LECCION 1ª Curso de Matemáticas Financieras

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1 LECCION 1ª Curso de Matemáticas Financieras Aula Fácil pone en marcha este nuevo curso de matemáticas financieras, dirigido tanto a estudiantes universitarios como a profesionales del sector financiero, que estén interesados en conseguir una base de conocimiento sólida y etensa de esta materia. El curso se ha desarrollado siguiendo la filosofía que caracteriza Aula Fácil, es decir, poniendo especial énfasis en su sencillez, su progresividad y su amenidad. El curso consta de 30 lecciones, acompañadas de numerosos ejercicios, de los que se facilitan su resolución. Esperamos que nuestros alumnos encuentren el curso de interés, ya que estamos convencido de que un seguimiento con dedicación del mismo les va a permitir conseguir un dominio de esta materia. Sin más preámbulo, les invitamos a comenzar ( suerte y ánimo!!!)... Temario Matemáticas Financieras TEMARIO Lección 1 Lección 2 Lección 3 Lección 4 Lección 5 Lección 6 Lección 7 Lección 8 Lección 9 Lección 10 Lección 11 Lección 12 Lección 13 Lección 14 Lección 15 Lección 16 Lección 17 Lección 18 Lección 19 Lección 20 Valor temporal del dinero Capitalización simple (I) Capitalización simple:ejercicios Capitalización compuesta Capitalización compuesta vs capitalización simple Capitalización compuesta: Ejercicios Descuento comercial Descuento comercial: Ejercicios Descuento racional Descuento racional: Ejercicios Descuento compuesto Repaso de los tres tipos de descuento Descuento compuesto: Ejercicios Rentas financieras Renta temporal constante pospagable (I) Renta temporal constante prepagable (II) Renta temporal constante prepagable (I) Renta temporal constante prepagable (II) Renta perpetua constante Renta diferida y anticipada (I)

2 Lección 21 Lección 22 Lección 23 Lección 24 Lección 25 Lección 26 Lección 27 Lección 28 Lección 29 Lección 30 Lección 31 Lección 32 Lección 33 Lección 34 Lección 35 Lección 36 Lección 37 Lección 38 Lección 39 Lección 40 Lección 41 Lección 42 Lección 43 Lección 44 Lección 45 Lección 46 Lección 47 Lección 48 Lección 49 Lección 50 Lección 51 Lección 52 Renta diferida y anticipada (II) Rentas constantes: Ejercicios (I) Rentas variables Rentas con distintos tipos de interés Ejercicios TAE TAE: Ejercicios Descuento bancario de efectos comerciales Descuento bancario y depósito en garantía Descuento por "pronto-pago" Letras del Tesoro Cuenta de crédito Compra-venta de acciones (I) Compra-venta de acciones (II) Préstamos Préstamos con cuotas de amortización constantes (Método francés Préstamos con cuotas de amortización constantes: Ejercicios Présamos con amortización de capital constante Préstamos con amortización de capital constante: Ejercicio Préstamos con amortización única al vencimiento (Método americano simple) Préstamo con periodo de carencia Préstamo con periodo de carencia: Ejercicios Préstamos con distintos tipos de interés (I) Préstamos con distintos tipos de interés (II) Préstamo con distintos tipos de interés Ejercicios Préstamos hipotecarios Préstamos con intereses anticipados Préstamos con intereses anticipados (II) Valoración de préstamos Empréstitos: Introducción Deuda del Estado Deuda del Estado: Ejercicios

3 Lección 53 Lección 54 Lección 55 Lección 56 Lección 57 Lección 58 Lección 59 Lección 60 Lección 61 Lección 62 Lección 63 Lección 64 Lección 65 Lección 66 Empréstitos con amortizaciones parciales de capital Empréstitos sin vencimiento Empréstitos: amortización por sorteo (I) Empréstitos: amortización por sorteo (II) Emprédtitos: cupón cero (I) Empréstitos: cupón cero (II) Obligaciones convertibles Rentabilidad de un empréstito Obligación con bonificación fiscal Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (I) Obligación con bonificación fiscal: Ejercicio (II) Valoración de una inversión (I) Valoración de una inversión (II) Valoración de una inversión (Ejercicio) LECCION 1ª Valor Temporal del Dinero El factor tiempo juega un papel decisivo a la hora de fijar el valor de un capital. No es lo mismo disponer de 1 millón de pesetas hoy que dentro de un año, ya que el dinero se va depreciando como consecuencia de la inflación. Por lo tanto, 1 millón de pesetas en el momento actual será equivalente a 1 millón de pesetas más una cantidad adicional dentro de un año. Esta cantidad adicional es la que compensa la perdida de valor que sufre el dinero durante ese periodo. Hay dos reglas básicas en matemáticas financieras: Ante dos capitales de igual cuantía en distintos momentos, se preferirá aquél que sea más cercano Ante dos capitales en el mismo momento pero de distinto importe, se preferirá aquel de importe más elevado Para poder comparar dos capitales en distintos instantes, hay que hallar el equivalente de los mismos en un mimo momento, y para ello utilizaremos las formulas de matemática financiera. Ejemplo: Qué es preferible disponer de 2 millones de pesetas dentro de 1 año o de 4 millones dentro de 5 años?. Para contestar a esta pregunta hay que calcular equivalentes de ambos importes en un mismo instante. Así, por ejemplo, si aplicando las leyes financiera resulta que el primer importe equivale a 1,5 millones en el momento actual, y el segundo equivale a 1,4 millones, veremos que es preferible elegir la primera opción.

4 Hemos calculado los importes equivalentes en el momento actual, pero podríamos haber elegido cualquier otro instante (dentro de 1 año, dentro de 5 años, etc), y la elección habría sido la misma. Las leyes financieras que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento posterior, se llaman Leyes de Capitalización, mientras que aquellas que nos permiten calcular el equivalente de un capital en un momento anterior, se denominan Leyes de Descuento. Estas leyes financieras nos permite también sumar o restar capitales en distintos momentos. Ejemplo: Si vamos a recibir 1 millón de pesetas dentro de 6 meses y 2 millones dentro de 9 meses, no los podemos sumar directamente, sino que tendremos que hallar sus equivalente en un mismo instante (el momento actual, dentro de 6 meses, 9 meses, etc) y entonces si se podrán sumar. LECCION 2ª La Capitalización Simple La capitalización simple es una formula financiera que permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza eclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para periodos más largos se utiliza la "Capitalización compuesta", que veremos en la siguiente lección. La formula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguientes: I = Co * i * t " I " son los intereses que se generan " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " i " es la tasa de interés que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 5 millones de pesetas a un tipo del 15% durante un plazo de 1 año. I = * 0,15 * 1 I = ptas. Una vez que hemos calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final: Cf = Co + I

5 Cf = Co + ( Co * i * t ) Cf = Co * ( 1 + ( i * T )) " Cf " es el capital final (sustituyendo "I" por su equivalente) (sacando factor común "Co") Ejemplo: Cual era el capital final en el ejemplo anterior? Cf = Co + I Cf = Cf = Hay un aspecto que es importante tener en cuenta: el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal (si el tipo es anual, el plazo debe de ir en año, si el tipo es mensual, el plazo irá en mesas, etc). Como se calcula el tipo de interés equivalente, según distinta unidad de tiempo? Muy fácil, lo vamos a ver con un ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%. Base temporal Calculo Tipo resultante Año 15 / 1 15 % Semestre 15 / 2 7,5 % Cuatrimestre 15 / 3 5 % Trimestre 15 / 4 3,75 % Mes 15 / 12 1,25 % Día 15 / 365 0,041 % El resultado que se habría obtenido en el anterior ejemplo es independiente del tipo de base temporal que se hubiera tomado. Eso sí, si el interés va en base semestral, el plazo irá en semestre, etc. Base temporal Intereses Año * 0,15 * 1 = Semestre * 0,075 * 2 = Cuatrimestre * 0,05 * 3 = Trimestre * 0,0375 * 4 =

6 Mes Día * 0,0125 * 12 = * 0,0041 * 365 = Veamos ahora un ejemplo: Ejemplo: calcular los intereses que producen 1 millón de pesetas al 15% anual durante 3 meses: Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12) Ya puedo aplicar la formula: I = Co * i + t I = * 0,0125 * 3 = Clase 3:Capitalización simple: Ejercicios. Ejercicio 1: Calcular el interés que generan ptas. durante 4 meses a un tipo de interés anual del 10%. Ejercicio 2: Calcular el capital final que tendríamos si invertimos ptas. durante 6 meses al 12%. Ejercicio 3: Recibimos ptas. dentro de 6 meses y ptas. dentro de 9 meses, y ambas cantidades las invertimos a un tipo del 15%. Calcular que importe tendríamos dentro de 1 año. Ejercicio 4: Qué es preferible recibir ptas. dentro de 3 meses, ptas. dentro de 6 meses, o ptas. dentro de 1 año, si estos importe se pueden invertir al 12%? Ejercicio 5: Calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral; b) 3% cuatrimestral; c) 5% trimestral; d) 1,5% mensual. SOLUCIONES Ejercicio 1: Aplicamos la formula del interés: I = C * i * t Como el tiempo está epresado en meses, tenemos que calcular el equivalente en base mensual del 15% anual (cuando se da un tipo de interés y no se indica nada, se sobreentiende que es anual) Luego, i (12) = 10 / 12 = 0,08333 (es el tipo mensual equivalente)

7 Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (4 meses) en base anual (= 0,33 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés. Luego, I = * 0,0083 * 4 Luego, I = ptas. Ejercicio 2: La formula del capital final es: Cf = Co + I (capital inicial más intereses) Tenemos que calcular, por tanto, los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,12 * 0,5 (hemos dejado el tipo de interés en base anual (12%) y hemos epresado el plazo en años (0,5 años)) Luego, I = ptas. Ya podemos calcular el capital final. Luego, Cf = Luego, Cf = ptas. Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y epresamos el plazo en año. El plazo son 6 meses (0,5 años), ya que recibimos el capital dentro de 6 meses y lo tenemos invertido hasta dentro de 1 año) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,25 (el plazo es de 3 meses (0,25 años), ya que recibimos el capital dentro de 9 meses y se invierte hasta dentro de 1 año) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas.

8 Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año Luego, Ct = = ptas. Ejercicio 4: Entre la 1ª y 2ª opción (recibir ptas. dentro de 3 meses o dentro de 6 meses), está claro que es preferible la primera, ya que el importe es más elevado y se recibe antes. Por lo tanto, la 2ª opción queda descartada, y sólo habrá que comparar la 1ª con la 3ª (recibir dentro de 1 año). Como estos importes están situados en momentos distintos, no se pueden comparar directamente, y hay que llevarlos a un mismo instante. Vamos a calcular los importes equivalentes dentro de 1 año (se podría haber elegido otro momento, por ejemplo el momento actual, pero en este caso habría que aplicar la formula de descuento que todavía no hemos visto). 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,75 (el plazo es de 9 meses (0,75 años)) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas. 3er importe: Cf = (no se calculan intereses, ya que el importe ya está situado dentro de 1 año) Por lo tanto, la opción 3ª es más ventajosa. Ejercicio 5: Vamos a calcular los tipos anuales equivalentes: a) 4% semestral: si i(2) = i / 2 (epresamos por "i(2)" el tipo semestral y por "i" el anual) Luego, 4% = i /2 Luego, i = 8% (el tipo anual equivalente es el 8%) b) 3% cuatrimestral: si i(3) = i / 3 (epresamos por "i(3)" el tipo cuatrimestral y por "i" el anual) Luego, 3% = i /3 Luego, i = 9% (el tipo anual equivalente es el 9%) c) 5% trimestral: si i(4) = i / 4 (epresamos por "i(4)" el tipo trimestral y por "i" el anual) Luego, 5% = i /4 Luego, i = 20% (el tipo anual equivalente es el 20%)

9 d) 1,5% mensual: si i(12) = i / 12 (epresamos por "i(12)" el tipo mensual y por "i" el anual) Luego, 1,5% = i / 12 Luego, i = 18% (el tipo anual equivalente es el 18%) Clase 4:Capitalización compuesta. La capitalización compuesta es otra formula financiera que también permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. La diferencia entre la capitalización simple y la compuesta radica en que en la simple sólo genera intereses el capital inicial, mientras que en la compuesta se considera que los intereses que va generando el capital inicial, ellos mismos van generando nuevos intereses. Decíamos que la capitalización simple sólo se utiliza en operaciones a corto plazo (menos de 1 año), mientras que la capitalización compuesta se utiliza tanto en operaciones a corto plazo, como a largo plazo. La formula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente: I = Co * ((( 1 + i) ^ t ) - 1 ) (el símbolo " ^ " significa "elevado a ") " I " son los intereses que se generan " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " i " es la tasa de interés que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Veamos un ejemplo: calcular los intereses que generan 2 millones de pesetas a un tipo del 10% durante un plazo de 1 año. I = * (((1 + 0,1) ^ 1) - 1) I = * (1,1-1) I = ptas. Una vez calculado el importe de los intereses, podemos calcular el importe del capital final: Cf = Co + I (sustituyendo "I" por su Cf = Co + Co * (((1 + i) ^ t) - 1) equivalente) Cf = Co * (( 1 + i) ^ t) (sacando factor común "Co") " Cf " es el capital final Ejemplo: Cual será el capital final en el ejemplo anterior? Cf = Co + I Cf = Cf = ptas. Al igual que vimos al estudiar la capitalización simple, también en la capitalización compuesta es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma base temporal. El calculo de los tipos de interés equivalentes, referidos a distinta base temporal, es diferente al que vimos en la capitalización simple. La formula de cálculo es la siguiente: 1 + i = ( 1 + im ) ^ m (m se refiere a la base temporal que se

10 utiliza) (m = 1, para años) (m = 2, para semestres) (m = 3, para cuatrimestres) (m = 4, para trimestres) (m = 12, para meses) (m = 365, para días) Veamos, por ejemplo, los tipos equivalentes al 15% anual. Base temporal Calculo Tipo equivalente Semestre 1 + 0,15 = (1 + i2) ^ 2 i2 = 7,24 % Cuatrimestre 1 + 0,15 = (1 + i3) ^ 3 i3 = 4,76 % Trimestre 1 + 0,15 = (1 + i4) ^ 4 i4 = 3,56 % Mes 1 + 0,15 = (1 + i12) ^ 12 i12 = 1,17 % Día 1 + 0,15 = (1 + i365) ^ 365 i365 = 0,038 % Clase 5:Capitalización compuesta vs capitalización simple Ambas leyes de capitalización dan resultados diferentes. Vamos a analizar en que medida la aplicación de una u otra ley en el cálculo de los intereses da resultados mayores o menores, y para ello vamos a distinguir tres momentos: a) Periodos inferiores a la unidad de referencia (en nuestro caso el año): en este supuesto, los intereses calculados con la ley de capitalización simple son mayores que los calculados con la ley de capitalización compuesta. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 4 millones de pesetas, durante 3 meses, a un tipo de interés del 12%: a.1.) Capitalización simple I = Co * i * t Luego, I = * 0,12 * 0,25 (hemos puesto tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. a.2.) Capitalización compuesta I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,12) ^ 0,25) - 1) Luego, I = * (1,029-1) Luego, I = ptas. Se comprueba, por tanto, como el interés calculado con la formula de la capitalización simple es superior al calculado con la formula de capitalización compuesta. b) Periodos iguales a un año: en estos casos, ambas formulas dan resultados idénticos. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 2 millones de pesetas, durante 1 año, a un tipo de interés del 15%: a.1.) Capitalización simple I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 1 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas.

11 a.2.) Capitalización compuesta I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,15) ^ 1) - 1) Luego, I = * (1,15-1) Luego, I = ptas. Se comprueba, por tanto, como los intereses calculados con ambas formulas son iguales. c) Periodos superiores a un año: en estos casos, los intereses calculados con la formula de capitalización compuesta son superiores a los calculados con la formula de capitalización simple. Veamos un ejemplo: calcular los intereses devengados por un capital de 5 millones de pesetas, durante 2 años, a un tipo de interés del 10%: a.1.) Capitalización simple I = Co * i * t Luego, I = * 0,10 * 2 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. a.2.) Capitalización compuesta I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,1) ^ 2) - 1) Luego, I = * (1,21-1) Luego, I = ptas. Se puede comprobar, por tanto, como en este caso el interés calculado con la formula de capitalización compuesta es más elevado. No obstante, como ya hemos indicado en lecciones anteriores, la formula de capitalización simple sólo se utiliza con operaciones de corto plazo (menos de 1 año), mientras que la de capitalización compuesta se puede utilizar en el corto y en el largo plazo. Clase 6: Capitalización compuesta: Ejercicios. Ejercicio 1: Calcular el interés de un capital de ptas. invertidos durante un año y medio al 16%, aplicando capitalización simple y capitalización compuesta. Ejercicio 2: Hallar el equivalente del 16% anual en base: a) mensual; b) cuatrimestral; c) semestral. Aplicando la formula de capitalización compuesta. Ejercicio 3: Se recibe un capital de 1 millón de ptas. dentro de 6 meses y otro capital de 0,5 millones ptas. dentro de 9 meses. Ambos se invierten al 12% anual. Que importa se tendrá dentro de 1 año, aplicando capitalización compuesta?. Ejercicio 4: Qué intereses serían mayor, los de un capital de invertidos durante 6 meses al 15% anual, aplicando capitalización simple, o los de un capital de ptas. invertidos durante 8 meses al tipo del 16% en capitalización compuesta? Ejercicio 5: Si un capital de 1 millón de pesetas genera unos intereses durante 6 meses de ptas, qué tipo de interés se estaría aplicando si se estuviera aplicando la capitalización simple?, y la capitalización compuesta?. SOLUCIONES

12 Ejercicio 1: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t Luego, I = * 0,16 * 1,5 Luego, I = ptas. b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,16) ^ 1,5) - 1) Luego, I = * (1,249-1) Luego, I = ptas. Ejercicio 2: Vamos a calcular los tipos equivalentes al 16% anual: a) En base mensual: 1 + i = (1 + i12) ^ 12 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i12) ^ 12 Luego, (1,16) ^ 1/12 = 1 + i12 Luego, 1,0124 = 1 + i12 Luego, i12 = 0,0124 b) En base cuatrimestral: 1 + i = (1 + i3) ^ 3 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i3) ^ 3 Luego, (1,16) ^ 1/3 = 1 + i3 Luego, 1,0507 = 1 + i3 Luego, i3 = 0,0507 c) En base semestral: 1 + i = (1 + i2) ^ 2 (" i" es la tasa anual) Luego, 1 + 0,16 = (1 + i2) ^ 2 Luego, (1,16) ^ 1/2 = 1 + i2 Luego, 1,0770 = 1 + i2 Luego, i2 = 0,0770 Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambos importes dentro de 1 año y sumarlos 1er importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1+0,12) ^ 0,5) - 1) (tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co + I Calculamos los intereses I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1)

13 Luego, I = * (((1+0,12) ^ 0,25) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. Luego, Cf = = ptas. Ya podemos sumar los dos importe que tendremos dentro de 1 año Luego, Ct = = ptas. Ejercicio 4: a) En el 1º caso, aplicamos la fórmula de capitalización simple: I = Co * i * t Luego, I = * 0,15 * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, I = ptas. b) En el 2º caso, aplicamos capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, I = * (((1 + 0,16) ^ 0,66) - 1) ( tipo y plazo en base anual) Luego, I = * (1,249-1) Luego, I = ptas. Luego en la 2ª opción los intereses son mayores. Ejercicio 5: a) Aplicando la formula de capitalización simple: I = Co * i * t Luego, = * i * 0,5 (tipo y plazo en base anual) Luego, i = / Luego, i = 0,3 Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 30% b) Aplicando la formula de capitalización compuesta: I = Co * (((1 + i) ^ t) - 1) Luego, = * (((1 + i) ^ 0,5) - 1) Luego, = * ((1 + i) ^ 0,5) Luego, = * (((1 + i) ^ 0,5) Luego, / = (1 + i) ^ 0,5 Luego, 1,15 = (1 + i) ^ 0,5 Luego, (1,15) ^ 2 = 1 + i Luego, 1,322 = 1 + i Luego, i = 0,322 Por lo tanto, se está aplicando un tipo de interés anual del 32,2% Clase 7: Descuento comercial

14 La operación financiera de descuento es la inversa a la operación de capitalización. Con esta operación se calcula el capital equivalente en un momento anterior de un importe futuro. Mientras que la ley de capitalización calcula unos intereses que se les añade al importe principal, compensando el aplazamiento en el tiempo de su disposición. En las leyes de descuento es justo al contrario: se calculan los intereses que hay que pagar por adelantar la disposición del capital. Dentro de las leyes de descuento, se pueden distinguir tres modelos: Descuento comercial Descuento racional Descuento económico Vamos a empezar con el estudio del descuento comercial. A) DESCUENTO COMERCIAL La ley financiera del descuento comercial, que permite calcular el importe del descuento, es la siguiente: D = Co * d * t " D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento que generan 2 millones de pesetas, descontados a un tipo del 15%, durante un plazo de 1 año. D = * 0,15 * 1 D = ptas. Una vez que conocemos el importe del descuento, se puede calcular el capital final (que equivale al capital inicial menos el importe del descuento): Cf = Co - D (sustituyendo "D" por su Cf = Co - ( Co * d * t ) equivalente) Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) (sacando factor común "Co") " Cf " es el capital final Ejemplo: Cual era el capital final en el ejemplo anterior? Cf = Co - D Cf = Cf = ptas. Al igual que ya hemos visto con las leyes de capitalización, es importante tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben referirse a la misma medida temporal. El tipo de interés equivalente se calcula tal como visto al estudiar la capitalización simple. Recordemos el ejemplo: tipos equivalentes a una tasa anual del 15%.

15 Base temporal Calculo Tipo resultante Año 15 / 1 15 % Semestre 15 / 2 7,5 % Cuatrimestre 15 / 3 5 % Trimestre 15 / 4 3,75 % Mes 15 / 12 1,25 % Día 15 / 365 0,041 % Veamos un ejemplo: calcular los intereses de descuento de un capital de pesetas al 15% anual durante 3 meses: Si utilizo como base temporal meses, tengo que calcular el tipo mensual de descuento equivalente al 15% anual: 1,25% (= 15 / 12) Ya puedo aplicar la formula: D = Co * d + t D = * 0,0125 * 3 = ptas. La ley de descuento comercial, al igual que la de capitalización simple, sólo se utiliza en el corto plazo (operaciones a menos de 1 año). Clase 8:Descuento comercial: Ejercicios. Ejercicio 1: Calcular el descuento por anticipar un capital de ptas. por 7 meses a un tipo de descuento del 12%. Ejercicio 2: Calcular el capital final que quedaría en la operación anterior. Ejercicio 3: Se descuentan ptas. por 6 meses y ptas. por 5 meses, a un tipo de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de las dos operaciones. Ejercicio 4: Qué importe actual es más elevado: el que resulta de descontar ptas. por 6 meses al 12%, o el de descontar ptas. por 9 meses al 15%? Ejercicio 5: Se descuentan ptas. por un plazo de 4 meses, y los interese del descuento son ptas. Calcular el tipo del descuento. SOLUCIONES Ejercicio 1: Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t Como el plazo está epresado en meses, tenemos que calcular el tipo de descuento en base mensual equivalente al 12% anual. Luego, d (12) = 12 / 12 = 1,0 (es el tipo de descuento mensual equivalente) Se podría también haber dejado el tipo anual, y haber puesto el plazo (7

16 meses) en base anual (= 0,583 años). El resultado habría sido el mismo. Comprobar Una vez que tengo el tipo mensual equivalente, aplico la formula del interés. Luego, D = * 0,01 * 7 (un tipo del 1% equivales a 0,01) Luego, D = ptas. Ejercicio 2: La formula del capital final es: Cf = Co - D (capital inicial menos descuento) Luego, Cf = Luego, Cf = ptas. Ejercicio 3: Tenemos que calcular el capital final de ambas operaciones 1er importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t Luego, D = * 0,15 * 0,5 (dejamos el tipo de interés en base anual y epresamos el plazo en año: 6 meses equivale a 0,5 años. Hubiera dado igual dejar el plazo en meses y calcular el tipo de descuento mensual equivalente) Luego, D = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses de descuento D = Co * d * t Luego, D = * 0,15 * 0,4166 (5 meses equivale a 0,4166 años). Luego, D = ptas. Luego, Cf = = ptas. Ya podemos sumar los dos importes Luego, Cf = = ptas. Ejercicio 4: 1er importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses D = Co * d * t Luego, D = * 0,12 * 0,5 Luego, D = ptas. Luego, Cf = = ptas. 2do importe: Cf = Co - D Calculamos los intereses D = Co * d * t Luego, D = * 0,15 * 0,75 Luego, D = ptas.

17 Luego, Cf = = ptas. Por lo tanto, la opción 2ª es mayor. Ejercicio 5: Aplicamos la formula del interés: D = C * d * t Luego, = * d * 0,333 Luego, d = / (ya que = * 0,333) Luego, d = 0,1502 Por lo tanto, hemos aplicado un tipo anual del 15,02% Clase 9: Descuento racional. La ley financiera de descuento racional viene definida de la siguiente manera: D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) " D " son los intereses que hay que pagar " Co " es el capital inicial (en el momento t=0) " d " es la tasa de descuento que se aplica " t " es el tiempo que dura la inversión Una vez que sabemos calcular los intereses de descuento, podemos ver como se determina el capital final: Cf = Co - D Cf = Co - (( Co * d * t ) / (1 + d * t)) Cf = Co * ( 1 - ( d * t ) / (1 + d * t)) Cf = Co * ( ( 1 + d * t - d * t ) / (1 + d * t)) luego, Cf = Co / (1 + d * t) (sustituyendo "D") (sacando factor común "Co") (operando en el paréntesis) " Cf " es el capital final Veamos un ejemplo: Calcular los intereses de descuento por anticipar un capital de ptas., durante 8 meses, a un tipo de interés del 14%. Aplicamos la fórmula D = ( Co * d * t ) / (1 + d * t) luego, D = ( * 0,14 * 0,666 ) / (1 + 0,14 * 0,666) (0,666 es el equivalente anual de 8 meses) luego, D = ptas. Podemos ahora calcular el capital final. Lo vamos a calcular de dos maneras: a) Aplicando la fórmula Cf = Co - D (capital final es igual al capital inicial menos los intereses de descuento):

18 luego, Cf = luego, Cf = ptas. b) Aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t) luego, Cf = / (1 + 0,14 * 0,666) luego, Cf = / 1,09324 luego, Cf = ptas. La ley de descuento racional es el equivalente, en sentido inverso, de la ley de capitalización simple, y, al igual que ésta, sólo se suele utilizar en operaciones a menos de 1 año. Esta relación de equivalencia no se cumple con la ley de descuento comercial. Con el término equivalente nos referimos al hecho de que descontando un capital a un tipo de interés, y capitalizando el capital resultante con el mismo tipo de interés, volvemos al capital de partida. Veamos un ejemplo: Descontar un capital de ptas., por un plazo de 6 meses al 10%, y el importe resultante capitalizarlo (capitalización simple) por el mismo plazo y con el mismo tipo de interés. a) Aplicando el descuento racional; b) Aplicando el descuento comercial. a) Aplicando el descuento racional Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co / (1 + d * t) luego, Cf = / (1 + 0,1 * 0,5) luego, Cf = ptas. Una vez obtenido el capital descontado, lo capitalizo aplicando la fórmula de capitalización simple Cf = Co * (1 + (i * t)) (El capital descontado, ptas, pasa a ser ahora "Co") luego, Cf = * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = ptas. Vemos que se ha cumplido la ley de equivalencia, y que hemos vuelto al capital de partida b) Aplicando el descuento comercial Primero descuento aplicando la fórmula Cf = Co * ( 1 - ( d * t )) luego, Cf = * (1-0,1 * 0,5) luego, Cf = ptas. Ahora capitalizo Cf = Co * (1 + (i * t)) luego, Cf = * (1 + (0,1 * 0,5)) luego, Cf = ptas. No se cumple, por tanto, la relación de equivalencia

19 Como se ha podido ver en el ejemplo, el descuento que se calcula aplicando la ley de descuento racional es menor que el que se calcula aplicando la ley de descuento comercial

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