 6, En un año hay 6 bimestres. 57

58 Tasa nominal = 3% x 6 = 18% anual bimestre anticipado. EJEMPLO 2.19: Con la tasa efectiva del 27, % anual, establezca la tasa nominal anual mes anticipado. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Mes anticipado n = En el año hay 12 meses ip = 1 - (1 + 0, ) -(1/12) 2% = mensual anticipado n =12, En un año hay 6 bimestres. Tasa nominal = 2% x 12 = 24% anual mes anticipado EJEMPLO 2.20: Con la tasa efectiva del 4, % trimestral, establezca la tasa nominal anual mes anticipado. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: mes anticipado n = En el trimestre hay 3 meses ip = 1 - (1 + 0, ) -(1/3) 1,5% = mensual anticipado n =12, En un año hay 12 meses. Tasa nominal = 1,5% x 12 = 18% anual mes anticipado. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para revisar este tema, realizo los siguientes ejercicios: Si se cobra por un préstamo una tasa efectiva del 42% Anual, se quiere conocer su expresión nominal anual capitalizada trimestralmente de forma anticipada. Al tener una tasa efectiva del 8% trimestral, calcular su equivalencia con una tasa nominal semestral mes anticipado. 58

59 Calcular el Interés Nominal Vencido partiendo de un Interés Nominal Anticipado. EJEMPLO 2.21: Si se tiene una tasa del 24% anual trimestre anticipado, determine la equivalencia en nominal anual mes vencido. Para desarrollar este ejercicio existen varias formas, con el propósito de facilitar el aprendizaje, se utilizará el siguiente procedimiento: Se determina la tasa efectiva del año. Se calcula el interés del período de capitalización de la tasa nominal a encontrar. Se halla la nueva tasa nominal Desarrollo del ejercicio: 1. Tasa efectiva del año: Ie año = (1-0.06) -4-1 Ie año = % 2. Interés del periodo Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el mes vencido se determina el interés del mes. I mes = (1+0, ) (1/12) I mes = 0, Cálculo de la tasa nominal. I Año mes vencido = 0,020839*12 I Año mes vencido = 25% nominal anual mes vencido. Calcular el Interés Nominal Anticipado a partir de un Interés Nominal Vencido. Los pasos que se deben seguir para efectuar este cálculo son iguales al procedimiento anterior. EJEMPLO 2.22: Si se tiene una tasa del 24% anual mes vencido, determine la equivalencia en nominal anual semestre anticipado. 59

60 1. Paso Ie año = ( ) 12-1 Ie año = 26,824% 2. Paso Como el período de capitalización de la tasa nominal a calcular es el semestre anticipado se determina el interés del semestre anticipado, con la fórmula antes expuesta. ip = 1 - (1 + Ie) -(1/n) i semestre: 1- (1+0, 2682) -(1/2) i semestre: 11, 2% 3. Paso Cálculo de la tasa nominal. Interés nominal anual semestre anticipado 11,2%*2= 22,4% anual semestre anticipado. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Con los siguientes ejercicios se hace un repaso completo del tema de conversión de tasas: Si se tiene un crédito con una tasa del 18% anual mes anticipado, y se quiere pagar anual trimestre vencido, determine su equivalencia. Efectúe la conversión de una tasa del 24% semestral mes vencido a una tasa nominal anual semestre anticipado. USO DE LAS CALCULADORAS H.P. 19BII Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer los cálculos en la conversión de tasas. FIN Financiero VDT CONVI F.CAJA BONO DEPR EFECT CONT %NOM %EFE P 60

61 CASIO FC 200 El proceso de conversión de tasas equivalentes se realiza digitando en el teclado las funciones APR, que indica NOMINAL y EFF, EFECTIVA. Para trabajar la segunda función se digita SHIFT. TASA NOMINAL A EFECTIVA. INTERÉS VENCIDO EJEMPLO 2.23: Volviendo al ejercicio inicial, se va a calcular el interés efectivo del año, si la tasa nominal es del 24% anual mes vencido. Como ya se enunció los fundamentos teóricos en el capítulo uno y el diagrama anterior, el procedimiento es el siguiente: FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 24 %NOM 12 P %EFE H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II MODE 4 SHIFT AC EXE AC 12 SHIFT EFF 24 EXE 2 ND ICONV NOM 24 ENTER 12 ENTER CPT La respuesta que se obtiene es 26,8241% anual. TASA EFECTIVA A NOMINAL EJEMPLO 2.24: Con la tasa efectiva del % anual, establezca la tasa nominal anual bimestre vencido. 61

62 H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT %EFE 6 P %NOM MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6 SHIFT APR EXE 2 ND ICONV ENTER 6 ENTER CPT El resultado obtenido es el 36% anual al cual se le debe adicionar el período de capitalización, para el ejercicio es bimestre vencido. La respuesta es 36% anual bimestre vencido. INTERÉS ANTICIPADO La única diferencia radica en que al incluir el período se registra con el signo negativo. EJEMPLO 2.25: Con una tasa nominal del 24% anual mes anticipado, determine el interés efectivo del año. FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 24 %NOM 12+/- P %EFE H.P. 19 B II CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC (-)12 SHIFT EFF 24 EXE La respuesta que se obtiene es 27,43452% anual NOTA: La hoja de cálculo de la calculadora Texas BA II, solo trabaja de vencido a vencido y de año a año, por lo tanto para trabajar con tasas anticipadas este sería el procedimiento. IP=J/N IP= (0.24/12)*100 IP=2% MA IPV= (IPA/(1-IP))/100 IPV=(0.02/1-0.02)*100 62

63 IPV= 2.04% MES VENCIDO PROCEDIMIENTO CON LA CALCULADORA 2ND 2 NOM: 2.04*12 ENTER C/Y : 12 ENTER EFE CPT EJEMPLO 2.26: Con la tasa efectiva del 20,05205% anual, establezca la tasa nominal anual bimestre anticipado. FIN CONVI EFECT CLEAR DATA INPUT 20,05205 %EFE 6+/- P %NOM H.P. 19 B II CASIO FC 200 MODE 4 SHIFT AC EXE AC (-)6 SHIFT APR 20,05205 EXE El resultado obtenido es el 18% anual bimestre anticipado. PROCEDIMIENTO TEXAS BA II 2ND 2 EFE: ENTER C/Y 6 ENTER NOM CPT EL RESULTDO ( ) SE DIVIDE EN 6 Y este valor se remplaza en la fórmula para convertirlo anticipado. IPA=IPV/(1-IPV)*100 El resultado se multiplica por 6 que es la capitalización. 63

64 CÁLCULO EN EXCEL INTERÉS VENCIDO DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO El procedimiento es el siguiente: Fórmulas Insertar Función Categoría - Financieras Int. Efectivo En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa nominal y en el segundo el número de períodos de la tasa nominal. EJEMPLO 2.27: Cálculo de una tasa nominal a una efectiva, se realizará el mismo ejercicio anterior, es decir con el 24% anual mes vencido, se va a calcular el interés efectivo del año. 64

65 El interés efectivo es del 26,824% anual. EJEMPLO 2.28: Calcular el interés nominal, a partir del 41,8519% efectiva a nominal anual bimestre vencido. DE INTERÉS EFECTIVO A NOMINAL VENCIDO El procedimiento es el siguiente: Fórmulas Insertar Función Financieras Tasa Nominal En este cuadro se digita en el primer renglón el valor de la tasa efectiva y en el segundo el número de períodos de la tasa nominal. El ejercicio es el mismo que se efectuó con la calculadora 65

66 El resultado obtenido es el 36% anual Bimestre vencido. INTERÉS ANTICIPADO DE INTERÉS NOMINAL A EFECTIVO En Excel no existe una función directa que efectúe esta conversión, sin embargo se puede realizar mediante la función de V.F. El procedimiento es el que se muestra a continuación: 66

67 FÓRMULAS INSERATAR FUNCIÓN FINANCIERAS VF En el primer renglón se incluye la tasa de interés, es importante hacer énfasis en que la tasa que se incluye es la del período de capitalización con signo negativo. En el segundo renglón se digita el número de períodos con signo negativo. En Pago se digita cero. En Va se digita -1. Para este caso en TIPO se omite Una vez incluida la fórmula se debe restar por 1. EJEMPLO 2.29: Calcular la tasa efectiva anual si se tiene el 24% anual mes anticipado. 67

68 DE EFECTIVO A NOMINAL ANTICIPADO Para calcular la tasa nominal anticipada mediante el uso del EXCEL, nos permite calcular inicialmente la tasa PERIÓDICA, después simplemente se multiplica la tasa periódica por el número de períodos que tiene la tasa nominal. 68

69 EJEMPLO 2.30: Teniendo una tasa efectiva del 27,75% anual calcular la nominal anual bimestre anticipada. El resultado obtenido es el 4%, dado que se debe multiplicar por -1, ya con este resultado se multiplica por 6 y se obtiene 24% anual bimestre anticipado. 69

70 2.6 TASAS COMBINADAS La tasa combinada es una tasa efectiva equivalente al producto de la combinación de dos tasas nominales o efectivas. En este capítulo se explicarán cuando se utiliza el DTF y la UVR. INTERÉS EFECTIVO CON EL D.T.F El D.T.F (Depósito a Término Fijo), es un indicador que permite conocer el interés promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros, basados en los C.D.T a 90 días. El Banco de la Republica lo expresa en trimestre anticipado. Para aplicar los dos conceptos explicados anteriormente, haciendo referencia al interés vencido y anticipado, los siguientes ejemplos se harán con cada uno de los tipos de interés. NOTA: Es importante conocer la forma como cada banco expresa el DTF y los puntos que se le adicionan, si como interés efectivo o como nominal. EJEMPLO 2.31: Con interés nominal vencido. Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D.T.F + 5% anual mes vencido. El D.T.F es del 8% anual. 1er. PASO Se calcula la tasa nominal anual del D.T.F expresada en el período de capitalización del interés que se le agrega al D.T.F. i. Mes = (1,08) 1/12-1 i. Mes = 0,6434% Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del período de la tasa nominal. Interés anual mes vencido = 0,6434 % * 12 7,720836% anual mes vencido. 2do. PASO Se procede a calcular la tasa nominal del crédito. Como el D.T.F ya está expresado en el mismo período de tiempo, ahora se procede a sumar. 70

71 Costo del crédito = 7,720836% anual mes vencido + 5% anual mes vencido. Costo del crédito = 12,720836% anual mes vencido. 3 PASO Se determina la tasa efectiva del año. Como el período de capitalización es mensual, se determina el interés del mes. i mes = 12, / 12 i mes = 1,06%. Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año. Interés efectivo del año = (1+0,0106) 12-1 Interés efectivo del año = 12,4893 % anual. EJEMPLO 2.32: Con interés nominal anticipado. Determine el costo efectivo de un crédito si se financia al D.T.F + 5% anual trimestre anticipado. El D.T.F es del 8% anual. 1.PASO Se calcula la tasa nominal anual del D.T.F expresada en el período de capitalización del interés que se le agrega al D.T.F. Es importante recordar la fórmula del cálculo del interés efectivo, cuando la tasa nominal es anticipada. Ie = (1 - ip) -n -1 0,08 = (1-imes) ,08 = (1-imes) -12 (1,08)(-1/12) = [(1-imes) -12 ] (-1/12) (1,08)(-1/12) = (1-imes) 0, = 1- i mes i mes = 1-0, i mes = 0, % 71

72 Tasa nominal = Interés período capitalización* número de períodos de capitalización del período de la tasa nominal. Interés anual mes anticipado = 0, % x 12 7, % anual mes anticipado. 2. PASO Se procede a calcular la tasa nominal del crédito. Como el D.T.F ya está expresado en el mismo período de tiempo, ahora se procede a sumar. Costo del crédito = 7, % anual mes anticipado + 5% anual mes anticipado. Costo del crédito = 12, % anual mes anticipado. 3. PASO Se determina la tasa efectiva del año. Como el período de capitalización es mensual, se determina el interés del mes. i mes = 12, / 12 i mes = 1, %. Conocido el interés del mes se procede a calcular el interés efectivo del año. Interés efectivo del año=(1-0, ) -12 Interés efectivo del año = 13, % anual. NOTA: Se confirma que la tasa efectiva es mayor cuando se tiene una nominal anticipada, respecto de una vencida. EJEMPLO 2.33: Cuando la DTF está expresada en nominal trimestre anticipado. Calcule la tasa efectiva anual que le renta a un ahorrador si la entidad financiera le ofrece el DTF T.A más 6 puntos. La DTF es el 8% trimestre anticipado. 72

73 PROCEDIMIENTO Como la DTF es una tasa nominal entonces se suman los puntos DTF + 6 puntos Þ 8% + 6% 14% anual trimestre anticipado. Se calcula el interés periódico: 14% / 4 = 3,5% trimestre anticipado. La tasa efectiva anual sería: (1 0,035) -4-1 TASA EFECTIVA ANUAL: 15,31% anual. Interés Efectivo Cuando Se Combina la Tasa con la Uvr. Algunas entidades financieras, reconocen el interés tomando como referencia la UVR y adicionando algunos puntos. EJEMPLO 2.34: Calcule la tasa de interés que cobra una entidad financiera, si está fijada a la unidad de valor real más el 6,5%. La UVR está fijada en el 12% efectivo anual. PROCEDIMIENTO Como las tasas de interés se fijan como efectivas, simplemente se realiza el siguiente proceso: Interés efectivo año: (1+ 0,12) x (1+0,065) Interés efectivo año: 19,28% EJERCICIOS DE PRÁCTICA Para finalizar este capítulo revisemos con unos ejercicios el tema de las tasas efectivas cuando se expresa con el DTF, y en UVR. Determine el interés efectivo anual si se cobra una tasa del DTF más el 6% anual mes vencido. El valor de la tasa del DTF es el 12% anual. Cuál es el costo de un crédito si la entidad financiera fija una tasa del DTF más 4% anual mes anticipado. La tasa del DTF es del 10% anual. 73

74 Determine el costo de un crédito que está fijado de la siguiente manera: UVR más el 3% anual. La UVR es del 18% efectivo anual. 2.7 CÁLCULO DEL TIEMPO PARA ALCANZAR UNA TASA EFECTIVA Al conocerse el interés periódico y se desea alcanzar una tasa efectiva, se requiere esperar un determinado tiempo, las siguientes son las fórmulas para despejar el valor de n. Es importante recordar que las fórmulas son diferentes cuando la tasa es vencida o anticipada. Tasa nominal vencida: n = log(1+ie) log(1+ip) Tasa nominal anticipada: n = log(1+ie) log(1 ip) EJEMPLO 2.35: Si usted desea alcanzar una tasa efectiva del 40%, cuanto tiempo debe ahorrar si mensualmente le liquidan los intereses al 2,5%. n = log(1+0,4) log(1+0,025) n = 13,62 meses EJEMPLO 2.36: Si usted como ahorrador desea alcanzar una tasa efectiva del 50%, cuánto tiempo debe ahorrar si le liquidan los intereses al 15% anual mes anticipado. Se determina el interés periódico, que para este ejercicio es el mes anticipado. Imes anticipado =0,15 / 12 = 0,0125 n = log(1+0,5) log(1 0,0125) = 32,23 meses. 74

75 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora practiquemos cómo se determina el tiempo de espera para alcanzar determinada tasa efectiva. Si al prestar un dinero me pagan al 1,2% mes vencido, cuánto tiempo debo esperar para alcanzar una tasa efectiva del 60%. Si la tasa de liquidación es el 1% mes anticipado, cuánto es el tiempo de espera, para obtener un rendimiento efectivo del 40%. 2.8 RENTABILIDAD NETA Es el resultado de deducir de la renta efectiva, la tasa impositiva. Fórmula: RN: Ie x (1 - ti) ti: tasa impositiva EJEMPLO 2.37: Si a usted como ahorrador, una entidad financiera le reconoce por un CDT el 8% anual y le descuenta sobre los rendimientos el 7%, determine cuál es su rentabilidad neta. RN: 0, 08 x (1-0, 07) RN: 7, 44% anual. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Ahora usted calcule la rentabilidad neta de dos inversionistas: Pedro abrió una cuenta de ahorros, la cual le da un rendimiento del 9% anual y le descuentan como impuesto el 7% sobre sus rendimientos, contémosle a Pedro, el resultado obtenido. Jesús en esta misma entidad financiera compró un CDT, por el cual recibía un rendimiento anual del 8%, y también le descuentan el 7% de sus rendimientos como impuestos, cuéntele cuál es la rentabilidad neta de dicho título. 75

76 2.9 RENTABILIDAD REAL Es la capacidad de compra que obtiene el inversionista después de descontar la inflación de la rentabilidad neta. Fórmula: RR = RN Inflación 1+Inflación EJEMPLO 2.38: Si usted quiere conocer cuál fue la rentabilidad real del CDT del ejemplo anterior, debe conocer la inflación de dicho período, después de consultar conoció que la inflación fue del 6% anual, ahora se procederá a conocer su rentabilidad real. RR = 0,0744 0,06 1+0,06 RR = 0,01358 es decir el 1,358% anual fue el rendimiento real de su CDT. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Con base en los ejercicios anteriores explique a los inversionistas la rentabilidad real obtenida en la entidad financiera, dado que la inflación fue del 5% anual. EJERCICIOS: Estos ejercicios nos permitirán desarrollar la habilidad necesaria en este tema. Recuerde la experiencia y la habilidad que desarrollemos a través del estudio de estas matemáticas, contribuirán al éxito de mis desempeños como profesional en el manejo de las finanzas. Se ha preguntado qué tan hábil es frente a la solución de problemas? Hágalo ahora y póngase a prueba! Desarrollemos estos ejercicios cuidadosamente y practiquemos nuestros conocimientos con dedicación y esmero. Si tiene complicaciones, no se preocupe aquí está su libro, el colaborará en sus respuestas. 1. Calcular el interés efectivo anual de las siguientes tasas nominales: a. 18% anual mes vencido. 76

77 b. 18% anual mes anticipado. c. 24% anual semestre vencido. d. 24% anual semestre anticipado. R: a. 19,56%, b.19, 88%, c. 25,44% d. 29,13% 2. Calcular el interés efectivo del semestre de las siguientes tasas nominales: a. 15% Anual trimestre vencido b. 15% Anual trimestre anticipado. c. 12% Anual bimestre vencido. d. 12% Anual bimestre anticipado. R: a. 7,64%, b.7, 94%, c. 6,12% d. 6,24% 3. Con una tasa efectiva del 25% anual, calcular la tasa nominal de: a. Anual mes vencido. b. Anual mes anticipado. c. Semestral mes vencido. d. Semestral mes anticipado. R: a. 22,52%, b. 22,1%, c. 11,26% d. 11,05% 4. Con una tasa nominal del 18% anual trimestre vencido, calcular la tasa nominal de: a. Anual bimestre vencido b. Anual bimestre anticipado. c. Anual semestre vencido. d. Anual semestre anticipado. R: a. 17,86 % ABV, b. 17,35% ABA, c. 18,4% d. 16,85% 5. Con una tasa nominal del 12% semestral mes anticipado, calcular la tasa nominal de: a. Anual mes anticipado. b. Anual mes vencido. c. Trimestral mes anticipado. d. Trimestral mes vencido. 77

78 e. Anual trimestre anticipado. R: a. 24 % AMA, b. 24,48% AMV, c. 6% TMA d. 6,12% TMV e. 23,52% ATA 6. Con una tasa efectiva del 20% anual, determine la tasa efectiva del: a. Semestre b. Trimestre c. Bimestre. d. Mes R: a. 9,54%, b. 4,66%, c. 3,08% d. 1,53% 7. Con una tasa efectiva del 4% bimestral, establezca la tasa efectiva del: a. Semestre b. Año. c. Mes d. Trimestre R: a. 12,49%, b. 26,53%, c. 1,98% d. 6,06% 8. Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.T.F más 6% A.T.V. El D.T.F es igual al 8% anual. R: 14,49% anual 9. Calcular la tasa efectiva anual de un crédito cuya condición de financiación es el D.T.F más 6% A. B. A. El D.T.F es igual al 11% anual R: 18,02% anual 10. Determine la tasa mensual de un crédito cuyo costo está fijado por la UVR más 6%. La UVR es del 15% anual. R: 1,66% mensual 78

79 11. Si usted paga un interés del 18% semestral, determine la tasa de: 1. año 2. mes 3. bimestre 4. Trimestre. R: 1.39, 24% 2. 2,79% 3. 5,67% 4. 8,62% 12. Con un interés del 3% mensual calcular: 1. Nominal anual mes vencido 2. Nominal anual mes anticipado 3. Nominal semestral bimestre vencido 4. Nominal trimestral mes anticipado. R: 1. 36% anual mes vencido 2. 34,95% anual mes anticipado ,27% semestral bimestre vencido 4. 8,73% trimestral mes anticipado. 13. Cuánto tiempo debe esperar un prestamista para alcanzar una tasa efectiva del 42%, si presta dinero a? 1. 2,5% mes vencido % mes anticipado 3. 3% mes vencido 4. 2,8% mes anticipado. R: 1. 14,2 meses 2. 15,76 meses 3. 11,86 meses 4. 12,34 meses 14. Determine la rentabilidad neta de cada inversionista, si sus rendimientos anuales y la tasa impositiva son los siguientes: 1. 18% anual y el 7% de impuesto 2. 35% anual y el 15% de impuesto 3. 25% anual y el 12% de impuesto % anual y el 10% de impuesto. R: 1. 16,74% anual 2. 29,75% anual 3. 22% anual 4. 32,4% anual 79

80 15. Cuál es la rentabilidad real de los anteriores inversionistas si la tasa de inflación anual es del 8%? R: 1. 8,09% anual 2. 20,13% anual 3. 12,96% anual 4. 22,59% anual AUTOEVALUACIÓN Que entiendo por tasa de interés? Las tasas de interés inciden en el rendimiento de mis negocios? Qué diferencia en pago de intereses habría si me prestan $ = al 3% mensual entre interés simple e interés compuesto? Cuál es la diferencia entre una tasa nominal y una efectiva? Cuándo la tasa nominal y la tasa efectiva son iguales? Por qué se dice que una tasa del 2% mes anticipado es más costosa que el 2% mes vencido? Qué son tasas equivalentes? Por qué algunas entidades financieras fijan el interés con base en el DTF? Por qué la inflación incide en la rentabilidad real de un inversionista? GLOSARIO ANATOCISMO: Capitalización de intereses que a su vez son generadores de intereses. CAPITALIZAR: Cuando los intereses pasan a hacer parte del capital, y sobre éstos se cobra intereses. CDT: Certificado de Depósito a Término, título valor cuyo vencimiento es superior a 30 días. DEVALUACIÓN: Pérdida de valor del dinero de un país frente a una moneda extranjera. DTF: El D.T.F (Depósito a Término Fijo), es un indicador que permite conocer el interés promedio ponderado de captación de los intermediarios financieros, basados en los C.D.T a 90 días. FIDUCIA: Procedimiento mediante el cual, una persona transfiere sus bienes a otra para que ésta los administre. INFLACIÓN: Aumento sostenido del nivel general de precios, tiene como consecuencia la pérdida del poder adquisitivo del dinero. 80

81 INTERÉS: Precio que se paga a un tercero por hacer uso de su dinero. INTERÉS VARIABLE: Interés fijado de acuerdo con un tipo de referencia, por ejemplo, con la tasa de inflación. INTERÉS DE MORA: Intereses que se cobran adicionalmente a los fijados inicialmente para compensar el no cumplimiento de los pagos en forma oportuna. INTERMEDIARIO FINANCIERO: Ente jurídico que su objeto es el de captar recursos financieros de los ahorradores para prestarlos a los inversionistas. PERÍODO DE CAPITALIZACIÓN: Es el período que enuncia la tasa nominal en el que se liquidan los intereses, y éstos pasan a hacer parte del capital. LIQUIDACIÓN DE INTERESES: Momento en el cual se debe pagar el valor de los intereses, su valor se obtiene al multiplicar el capital por la tasa de interés del período de capitalización. SPREAD: Puntos adicionales cobrados por las entidades financieras sobre las tasas principales. Si la tasa principal se da como trimestre anticipado, el Spread se expresa como trimestre anticipado, pero si la principal viene como efectiva el Spread también se utilizará como efectivo. TASA ACTIVA: Se denomina así a la tasa de colocación. TASA ANTICIPADA: Hace referencia cuando el interés se cobra al inicio del período de capitalización. TASA COMBINADA: Se define así al documento o título valor que tiene dos parámetros para conocer el interés efectivo, ejemplo, la UVR más 2 puntos o la DTF más 6 puntos. TASA DE CAPTACIÓN: Es el interés que las entidades financieras pagan al ahorrador o inversionista. TASA DE COLOCACIÓN: Tasa a la cual las entidades financieras prestan el dinero a sus clientes. TASA NOMINAL: Tasa que se da para un período pero dentro de él existen períodos inferiores de capitalización. TASA EFECTIVA: Es la tasa que se cobra para un determinado período, regularmente es el año. TASA EQUIVALENTE: Son aquellas tasas que se encuentran expresadas bajo condiciones diferentes, pero desde el punto de vista financiero, tienen el mismo efecto. 81

82 TASA PASIVA: Tasa de interés que se reconoce por la captación de recursos en una cuenta de ahorros o en un CDT. TCC: Tasa promedio ponderada de captación de recursos obtenidos por las corporaciones financieras de CDT a 90 días, nominalmente se expresa en término de trimestre anticipado. FÓRMULAS: Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal vencida Ie = (1+ ip) n -1 Cálculo de una tasa efectiva cuando se tiene una nominal anticipada Ie = (1 - ip) -n -1 Cálculo del interés periódico vencido a partir de una efectiva. ip = (1 + Ie) (1/n) -1 Cálculo del interés periódico a partir de una tasa nominal. Ip = In / n Cálculo del interés anticipado a partir de una tasa efectiva para el mismo período. Ia = Ie / (1 + Ie) Cálculo del interés efectivo a partir de una tasa nominal anticipada para el mismo período. Ie = Ia / (1 Ia) Cálculo del interés periódico anticipado a partir de una efectiva. ip = 1 - (1 + Ie) -(1/n) Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal vencida. 82

83 n = log(1+ie) log(1+ip) Cálculo del tiempo para alcanzar una tasa efectiva a partir de una nominal anticipada. n = log(1+ie) log(1 ip) Cálculo de la rentabilidad neta al tener en cuenta la tasa de impuesto. Cálculo de la rentabilidad real. RN: Ie x (1 - ti) RR = RN Inflación 1+Inflación 83

84 CAPÍTULO 3 FLUJO DE CAJA, VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO JUSTIFICACIÓN Una vez comprendido el concepto de interés, es preciso descubrir cómo se integra en las transacciones financieras. Los inversionistas y empresarios deben saber muy bien la importancia de la liquidez en los negocios y el manejo del flujo (las entradas y salidas) del dinero, tal conocimiento les posibilita mantener la estabilidad económica de la empresa. Así mismo, los inversionistas y empresarios deben poseer habilidades matemáticas y desarrollar fuertes competencias para la identificación de situaciones o momentos económicos difíciles, y para diseñar estrategias que eviten o minimicen la probabilidad de una situación de iliquidez que pueda afectar el buen funcionamiento de la empresa. Es importante reconocer que el flujo de caja permite prever y visualizar el comportamiento financiero de los negocios y su control posibilita la toma de decisiones para dinamizar o regular su comportamiento, y mantener la estabilidad financiera empresarial. MI OBJETIVO GENERAL Como estudiante aprenderé a utilizar los flujos de caja y desarrollaré competencias para calcular el valor presente, el valor futuro, la tasa de interés y el número de períodos, en una transacción financiera que involucre estos conceptos. 84

85 MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS En el estudio de esta unidad debo desarrollar competencias para: Entender la importancia y manejar con habilidad el flujo de caja. Diagramar un flujo de caja que permita identificar los problemas encontrados. Comprender y aplicar con habilidad los conceptos de valor presente y futuro. El uso adecuado de las fórmulas para despejar el valor presente, el valor futuro, el número de períodos y la tasa de interés, en la solución de los ejercicios propuestos. Resolver hábilmente las ecuaciones para despejar las incógnitas que se presentan en el campo de los negocios; con base en el desarrollo de ejercicios modelos. CONDUCTA DE ENTRADA Identifiquemos nuestras deficiencias y superémoslas con un pequeño repaso antes de empezar a estudiar el nuevo capítulo. Responda estas preguntas y reflexionemos sobre lo aprendido Fortalezca sus conocimientos y supere sus deficiencias ahora. Así disfrutará del dominio del conocimiento en este campo. 1. Cuál es tu opinión? Por qué el préstamo del dinero debe generar un ingreso? 2. Con un ejemplo explique la diferencia entre interés simple y compuesto 3. Cuál interés es más costoso el anticipado o el vencido? Por qué? Sustente su posición con un ejemplo. 4. Podrías aclarar por qué se dice que la tasa nominal no muestra el verdadero interés que se paga por el préstamo de un dinero? 5. Cuál de las siguientes tasas es mayor: 24% anual mes vencido 24% anual trimestre vencido? Por qué? 85

86 3.1. FLUJO DE CAJA Se denomina flujo de caja, a las operaciones financieras, ingresos y pagos de dinero que realiza un inversionista a lo largo del tiempo. En términos sencillos, es el comportamiento que tiene una transacción financiera en el tiempo que dura, por ejemplo, un crédito. Con el objeto de visualizar dichas operaciones, los ingresos y egresos de dinero se representan en una recta denominada línea de tiempo. LÍNEA DE TIEMPO: Corresponde a una recta dividida en intervalos, que representan el tiempo que dura la transacción financiera y los períodos en que se efectúan los pagos, allí se ubican barras verticales que indican los ingresos y las salidas de dinero. CARACTERÍSTICAS: Cuando se inicia la línea del tiempo se denota como período cero. Las flechas verticales hacia abajo indican salida de efectivo de caja o de la billetera de la persona, o una no entrada de dinero, por ejemplo, cuando se vende a crédito un activo. Las flechas verticales hacia arriba indican entrada de efectivo a caja o a la billetera de la persona, o en un no desembolso de dinero, por ejemplo, cuando se compra a crédito un activo. Este diagrama es una representación gráfica que permite visualizar el problema y plantear su solución; es fundamental para interpretar la información dada y definir claramente la incógnita. De igual manera es importante saber de quién es el flujo de caja que se gráfica, porque lo que es una entrada de dinero para el inversionista, es una salida para con quien hizo la transacción. EJEMPLO 3.1: 2' (ingresos) Tiempo 1' (egresos) 86

87 En el período 1 salió de caja $ ; en el período 2 ingresaron a caja $ EJEMPLO 3.2: Usted, hoy deposita en una entidad financiera $ y en seis meses retira , construya el flujo de caja suyo, como ahorrador. FLUJO DE CAJA DEL AHORRADOR ANÁLISIS DEL EJERCICIO Como el ahorrador saca $ de su billetera para consignarlos en la entidad financiera, para el ahorrador en un egreso. A los seis meses retira de la entidad financiera los $ , que entran a su billetera, para el ahorrador es un ingreso. EJEMPLO 3.3: Con el mismo ejercicio anterior grafique el flujo de caja para la entidad financiera. FLUJO DE CAJA DE LA ENTIDAD FINANCIERA ANÁLISIS DEL EJERCICIO Como el ahorrador saca $ de su billetera y los consigna en la entidad financiera, para ésta es un ingreso porque entra a su caja. A los seis meses la entidad financiera saca de su caja los $ , por ende, es un egreso. 87

88 3.2 VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO VALOR PRESENTE (VP): Indica una cantidad de dinero que se invierte o se recibe en préstamo en el momento actual, equivale a otra cantidad futura ubicada en un período posterior. Fórmula: VP = VF (1+I) n VP: Valor o cantidad de dinero en un tiempo presente o cero VF: Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro i : Tasa de interés o tasa de retorno del período. n : Número de períodos de interés. EJEMPLO 3.4: Usted debe cancelar dentro de dos años la suma de $ =, si el interés cobrado es del 2% mensual, determine el valor inicial del crédito. ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se sabe que en dos años se debe pagar $ , y que la tasa de interés de financiación fue del 2% mes, por lo tanto, se tiene que determinar cuál fue el valor prestado inicialmente. PREGUNTA Se debe determinar el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA 88

89 La incógnita está ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VF = i = 2% mes n = 24 meses REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VP = / ( ) 24 VP = ,46 RESPUESTA El valor inicial del crédito fue de $ ,46= APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS FINANCIERAS Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro. La expresión que se encuentra entre corchetes corresponde al factor de valor presente de pago único denominado también factor (P/F, i%, n). Este factor determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, a una tasa de interés i después de n períodos de tiempo. Al final se presenta la tabla financiera mediante la cual se puede calcular este factor. Para el ejemplo se busca en la tabla donde la tasa es el 2%, en la columna (P/F), y en la fila donde n es 24, allí se encuentra el factor 0, Al multiplicar este factor por los $ = el resultado es de $ APLICACIÓN MEDIANTE CALCULADORA HEWLECT PACKARD Mediante el siguiente procedimiento el estudiante puede hacer el cálculo del valor presente (VP). 89

90 INDICADOR FIN Financiero VDT CONVI F. CAJA BONO DEPR Valor dinero en el tiempo N %IA VA PAGO VF OTRO Menú Ingreso de Datos CASIO FC 200 Los siguientes son los comandos principales de esta calculadora, para ingresar los datos no se requiere un orden específico, para el cálculo de la variable desconocida, se digita la tecla COMP y la incógnita. COMP n i% PV PMT FV El procedimiento y orden es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA /- VF 2% IA 24 N VA MODE 4 SHIFT AC EXE AC 24 n 2% i FV COMP PV EXE /- FV 2 I/Y 24 N CPT PV El resultado es de $ ,46 APLICACIÓN EN EXCEL El cálculo mediante la hoja electrónica se realiza mediante dos formas: a. Cuando se tiene un solo dato para llevarlo a valor presente. b. Cuando se trae a valor presente más de un dato a. Para un solo dato. FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN 90

91 FINANCIERA VA(Devuelve el valor presente de una inversión) EJEMPLO 3.5: Cuánto debe pagar una persona hoy si quiere adelantar el pago de una deuda de $ = que se vence dentro de 2 meses y la cual tiene un costo de financiación del 2% mensual. PROCEDIMIENTO FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERA VA(Devuelve el Valor presente de una inversión) Tasa 2% Nper 2 Pago Vf Tipo NOTA: En la casilla Tipo; Si el interés es vencido se deja en blanco, si fuese anticipado se señalaría 1. 91

92 Resultado: $ ,39 Al efectuarse el pago hoy deberá cancelar $ ,39 b. Cuando se trae a valor presente más de un dato, o se tienen valores positivos y negativos. FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERA VNA(Devuelve el valor presente de una inversión, a partir de una tasa de descuento y una serie de pagos futuros) EJEMPLO 3.6: Qué pago único hoy es equivalente a efectuar los siguientes pagos; $ en 1 mes, = en 3 meses, y $ = en 5 meses, si la tasa de interés que se cobra es del 2,5% mes. PROCEDIMIENTO FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS VA(Devuelve el valor presente de una inversión) Tasa 2,5% 92

93 Valor Valor 2 0 Valor Valor 4 0 Valor Nota: si no se quiere escribir dato por dato, se puede en la casilla correspondiente al valor 1, cubrir todo el rango, teniendo en cuenta que en los períodos que no efectúa pagos, se escribe cero. 93

94 Resultado: $ Si se desea efectuar el pago de la deuda hoy, deberá cancelar $ ,43. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Los invito a realizar los siguientes ejercicios para el cálculo del valor presente de las diferentes formas expuestas anteriormente. Determine el valor con el que su padre le abrió una cuenta de ahorros hace seis meses, si hace tres meses retiró $ y hoy $ , si todavía tiene un saldo de $ , la entidad financiera le abona un interés del 15% anual. Cuál sería el valor de compra de contado de un computador si de cuota inicial se pagó $ y al mes se abonó $ , a los dos meses $ quedando una deuda en ese momento de $ , si el interés de financiación es el 2,2% mensual. VALOR FUTURO (VF): Muestra el valor que va a obtener una inversión actual en un período futuro, con un determinado rendimiento. Fórmula: VF = VP * (1 + i) n VP: Valor presente de una inversión. i : Tasa de interés del período. 94

95 n: Número de períodos. EJEMPLO 3.7: Un inversionista deposita hoy la suma de $ en una entidad financiera que paga un interés en los CDT del 24% anual con capitalización mensual. Hallar la cantidad total acumulada dentro de 5 años en la cuenta. i = 2% mes n = 60 VF=? $ ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere saber cuánto puede retirar en cinco (5) años, si la entidad financiera le reconoce un interés mensual del 2%. PREGUNTA Se debe determinar el VF UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el mes sesenta (60). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: i : 2% mes n: 60 meses. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = VP * (1 + i ) n VF = * ( ) 60 VF = ,39 95

96 RESPUESTA La persona que deposita hoy $ en una entidad financiera que paga el 2% mensual de interés, dentro de 5 años tendrá la suma de $ ,39. APLICACIÓN MEDIANTE LAS TABLAS De la fórmula VP = VF (1+i) n P = F (1+i) n se deduce que F= P (1 + i) n El factor (1+ i) n se denomina factor de cantidad compuesta de pago único. Se hace referencia a éste como el factor (F/P, i%, n). Este factor de conversión es el que, cuando se multiplica por P, se obtiene la cantidad futura F de una inversión inicial P, a la tasa de interés i, después de n períodos de tiempo. Se procede a buscar en las tablas donde la tasa es el 2%, la columna F/P, y n es igual a 60. El factor de conversión es 3, El resultado se obtiene de multiplicar: $ x 3,281031, cuyo valor es: $ ,5. APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA El procedimiento y orden es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA /- VA 2% IA 60 N VF MODE 4 SHIFT AC EXE AC 60 n 2% i PV COMP FV EXE /- PV 2 I/Y 60 N CPT FV Para obtener el mismo resultado de $ ,39. APLICACIÓN EN EXCEL El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente: FÓRMULAS 96

97 INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS VF(Devuelve el valor futuro de una inversión) Tasa 2% Nper 60 Pago Vp Tipo 97

98 R: $ ,39 Al observar el resultado, lo muestra negativo, porque el valor presente se digitó positivo. NOTA: Cuando se tienen varios datos, por Excel los llevas a valor presente y después con el procedimiento enunciado anteriormente, se lleva a valor futuro. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Después de haber estudiado el tema, vamos a evaluar los conocimientos adquiridos. Cuánto deberá pagar el usuario de un crédito hoy, si desea cancelar el saldo de una deuda, cuyo desembolso fue hace dieciocho meses por un valor de $ , a los seis meses abonó $ , y a los quince meses $ , el interés de financiación es del 2,3% mensual. Se están recogiendo fondos para una obra social, calcule los recursos disponibles a la fecha, si se han consignado y retirado las siguientes sumas: Hace diez meses, se recaudó $ , hace tres se recibió una donación por $ , y hoy $ , el mes pasado se requirió gastar $ Los dineros se consignaron en una cuenta de ahorros que rentan el 1,2% mes. 98

99 3.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS. Este tema es de gran importancia porque en muchas ocasiones un inversionista después de haber efectuado algún negocio, conociendo los ingresos y pagos efectuados, quiere conocer cuál fue su rentabilidad, y ésta se conoce despejando i. Para determinar la tasa de interés, se debe recordar lo escrito en la aplicación de la radicación, donde se saca raíz a ambos lados para despejar el valor de i. La fórmula queda así: 1 i = ( v.ƒ v.p )( n ) - 1 EJEMPLO 3.8: Calcular la tasa interés ganada por un inversionista, que consignó en una entidad financiera $ = y al cabo de 6 meses su saldo es de $ = ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer la tasa de interés mensual que le reconoció la entidad financiera. PREGUNTA Se debe determinar i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita no está ubicada en un período determinado, sino durante todo el tiempo que duró el dinero en la entidad financiera. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: VF: i : 99

100 n : 6 meses. PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 1 i = ( v.ƒ v.p )( n ) i = ( )( 6 ) - 1 i= 3,789% mes. RESPUESTA El interés mensual que reconoció la entidad financiera al inversionista fue del 3,789%. APLICACIÓN MEDIANTE LA CALCULADORA El procedimiento y orden a seguir es el siguiente: FIN VDT CLEAR DATA /- VA 6 N %IA H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II MODE 4 SHIFT AC EXE AC 6 n PV FV COMP i% EXE /- PV FV 6 N CPT I/Y La rentabilidad obtenida es del 3,789% mensual. APLICACIÓN EN EXCEL El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente: FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS TASA (Devuelve la tasa de un crédito o la rentabilidad de una inversión) 100

101 Es importante resaltar que en este caso no existen anualidades en la casilla de pago se debe escribir CERO. Igualmente se puede observar que el valor presente se digitó negativo, esto es porque se toma los $ = como una salida de dinero. Se puede observar que el resultado obtenido es el 3,789% mensual. 101

102 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Al igual que las prácticas anteriores utilicemos las diferentes herramientas para el desarrollo de los siguientes ejercicios: Determine la rentabilidad mensual alcanzada por un inversionista que hace seis meses compró un paquete de acciones es $ , y hoy las vendió en $ , recibiendo adicionalmente $ como dividendos. Usted requirió de un crédito de $ , cuál es su costo si le debe devolver al prestamista $ en tres meses CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS Cuando se habla de determinar n, se hace referencia al cálculo del número de períodos. Para este caso se requiere el uso del logaritmo. Si se despeja n de la fórmula, ésta quedaría así: n= Ln [VF VP ] Ln(1+i) NOTA: Para la fórmula se utilizó el logaritmo natural, es indiferente si se aplica el logaritmo en base cero. EJEMPLO 3.9. Cuánto tiempo debe esperar una persona que desea obtener $ (valor futuro), si hoy cuenta con $ , y la entidad financiera reconoce un interés del 2% mensual. 2% Mensual $ ,= n =? Solución: 102

103 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en su cuenta de ahorros la suma de $ PREGUNTA Se debe determinar n. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP: VF: i : 2% mes n: REEMPLAZO EN LA FÓRMULA n= n= Ln [VF VP ] Ln(1+i) Ln [ ] Ln(1+0,02) n= 0, , n = 35 meses. RESPUESTA Se requiere de 35 meses para que al invertir $ =, al 2% mensual se retire $ = APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento y orden a seguir es el siguiente: 103

104 H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA /- VA VF 2% IA N MODE 4 SHIFT AC EXE AC 2% i PV FV COMP n EXE /- PV FV 2 I/Y CPT N El resultado obtenido es 35 meses. APLICACIÓN EN EXCEL Ahora se va a realizar el mismo ejercicio en Excel, con la función NPER. El cálculo mediante la hoja electrónica es el siguiente: FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS NPER 104

105 El inversionista debe esperar 35 meses. EJEMPLOS VARIOS DE PRÁCTICA EJEMPLO Dentro de cuánto tiempo se tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de $ = sabiendo que hoy se hace un depósito de $ y luego retiros así: $ en el mes 7 $ en el mes 11. Tasa de interés 2% mensual. FLUJO DE CAJA $ ,= $ ,= $ ,= 0 $ ,= n =? ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el tiempo que debe esperar para tener en su cuenta de ahorros la suma de $ , a pesar de que ha tenido que efectuar retiros de su cuenta de ahorro. 105

106 PREGUNTA Se debe determinar n. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al finalizar el flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP 0 : RETIRO 7 : RETIRO 11 : VF: i : 2% mes n: PROCEDIMIENTO Para determinar n, se debe definir dónde va a quedar el valor presente como punto de referencia. En este caso se estableció el mes cero. El tiempo se trabaja en meses. PASOS Se calcula el valor presente de los retiros en el período cero. VP = / (1.02) /(1.02) 11 VP= , , 6 VP= ,67 n= Este valor se resta al consignado en el período cero, o sea a $ = El valor presente para calcular n, sería: $ ,67. Valor presente = ,32 Reemplazo en la fórmula Ln [ ,32 ] Ln(1+0,02) n= 1, = 70,93 meses 0,

107 RESPUESTA Se tendrá en la cuenta los $ = pasados 70,93 meses a partir de la consignación inicial de $ = EJEMPLO Se prestan hoy $ los cuales se van a cancelar en tres pagos a 6, 10, 15 meses; cada uno de los pagos, equivale al 75% del pago anterior. Hallar los pagos. i = 2% mensual $ ,= x 0,75 x 0,75(0,75 x) Solución: ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el valor de las cuotas de amortización del crédito. PREGUNTA Se debe determinar el valor de X. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el período seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = i = 2% mes n = El período está determinado por cada uno de los meses en que se efectúa la amortización, de acuerdo al valor de la amortización quedaría así: X = 6 mes 0,75 X = 10 mes 0,75 (0,75X) = 15 mes X =? 107

108 PROCEDIMIENTO Se plantea la ecuación; el monto del préstamo es igual a los pagos traídos a valor presente en el momento cero descontados por el interés del 2% mensual. Es importante que se tenga claro que la única incógnita es X, todo se relaciona con el resultado de X = X X X (1.02) 6 (1.02) 10 (1.02) = X X X = X = X X = ,48 1er pago 0,75 * ( ,48) = ,6 2do pago 0,75 * ( ,6) = ,2 3er pago RESPUESTA El préstamo de $ , se va a pagar de la siguiente forma: ,48 en el mes seis (6), ,6 en el mes diez (10) y ,2 en el mes quince (15). EJEMPLO Un inversionista abre hoy una cuenta de ahorros con $ ; dentro de 6 meses deposita su prima de navidad cuya cuantía es de $ = y en el mes 18 retira $ =. Hallar el valor del saldo al finalizar el mes 24, si se paga un interés del 2% mensual durante el primer año y el 2,5% mensual en el segundo año % 2,5% 108

109 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el inversionista quiere conocer el saldo en su cuenta de ahorros al finalizar el año dos, después de hacer una serie de consignaciones y retiros, se debe tener en cuenta que la entidad financiera cobró dos tasas de interés diferentes. PREGUNTA Se debe determinar el VF. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el mes veinticuatro (24). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP 0(consignación) = VP 6(consignación) = VP 18(Retiro) = i = 2% mes VF 24 =? PROCEDIMIENTO: Aspectos para tener en cuenta: Cambio en la tasa de interés en el mes doce, cuando en la línea de tiempo existen dos o más tasas, siempre se tiene que llegar al período donde hay cambio de tasa, una vez se tenga un valor, se calcula el valor futuro o presente, con la tasa correspondiente al otro período. PASOS Se llevan los abonos al mes doce, porque allí hay cambio de tasa. Una vez se tiene el total acumulado en el mes doce, se lleva al mes 24. El retiro del mes 18 se lleva al mes 24. El saldo se determina restando el retiro a las consignaciones en el mes 24. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = VP * (1 + i) n 109

110 VALOR FUTURO DE LAS CONSIGNACIONES VF 12 = * ( ) * (1+0.02) 6 = VF 24 = * ( ) 12 = ,68 VALOR FUTURO DE LOS RETIROS VF 24 = * ( ) 6 = ,12 SALDO V.F 24 Consignaciones- V.F 24 Retiros , , ,56 RESPUESTA En el mes 24 hay disponibles para retirar $ ,56 EJEMPLO 3.13 Se compra un computador y se propone pagarlo de la siguiente forma: $ = De cuota inicial, $ = en el mes 6 y $ = en el mes 12. Hallar el valor de contado sabiendo que la financiación contempla una tasa del 2.5% mes, para los 1 os 6 meses y del 3% mes de ahí en adelante. Solución: x 2,5 mes 3% mes ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio el vendedor del computador quiere conocer el precio de venta del equipo, dado que está conociendo el valor y fecha de los pagos que propone el comprador, así como el interés de financiación. 110

111 PREGUNTA Se debe determinar el VP. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada en el momento cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP 0(cuota inicial) = VF 6(primer cuota) = VP 12(segunda cuota) = i (0-6) = 2,5% mes i (6-12) = 3% mes N ( ) = 6 N ( ) = 12 VP TOTAL =? PROCEDIMIENTO: En el período de análisis se encuentran dos tasas de interés. PASOS: El abono de $ = se lleva al período cero con la tasa de descuento del 2,5%. El abono de $ = se lleva al período seis con la tasa del 3% y luego al momento cero con la tasa del 2,5%. Estos dos resultados se suman al valor de la cuota inicial y se determina el importe de contado del computador. Planteamiento de la ecuación: La ecuación quedaría planteada de la siguiente forma: x = (1 + 0,02) 6 + ( (1 + 0,02) 6 (1 + 0,03) 6) La X es el valor de contado del computador. 111

112 La ecuación se explica de la siguiente forma: El precio de contado es igual a la cuota inicial más las dos cuotas financiadas, traídas a valor presente, en el período cero. VP 0 = = ,10 ( ) VP 0 = ( (1+0,02) 6 (1+0,03) 6) = VP 0 = , VP 0 = RESPUESTA El precio de contado del computador es de $ = EJEMPLO 3.14 Sus padres le depositan $ en una cuenta de ahorros, que paga un interés del 1,5% mensual, al año le consignan $ =. En tres años retira la cuarta parte del saldo en el momento, dos años más tarde le realizan un depósito igual a la mitad del saldo existente y dos años después usted retira todo el dinero. Hallar los valores depositados y retirados cada vez. 1/4 Saldo x $ /2 Saldo ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio usted debe hacer un seguimiento al saldo del dinero para determinar el valor de las consignaciones y retiros. PREGUNTA Se debe estimar VF en cada momento que preguntan el saldo, para calcular el monto a retirar o consignar. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA 112

113 La incógnita está ubicada en el mes treinta y seis, sesenta y ochenta y cuatro. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP 0(consignación inicial) = VP 12(segunda consignación) = i = 1,5% mes VF 36 =? VF 60 =? VF 84 =? PROCEDIMIENTO Para hacer el planteamiento de la ecuación, se requiere de un proceso que toma muchos números, hecho que permite confundirse, para un mejor entendimiento, se explicarán los pasos: Mire dónde está la incógnita, está en el mes 84, en este momento usted está en cero, o sea debe calcular un valor futuro. Lleva las dos primeras consignaciones al mes 36 y las suma. Al resultado le calcula la cuarta parte y se la resta. La cuarta parte es la primera respuesta, es el primer retiro. El saldo que queda está ubicado en el mes 36, se lleva a un futuro al mes 60. Allí el saldo existente se le debe calcular la mitad, es la primera consignación. El valor de la consignación se le suma al saldo y este total se lleva al mes 84, para calcular el último retiro. PASOS: ( x (1.015) x(1,015) 24 ) = $ ,94 valor futuro en el mes 36 de las consignaciones. ¼ x ,94= ,73 el valor del primer retiro. Queda un saldo en el mes 36 de $ ,21. Este saldo se lleva al mes 60: $ ,21x (1,015) 24 = ,19 A $ ,19 se le calcula la mitad (1/2), dando un valor de $ ,6. Este es el valor de la consignación. Para determinar el nuevo saldo en el mes 60, sumo las dos cifras $ ,19 y $ ,6 dando un total de $ ,8. Se lleva el último saldo al mes 84; ,8 x (1.015) 24 = ,6 113

114 El último valor a retirar es de $ ,6. RESPUESTA El proceso de retiros y consignaciones que se debían calcular fue el siguiente: En el mes treinta y seis se retira: $ ,73 En el mes sesenta se consigna: $ ,6 Y, en el mes ochenta y cuatro se retira $ ,6 EJERCICIOS 1. Determine el importe de contado de un electrodoméstico cuyo sistema de financiación es el siguiente: Cuota inicial: 30% del precio de contado, el saldo en 3 cuotas; la primera en el mes 3 con un valor de $ =, la segunda en el mes 5 por $ = y la última en el mes 6 por $ =. El interés de financiación es el 24% anual. R: El importe de contado del electrodoméstico es de $ ,69 2. Cuánto tendrá usted ahorrado al finalizar el año, si se compromete a efectuar las siguientes consignaciones, hoy $ =, $ = en el mes 6, y $ = en el mes 10. La entidad financiera paga un interés del 6% trimestral. R: Al finalizar el año Usted tiene ahorrado $ ,66 3. Si su padre le consigna en su cuenta de ahorros, hoy la suma de $ = y en 6 meses averigua el saldo, y tiene en su cuenta $ ,3= cuál es la tasa de rentabilidad que paga la entidad financiera. R: La entidad financiera paga una rentabilidad del 1,5% mes. 4. Cuánto tiempo debe esperar usted para contar con $ =, si deposita en una entidad financiera $ =, y esta reconoce un interés de 4% bimestral. R: Para contar con $ debe esperar 13 bimestres. 5. Pedro consignó en su cuenta de ahorros hoy, $ =, en el mes 3, consigna $ =, cuánto debe consignar en el mes 9, si aspira a que en el mes doce pueda retirar del banco, la suma de $ =, si la entidad paga un interés del 12% semestral. R: Pedro para poder retirar en el mes doce $ , debe consignar en el mes nueve $ ,96 114

115 6. Al comprar una motocicleta por $ = usted debe determinar el valor de la cuota inicial, si le aceptan pagar el saldo en 3 cuotas; la primera en el mes 1 por $ =, en el mes 2; $ = y en el mes 3; $ =, si el interés de financiación es del 9% trimestral. R: Debe pagar de cuota inicial $ ,27 por la compra a crédito de la motocicleta. 7. Cuál es el saldo que tiene en su cuenta de ahorro si hace 6 meses consignó $ =, durante los 4 primeros meses el interés ganado fue del 3% bimestral, a partir de allí, la tasa varió al 22% anual trimestre vencido. R: El saldo en la cuenta después de seis meses es de $ ,76 8. Determine el valor consignado por Jaime hace 6 meses, si este dinero le alcanzó para retirar $ = hace 3 meses y hoy retiró el saldo por $ =; la rentabilidad del ahorrador es del 22% anual bimestre vencido. R: Jaime consignó hace seis meses $ ,87 9. En cuánto le colaborará su Papá para completar el monto de la matrícula universitaria, si debe cancelar el valor del semestre dentro de 3 meses por $ =, usted ahorró hace dos meses $ = y hoy puede asignar para este mismo propósito $ =, la rentabilidad de su dinero es del 6% trimestral. R: Su padre debe colaborarle con $ ,23 el día de la matrícula. 10. Usted planea ir de vacaciones al final de año (Diciembre), para lo cual presupuesta un valor de $ =, consigna hoy (Período cero) ese valor, en el mes 8, se le presenta un imprevisto para lo cual debe retirar $ =, cuánto será el faltante en el momento de tomar las vacaciones, si la rentabilidad es el 11% semestral. R: El faltante para cancelar los $ en el mes de diciembre es de $ Alfredo proyecta comprar un vehículo cuyo importe es de $ =, para su adquisición él cuenta hoy con $ = y un título valor por $ = el cual puede hacer efectivo dentro de 3 meses, determine si Alfredo puede adquirir este vehículo si el precio se lo sostienen por un tiempo de 9 meses y la rentabilidad de su dinero es del 3.5% bimestral. R: Su dinero no le alcanza para comprar el vehículo dado que sólo dispone de $ ,6 12. Un ahorrador consigna $ =, durante los primeros seis meses, su rentabilidad es del 8% trimestral, si en el mes 18, cuenta con $ =, determine el interés en este último período. 115

116 R: La rentabilidad en el último año fue del 20,02% 13. Pedro consigna hoy $ =, su propósito es completar el valor de $ = dentro de 15 meses, en el mes 6 ahorra $ =, determine la consignación que realizó en el mes 10 para cumplir su meta, si las tasas de interés fueron del 15% semestral, en los primeros 6 meses, 3% bimestral, hasta el mes 12, y el 30% anual mes vencido a partir de allí. R: Pedro debe consignar en el mes diez $ , Calcular el precio de contado de un TV, cuya cuota inicial es de $ =, un cuota en el mes 3 por $ =, y el saldo en el mes 6 por un valor al 30% del valor de contado. El interés de financiación fue del 15% semestral bimestre vencido. R: El precio de contado del televisor es de $ , Determine cuál de las siguientes deudas presenta un mayor valor en el momento cero: Tres pagos iguales de $ = en los meses 3,6 y 9, con una tasa de interés del 9% trimestral. Dos pagos, el primero por $ = en el mes 4 y $ = en el mes 8, la tasa es del 18% semestral. R: La segunda deuda es mayor, dado que su valor a precios de hoy es de $ , Usted tiene una deuda, y como respaldo firmó dos pagarés el primero por $ con vencimiento en tres meses, y un segundo por $ , con vencimiento en un año, va a sustituir estos compromisos por un solo pago en el mes nueve (9), determine el valor por el cual firma el pagaré, si la tasa de interés es del 8% trimestral. R: El valor que usted debe pagar en el mes nueve es de $ , Si usted consigna en dos cuentas de ahorro diferentes, $ en cada una, determine el valor del saldo después de un año en cada una de ellas, si en la entidad financiera A gana un interés del 5% bimestral y en la entidad financiera B el interés es del 8,5% trimestral. R: En A tiene un valor de $ ,64 y en B $ ,7 18. Usted tiene un saldo en la cuenta de $ , su hermano le había consignado hace un año $ , hace seis meses le había efectuado otra consignación; determine el valor de ésta, si el interés de la entidad financiera es el 1% mensual. R: Su hermano le consignó hace seis meses $ ,55 116

117 19. Con el mismo ejercicio anterior, determine el valor de la consignación en el mes seis, pero usted retiró en el mes diez, $ R: Al haber retirado $ en el mes diez y contar con un saldo de $ al final del año es porque su hermano le consignó en el mes seis $ , Con base en el ejercicio dieciocho estime el valor consignado en el mes seis pero la tasa que reconoce la entidad financiera fue del 1% mensual para el primer semestre y del 1,2% durante el segundo semestre. R: Al tener una rentabilidad del 1,2% durante el segundo semestre su hermano le consignó $ ,2 21. Determine el valor de apertura de una cuenta de ahorros que a los quince meses presenta un saldo de $ , y tuvo el siguiente movimiento: Consignaciones de $ y $ = en los meses tres y diez respectivamente, y retiros por $ y $ , en los meses nueve y doce. El interés de la entidad financiera es del 9% semestral. R: El valor de apertura de la cuenta fue de $ , Si la entidad financiera del ejercicio anterior hubiese reconocido un interés del 9% semestral para el primer semestre y el 1,7% mensual de ahí en adelante, determine el valor de apertura de la cuenta. R: Al modificarse la tasa de interés el valor de apertura de la cuenta fue de $ , Pedro abrió una cuenta de ahorros hace tres meses con $ , si hace un mes debió retirar $ , y hoy debe retirar $ , cuánto tiempo debe esperar para volver a tener el millón de pesos si la entidad financiera le reconoce un interés del 1,2% mes. R: Para volver a tener el millón de pesos debe esperar 38 meses a partir de hoy. 24. Con base en el ejercicio anterior despeje n, pero Pedro recibe dentro un mes $ , que los depositará en la cuenta de ahorros. R: Recibiendo los $ dentro de un mes, para volver a tener el millón de pesos debe esperar 20,45 meses a partir de hoy. 25. Usted propone sustituir tres obligaciones de $ para hoy, $ para dentro de tres meses y $ para dentro de seis meses, por un solo pago dentro de un año. Su acreedor le acepta la propuesta con la siguiente condición: Las tres obligaciones 117

118 iniciales tenían un interés del 1,5% mensual, el interés de la refinanciación es del 2% mensual. Como usted acepta el nuevo interés determine el valor del pago único. R: El pago que debe realizar dentro de un año es de $ ,1 26. Al ofrecer su automóvil se reciben varias ofertas de las cuales usted va a optar por la mejor: Pedro le ofrece $ de contado, Enrique le da tres cheques por $ cada uno, el primer cheque lo cobra en el momento y los otros a 30 y 60 días, Su jefe le ofrece $ en el momento y un cheque por $ a 90 días, si su tasa de oportunidad es del 9% trimestral, Cuál opción escoge? R: Le vende el carro a Enrique. Su equivalencia en valor presente ($ ,5) 27. Determine el saldo en la cuenta si la abrió hace diez meses con $ , durante el primer trimestre el banco reconoció como interés el 3% trimestral y a partir de ese momento su tasa fue del 3,1% trimestral. R: La cuenta tiene un saldo después de 10 meses de $ , Usted compra un lote de terreno en $ con el propósito de construir su vivienda, pasado un año usted no consiguió el dinero de la construcción por lo tanto toma la decisión de venderlo en $ , si en sus actividades comerciales normalmente se gana el 3% mensual, hizo un buen o mal negocio? R: La rentabilidad en este negocio sólo fue del 1,53% mes, o sea que no hizo un buen negocio respecto de los que usualmente realiza. 29. Un inversionista en finca raíz, compra un apartamento en $ , lo vende en $ a los 3 meses, con este dinero compra una casa y al mes la vende en $ Cuál es la tasa mensual de rentabilidad de esta persona? R: La rentabilidad mensual del inversionista es del 4,66%. 30. Un comerciante cuenta con $ , compra un vehículo y a los dos meses lo vende en $ , con este dinero adquiere un apartamento con el cual tuvo inconvenientes en su venta y a los seis meses de haberlo comprado sólo lo pudo vender en $ , cuál fue su rendimiento mensual? R: La rentabilidad durante los 8 meses fue del 1,198 % mes. 31. Abro una cuenta con 100 pesos al finalizar en el mes 6 consigno 80 pesos, en el mes 9 retiro 60 pesos. Determine en qué momento dispongo de 3 veces el valor de la 118

119 consignación inicial si hasta el mes 10 es del 2% mensual y de ahí en adelante es de 3% mensual. R: 17, Se abre una cuenta con 300 pesos, en el mes 6 retiro la mitad, en el mes 9 retiro 50 pesos, hasta el mes 10 la tasa del interés es el 2% mensual, si en el mes 30 vuelvo a disponer del capital inicial cuál fue la tasa de rentabilidad en el mes 10 al 30. R: 3,44% AUTOEVALUACIÓN Por qué se dice que el diagrama del flujo de caja representa el planteamiento del problema? Es importante la dirección de las flechas? Teniendo dos valores futuros iguales, cuál de estos tiene un menor valor presente, el primero cuya tasa de descuento es el 2% mes o un segundo con una tasa del 3% mes. Por qué? En qué difiere un valor presente de un valor futuro? Al traer a valor presente un determinado valor futuro, si se requiere calcular un menor valor presente, se debe aumentar o disminuir la tasa de descuento, Por qué? Explique la manera como se determina el tiempo requerido para alcanzar un valor futuro conociendo el valor presente y la tasa de interés. Cuál es el proceso para calcular el rendimiento de una inversión, conociendo el valor de compra, venta y el tiempo que tuvo el activo. GLOSARIO DESCUENTO: Procedimiento de calcular el valor presente de uno o más pagos futuros, aplicando determinada tasa de interés. DEUDA: Es una obligación, normalmente de tipo económico de una persona natural o jurídica con otra. DINERO: Instrumento de cambio, de aceptación generalizada. FLUJO DE CAJA: Procedimiento que muestran los ingresos y egresos de efectivo en un período de tiempo. 119

120 INVERSIÓN: Es el esfuerzo de posponer el consumo para un período futuro con el propósito de recibir un mayor valor. PERÍODO: Es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. PRECIO DE COMPRA: Es la cantidad de dinero que se paga por la adquisición de un bien. PUNTO DE EQUILIBRIO: Cuando los ingresos son iguales a los egresos. SUSTITUIR: Reemplazar TASA DE DESCUENTO: Tasa de interés mediante la cual se determina el valor presente de una cifra futura. TASA DE OPORTUNIDAD: Es la tasa de rentabilidad que un inversionista sacrifica con el objetivo de realizar un proyecto. VALOR ACTUAL: Valor de un bien en el momento, en los flujos de caja normalmente se denomina valor inicial o valor presente. VALOR FINAL: También se denomina valor futuro, en algunas ocasiones resultantes de un acumulado o suma en una fecha posterior. FÓRMULAS: Cálculo del valor futuro cuando se tiene un valor presente. VF = VP * (1+ i) n Cálculo del valor presente cuando se tiene un valor futuro. VP = VF (1 + i) n Cálculo de la tasa de interés cuando se tiene un valor presente y un valor futuro. i = ( v. ƒ 1 ( v. p ) n ) Cálculo del tiempo cuando se tiene un valor presente y un valor futuro. n = Ln (VF VP ) Ln (1 + i) NOTA: Es indiferente el tipo de logaritmo, puede ser el logaritmo natural o el base cero. 120

121 CAPÍTULO 4 ANUALIDADES JUSTIFICACIÓN En el desarrollo de la vida, las personas requieren con cierta frecuencia utilizar créditos o financiamiento en la compra de bienes para el hogar, o en la actividad productiva o comercial que desarrollan como medio económico de subsistencia o para el financiamiento de un servicio que le posibilitará su existencia o una mejor calidad de vida ya sea un viaje, una cirugía o la matrícula de estudios. Por los motivos expuestos es preciso que estudiemos este capítulo donde podremos entender el procedimiento utilizado en las entidades financieras para determinar el valor de las cuotas de los pagos que se deberán hacer para cancelar un préstamo que nos ha sido otorgado para satisfacer nuestras necesidades, cuando no contamos con los recursos suficientes para adquirir los bienes o servicios de contado. Estos pagos de las cuotas del préstamo tienen la característica de ser iguales para todos los períodos de tiempo ya sean meses o años. MI OBJETIVO GENERAL Debo comprender los procedimientos utilizados por las entidades financieras para calcular o encontrar el valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor presente o futuro. MIS OBJETIVOS ESPECÍFICOS Debo desarrollar fuertes competencias para: Apropiarme con claridad la noción de anualidad Adquirir el dominio sobre los conceptos de clasificación de las anualidades. Comprender el cálculo de las anualidades con un valor presente o un valor futuro; de manera que me permita demostrarlo y aplicarlo o en otros casos revisarlo e interpretarlo. 121

122 Determinar el valor presente y futuro a partir de la anualidad. Conocer el tiempo que se demora en gastar una persona unos recursos (ahorros), proyectando gastos fijos periódicos. Saber el tiempo que requiere un ahorrador para alcanzar determinada suma de dinero en un tiempo futuro. Calcular con precisión el interés que gana un ahorrador o que se cobra en una financiación. Comprender el concepto de anualidad diferida y perpetua. Desarrollar destreza y habilidad en el uso de las fórmulas, tablas financieras, calculadoras Hewlett Packard, Casio Fc 200 y la hoja electrónica EXCEL para los cálculos del valor equivalente en una serie uniforme periódica a un valor presente o futuro. CONDUCTA DE ENTRADA Antes de iniciar mi proceso de aprendizaje debo conocer como están mis conocimientos y qué me obligo a reforzar para abordar este nuevo e importante tema de las finanzas. Identificar mis deficiencias me dará la oportunidad de superarlas con un pequeño repaso. Responderé estas preguntas y reflexionaré sobre lo aprendido. Si fortalezco mis conocimientos y elimino mis deficiencias, podré disfrutar del dominio de la teoría en este campo. 1. Puedo diagramar un flujo de caja y señale la ubicación del VP y el VF, mostrando como un ingreso el VP y como egreso el VF. 2. Que variable es la que pudo haber afectado el ahorro de una misma cantidad de dinero en dos entidades diferentes, pero que en la entidad A alcanzó un mayor valor que B, si el tiempo fue el mismo. 3. En qué entidad alcanzará un mayor valor sus ahorros, la que paga el 2% mes anticipado o el 2% mes vencido por qué? 4. En cuánto tiempo se triplica una cantidad de dinero si la entidad financiera reconoce el 30% anual. 5. Cuál será el interés pagado a un inversionista si en dos años duplicó el valor invertido inicialmente. 122

123 4.1 SERIES UNIFORMES O ANUALIDADES Anualidad: Se entiende por anualidad a un método utilizado por las personas ya sea para ahorrar o retirar una cantidad igual de dinero durante un determinado tiempo. En el flujo de caja se muestra como una serie de entradas o salidas de dinero iguales y periódicos. El concepto anualidad indica que los pagos son periódicos y no cada año. Los períodos pueden ser diarios, quincenales, mensuales, bimestrales, trimestrales, semestrales, entre otros. CARACTERÍSTICAS: Para que una serie de pagos se considere anualidad cumple con las siguientes condiciones: Los pagos son iguales. El período de los pagos son iguales. El número de pagos es igual al número de períodos. En el período se cobra igual tasa de interés. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES. La anualidad se divide en vencida, anticipada, diferida y perpetua de acuerdo en el momento en que se efectúe el pago. Anualidades Vencidas: Las anualidades vencidas son aquellas en las que el pago se hace al final del período. Ejemplo: Salario de un trabajador. Anualidades Anticipadas: Se dice que hay anualidad anticipada cuando se efectúan los pagos al principio del período, el ejemplo típico es el pago de arrendamiento. Anualidad Diferida: Se denomina así, aquella anualidad en la que el primer pago se efectúa algunos períodos después de haber concretado o proyectado iniciar la transacción financiera. Anualidad Perpetua: Se denomina anualidad perpetua, al flujo de caja que por la característica del proyecto no existe un último pago. 123

124 4.2. ANUALIDADES VENCIDAS: VALOR PRESENTE Se denomina valor presente de una anualidad, a la sumatoria de los valores que la conforman, traídos a un período antes del primer ingreso o pago. En los casos de la vida real ejemplos de valor presente de una anualidad, es el monto solicitado o entregado de un crédito, o el precio de contado de un bien. VP A FÓRMULA: La fórmula para calcular el valor presente es la siguiente: VP = [ (1 + i)n 1 i(1 + i) n ] VP: En las anualidades el VP puede ser el precio de un bien que se va a financiar, se puede definir como la cantidad de dinero que se va a diferir en pagos iguales, su ubicación es un período antes de la primera cuota. i: Es la tasa de interés de financiación, debe ser congruente con el período de las anualidades, por ejemplo, si los períodos son bimestrales, la tasa de interés debe ser bimestral. n: Es el número de cuotas que conforman la serie. A: Es el valor de cada cuota. EJEMPLO 4.1: Cuál es el precio de contado de un electrodoméstico si financiado a 6 meses en cuotas iguales, con un interés del 2%, se paga $ = por cuota. VP 6 $ = 124

125 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el precio de compra del electrodoméstico si se tuviesen los recursos para pagarlo de contado, dado que se conoce el número y valor de las cuotas, así como la tasa de financiación. PREGUNTA Se va a calcular un VP UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A= n= 6 i = 2 % VP =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio, simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor presente. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA Se aplica la fórmula, y se reemplaza cada una de las variables: VP = [ (1+0,02)6 1 0,02(1+0,02) 6] = ,7 RESPUESTA El precio de contado del electrodoméstico es de $ ,7. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine el valor del crédito que le pueden aprobar si usted le comentó al asesor comercial que su capacidad de pago es de $ mensuales, teniendo en cuenta que la tasa de interés es del 2,4% mes y el plazo es de dieciocho meses. De cuánto debe ser el precio de un T.V. que usted compra si el plazo de financiación es de 12 meses y su capacidad de pago es de $ de cuota inicial 125

126 y mensual de $ El proveedor cobra una tasa de financiación del 2,5% mensual. CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR PRESENTE El cálculo de la anualidad cuando se tiene un valor presente es de gran utilidad en el campo financiero, dado que se utiliza en determinar las cuotas de financiación de créditos ya sea de dinero, de vivienda o de electrodomésticos principalmente, también es muy utilizado por los fondos de pensiones porque de acuerdo al valor aportado durante la vida laboral, la persona podrá gozar de cierto nivel de jubilación mensual. FÓRMULA: A = VP [ (1 + i)n 1 i (1 + i) n ] EJEMPLO 4.2: Calcule el valor de las cuotas si se financia un electrodoméstico a seis meses, su precio de contado es de $ , y de cuota inicial se paga el 20%. El interés es del 2 % mensual A=Incógnita ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el valor a pagar por cada una de las seis cuotas para cancelar el electrodoméstico, cuyo precio de contado es de $ = y se paga de cuota inicial $ , con un interés del 2% mensual. 126

127 PREGUNTA Se va a calcular A UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en los períodos uno al seis. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP= C.I = n= 6 i= 2 % A =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio, se descuenta al valor de contado, la cuota inicial y se reemplaza en la fórmula para calcular A. PASOS: Para determinar la cuantía de las cuotas se calcula el saldo a financiar. Al valor del electrodoméstico se le resta el pago de la cuota inicial. Al $ = se le resta los $ = Una vez se tiene el VP se procede a reemplazar en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA A = [ (1 + 0,02)6 1 0,02 (1 + 0,02) 6] A = ( ,60143 ) A = $ ,64 El valor de la cuota es de $ ,64 127

128 EJERCICIOS DE PRÁCTICA Cuál es el valor que usted debe pagar mensualmente si le aprueban un crédito por $ para cubrir en cinco meses, el costo del semestre en la universidad, la tasa de interés es del 2% mes. Usted compra a crédito una motocicleta cuyo precio de contado es de $ , las condiciones en la financiación fueron: el 20% como cuota inicial, plazo 24 meses y va a efectuar un abono extraordinario en el mes doce por $ Determine el valor de cada cuota si el interés de financiación es del 2,5% mes. FORMA DE CÁLCULO MEDIANTE EL USO DE LAS TABLAS. Reemplazando las dos fórmulas anteriores, cuando se hace uso de las tablas, se deben buscar los factores, que permitan calcular el VP cuando se tienen las anualidades o las anualidades cuando se conoce el VP. Los factores y su uso para encontrar el VP y la A. Las denominaciones establecidas para estos dos factores son (P/A, i%, n), que haciendo una mejor explicación, se dice que teniendo una anualidad se va a calcular un VP. Y (A/P, i%, n) que se ilustra indicando que se va a calcular la A, teniendo un valor presente. Al final del libro se presentan estas tablas. EJEMPLOS: Se efectuarán los mismos ejemplos realizados con las fórmulas: Para el primer ejemplo, se busca el factor que se encuentra en la tabla donde el interés es del 2 %, se busca la columna, P/A, y la fila donde esta N = 6 El factor es 5, VP = * 5, VP = $ ,7 Para el segundo ejemplo, el factor se encuentra en la misma tabla donde el interés es del 2%, se busca en la columna A/P, y en la fila donde N = 6 El factor es 0, A = *0, A = $ ,8 128

129 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P.19 BII Para resolver problemas de anualidades vencidas utilizando la calculadora HP, se deben seguir los siguientes pasos: Si está situado en el menú principal (MAIN), presione FIN y después VDT. El menú VDT (Valor del Dinero en el Tiempo) se utiliza para resolver problemas de interés compuesto y anualidades. En el menú primario aparece el elemento PAGO. Este almacena o calcula la anualidad o pago periódico. En el menú secundario se muestra el elemento FINAL, el cual se utiliza para el cálculo de anualidades vencidas u ordinarias. Recuerde que al utilizar el menú VDT es necesario que las cantidades monetarias sean ingresadas con el signo adecuado, + (más) o - (menos), de acuerdo con la siguiente convención de signos: dinero recibido se ingresa o se presenta en pantalla como un valor positivo, mientras que el dinero pagado se ingresa o se presenta en pantalla como un valor negativo. CASIO FC 200 Para efectuar cálculos con anualidades en la Casio Fc 200 se requiere de la tecla PMT. Es importante conocer si se está trabajando con anualidades vencidas o anticipadas, cuando se conoce que son anticipadas, se utiliza el menú BGN el cual se activa como segunda función de MODE, para lo cual se digita SHIFT MODE. Los pasos para desarrollar los ejemplos 4.1 y 4.2 son los siguientes: CÁLCULO DEL VALOR PRESENTE H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA /- PAGO 2% IA 6 N VA MODE 4 SHIFT AC EXE AC PMT 2 i% 6 n COMP PV EXE 6 N 2 I/Y /- PMT CPT PV El valor del electrodoméstico es de $ ,72 129

130 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD Para calcular el valor de la cuota del ejercicio modelo, solamente se le va a modificar el interés. FIN VDT CLEAR DATA /- VA 2% IA 6 N PAGO H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II MODE 4 SHIFT AC EXE AC PMT 2 i% 6 n COMP PMT EXE 6 N /- PV 2 I/Y CPT PMT El Valor de la cuota es de $ ,64 APLICACIÓN EN EXCEL. Para el desarrollo del ejercicio con Excel se le modificó la tasa al 2,5% Mes. VALOR PRESENTE Los pasos en la hoja de cálculo son: FÓRMULAS INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS VA(Devuelve el valor presente de una inversión) Tasa 2,5% Nper 6 Pago Vf Tipo 130

131 Resultado: $ ,34 El precio de contado del electrodoméstico es de $ ,34 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD Los pasos a seguir en la hoja de cálculo es el siguiente: FÓRMULAS 131

132 INSERTAR FUNCIÓN FINANCIERAS PAGO Una vez en la función Pago se digita: Tasa de interés, número de Períodos y el valor actual (presente). 132

133 El valor de la cuota con un interés del 2,5% mensual es de $ ,97 VALOR FUTURO El valor futuro de una anualidad es la sumatoria de la serie de pagos o retiros uniformes, llevados a una fecha posterior o a la fecha del último pago o retiro. Al igual que en el caso anterior es utilizado por los fondos de pensiones para determinar el nivel de ahorro durante la vida laboral. VF FÓRMULA: VF = A [ (1 + i)n 1 ] i VF: Es la sumatoria de los pagos que conforman la serie llevados al momento del último pago. A: Es el valor de cada cuota i: La tasa de interés de la serie, recordemos que se debe expresar de acuerdo al período. n: Número de cuotas que conforman la serie. EJEMPLO 4.3: Durante 6 meses se hacen depósitos por mes vencido de $ cada uno, en una institución de ahorro que paga un interés del 3,0% mensual. Calcular la suma total acumulada al final del período. FLUJO DE CAJA V.F $ = 133

134 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se quiere determinar el total ahorrado en los seis meses con los intereses que ganaba este dinero. PREGUNTA Se va a calcular un VF UBICACIÓN INCÓGNITA La incógnita se encuentra ubicada en el mes seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN n (meses) = 6 A = i mes = 3% VF =? PROCEDIMIENTO En este ejercicio, simplemente se reemplaza en la fórmula y se despeja el valor futuro. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA VF = [ (1 + 0,03)6 1 ] 0,03 VF = $ ,18 RESPUESTA El valor acumulado al final del 6 mes es de $ ,18 CÁLCULO CON LAS TABLAS FINANCIERAS Al igual que los casos anteriores, el factor se busca en la terminología (F/A, i, N), teniendo el monto de la anualidad se va a calcular el valor futuro. Ejemplo: Para dar respuesta al ejemplo modelo, se busca en la tabla donde el interés es del 3%, en la columna de F/A, y en el renglón donde N= 6. El factor es 6, Se multiplica $ * 6,468410= $ ,2 134

135 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA Para la aplicación en la calculadora y en Excel se realiza el mismo ejercicio pero con la tasa del 2,5%. El procedimiento es muy similar solamente cambia en el último factor. H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA /- PAGO 2,5% IA 6 N VF MODE 4 SHIFT AC EXE AC PMT 2,5 i% 6 n COMP FV EXE 6 N /- PMT 2,5 I/Y CPT FV El valor obtenido es de $ ,4 es importante recordar que la tasa de interés es diferente. APLICACIÓN EN EXCEL. Aquí se aplica el mismo procedimiento anterior pero se modifica la última función, siendo para este caso, VF. 135

136 La respuesta es la misma que se obtuvo con la calculadora financiera, $ ,4 es el saldo acumulado al final del sexto mes. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Cuál es el saldo que usted tiene en una cuenta de ahorros después de seis meses, si consigna periódicamente el 20% de su salario, su salario es de $ y la entidad financiera reconoce una tasa de interés del 2% mes. Determine el saldo de una cuenta de ahorro si usted durante los seis meses que estuvo laborando ahorró $ mensuales, y a partir de allí han transcurrido seis meses en los que retira mensualmente $ El interés que reconoce la institución financiera es del 1,1% mes. CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CON EL VALOR FUTURO Conociendo el valor futuro y queriendo determinar el monto del pago, se modifica la incógnita, se busca la anualidad. Se aplica cuando teniendo un saldo se quiere determinar el valor ahorrado periódicamente, o cuando se proyecta tener una suma en determinado tiempo cuál debe ser el ahorro periódico. FÓRMULA: 136

137 A = VF i (1 + i) n 1 EJEMPLO 4.4: Su hermano ahorró una determinada cantidad igual de dinero mensualmente durante 4 meses en una entidad financiera que reconocía el 1% mensual, si al finalizar el 4 mes su saldo es de $ = cuánto es el valor de lo consignado en cada período. FLUJO DE CAJA ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio, se busca determinar el valor consignado en cada período porque se conoce el total ahorrado en los cuatro meses. PREGUNTA La anualidad. UBICACIÓN INCÓGNITA Las consignaciones se hicieron en los períodos uno al cuatro. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VF = $ i (MES) = 1% n = 4 A =? PROCEDIMIENTO El único procedimiento es reemplazar en la fórmula A = ,01 (1+0,001) 4 1 =>$ , 98 RESPUESTA: Su hermano ha consignado mensualmente $ ,98 137

138 APLICACIÓN CON LAS TABLAS FINANCIERAS Como la incógnita es A, entonces para buscar el factor se debe buscar la siguiente nomenclatura (A/F, i %, N). Conociendo el valor futuro se requiere calcular A. Se busca en la tabla donde el interés es del 1%, la columna donde se encuentra (A/F), la fila correspondiente a N = 4, obteniéndose 0, Para obtener el resultado se procede a multiplicar el valor futuro por el factor. A = * 0, => $ ,9 Se obtuvo el mismo resultado de $ ,9. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA Recordemos que el ejercicio modelo se modifica en la tasa de interés para comparar sólo dos formas y mirar cómo se modifica la respuesta al cambiar la tasa. El proceso es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA VF 1,5% IA 4 N PAGO MODE 4 SHIFT AC EXE AC FV 1,5 i% 4 n COMP PMT EXE /- FV 1,5 I/Y 4 N CPT PMT El valor consignado mensualmente es de $ = APLICACIÓN EN EXCEL Se utiliza la función PAGO. 138

139 Al ser la tasa del 1,5% mensual, su hermano ha consignado periódicamente $ = EJERCICIOS DE PRÁCTICA Si su padre requiere para pagar el semestre $ , Cuánto debe ahorrar mensualmente si dentro de seis meses debe efectuar dicho pago. La entidad financiera le paga un interés del 15% anual mes vencido. 139

140 Un empleado cobra sus comisiones de venta semestralmente, si al finalizar el primer semestre recibió $ determine el valor de las comisiones mensuales si la empresa reconoce un interés del 15% semestral. CÁLCULO DEL SALDO La anualidad ha sido el procedimiento de financiación con un alto índice de utilización, de ahí la necesidad de conocer en un momento dado el valor del saldo de la deuda. Para calcular el saldo, sólo se procede a calcular el VP de las cuotas que faltan por cancelar, descontadas por la misma tasa de interés. EJEMPLO 4.5: Su mejor amiga adquirió una motocicleta cuyo precio de contado hace un año era de $ , se la financiaron de la siguiente forma: 20% de cuota inicial y el saldo a 36 cuotas, con un interés del 2,5% mensual. Ella quiere que usted le ayude a calcular el valor de la deuda después de un año de pago cumplido. FLUJO DE CAJA ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio, se busca determinar el valor del saldo después de haber pagado doce cuotas del monto del crédito, pero antes se debe calcular la cuantía de las cuotas. PREGUNTA Se busca determinar la anualidad y el saldo faltando dos años para finalizar el pago del crédito. UBICACIÓN INCÓGNITA Inicialmente es el valor de la cuota y después en el período doce. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VP = $ i (MES) = 2,5% 140

141 n = 36 A =? SALDO12=? PROCEDIMIENTO El procedimiento inicial es reemplazar en la fórmula para calcular la anualidad cuando se conoce el valor presente. Se reemplaza en la fórmula: A = (1 + 0,025) [ ,025 (1 + 0,025) 36] A = $ ,3 La cuota mensual que está pagando su amiga es de $ ,3 Conociendo el monto de la cuota se procede a calcular el valor presente, teniendo en cuenta que faltan por cancelar veinticuatro cuotas. Se reemplaza en la fórmula del cálculo del VP cuando se conoce la anualidad. VP= ,3 [ (1+0,025)24 1 0,025(1+0,025) 24] VP = $ ,27 El valor de la deuda faltando dos años para terminar de pagar el crédito $ ,27. es de CÁLCULO DEL NÚMERO DE CUOTAS Cuando se va a estimar el número de cuotas se hace referencia al número de consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado saldo, o el número de cuotas en que se financia determinado crédito. CON UN VALOR PRESENTE La fórmula para el cálculo de n, sería la siguiente: 141

142 1 LOG [ vp i ] 1 n = a LOG (1 + i) Es indiferente el tipo de logaritmo a utilizar, lo importante es emplear el mismo logaritmo en el numerador como en el denominador. EJEMPLO 4.6: Determine el número de cuotas en que se financió un televisor cuyo valor de contado es de $ = y no exigen cuota inicial, el monto de la cuota mensual es de $ y el interés de financiación es del 3% mensual. FLUJO DE CAJA $ n ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se conoce el valor de contado del electrodoméstico y la cuantía de las cuotas mensuales, se requiere saber el tiempo de financiación. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = A =

143 i = 3% n =? PROCEDIMIENTO Para estos ejercicios el único procedimiento es reemplazar en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 1 LOG [ ] ,03 1 n = LOG (1 + 0,03) n = LOG 1, LOG 1,03 n = 0, , N = 12 RESPUESTA El período de financiación del televisor es de 12 meses. NOTA: No se va a explicar con las tablas, dado que no es muy práctico, porque se debe dar el factor para buscar n. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El proceso es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA VA 3% IA /- PAGO N MODE 4 SHIFT AC EXE AC PV 3 i% PMT COMP n PV /- PMT 3 I/Y CPT N La respuesta es al igual que en la fórmula 12 meses. 143

144 APLICACIÓN EN EXCEL Como la función a determinar es n, en Excel se conoce como NPER, es importante que cualquiera de las variables ya sea el valor presente o la cuota debe digitarse con signo negativo, para el ejemplo se señalará la cuota. Se asignan los diferentes valores, para cada una de las variables, Tasa, Pago, Va, se deja en blanco la de valor futuro. 144

145 El tiempo de financiación es de 12 meses. CON UN VALOR FUTURO Al igual que para el valor presente, se despeja el valor de n, con la fórmula de valor futuro y anualidad. Con fórmula: n = LOG [VF i A + 1] LOG (1 + i) EJEMPLO 4.7: Si usted desea comprar una motocicleta cuyo valor durante este año es de $ =, y mensualmente puede ahorrar $ , para este propósito en cuánto tiempo puede adquirirla, si el interés es del 2% mensual. FLUJO DE CAJA n

146 ANÁLISIS DEL EJERCICIO En este ejercicio se busca calcular en cuanto tiempo la persona puede reunir los recursos necesarios para adquirir la motocicleta. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita está ubicada al final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN: VF = A = i(mes) = 2% n(mes) =? REEMPLAZO EN LA FÓRMULA 0,02 LOG ( n = ) LOG (1 + 0,02) n = LOG 1,2 LOG 1,02 n = 0, , n = 9,2 meses RESPUESTA Se demoraría en tener el dinero requerido para comprar la motocicleta 9,2 meses. 146

147 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA VF 2% IA /- PAGO N MODE 4 SHIFT AC EXE AC FV 3 i% PMT COMP n FV /- PMT 2 I/Y CPT N La incógnita sigue siendo N, pero ahora el valor dado es la cuota y el valor futuro. El número de períodos esperado es 9,2 meses. APLICACIÓN EN EXCEL Al igual que en el ejercicio anterior, la función que permite conocer el número de períodos en la hoja electrónica es NPER, pero aquí se le asigna la cifra al valor futuro y no al valor actual. Al valor actual se le digita cero, y la cuota se digita con valor negativo. 147

148 El resultado obtenido es: para comprar la motocicleta debe esperar 9,2 meses. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Su proyecto para este año es comprar un computador portátil cuyo valor es de $ , y se lo sostienen hasta el 31 de diciembre. Usted cuenta al iniciar el año con $ , y puede ahorrar $ cada mes, si el dinero le renta el 1,2% mes, Usted puede comprar el computador este año? Una entidad de servicio público financia una factura debido a que el suscriptor ante el alto consumo registrado en un período y su situación de iliquidez requiere de financiación. Dado que el valor del recibo es de $ , en cuánto tiempo le deben diferir la deuda si la capacidad de pago máxima es de $ mensuales y como cuota inicial puede pagar $ , la tasa de financiación es del 30% anual mes vencido. CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Para evaluar las opciones de financiación el factor determinante es la tasa de interés de las diferentes opciones, en esta parte se aprenderá a conocer la tasa de interés cuando se conocen el monto de las cuotas, el período de financiación y el valor presente o futuro. 148

149 CUANDO SE TIENE UN VALOR PRESENTE Para estimar la tasa de interés mediante la fórmula no existe una forma directa, dado que es complejo despejar la variable i, por lo tanto se acude al método de interpolación, el cual se explicará con el ejemplo modelo: EJEMPLO 4.8: Se financia un computador, cuyo valor de contado es de $ = en 6 cuotas mensuales de $ , calcular el interés de financiación. Las variables serían las siguientes: FLUJO DE CAJA $ = ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el valor de contado del computador, el número de cuotas financiadas y su cuantía. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = $ A = $ n(mes) = 6 i(mes) =? REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: La fórmula quedaría así: 149

150 = ( (1 + i)6 1 i(1 + i) 6 ) PROCEDIMIENTO: Se empiezan a probar diversas tasas hasta encontrar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $ dé los $ = Cómo encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que estando cerca, su resultado este por encima de los $ = y otra que igualmente estando cerca su resultado este por debajo de los $ =, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto. Se va a iniciar la prueba con el 2%. El resultado es de $ ,18 Como el resultado obtenido es inferior a $ =, se debe bajar la tasa de interés para que suba, dado que a menor tasa de descuento el valor presente es mayor. Se va a experimentar con el 1,8% El resultado obtenido es $ ,86 Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2% ,18 X % ,8% ,86 Con el 2%, se obtiene un valor presente menor a $ , y con el 1,8% un valor superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1,8% y el 2% mensual. La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto: ( Rango Mayor del Interés Rango menor del Interés ) = (Rango Mayor de los Valores Absolutos Rango Menor de los Valores Absolutos ) Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales: 0,02 0, ,86 ( ) = ( ,18 0,02 X , ) 150

151 ( 0, ,68 ) = ( ) 0,02 X 6.730,82 0,002 0,02 X = 2 Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 2 Queda así: 0,002 = 2*(0,02- X) Pasa el dos como denominador de 0,002. = X 0,001 = 0,02 -X Se pasa X a sumar X + 0,001= 0,02 Se despeja X X = 0,02-0,001 X = 0,019 RESPUESTA La tasa de financiación del computador es del 1,9% mensual. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA. Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso es muchísimo más ágil, sólo se le incluyen las variables de la siguiente forma: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA VP /- PAGO 6 N % IA MODE 4 SHIFT AC EXE AC PV PMT 6n COMP i% EXE PV /- PMT 6 N CPT I/Y El resultado obtenido debe ser el 1,9% mensual. APLICACIÓN EN EXCEL La incógnita es el interés, en Excel se trabaja con la función TASA. Una vez en la función tasa se procede a incluir el número de períodos, el pago y el valor actual, uno de estos dos últimas cifras debe ir con signo negativo. 151

152 Se confirma el resultado dado del 1,9% mes. CUANDO SE TIENE UN VALOR FUTURO. Para calcular el interés cuando se conoce el monto de las cuotas y el valor futuro, se utiliza un procedimiento similar, simplemente se cambia la fórmula. VF = A [ (1+i )n 1 ] i 152

153 EJEMPLO 4.9: Si deposito $ mensualmente, y a los seis meses puedo retirar de la cuenta $ , cuál es el valor de la tasa de interés que me reconoce la entidad financiera. FLUJO DE CAJA ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el valor ahorrado, el número de consignaciones y su cuantía. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita, está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VF = A = n = 6 i =? SE REEMPLAZA EN LA FÓRMULA: = [ (1 + i )6 1 ] i PROCEDIMIENTO: Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $ de los $ = 153

154 Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que su resultado esté por encima de los $ = y otra que igualmente su resultado esté por debajo de los $ =, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto. Se va a iniciar la prueba con el 2%. El resultado es de $ Como el resultado obtenido es superior a $ =, se debe bajar la tasa de interés para que disminuya, dado que a menor tasa de descuento el valor futuro es inferior. Se va a experimentar con el 1 % El resultado obtenido es $ ,8 Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2% X % % ,8 Con el 2%, se obtiene un valor futuro mayor a $ , y con el 1 % un monto inferior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1 % y el 2% mensual. Recordando el método de interpolación, relacionando los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto: ( Rango Mayor del Interés Rango menor del Interés Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales: ( 0,02 0,01 0,02 X ) = ( , ) 0,01 0,02 X = , ) = (Rango Mayor de los Valores Absolutos Rango Menor de los Valores Absolutos ) 0,01 0,02 X = 1,989 Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 1,989 Quedando así: 0,01 = 1,989*(0,02- X) Pasa el 1,989 como denominador 154

155 0,01 1,989 = X 0,005 = 0,02 -X Se pasa X a sumar X + 0,005= 0,02 Se despeja X X = 0,02-0,005 X = 0,015 La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1,5% mensual. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA. Para realizar el cálculo con la calculadora financiera el proceso se le incluyen las variables de la siguiente forma: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA VF /- PAGO 6 N % IA MODE 4 SHIFT AC EXE AC PV PMT 6n COMP i% EXE PV /- PMT 6 N CPT I/Y El resultado obtenido debe ser el 1,5% mensual APLICACIÓN EN EXCEL La función que se va a utilizar es la función TASA. 155

156 El interés de financiación es del 1,5% mensual. EJERCICIOS DE PRÁCTICA La matrícula en la universidad tiene un valor de $ , y se la financian en seis cuotas, determine el interés cobrado si cada cuota equivale a $ ,5. Usted piensa salir de vacaciones al finalizar el año, este viaje tiene un costo de $ , determine la rentabilidad de su ahorro si puede lograr el propósito consignando $ mensualmente, durante todo el período. 156

157 4.3. ANUALIDADES ANTICIPADAS VALOR PRESENTE La fórmula para calcular el valor presente de una anualidad anticipada es igual a la vencida pero multiplicándola por (1+ i). En el gráfico del flujo de caja la diferencia radica en el momento del pago. VP A La fórmula quedaría de la siguiente forma: P = A(1 + i) [ (1 + i)n 1 i(1 + i) n ] EJEMPLO 4.10: Determine el valor de un fondo cuyo propósito es el de pagar el arriendo mensual de un local por 4 meses, cuyo costo mensual es de $ , las cuotas son anticipadas y el interés es del 2% mensual. FLUJO DE CAJA VP ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor que se debe disponer arriendo. para cubrir los cuatro meses de PREGUNTA 157

158 La incógnita es el VP UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período cero (0). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = n = 4 i = 2 % VP = PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: P = (1 + 0,02) [ (1+0,02)4 1 0,02(1+0,02) 4] P = ,65 RESPUESTA Para cubrir el canon de arrendamiento en los 4 meses, el fondo debe tener $ ,65 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA H.P.19 B II Para el cálculo del valor presente el proceso es similar, sólo se agrega después del comando CLEAR DATA, el comando 1 PGOS/AÑO: MODO INIC. CASIO FC 200 Recordemos que para las anualidades anticipadas, se debe digitar el comando BGN la cual aparece como segunda función del comando MODE. En la pantalla debe aparecer la palabra BGN. El resultado obtenido es el mismo expuesto anteriormente $ ,65 158

159 APLICACIÓN EN EXCEL El comando para utilizar es el mismo VA, por esto sólo se mostrará el segundo cuadro donde se le asigna 1 a la función tipo. Se confirma el valor del fondo de $ CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CONOCIENDO EL VALOR PRESENTE. Para calcular la cuantía de la cuota, se despeja en la fórmula indicada para el cálculo del valor presente, el valor de A. A = VP (1 + i) [ (1 + i)n 1 i(1 + i) n ] EJEMPLO 4.11: Se compra un electrodoméstico, cuyo precio es de $ , se financia en 6 cuotas mensuales a una tasa del 2,5% mensual, las cuotas son anticipadas, determine el valor de las cuotas. 159

160 $ ANÁLISIS DEL EJERCICIO A =? Se busca determinar el valor de las cuotas, dado que se conoce el precio de contado del electrodoméstico, el tiempo de financiación y la tasa de interés. PREGUNTA La incógnita es A UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el período de la transacción. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = n = 6 i = 2,5% A=? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: RESPUESTA: A = (1 + 0,025) [ (1 + 0,025)6 1 0,025(1 + 0,025) 6] El valor de cada una de las cuotas para adquirir el electrodoméstico es de $ APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente: 160

161 H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC VA 2,5%IA 6N PAGO MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN PV 2,5i% 6n COMP PV EXE /- PV 6N 2,5 I/Y CPT PMT 2 nd BGN 2 nd SET 2 nd QUIT CPT PMT El resultado es de $ APLICACIÓN EN EXCEL Aquí se trabaja con la función pago, la única diferencia cuando la anualidad es vencida, está en la función tipo, por esto sólo se presenta el segundo cuadro. El resultado obtenido al igual que con los otros métodos el valor es de $ EJERCICIOS DE PRÁCTICA Se toma en arriendo un local comercial, dado la imposibilidad de conseguir codeudores se tomó la decisión de cancelar un semestre por anticipado, determine el canon del arriendo mensual si el valor del pago por el semestre fue de $ , la tasa de interés del 2% mes. Usted arrienda un apartamento y estos ingresos los dedica para la financiación del estudio de su hijo, si el apartamento lleva arrendado 18 meses, durante el primer 161

162 año el canon de arrendamiento era de $ y a partir del año aumentó en el 6%, cuánto tiene ahorrado a la fecha, si la entidad financiera reconoce el 2,2% mes. VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA. El valor futuro de una anualidad anticipada difiere con el de la vencida, porque esté en el flujo de caja ya no está sobre la última anualidad sino un período después, e igualmente en la fórmula se le adiciona a la fórmula de anualidad vencida la multiplicación por (1+ i) En este flujo de caja el valor de n es 3, pero el valor futuro de esta anualidad está en el período 3, a pesar de que el último pago se ubica en el período 2, por ser anualidad anticipada. FÓRMULA EJEMPLO 4.12 : F = A [ (1 + i)n 1 ] (1 + i) i Usted arrienda su apartamento en $ mensuales, y consigna su ingreso en una cuenta de ahorros en una entidad financiera que le paga un interés del 1,5% mensual, si su propósito es ahorrar para disfrutar de unas vacaciones dentro de 6 meses, De cuánto dinero puede disponer? ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el monto ahorrado en el mes seis (6), dado que se conoce el valor consignado mensualmente y el número de cuotas. PREGUNTA La incógnita es VF. 162

163 UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el VF la incógnita está en el mes seis (6). ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le asignan los valores a las variables: A = n = 6 i = 1,5% VF =? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de VF. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA F = [ (1 + 0,015)6 1 ] (1 + 0,015) 0,015 VF = ,67 RESPUESTA Para disfrutar de sus vacaciones usted puede disponer de $ ,67 APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC /- PAGO 1,5%IA 4N VF MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN PMT 1,5i% 4n COMP PV EXE /- PMT 6 N 1,5 I/Y CPT FV 2 nd BGN 2 nd SET 2 nd QUIT CPT FV El resultado es de $ ,67 APLICACIÓN EN EXCEL La función que se utiliza es la de VF 163

164 Se confirma el resultado de $ ,67 CÁLCULO DE LA ANUALIDAD CUANDO SE CONOCE EL VALOR FUTURO Para el cálculo de la anualidad sólo se realiza el despeje de la fórmula y el procedimiento es el siguiente: A = VF (1 + i) [ (1 + i)n 1 i ] EJEMPLO 4.13: Se arrendó un apartamento por un año, el dueño del apartamento ahorraba mensualmente el valor del arriendo, si al finalizar el año disponía de $ , determine la cuantía que recibía mensualmente por el arriendo si el interés era del 9% trimestral mes vencido A 164

165 ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el valor consignado mensualmente para que en el mes doce (12), se tengan $ PREGUNTA La incógnita es A. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA La incógnita es el valor de cada una de las consignaciones. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN Se le asignan los valores a las variables: A =? n = 12 i = 3% VF = PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula de cálculo de la anualidad anticipada si se conoce el valor futuro. REEMPLAZO EN LA FÓRMULA A = (1 + 0,03) [ (1 + 0,03)12 1 ] 0,03 A = RESPUESTA El valor del arriendo mensual es de $ CÁLCULO DEL SALDO El cálculo del saldo no es más que determinar el valor presente de las cuotas que faltan por pagar. 165

166 DETERMINACIÓN DEL VALOR DE n Cuando se va a estimar el número de cuotas, al igual que con las vencidas, se hace referencia al número de consignaciones iguales realizadas para alcanzar determinado saldo, o el número de cuotas en que se financia el crédito. TENIENDO UN VALOR PRESENTE La fórmula para el cálculo de n, sería la siguiente: Se despeja el valor de n, basados en la fórmula de cálculo de valor presente cuando la anualidad es anticipada. 1 log [ ] p i 1 a(1 + i) n = log(1 + i) EJEMPLO 4.14: Un crédito de $ se financia con cuotas anticipadas de $ , si el interés es del 2%, cuál es el número de cuotas que se deben cancelar. $ N ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el número de cuotas del crédito, dado que se conoce el monto del préstamo, el valor de cada cuota y la tasa de interés. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP =

167 A = i = 2% n =? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula 1 log [ ] , (1 + 0,02) n = log(1 + 0,02) n = LOG LOG 1.02 RESPUESTA El crédito se financió a 8 meses. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC VA 2%IA /-PAGO N MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN PV 2i% PMT COMP n EXE PV /- PMT 2 I/Y CPT N 2 nd BGN 2 nd SET 2 nd QUIT CPT N El resultado obtenido es de 8 cuotas. APLICACIÓN EN EXCEL La función utilizada es NPER, la diferencia fundamental está en el submenú tipo, se le asigna el valor de 1, por ser anualidades anticipadas. 167

168 El tiempo de financiación es de 8 meses. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Un inversionista del sector inmobiliario dedica el 30% de sus ingresos para la construcción de un nuevo edificio, cuánto tiempo requiere para la terminación de este si el proyecto tiene un valor de $ y a su vez el recibe mensualmente $ La rentabilidad de su dinero es del 30% anual. Un padre de familia decide enviar a estudiar a su hijo a otra ciudad, dada su imposibilidad de viajar permanentemente toma la decisión de abonar anticipadamente la pensión a la institución, si su pago fue de $ , para cuánto tiempo le alcanza, si la matrícula tiene un valor de $ y la mensualidad de $ , el interés es del 9% trimestral. TENIENDO UN VALOR FUTURO CÁLCULO DEL NÚMERO DE PERÍODOS La fórmula para despejar el valor de n es la siguiente: VF i LOG [ A(1 + i) + 1 ] n = LOG (1 + i) 168

169 EJEMPLO 4.15: Cuantas consignaciones mensuales anticipadas de $ = debo efectuar a partir de hoy para poder reunir $ , si la entidad financiera me reconoce un interés mensual del 1,5% n ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el número de cuotas del crédito, dado que se conoce el valor que se quiere ahorrar, la cuantía de cada consignación y la tasa de interés que reconoce la entidad financiera. PREGUNTA La incógnita es n UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Está ubicada en el final del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN A = VF = i = 1,5% n =? PROCEDIMIENTO Se reemplaza en la fórmula n = 17,39 consignaciones. RESPUESTA ,015 LOG [ (1 + 0,015) + 1 ] n = LOG (1 + 0,015) n = 0, , ==> 17,39 169

170 Debería efectuar 17,39 consignaciones de $ , para poder reunir los $ =. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC VF 1,5%IA /-PAGO N MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN FV 1,5i% PMT COMP n EXE /- PAGO FV 1,5 I/Y CPT N 2 nd BGN 2 nd SET 2 nd QUIT CPT N APLICACIÓN EN EXCEL En Excel se aplica la función NPER. El número de consignaciones que debo realizar es de 17,39 170

171 CÁLCULO DE LA TASA DE INTERES Para determinar la tasa de interés se utiliza el procedimiento de prueba y error, y luego la interpolación. Con el siguiente ejemplo se explica la manera: EJEMPLO 4.16: Determinar el interés de financiación de un crédito de $ a 8 meses con cuotas mensuales anticipadas de $ $ ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el monto del crédito, el número de cuotas a pagar y su valor. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN VP = A = n = 8 i =? Se reemplaza en la fórmula: VP = A(1 + i) [ (1 + i)n 1 i(1 + i) n ] 171

172 = (1 + i) [ (1+i)8 1 i(1+i) 8 ] PROCEDIMIENTO: Se empiezan a probar diversas tasas buscando que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $ de los $ = Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que estando cerca, su resultado esté por encima de los $ = y otra que también cerca, por debajo de los $ =, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto. Se va a iniciar la prueba con el 2%. El resultado es de $ ,74 Como el resultado obtenido es inferior a $ =, se debe bajar la tasa de interés para que suba, dado que a menor tasa de descuento el valor presente es mayor. Se va a experimentar con el 1,5% El resultado obtenido es $ ,83 Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2% ,74 X % ,5% ,83 Con el 2%, se obtiene un valor presente menor a $ , y con el 1,5% una cifra superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 1,5% y el 2% mensual. La forma más fácil de recordar siempre el método de interpolación es relacionar los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto: [ RangoMayordeInteres RangoMenordeInteres ] = [RangoMayordelosValoresAbsolutos RangoMenordelosValoresAbsolutos ] 0,02 0, ,83 [ ] = [ ,74 0,02 X , ] [ 0,005 0,02 X ] = [ , ,09 ] 0,05 = 2,5 Pasa el denominador (0,02-X) a multiplicar a 2,5 0,02 X Quedando así: 0,005 = 2,508*(0,02- X) 172

173 Pasa el 2,5 como denominador de 0,005. 0,05 = X 0,002 = 0,02 -X 2,508 Se pasa X a sumar X + 0,001993= 0,02 Se despeja X X = 0,02-0, X = 0,01798 La tasa de financiación del computador es del 1,798% mensual. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC VA 8 N /-PAGO %IA MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN FV 8n PMT COMP i% EXE PV /- PMT 8 N CPT I/Y 2 nd BGN 2 nd SET 2 nd QUIT CPT I/Y La tasa de financiación es 1,798% mes. APLICACIÓN EN EXCEL. 173

174 La tasa de interés es de 1,7989% mes EJEMPLO 4.17: Determine la tasa de interés mensual que paga una entidad financiera si al consignar mensualmente el canon del arriendo de su apartamento de $ =, si al finalizar el 6 mes, el saldo es de $ ANÁLISIS DEL EJERCICIO Se busca determinar el interés de financiación, dado que se conoce el saldo de lo ahorrado crédito, el número de cuotas consignadas y su valor. PREGUNTA La incógnita es i. UBICACIÓN DE LA INCÓGNITA Por ser el interés la incógnita está en el total del flujo de caja. ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN 174

175 VF = A = n = 6 i = REEMPLAZO EN LA FÓRMULA: PROCEDIMIENTO: VP = A [ (1 + i)n 1 ] (1 + i) i = [ (1 + i)6 1 ] (1 + i) i Se empieza a probar diversas tasas para buscar que el resultado de la fórmula con el valor asignado a i, multiplicado con $ dé los $ = Como encontrar la tasa que permita el resultado exacto requiere de bastante tiempo, entonces se busca una tasa que esté cerca, por encima de los $ = y otra que igualmente esté cerca por debajo de los $ =, para que mediante la interpolación se encuentre el valor exacto. Se va a iniciar la prueba con el 2%. El resultado es de $ ,64. Como el resultado obtenido es inferior a $ =, se debe subir la tasa de interés para que suba el valor futuro, dado que a mayor tasa de descuento el valor futuro es superior. Se va a experimentar con el 2.5 % El resultado obtenido es $ ,64 Como el resultado sigue siendo inferior a , se explora con el 3%. El resultado obtenido es de $ ,55 Se procede a interpolar, se plantea de la siguiente forma: 2,5% ,64 X % % ,55 Con el 2,5%, se obtiene un valor futuro menor a $ , y con el 3 % un valor superior, esto quiere decir que la tasa esperada está entre el 2,5 % y el 3% mensual. 175

176 Con el método de interpolación, se relacionan los rangos de ambos lados, tanto los del interés como el valor absoluto: [ RangoMayordeInteres RangoMenordeInteres ] = [RangoMayordelosValoresAbsolutos RangoMenordelosValoresAbsolutos ] Aquí no se trabaja con porcentaje sino con decimales: 0,025 0, ,55 [ ] = [ ,64 0,025 X , ] 0,005 0,025 X = , ,36 0,005 = 5, Pasa el denominador (0,025-X) a multiplicar a 5, ,025 X Quedan así: -0,005 = 5, *(0,025- X) Pasa el 5, como denominador de -0,005. 0,005 5, = X -0, = 0,025 -X Se pasa X a sumar X - 0, = 0,025 Se despeja X X = 0,025+0, X = 0, La tasa de interés que paga la entidad financiera es del 2,5986% mensual. APLICACIÓN CON LA CALCULADORA FINANCIERA. El procedimiento es el siguiente: H.P. 19 B II CASIO FC 200 TEXAS BA II FIN VDT CLEAR DATA 1 PGOS/AÑO. MODO INIC VA 6 N /-PAGO %IA MODE 4 SHIFT AC EXE AC En pantalla BGN PV 6 n PMT COMP i% EXE FV /- PMT 6 N CPT I/Y 2 nd BGN 2 nd SET 2 nd QUIT CPT I/Y La tasa de financiación es 2,59% mes. 176

177 APLICACIÓN EN EXCEL. Se calcula con la función TASA El resultado se aproxima a 2,6% mensual, la tasa de interés reconocida por la entidad financiera. EJERCICIOS DE PRÁCTICA Determine la tasa de interés que gana una institución educativa durante todo el período académico en una entidad financiera, si consigna sus excedentes mensuales de las pensiones por un valor de $ mensuales y al final de año cuenta en su saldo con $ Usted como rector de un colegio organiza un portafolio de inversión con el propósito de comprar un vehículo para el transporte escolar con el dinero que ahorra mensualmente por este mismo concepto. Si durante diez meses, periódicamente aumentó su inversión en $ y logró su propósito a pesar de que el costo del vehículo fue de $ , determine el rendimiento de su dinero. 177

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