Tema 1: Sistemas de numeración

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1 1 Tema 1: Sistemas de numeración Felipe Machado Norberto Malpica Susana Borromeo Joaquín Vaquero López, 2013

2 2 01 Digital vs. Analógico Índice 02 Sistemas de numeración 03 Códigos binarios 04 Aritmética Binaria Sistemas de numeración

3 3 Digital vs. Analógico

4 4 Digital vs. Analógico Analógico Sensores y transductores que transforman la señal real en una señal eléctrica Micrófono Altavoz Sonido Sonido Circuito analógico Ampli La señal analógica es similar a la señal real V El valor de la tensión indica la magnitud de la señal original en cada instante. Señal continua t V Los circuitos analógicos operan con señales semejantes t

5 5 Digital vs. Analógico Digital Sonido Los circuitos digitales operan con señales consistentes en ceros y unos Sonido V t Convertidor analógico digital Circuito digital Convertidor digital analógico V Ampli t

6 Z 6 Digital vs. Analógico V Conversión a digital r Resolución: incremento mínimo de la medida Cada cierto tiempo (T) mido cuanto vale la tensión Digital Analógico T X Periodo de muestreo t Digital: Discontinua en tiempo Digital: Discontinua en amplitud

7 7 Sistemas de numeración Sistema de numeración: conjunto de reglas y signos para representar los números. Un sistema de representación numérica es un sistema consistente en: un conjunto ordenado de símbolos (dígitos o cifras). un conjunto de reglas bien definidas para las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división, etc. Números: secuencia de dígitos que pueden tener parte entera y parte fraccionaria, ambas separadas por una coma. (N) r = [(parte entera), (parte fraccionaria)] r Base (r): nº en que se fundamenta el sistema de numeración. Especifica el nº de dígitos o cardinal de dicho conjunto ordenado.

8 8 Sistemas de numeración Sistema posicional : cada dígito tiene un valor distinto dependiendo de su posición. Así, un número N en base r se representa de la siguiente manera: (N) r = (a p-1 a p-2... a 1 a 0, a -1 a a -q ) r ó N r = a p-1 a p-2... a 1 a 0, a -1 a a -q r ó N = a p-1 a p-2... a 1 a 0, a -1 a a -q si se sobreentiende que está en base r Donde: a i son los dígitos, p es el número de dígitos enteros, q es el número de dígitos fraccionarios, a p-1 es el dígito más significativo, a -q es el dígito menos significativo. Al ser N un número en base r, sus dígitos deben situarse entre 0 y r-1, es decir: 0 ai r 1, i con -q i p 1

9 9 Sistemas de numeración Cada dígito del número es más significativo que el que se encuentra a su derecha, siendo el valor del número la suma acumulada de los productos de cada dígito por su peso: N p-1 i q a i r i Ejemplo: (N) r (1283) (a p-1 a (a n a a 2 a 0,a a a a 8 a q 0 0 ) r 3, a -i 0)

10 10 Sistemas de numeración r=10 DECIMAL 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 r=2 BINARIO 0,1 BIT r=8 OCTAL 0,1,2,3,4,5,6,7 r=16 HEXADECIMAL 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F

11 11 Sistemas de numeración Equivalencias entre los 17 primeros números de los sistemas decimal, binario, octal y hexadecimal: Decimal Binario Octal Hexadecimal A B C D E F 10

12 12 Sistemas de numeración. Conversión Convertir de cualquier base a base 10: Se evalúa directamente la expresión (1101,01) , (14) Convertir de base 10 a cualquier base (s): La parte entera se convierte mediante divisiones sucesivas entre (s) r La parte fraccionaria se convierte mediante productos sucesivos por (s) r Bases de partida y de llegada son una potencia de la otra: (s = r k ó r = s k ) Binario a octal: se agrupan los dígitos binarios en grupos de tres Binario a hexadecimal: se agrupan los dígitos binarios en grupos de cuatro Octal a binario: Cada dígito octal se sustituye por su equivalente binario Hexadecimal a binario: Cada dígito hexadecimal se sustituye por su equivalente binario

13 13 Sistema de numeración. Ejemplos: Convertir parte entera de base 10 a cualquier base (s) Ejemplo: convertir el número (19) 10 a binario. LSB a 0 a 1 a a a 4 (19) 10 = (10011) 2 Ejemplo: convertir el número (127) 10 a hexadecimal. LSB a a 1 a 2 (127) 10 = (07(15)) 16=(07F) 16 MSB

14 14 Sistema de numeración. Ejemplos: Convertir parte fraccionaria de base 10 a cualquier base (s) Ejemplo: (0,1285) 10 a base 4. MSB LSB a -1 a -2 a -3 a -4 a -5 a , , , , , , , (0,1285) 10 = (0, ) 4 Ejemplo: (0,3) 10 a binario. 0,3 2 MSB LSB a -1 a -2 a -3 a -4 a -5 a -6 a -7 a -8 a ,6 2 0,2 2 0,4 2 0,8 2 0,6 2 0,2 2 0,4 2 0,8 2 0, (0,3) 10 = (0, ) 2

15 15 Sistema de numeración. Ejemplos: Bases de partida y de llegada son una potencia de la otra Binario a Octal: ( ,11101) 2 = ( , ) 2 = (151,72) 8 = ( 1 5 1, 7 2) 8 Binario a Hexadecimal: ( ,10101) 2 = ( , ) 2 = (7B,A8) 16 Octal a binario: = ( 7 B, A 8 ) 16 (17,4) 8 = ( 1 7, 4 ) 8 ( , 100 ) 2 = (001111,100) 2 Hexadecimal a binario: (69,E) 16 = ( 6 9, E ) 16 ( , 1110 ) 2 = ( ,111) 2

16 16 Códigos binarios Números positivos Binario natural Números negativos Bit de signo + magnitud Complemento a 1 Complemento a 2 S MMMMMMM MSB LSB Números reales Estándares IEEE (IEEE 754)

17 17 Códigos binarios. Coma fija Sistemas de representación en coma fija: Sistema de representación sin signo: binario puro Sistemas de representación con signo: Magnitud y signo (signo-magnitud o módulo y signo) Complemento a la base (en binario: complemento a 2) Complemento restringido a la base (en binario: complemento a 1) Exceso a M (representación sesgada)

18 18 Códigos binarios. Binario puro 1. Definición: divisiones y productos sucesivos 2. Conversión a base 10 A n-1 i 0 a i 2 i 3. Representación de números Sólo nº positivos 4. Rango: [0, 2 n -1] 5. Cambio de signo: representación de nº sin signo 6. Extensión de signo: representación de nº sin signo

19 19 Códigos binarios. Signo y magnitud 1. Definición: bit de signo y la magnitud del número. 2. Conversión a base 10 A (1 2 a 3. Representación de números nº positivos: nº negativos: n-2 i n-1) ai 2 i 0 0 MMMMMMM 1 MMMMMMM S MMMMMMM 4. Rango: [-(2 n-1-1), 2 n-1-1]. Ambigüedad en el cero: Cambio de signo: cambiar el bit de signo 6. Extensión de signo: se desplaza a la izquierda el bit de signo, y los huecos nuevos se rellenan con bits a 0.

20 20 Códigos binarios. Complemento a 2 1. Definición: C 2 (N) = 2 n - N Si n = 4, C 2 (1010) = = 0110 Si n = 5, C 2 (10100) = = Cálculo del C 2 se procede de derecha a izquierda de la siguiente manera: Copiar todos los bits de N hasta el primer 1 inclusive. El resto de los bits se obtienen cambiando 1s por 0s y 0s por 1s. 2. Conversión a base 10: Se asignan los pesos a cada bit teniendo en cuenta que el MSB tiene un valor negativo -2 n-1. A 2 n-1 a n-1 n-2 i 0 a 2 i i A C2 = C2, A = 1x x x x2 4 = B C2 = C2, B = 1x x x x2 6-1x2 7 =

21 21 Códigos binarios. Complemento a 2 3. Representación de números nº positivos: Igual que en magnitud y signo nº negativos: C 2 (N). Complemento a la base del número positivo N. Ejemplo: representar A = con n = 8 bits A C2 = A MS = C2 Ejemplo: representar B = con n = 8 bits Primero lo representamos en positivo: -B C2 = C2 Ahora calculamos el complemento: B C2 = C2(-B C2 ) = C2 También podemos calcularlo directamente y después pasarlo a binario: B C2 = = = 203 = C2 0 MMMMMMM

22 22 Códigos binarios. Complemento a 2 4. Rango: [-2 n-1, 2 n-1-1] Ejemplo: Para un número en base 2 (r=2) representado con 4 bits (n=4), el rango es -2 3 x x = = = = 8 5. Cambio de signo: se lleva a cabo mediante la complementación. Ejemplo: cambiar de signo el número A C2 = C2, n = 8, -A C2 = C2(A C2 ) = C2 Ejemplo: cambiar de signo el número B C2 = C2, n = 8, -B C2 = C2(B C2 ) = C2

23 23 Códigos binarios. Complemento a 2 6. Extensión de signo: se replica el bit de signo hacia la izquierda. Ejemplo: extender X = C2 de 6 a 8 bits Extender X = C2 de 6 a 8 bits

24 24 Códigos binarios. Complemento a 1 1. Definición: C 1 (N) = 2 n N Si n = 4, C 1 (1010) = = = 0101 Cálculo del C 1 : complementar todos los bits del número, es decir, a cambiar 1s por 0s y 0s por 1s. El cálculo del C 1 se puede considerar un paso intermedio para el cálculo del C 2. Así, para obtener el C 2 de un número podemos realizar estos dos pasos: a) Calcular el C 1 b) Sumar un 1 al dígito menos significativo 2. Conversión a base 10: Se asignan los pesos a cada bit, teniendo en cuenta que el MSB tiene un valor negativo -2 n-1. Si el resultado en decimal es negativo, se le suma +1 al valor decimal. n 2 a ( 1) ( ai an 1 i 0 A n 1 ) 2 i

25 25 Códigos binarios. Complemento a 1 3. Representación de números nº positivos: Igual que en magnitud y signo 0 MMMMMMM nº negativos: C 1 (N). Complemento restringido a la base del número positivo N. 4. Rango: [ (2 n-1-1), 2 n-1-1] Ambigüedad en el cero: Cambio de signo: se lleva a cabo mediante la complementación 6. Extensión de signo: se replica el bit de signo hacia la izquierda.

26 26 Códigos binarios. Exceso a M 1. Definición: Un número A se representa en exceso a M igual que se representaría el número A+M en binario puro. M es el sesgo (exceso, bias) de la representación. M suele valer 2 n-1 ó 2 n-1-1. Ejemplos: Representar A = 3 utilizando n = 4, y M = 2 3 = 8 A = 3 10 = (3+8) E. a 8, base 10 = 11 E. a 8, base 10 = 1011 E. a 8, base 2 Representar B = -4 utilizando n = 4 y M = 2 3 = 8 B = = (-4+8) E. a 8, base 10 = 4 E. a 8, base 10 = 0100 E. a 8, base 2 Representar C = 53 utilizando n = 8, y M = 2 7-1= 127 C = = (53+127) E. a 127, base 10 = 180 E. a 127, base 10 = E. a 127, base

27 27 Códigos binarios. Exceso a M 2. Conversión a base 10: Para calcular el valor de un número representado en exceso a M, se procede como si estuviéramos en un número en binario puro y después se resta M al resultado. 3. Representación de números: A se representa en exceso a M igual que se representaría el número A+M en binario puro. 4. Rango: [-M, 2 n -1-M] n-1 A ai i 0 5. Cambio de signo: no evidente 2 6. Extensión de signo: no se suele hacer, ya que implica un cambio en el valor del exceso. i M

28 28 Coma fija: Tabla comparativa Equivalencia entre la representación binario en magnitud y signo, complemento a 2, complemento a 1 y exceso a 2 n-1 construidas para una representación de enteros con n=4:

29 29 Coma fija: Tabla comparativa Binario Puro Magnitud-Signo C2 C1 Exceso M (*) M=2 n-1 Definición Divisiones sucesivas S Magnitud C 2 N=2 n -N De dcha a izqda: copiar hasta el primer 1 y luego 1s por 0s y 0s por 1s C 1 N=2 n -N-1 1s por 0s y 0s por 1s N ExcesoM = N+M bp Nº Positivos 0 Magnitud 0 Magnitud 0 Magnitud N ExcesoM = N+M bp Nº Negativos Sin signo 1 Magnitud C 2 N C 1 N N ExcesoM = N+M bp Rango [0, 2 n -1] [-(2 n-1-1), 2 n-1-1] [-2 n-1, 2 n-1-1] [-(2 n-1-1), 2 n-1-1] [-M, 2 n -1-M] [-2 n-1, 2 n-1-1] (*) Cambio de Signo Sin signo Cambiar bit de signo C 2 N C 1 N No evidente Conversión a base 10 n 1 i A a i 2 i 0 n 2 i A (1 2a n 1) a i 2 i 0 n 2 n 1 i A a n 1 2 ai 2 i 0 n 2 a i A ( 1) n 1 ( ai an 1) 2 i 0 n i A 1 ai 2 M i 0 Extensión del signo Sin signo Se copian los bits de signo y magnitud y los que faltan ceros Se replica el bit de signo Se replica el bit de signo Representaciones con nº de dígitos tienen sesgos 0 Único: Único: Único: 1000

30 30 Coma fija: Problemas

31 31 Coma fija: Problemas

32 32 Coma fija: Problemas

33 33 Coma fija: Problemas

34 34 Coma fija: Problemas

35 35 Código BCD (Binary Code Decimal) Es la codificación decimal más sencilla y representa a los diez dígitos decimales asignándoles el código binario de su representación binaria pura con 4 bits. Con esa representación un número decimal se evalúa mediante la expresión: b b b b = b b b b 0 1 Por esta razón al código BCD se le conoce también como código Equivalencia entre dígitos decimales y código BCD : Decimal BCD Es importante no confundir la representación de un dígito decimal en BCD con un número binario, ya que son representaciones distintas. Ejemplo: En BCD, el número decimal de dos dígitos 56 se escribe (5) y (6), es decir , mientras que en binario puro se escribe como

36 36 Códigos progresivos: Código Gray Un código es progresivo si entre dos códigos cualesquiera hay una diferencia de un solo bit. Si el primer y último código son progresivos, se dice que el código es, además cíclico.

37 37 Código ASCII American Standard Code for Information Interchange binary pattern hexadecimal A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI DLE DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US SP! " # $ % & ' ( ) * +, -. / : ; < = A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ ` a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z { } ~ DEL

38 38 Aritmética Binaria (en base 2) Estudiaremos las reglas básicas de la aritmética según los distintos sistemas de representación numérica en coma fija estudiados: Binario puro Magnitud y signo Complemento a 2 Complemento a 1 Exceso a M BCD

39 39 Aritmética Binaria SUMA RESTA = = = = 0 1 Acarreo 0-0 = = = = 0 0 Acarreo

40 40 Aritmética Binaria Suma binaria B SUMA BINARIA (+) A Resta binaria acarreo B RESTA BINARIA (-) A acarreos acarreos minuendo sustraendo diferencia

41 41 Aritmética Binaria Producto binario PRODUCTO BINARIO ( ) B A multiplicando multiplicador Productos parciales resultado = 72

42 42 Aritmética Binaria División binaria La división binaria se puede realizar igual que la decimal. En el caso de la binaria es más sencillo porque se simplifica la elección de cada dígito del cociente ya que sólo pueden ser 0 ó 1. Si el dividendo parcial es mayor o igual que el divisor, el siguiente dígito del cociente es 1, si no es dividendo resto divisor cociente

43 43 Aritmética Binaria Multiplicación y división de un número N por una potencia de la base r (r m ): p q N a r... a r a r... a r N p-1 m n-1 m 0 m -1 m r an-1 r... a0 r a-1 r... 0 La coma aparece a la derecha del dígito a i que cumple i+m = 0 i = -m, es decir detrás del dígito que originalmente era a -m -1 -q a -p r -p m si m > 0 (multiplicación) se desplaza la coma p lugares a la derecha. si m < 0 (división) se desplaza la coma p lugares a la izquierda. Ejemplo: ( ,111) = ( ,0) 2 ( ,111) = (110, ) 2 (10,53) = (105300,0) 10

44 44 Aritmética Binaria en binario puro Sus reglas son las de la aritmética binaria ya estudiada, con la limitación del tamaño de los operandos (n = p+q). Desbordamiento: puede darse al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Suma: el resultado puede tener n+1 bits (acarreo superior C = 1) acarreo DESBORDAMIENTO POSITIVO Resta: el resultado puede ser negativo (acarreo superior C = 1) acarreo Producto: al multiplicar números de n bits el resultado puede necesitar hasta 2 n bits ( puede salirse de rango!). División: hay desbordamiento si el divisor es 0. DESBORDAMIENTO NEGATIVO: sustraendo mayor que minuendo

45 45 Aritmética Binaria en Signo y Magnitud Es preciso tratar por separado signos y magnitudes. Suma de R=A+B: casos posibles Signo(A) = Signo(B): Signo (R) = signo(a) = signo(b) R = A + B Signo (A) Signo(B): Resta: A-B = A + (-B) signo(r) = signo (mayor( A, B ) R =(mayor( A, B ) - (menor( A, B ) Por tanto, al sumar o restar con módulo y signo se debe hacer lo siguiente: 1. Observar los signos y decidir qué operación se va a realizar. 2. Ordenar los módulos si hay que restar. 3. Operar con los módulos y detectar el posible desbordamiento. 4. Colocar el signo al resultado.

46 46 Aritmética Binaria en Signo y Magnitud Producto: 1. Se separan el signo y el módulo del multiplicando y del multiplicador. 2. Se multiplican los módulos (da un resultado de hasta 2 n -2 bits). 3. Si los signos del multiplicando y el multiplicador son iguales, el resultado es positivo, y si no es negativo. División: 1. Se separan el signo y el módulo del dividendo y del divisor. 2. Se dividen los módulos. 3. Si los signos del dividendo y divisor son iguales, el cociente es positivo, y si no es negativo. 4. El signo del resto será siempre igual que el del dividendo. Desbordamiento: se detecta al operar con los módulos.

47 47 Aritmética Binaria en Complemento a 2 El bit de acarreo superior siempre se desprecia, se realiza la suma directamente con las reglas de la aritmética binaria Ejemplo: A = 4, B = 2 Ejemplo : A = 6, B = Se desprecia el bit de acarreo Ejemplo : A = 4, B = -6 Ejemplo : A = -2, B = Se desprecia el bit de acarreo

48 48 Aritmética Binaria en Complemento a 2 Resta en complemento a 2: A-B = A + C 2 (B) Ejemplo: A = 6 10 = 0110 C2, B = 4 10 = 0100 C2, A-B = 2 10, n = 4 Primero: complementar el sustraendo B C2 = C2(B C2 ) = 1100 C2 Segundo: sumar A+(-B) 0110 El acarreo superior se desprecia, y el resultado es positivo Ejemplo: A = = 1001 C2, B = = 1101 C2, A-B = -4 10, n = 4 Primero: complementar el sustraendo -B C2 = C2(B C2 ) = 0011 C2 Segundo: sumar A+(-B)

49 49 Aritmética Binaria en Complemento a 2 En sumas y restas en complemento a 2, el bit de acarreo superior siempre se desprecia, y el resultado obtenido siempre es correcto (salvo que se produzca desbordamiento). Desbordamiento en sumas y restas: se detecta porque el resultado presenta un signo erróneo. Puede producirse desbordamiento al sumar dos números de igual signo o al restar dos números de distinto signo. Nunca puede haber desbordamiento al sumar números de distinto signo o al restar números de igual signo. El posible acarreo superior resultante en una suma o una resta no indica desbordamiento. También puede producirse desbordamiento en productos y divisiones.

50 Aritmética Binaria en Complemento a 2 50 Ejemplos de sumas con desbordamiento A = 6 10 = 0110 C2, B = 3 10 = 0011 C2, A+B = 9 10, n = 4, q = !! La suma de dos números positivos no puede producir un número negativo: V = 1 A = = 1101 C2, B = = 1001 C2, A+B = , n = 4, q = !! La suma de dos números negativos no puede producir un número positivo: V = 1 El acarreo superior se desprecia, y el resultado es positivo

51 51 Aritmética Binaria en Complemento a 2 Aunque hay algoritmos para multiplicar y dividir directamente números en complemento a 2, no se estudian aquí. Para multiplicar y para dividir se hace lo siguiente: Se pasan los operandos a positivos. Se opera en binario puro. Si el análisis de los signos de los operandos revela que el resultado (o el cociente o el resto) debe ser negativo, se complementa a 2 el dato obtenido y se añade el bit de signo (un 1)

52 52 Aritmética Binaria en Complemento a 1 De forma análoga a la aritmética estudiada para la representación en complemento a 2, se puede estudiar la aritmética para la representación en complemento a 1. El acarreo superior siempre se desprecia. Si en sumas o restas el bit de acarreo superior vale 1, es preciso sumar 1 al resultado.

53 53 Aritmética Binaria en BCD La suma de dos dígitos representados en BCD proporciona un dígito correcto representado en BCD, a no ser que: El dígito resultante sea mayor que 9. Se produzca un acarreo superior. Corrección: sumar 6 al dígito resultante y dar un acarreo superior a la siguiente pareja de dígitos BCD. Ejemplos: Incorrecto BCD Incorrecto BCD Correcto BCD Resta en BCD es una suma haciendo el complemento a 10 del sustraendo. Correcto BCD

54 54 Fundamentos de Sistemas Digitales. T.H.Floyd. Prentice-Hall, 7ª Edición Sistemas Digitales y Tecnología de Computadores. J. García Zubía. Paraninfo 2007 Problemas resueltos de electrónica digital. J. García Zubía. Paraninfo 2003 Digital Design. Principles & Practices. J.F Wakerly. Prentice Hall. Third Edition updated. Electronics: A system Approach. Fourth Edition. Neil Storey. Prentice Hall. Introducción al diseño lógico digital. J.P. HAYES, Addison-Wesley B BIBLIOGRAFÍA

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