UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE

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1 UNIVERSIDAD POPULAR DEL CESAR DEPATAMENTO DE MATEMATICA Y ESTADISTICA ALGEBRA DE BOOLE GERMAN ISAAC SOSA MONTENEGRO EJERCICIOS 3. Escriba en notación expandida los siguientes numerales : a) 2375 b) (2) c) (8) d) A53EF (16) e) Convierta cada uno de los números decimales a binarios a) 2342 b) 1286 c) 3245 d) 576 e) Convierta cada uno de los números decimales a octales a) 3286 b) 4376 c) 973 d) 685 e) Convierta cada uno de los números decimales a hexadecimales a) 4373 b) 5528 c) 356 d) 7264 e) 8493

2 7. Convertir cada uno de los números binarios a octales y a hexadecimales. a) b) c) d) e) Convierta cada uno de los números binarios a decimales a) 1110,11 b) 1111 c) 1100,01 d) e) ,1 9. Convertir cada uno de los números octales a decimales a) 3245 b) 576 c) 3242 d) 273,45 e) 576, Convertir cada uno de los números octales a binario y hexadecimal a) 2375 b) 4232 c) 576 d) 352 e) Convertir cada uno de los números hexadecimales en decimal a) A57

3 b) 375 c) 4EF, 375 d) 253 e) 4AB4 12. Convertir cada uno de los números hexadecimales a binarios y octales a) 475 b) 3AB2 c) BC546 d) 2734 e) E5FA 13. Evalúe las siguientes operaciones con binarios a) b) c) d) x 1011 e) / Evalúe las siguientes operaciones con octales : a) b) c) / 23 d) / 52 e) x Evalúe las siguientes operaciones con hexadecimales : a) A b) x 27A c) 3456BCE EA d) 4ABCD x A3B

4 e) 57A43B / 3A 16. Evalúe las siguientes restas ; utilizando los complementos del sustraendo a) (2) (2) b) (8) (8) c) ABC567 (16) - E5F43 (16) d) (8) (8) e) (2) (2) 17. convertir cada uno de los siguientes numerales ; según se indica en el inciso a) 3725 a binario ; octal y hexadecimal b) (2) a decimal, hexadecimal y octal. c) AB54 (16) a decimal, octal y binario. d) 8326 a binario, octal y Hexadecimal. e) (8) a hexadecimal, binario y decimal 18. Realizar las siguientes operaciones a) ( (2) (2) ) (2) b) (3756 (8) x 234 (8) ) (8) c) ( (2) (2) ) (2) d) (A5FB (16) (16) ) + A34F2 (16) e) (53243 (8) x 27 (16) ) (8) 19. Realizar las siguientes operaciones : a) (2753 (8) (2) ) - AF (16). b) (3754 (8) x (2) ) c) ( (2) + AF (16) ) (8) d) (275 (8) + DF (16) ) (10) e) (8) - ( (2) + AB5 (16) ) 20. Realice las siguientes operaciones

5 a) (8) + ABF (16) (2) b) (13061 (8) / 23 (8) ) (2) c) (27354 (8) x 325 (8) ) / 35 (8) d) (AB56 (16) (8) ) e) ( (2) (8) ) - AE (16) CAPITULO 4 ALGEBRA DE BOOLE Y COMPUERTAS LOGICAS 4.1 INTRODUCCION El álgebra de Boole en honor a George Boole (1818( la caracterización de los circuitos lógicos nos permiten utilizar el álgebra de Boole como herramienta para realizar análisis y diseño de sistemas digitales. En este capitulo estudiamos las compuertas lógicas, que son los circuitos mas fundamentales, y observamos como pueden describirse mediante el uso del álgebra booleana. 4.2 DEFINICIONES LOGICAS El álgebra de Boole; como cualquier otro sistema deductivo puede ser definida, por un conjunto de elementos, un conjunto de operadores, un número de axiomas o postulados. Un conjunto de elementos es una colección de elementos bien definidos que tienden una propiedad común. Un operador binario, es una regla que asigna a cada par de elementos de un conjunto dado, un único elemento del mismo conjunto. Por ejemplo: consideremos la relación a b = c decimos que es un operador binario si este especifica una regla para encontrar c de un par (a,b); siendo a,b y c pertenecientes a un mismo conjunto. Los postulados de un sistema matemático forman los supuestos de los cuales se deducen las reglas, teorías y propiedades del mismo. Los postulados más comunes usados para formular varias estructuras algebraicas son:

6 a. Conjunto cerrado b. Ley asociativa c. Ley conmutativa d. Elemento identidad e. Inverso f. Ley distributiva 4.3 DEFINICION AXIOMATICA DEL ALGEBRA DE BOOLE El álgebra de Boole se define como una estructura algebraica definida para un conjunto de elementos B; juntamente los dos operadores binarios (+ y ) una operación binaria denotada, de tal forma que se satisfagan los postulados de Huntington. Los elementos del conjunto B son 0 y 1. Entonces a la séxtupla <B; +,,, 0, 1> se le llama álgebra de Boole; si se cumple los siguientes postulados para elementos X, Y, Z cualquiera en el conjunto B. Postulados de Huntington 1. a: conjunto cerrado con respecto al operador + b: conjunto cerrado con respecto al operador 2. Leyes de identidad a. Un elemento de identidad con respecto s +; designado por el 0; tal que 0+X = X+0=X b. Un elemento de identidad con respecto a =; designado por 1; tal que 1 X = X 1=X 3. Leyes conmutativas a. Conmutativo respecto a +; X + Y = Y + X b. Conmutativo respecto a =; X Y = Y X 4. Leyes distributivas a. es distributivo con respecto a +; tal que: X (Y+A) = X Y + X Z b. + es distributivo con respecto a ; tal que: X + Y Z = (X+Y) (X+Z).

7 5. Ley de complemento Para cada elemento X B (llamado el complemento de X) tal que: a. X + X 1 = 1 b. X X 1 = 0 6. Existe al menos dos elementos X, Y B; tales que X Y A esta altura es importante darse cuenta que para tener un álgebra de Boole se debe demostrar: 1. Los elementos del conjunto B 2. Las reglas de operaciones de los dos operadores binarios y 3. Que el conjunto de elementos de B; juntamente con los dos operadores, satisfaga los seis postulados de Huntington. 4.4 ALGEBRA BOOLEANA BIVALENTE Un álgebra de Boole bivalente se define sobre n conjunto de dos elementos B={0,1}, con reglas para los operadores binarios + y de manera como se muestra en la siguiente tabla. X Y X Y X Y X Y X X' NOTA: Utilizando estas tablas podemos demostrar que los postulados de Huntington son validos para el conjunto B={0,1} y para los dos operadores binarios + Y Sin embargo se define como ejercicios para realizar esto por parte de los estudiantes.

8 El álgebra de Boole bivalente; es llamado por los ingenieros álgebra de conmutación, para darle énfasis a la similitud que hay entre el álgebra de Boole bivalente y otros sistemas binarios, se le ha llamado lógica binaria. CUADRO COMPARATIVO LOGICA MATEMÁTICA ALGEBRA DE BOOLE V (verdad) 1 F (falso) 0 ( ) (disyunción) + ( ) (conjunción) (negación), (equivalencia) = P 1 Q 1 (proposiciones) X, Y, Z P q X 1 + Y 4.5 TEOREMAS BASICOS DEL ALGEBRA DE BOOLE DUALIDAD: Los postulados de Huntington han sido listados en pares y repartidos en parte a y parte b. En este cada una parte puede obtenerse de otra si los operadores binarios y los elementos de identidad se intercambian. En otras palabras el dual de cualquier en enunciado en un álgebra de Boole; es el enunciado obtenido al intercambia los elementos de identidad 0 y 1. Esta se conoce como el principio de dualidad. Por ejemplo el dual de: (1 + X) (Y + 0) es (0 X) + (Y 1) TEOREMAS BASICOS

9 Los teoremas se listan en pares y cada relación es dual con la que esta apareada. Los teoremas deben probarse o demostrarse a partir de los postulados; también puede utilizarse para demostrar estos teoremas. Es de gran importancia que Ustedes; Señores estudiantes se familiaricen tan pronto como puedan en la identificación de los teoremas y además en los postulados para su aplicación. Sean X, Y, Z elementos cualesquiera en un álgebra de Boole ( B) TEOREMA 1. LEYES DE IDEMPOTENCIA 1a. X + X = X 1b. X X = X TEOREMA 2. LEYES DE ACOTAMIENTO 2a. X+1 = 1 2b. X 0 = 0 TEOREMA 3. LEYES DE ABSORCION 3a. X+ XY = X 3b. X (X + Y) = X TEOREMA 4. LEYES ASOCIATIVA 4a X+ (Y + Z) = ( X + Y ) +Z 4b. X (Y Z) = ( X Y ) Z TEOREMA 5. LEY DE INVOLUCION ( X ) = X TEOREMA 6. LEYES DE MORGAN 6a. ( X + Y ) = X Y 6b. ( XY ) = X + y

10 En la siguiente tabla se agrupan los postulados y teorema del álgebra de Boole. Postulado 2 a. X+ 0 = X b. X 1 = X (leyes de identidad ) Postulado 3 a. X + Y = Y + X b. X Y = X X (ley conmutativa ) Postulado 4 a. X ( Y + Z) = X Y + X Z b. X+Y Z = (X + Y) (X + Z) (ley distributiva ) Postulado 5 a. X + X = 1 b. X X = 0 (ley del complemento) Teorema 1 a. X + X = X b. X X = X (ley de independencia) Teorema 2 a. X + 1 = 1 b. X 0 = 0 (ley de acotamiento) Teorema 3 a. X + X Y = X b. X (X + Y) = X (ley de absorción) Teorema 4 a. X + (Y + Z) = (X +Y) + Z b. X (Y Z) = (X Y) Z (ley asociativa) Teorema 5 (X ) = X (ley de Involución) Teorema 6 a. (X + Y) = X Y b. (X Y) = X + Y (ley de Demorgan)

11 Los teoremas del álgebra de Boole pueden demostrarse también por medio de las tablas de verdad. En esas tablas ambos lados de la relación se comprueban para arrojar resultados idénticos para todas las combinaciones posibles de las variables integrantes. Por tanto esta demostración seas analítica o por medio de tablas se dejan como ejecución para el estudiante. PRIORIDAD DEL OPERADOR La prioridad del operador para la evaluación de las expresiones de Boole es 1. el paréntesis (); 2. el complemento ( ); 3. el operador ( ); 4. el operador (+); en otras palabras las expresiones dentro de un paréntesis deben ser evaluadas antes de otras operaciones; la siguiente en orden prioritario es el complemento, luego sigue el producto y finalmente la suma. 4.6 DIAGRAMA DE VENN El diagrama de Venn ; en el álgebra de Boole se utiliza para visualizar la relación entre las variables. Este diagrama consiste en un rectángulo, en el cual se dibujan círculos traslapados para cada una de las variables. Cada círculo es designado para una variable. Se asignan todos los puntos dentro del círculo pero no pertenecientes a la variable. Los diagramas de Venn se usan además para comprobar los postulados y también para demostrar los teoremas. Ahora, para dos variables (X, Y) se dan dos círculos traslapados y generan cuatro áreas distintas dentro del rectángulo.

12 Para tres variables (X, Y, Z) se dan tres círculos traslapados y generan ocho áreas dentro del rectángulo. Así : B X Y XY XY X Y X Y X Y XY Z XYZ' XYZ X YZ XY Z X YZ X Y'Z B Z X Y Z 4.7. FUNCIONES BOOLEANAS Una variable binaria puede tomar el valor 0 ó 1. Una función de Boole es una expresión formada con variables binarias, dos operadores binarios (+, ) ; el operador unario ( ), el paréntesis y el signo igual. Para un valor dado de las variables la función puede ser 0 ó 1. Ejemplo : Si X = 1 ; Y = 0 ; Z = 1, Entonces la función F 1 = XYZ + X Y Z toma el valor de 0

13 Ejemplo de funciones booleanas : F 1 = XY (Z + Y ) F 2 = X + Y (Z + X ) + X F 3 = (X + Y) X + YZ Cualquier función booleana puede ser representado por una tabla de verdad. El número de filas es la tabla 2 n ; donde n es el número de variables binarias de la función. Además, pueden ser representados por los diagramas de Venn. Ejemplo 1 : Representar por medio de un diagrama de Venn y por una tabla las siguientes funciones de Boole. F 1 = XY + Y Z Diagrama de Venn Tabla X Y Z Y' XY Y'Z XY + Y'Z

14 F 2 = X + XY Diagrama de Venn Tabla X Y XY X + XY = 4.8. COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN BOOLEANA El complemento de una función F es F y se obtiene del intercambio de ceros a unos y de unos a ceros en el valor de F. el complemento de una función F ; puede derivarse algebraicamente del teorema de Morgan ; el cual puede extenderse a tres o mas variables. Ejemplo 1 : Hallar el complemento para la siguiente función booleana : F 1 = XY + Y Z Entonces el complemento de F es : F = ( XY + Y Z) = (XY) (Y Z) F = (X + Y ) (Y + Z )

15 EJEMPLO 2 : Hallar el complemento para la siguiente función booleana : F 2 = (X + YZ) (Z + X Y ) Luego, el complemento de F 2 es : F 2 = (X + YZ) (Z + X Y ) = (X + YZ) + (Z + X Y ) = X (YZ) + (Z ) ((X ) + (Y ) ) = X (Y + Z ) + Z (X + Y) Un proceso mas sencillo para derivar el complemento de una función es tomando el dual de una función y complementando cada literal. Ejemplo 3 : Hallar el complemento de la función booleana siguiente : F 3 = XYZ + X YZ + XY Z El dual de la función F 3 es : (X + Y + Z) (X + Y + Z) (X + Y + Z ) Luego, complementando cada literal tenemos : F 3 = (X + Y + Z ) (X + Y + Z ) (X + Y + Z)

16 Ejemplo 4 : Hallar el complemento para la siguiente función booleana : F 4 = XYZ (X Y + Z + XZ) Luego el dual de F 4 es : (X + Y + Z ) + (X + Y ) Z (X + Y) Por lo tanto, complementando cada literal tenemos : F 4 = (X + Y + Z) + (X + Y) Z (X + Y ) 4.9. SIMPLIFICACION DE FUNCIONES BOOLEANAS El número de literales en una función de Boole puede ser minimizado por medio de manipulaciones algebraicas. Desafortunadamente no hay reglas específicas a seguir que garanticen una respuesta final. El único medio posible es : intentar utilizando para ello los postulados : teoremas y cualquier otros métodos de manipulación que se hagan familiar con el uso. Ejemplo 1 : Simplifique las siguientes funciones booleanas : a. F = X + X Y Entonces : F = X + X Y Justificación

17 = (X + X ) (X + Y) Postulado 4.b. = 1(X + Y) Postulado 5.a. = X + Y Postulado 2.b. b. F = (X Y) + X (Y + X) Luego : F = (X Y) + X (Y + X) Justificación = XY + X Y + X X Postulado 4.a. = XY + X Y + 0 Postulado 5.b. = XY + X Y Postulado 2.a. = Y(X + X ) Postulado 4.a. = Y 1 Postulado 5.a. = Y Postulado 2.b. c. F = XY (XY + Y ) Luego : F = XY (XY + Y ) Justificación = (XY ) (XY) + (XY ) Y Postulado 4.a. = (XX) (Y Y) + X(Y Y ) Teorema 4.b. = (XX) 0 + X(Y Y ) Postulado 5.b.

18 = (X) 0 + X(Y ) Teorema 1.b. = 0 + X(Y ) Teorema 2.b. = XY Postulado 2.a FORMA CANONICA Y NORMALIZADA TÉRMINOS MINIMOS Y TÉRMINOS MAXIMOS Una variable canónica puede aparecer en su forma normal (X) o en la forma de complemento (X ). Considérense dos variables X e Y, combinadas con el operador ( ), como cada variable puede aparecer de cualquier forma, habrá cuatro combinaciones posibles : XY, X Y, XY, X Y ; cada uno de estos términos representa una de las diferentes áreas del diagrama de Venn y se llaman términos mínimos (ministerm) de un producto normalizado. De igual forma se pueden cambiar n variables para formar 2n términos mínimos. En cada termino mínimo, si la variable es tildada ; entonces corresponde al número binario 0 ; y si no está tildada a 1. De manera similar, las n variables formando términos con el operando (+), con cada variable tildada o no tildada, darán 2 n combinaciones posibles llamadas términos máximos (max terms) de la suma normalizada. Cada término máximo es el complemento de su correspondiente término mínimo y viceversa. A continuación presentamos los términos máximos y mínimos para tres variables X, Y y Z.

19 Términos mínimos Términos máximos X Y Z Término Designación Término Designación X'Y'Z' m 0 X + Y + Z M X'Y'Z m 1 X + Y + Z' M X'YZ' m 2 X + Y' + Z M X'YZ m 3 X + Y' + Z' M XY'Z' m 4 X' + Y + Z M XY'Z m 5 X' + Y + Z' M XYZ' m 6 X' + Y' + Z M XYZ m 7 X' + Y' + Z' M 7 Una función de Boole puede ser expresada algebraicamente en función de una suma de términos mínimos o un producto de términos máximos. Ejemplo : 1. Sea la función F entonces : Si F = XYZ + X Y Z + XYZ Esta función la podemos expresar como una suma de términos mínimos así : F = m 6 + m 1 + m 7 Si F = (X + Y + Z ) (X + Y + Z) (X + Y + Z ) Esta función la podemos expresar como un producto de términos Máximos así : F = M 1 M 6 M 5 EJERCICIOS

20 1. Expresar la función de Boole F = X + YZ como una suma de términos mínimos. Entonces : F = X + YZ F = X 1 + YZ 1 F = X(Y + Y ) + YZ(X + X ) F = XY +X Y + YZX +YZX F = XY 1 + XY 1 + XYZ + X YZ F = XY(Z + Z ) + XY (Z + Z )+ XYZ + X YZ F = XYZ + XYZ + XY Z + XY Z + XYZ + X YZ F = XYZ + XYZ + XY Z + XY Z + X YZ F = m 7 + m 6 + m 5 + m 4 + m 3 2. Expresar la función de Boole F = X + YZ como un producto de términos máximos. Entonces : F = X + YZ F = (X + Y) (X + Z) F = (X + Y + 0 ) (X + Z + 0) F = (X + Y + ZZ ) (X + Z + YY ) F = (X + Y + Z) (X + Y + Z ) (X + Z + Y) (X + Z + Y ) F = (X + Y + Z) (X + Y + Z ) (X + Y + Z) Luego : F = M 0 M 1 M 2 3. Expresar la función de Boole F = X como una suma de términos mínimos.

21 Entonces : F = X F = X 1 F = X (Y + Y ) F = XY + XY F = (XY) 1 + (XY ) 1 F = XY(Z + Z ) + XY (Z + Z ) F = XYZ + XYZ + XY Z + XY Z Luego F = m 7 + m 6 + m 5 + m 4 4. Expresar la función de Boole F = X como un producto de términos máximos. Entonces : F = X F = X + 0 F = X + YY F = (X + Y) (X + Y ) F = (X + Y + 0) (X + Y + 0) F = (X + Y + ZZ ) (X + Y + ZZ ) F = (X + Y + Z) (X + Y + Z ) (X + Y + Z) (X + Y + Z ) Luego : F = M 0 M 1 M 2 M 3

22 4.11. COMPUERTAS LÓGICAS Una función de Boole puede ser transformada de una expresión algebraica a un diagrama lógico compuesto de compuestas AND ; OR y NOT. Los diagramas lógicos incluyen un circuito inversor para cada variable presente en su forma de complemento. Hay una compuerta AND para cada término de la expresión y una compuerta OR para combinar 2 o mas términos. Para encontrar circuitos mas sencillos, se debe conocer como manipular las funciones de Boole. El álgebra de Boole consta de dos operadores binarios ( ) AND ; + (OR) y el operador unario ( ). A. COMPUERTA OR

23 En un circuito digital la Compuerta OR es un circuito que tiene dos o mas entradas y cuya salida es igual a la suma OR de las entradas. Tabla de Verdad y símbolo para una compuerta OR de dos entradas. X Y X + Y Los aspectos importantes que deben recordarse en relación a la operación OR y la compuerta son: 1. La operación OR produce un resultado de 1 cuando cualquier de las variables de entrada es La operación OR produce un resultado de 0 solamente cuando todas las variables de entrada son En la adición OR ; = 1 ; = 1, etc. B. COMPUERTA AND La salida de la compuerta AND es igual al producto AND de las entradas lógicas. La tabla de verdad y símbolo para una compuerta AND de dos entradas.

24 X Y X. Y Es importante recordar : 1. La operación AND se ejecuta exactamente en la misma forma que la multiplicación ordinaria de 1 y Una salida igual a 1 ; ocurre solo en el único caso donde todas las entradas son La salida es cero en cualquier caso donde una o más entradas son ceros. Nota : las compuertas OR y AND se aplican indistintamente para 2 o más entradas. C. COMPUERTA NOT La operación NOT difiere a las variables OR y AND en que esta puede efectuarse con una sola variable de entrada. La operación Not, se conoce asimismo como inversión o complementación.

25 El circuito NOT (Inverso) siempre tiene solo una entrada y su nivel lógico de salida siempre es contrario al nivel lógico de entrada. Tabla Circuito NOT X F = X' La presencia del pequeño círculo siempre denota inversión. Cualquier circuito lógico, sin importar que complejo sea, puede describirse completamente mediante el uso de las operaciones descritas anteriormente, ya que el circuito de las compuertas OR ; NOT y AND son los elementos básicos. Siempre que un inversor se encuentre presente en un diagrama de circuitos lógicos, su expresión de salida es simplemente igual a la expresión tildada. EJERCICIOS Dibuje el círculo lógico que corresponde a cada función booleana. : 1. F = X + Y X Y F = X + Y 2. F = X YZ (X + W)

26 X Y F Z W 3. F = XY + Y Z X F Y Z Nota : la función o compuertas lógicas NAND es el complemento de la función AND ; consiste en un símbolo gráfico AND seguido de un pequeño círculo. Las compuertas NAND y NOR se usan mucho como compuertas lógicas normalizadas y de hecho son mas populares que las compuertas AND y OR. Compuerta Nand X Y F = (X. Y) Compuerta NOR X Y F = (X + Y)

27 EJERCICIOS Represente en un diagrama de Venn las siguientes expresiones booleanas. F =X Y + XYZ F = X (Y + Z) F = XY Z + XY F = (X + YZ) (Y + XZ) F = XY ( Z + X) Determine el dual para cada función booleana : F = (X + Y) (Y + Z) F = XYZ (XY + Z) F = Y Z + XYZ + X Y Z F = (X + Y) (Y + Z) ( Z + X) F = (X + Y) (Z + Y) + X (X + Y + Z ) Hallar el complemento para cada una de las funciones booleanas : F = (XY + Z) (Y + Z) F = (Z + Y) (X + Y ) (Z + Y ) F = XYZ + X YZ + XY Z F = (XYZ + W) (X + WYZ) F = X + (Y + Z ) (X + ZW) + Z Simplifique cada una de las funciones booleanas, justificando cada paso de su reducción : F = XW + (XY + Y ) X F = XW (XY + X Y + X Y + XY ) F = W + XY + XW + W + X F = (X + Y) (X + Z) + X F = Y + XYZW + ZW F = X (X + Y) (Y + X ) F = (X + Y ) Z + (XY) F = [(XW) + Y (X + W ) F = XY (Z + W) + YZ F = (X + Y) (X + Y ) Reduzca las siguientes funciones de Boole, al número de literales solicitados al frente de cada una de ellas. F = XYZ + X Y Z + X YZ + XYZ + X Y Z (5 LITERALES) F = YZ + YZ + XY + YZW (4 LITERALES) F = (ZW ) + X + X + ZW + XY (3 LITERALES) Obtenga la tabla de verdad para las siguientes funciones : F = XYZ + Y Z F = (X + Y ) (X + Z ) F = (X + Y) X + (YZ) F = XYZ + XY Z + X YZ F = XYZ + XYZ + XYZ Exprese las siguientes funciones de Boole como una suma de términos mínimos. F = YZ F=Y + XZ F = (X + Y) Z F = Z

28 F = X + Y Z Exprese las siguientes funciones de Boole como un producto de términos máximos : F = X + Y F = XY + Z F = (XY + Z) (Y + XZ ) F = Z + (X + Y ) Construya el circuito lógico para cada una de las siguientes funciones de Boole : F = (X + Y) (XY + Z ) F = XYZ + X Y Z + XYZ F = XY (X + Y Z) F = (X + Y + ZW) (X + Y ) F = XYZ + (XY + Z) GERMAN ISAAC SOSA MONTENEGRO DIC 02 DE 2011

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