INSTITUTO TECNOLOGICO DE ORIZABA Matemáticas Discretas

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1 2011 INSTITUTO TECNOLOGICO DE ORIZABA INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES Elvia Osorio Barradas 16/08/2011

2 INTRODUCCION Hoy en día es aceptado que las matemáticas es una creación de la mente humana y es a partir de aquí que se deduce que el aprendizaje de las matemáticas consiste en auténticos procesos de descubrimiento por parte del alumno. Es en este contexto donde tiene su interpretación la frase, tan repetida, de que las matemáticas no se aprenden sino que se hacen. La enseñanza de las matemáticas aspira a que los estudiantes consigan elaborar técnicas generales para actuar ante situaciones de problemas, así como desarrollar estrategias mentales de tipo lógico que les permitan aproximarse a campos amplios del pensamiento y de la vida y no sólo a parcelas del cálculo como simples ejercicios, o a la aplicación de fórmulas para casos particulares. Otro hecho que ha modificado la orientación de las matemáticas es el desarrollo acelerado de la informática y de la tecnología. Los mini-ordenadores que tienen un funcionamiento asequible a los alumnos, exigen la previa clarificación de los problemas en la mente del utilizador, su descomposición en otros problemas más simples el análisis y ordenación de los datos, la construcción de lenguajes simbólicos; lo que, a su vez, obliga a realizar análisis, a sistematizar el raciocinio, a definir con claridad, etc. Actividades y cuestiones todas cuyo perfeccionamiento entra como objetivo en la enseñanza de las matemáticas y que el propio ordenador ayuda a entrenar. La matemática discreta surge como una disciplina que unifica diversas áreas tradicionales de las Matemáticas (combinatoria, probabilidad, geometría de polígonos, aritmética, grafos), como consecuencia, su interés en la informática y las telecomunicaciones: la información se manipula y almacena en los ordenadores en forma discreta (palabras formadas por ceros y unos), se necesita contar objetos (unidades de memorias, unidades de tiempo), se precisa estudiar relaciones entre conjuntos finitos (búsquedas en bases de datos), es necesario analizar procesos que incluyan un número finito de pasos (algoritmos). La matemática discreta proporciona, por otro lado, algunas bases matemáticas para otros aspectos de la informática: estructuras de datos, algorítmica, bases de datos, teoría de autómatas, sistemas operativos, investigación operativa,... así como ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos conceptos. Este libro está dividido en seis unidades, la primer unidad se refiere a las conversiones en los diferentes sistemas numéricos (Decimal, Binario, Octal y Hexadecimal) y operaciones aritméticas. La segunda unidad es lógica proposicional; un sistema formal diseñado para analizar ciertos tipos de argumentos, proposiciones y las conectivas lógicas son operaciones sobre dichas fórmulas, capaces de formar otras fórmulas de mayor complejidad. Como otros sistemas lógicos, la lógica proposicional intenta esclarecer nuestra comprensión de la noción de consecuencia lógica para el rango de argumentos que analiza. 2

3 La tercera unidad es el Álgebra de Booleana. En informática y matemática, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO y Si (AND,OR,NOT,IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. El álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. En la cuarta unidad se estudia la teoría de conjuntos que es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos. Los conjuntos son colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas, y son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática. En la quinta unidad se analizan las relaciones binarias, relaciones de equivalencia, conjunto cociente. Relaciones de orden, conjuntos ordenados, elementos especiales de un conjunto ordenado. Diagrama de Hasse. Hoy en día es aceptado que las matemáticas es una creación de la mente humana y es a partir de aquí que se deduce que el aprendizaje de las matemáticas consiste en auténticos procesos de descubrimiento por parte del alumno. Es en este contexto donde tiene su interpretación la frase, tan repetida, de que las matemáticas no se aprenden sino que se hacen. La enseñanza de las matemáticas aspira a que los estudiantes consigan elaborar técnicas generales para actuar ante situaciones de problemas, así como desarrollar estrategias mentales de tipo lógico que les permitan aproximarse a campos amplios del pensamiento y de la vida y no sólo a parcelas del cálculo como simples ejercicios, o a la aplicación de fórmulas para casos particulares. Otro hecho que ha modificado la orientación de las matemáticas es el desarrollo acelerado de la informática y de la tecnología. Los mini-ordenadores que tienen un funcionamiento asequible a los alumnos, exigen la previa clarificación de los problemas en la mente del utilizador, su descomposición en otros problemas más simples el análisis y ordenación de los datos, la construcción de lenguajes simbólicos; lo que, a su vez, obliga a realizar análisis, a sistematizar el raciocinio, a definir con claridad, etc. Actividades y cuestiones todas cuyo perfeccionamiento entra como objetivo en la enseñanza de las matemáticas y que el propio ordenador ayuda a entrenar. La sexta unidad, la teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) estudia las propiedades de los grafos. 3

4 UNIDAD SISTEMAS DE NUMERACIÓN SISTEMA DECIMAL Definición. El sistema decimal es el sistema de numeración posicional con base b=10, con 10 dígitos de notados por los símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 Los valores de la parte entera de un numero decimal son las potencias de diez, 10 0 = = = =1000. Y la parte fraccionaria son la potencias negativas de diez 10-1 =1/ =1/ =1/1000. Ejemplo: El número se puede expresar como sigue: =4* * * * * *10-3 A esto se le llama notación expandida. SISTEMA BINARIO Es un sistema de numeración posicional con base igual a 2, esto, por tener dos números denotados: 0 y 1, que de forma abreviada se denominan bits. Los valores de posición de la parte entera de un número binario son las potencias de dos, y la parte fraccionaria son la potencias negativas de dos,

5 Ejemplo: El número se puede expresar como así: =1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 +1*2-1 +0*2-2 +1*2-3 SISTEMA OCTAL Este sistema numérico tiene como base al número 8, los números que le representan son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, y 7; y representa la serie de conjuntos derivados del sistema binario (correspondiente en potencia 3) y básicamente son equivalentes. El sistema octal se utiliza para la representación de los bits. Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es (en binario), lo agruparíamos como De modo que el número decimal 74 en octal es 112. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría por qué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus). Podría tener el significado de número nuevo. La numeración octal es tan buena como la binaria y la hexadecimal para operar con fracciones, puesto que el único factor primo para sus bases es 2. 5

6 Fraccion Octal Resultado en octal 1/2 1/2 0,4 1/3 1/3 1/4 1/4 0,2 1/5 1/5 1/6 1/6 1/7 1/7 1/8 1/10 0,1 0, periódico 0, periódico 0, periódico 0, periódico 1/9 1/11 0, periódico 1/10 1/12 0, periódico SISTEMA HEXADECIMAL Este sistema numérico tiene como base al número 16 y a la vez emplea números sustituidos por letras, siendo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, y F. Su utilización, al igual que en el sistema octal, se efectúa sobre la codificación de bits. El sistema hexadecimal un sistema de numeración vinculado a la informática, ya que los ordenadores interpretan los lenguajes de programación en bytes, que están compuestos de ocho dígitos. A medida de que los ordenadores y los programas aumentan su capacidad de procesamiento, funcionan con múltiplos de ocho, como 16 o 32. Por este motivo, el sistema hexadecimal, de 16 dígitos, es un estándar en la informática. Como nuestro sistema de numeración sólo dispone de diez dígitos, debemos incluir seis letras para completar el sistema. 6

7 Estas letras y su valor en decimal son: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. El sistema hexadecimal es posicional y por ello el valor numérico asociado a cada signo depende de su posición en el número, y es proporcional a las diferentes potencias de la base del sistema que en este caso es CONVERSIONES NUMERICAS CONVERSIÓN DE DECIMAL A BINARIO. Para convertir de un decimal a binario, éste número se divide entre dos hasta que el cociente nos de cero; el residuo es el número binario, tomándolo de derecha a izquierda (en el sentido de la flecha). EJEMPLOS:

8 También podemos hacerlo de esta manera, en donde el último número es el primero, siguiendo la dirección de la flecha = =

9 Ejemplo. Como parte fraccionaria es: * * * * CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL Cada número binario ocupa una posición, siempre en potencia de dos, cuándo nosotros convertimos de decimal a binario dividimos entre dos, para convertir de binario a decimal multiplicamos, es decir: 2 0 = = = = = = = = = = =1024 9

10 Ejemplo: = = = Trasformar a su equivalente decimal Valores de posición Números binarios CONVERSIÓN DE DECIMAL A OCTAL Para convertir de decimal a octal se divide el número entre 8 hasta que el cociente sea cero, en donde el último residuo es el primer número y el primero es el último, 10

11 por ejemplo: Por lo tanto = CONVERSIÓN DE OCTAL A BINARIO El sistema octal ocupa tres posiciones, 4, 2, 1, sumados es igual a 7; si queremos convertir el 365 octal a binario por lo tanto = Otro ejemplo: = Nota: Los ceros se omiten, los unos se suman CONVERSIÓN DE BINARIO A OCTAL Para convertir un binario a octal de igual manera, se consideran las tres posiciones como se muestra en el siguiente ejemplo:. 11

12 = TABLA DE OCTALES

13 En esta tabla los números que están en el extremo izquierdo y derecho de color rojo son decimales, los demás números son octales, por ejemplo el 8 decimal que está al extremo superior izquierdo es equivalente al 10 octal; el quince decimal que se encuentra en el extremo superior derecho es equivalente al 17 octal. CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL El sistema hexadecimal va del 0 al 9 y del 10 al 15 se representan por medio de letras es decir que el 10 está representado por la A, el 11 por la B y así sucesivamente hasta llegar al 15. Para convertir de un número decimal a hexadecimal éste se divide entre 16 Por ejemplo: El 15 es igual a F entonces como en el caso de los binarios y los octales en los hexadecimales también los residuos de la división son el resultado, el último es el primero y el primero es el último quedando el resultado de la siguiente manera: = 2F = 6CF 16 3D8 16 =

14 CONVERSIÓN DE HEXADECIMAL A BINARIO Al hexadecimal le corresponden cuatro posiciones 8, 4, 2, 1, que sumados es igual a 15. Ejemplo: 79F16 = = = F = CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL Ejemplo: = AEB A E B 14

15 Tabla De Hexadecimales A B C D E F A 1B 1C 1D 1E 1F A 2B 2C 2D 2E 2F A 3B 3C 3D 3E 3F A 4B 4C 4D 4E 4F A 5B 5C 5D 5E 5F A 6B 6C 6D 6E 6F A 7B 7C 7D 7E 7F A 8B 8C 8D 8E 8F A 9B 9C 9D 9E 9F A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 AA AB AC AD AE AF B0 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 BA BB BC BD BE BF C0 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 CA CB CC CD CE CF D0 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 DA DB DC DD DE DF E0 E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 EA EB EC ED EE EF F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 FA FB FC FD FE FF

16 Esta es una tabla única, es decir, que con ella se podrán hacer todas las operaciones aritméticas, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones; en los extremos izquierdo y derecho se encuentran los decimales, por ejemplo el número 240 decimal es igual F0 hexadecimal, 241 decimal es igual F1 hexadecimal, el 255 decimal es igual FF hexadecimal, se colocan los decimales de esta manera para facilitar el recorrido de los números ya sea de izquierda a derecha o viceversa. 1.3 OPERACIONES BÁSICAS ARITMETICAS SUMA BINARIA = = = = 0 acarreo 1 Ejemplo de suma binaria:

17 Resta binaria El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas básicas 0-0, 1-0 y 1-1 son evidentes: Tabla para la resta 0-0 = = = = 1 (se transforma en 10-1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2-1 = 1) La resta 0-1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0-1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2-1 = Tabla para la multiplicación 0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1 17

18 * 1001 *1110 * DIVISIÓN BINARIA La división en binario es similar a la división en decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario COMPLEMENTO DE LA RESTA BINARIA Existen dos tipos de complementos, el complemento a la base menos uno y el complemento a la base. En el sistema decimal se llama respectivamente complementos a nueves y complementos a dieses y en el sistema binario se llama complementos a unos y complementos a doces respectivamente. Los complementos se pueden usar para reducir la resta a una adición. 18

19 COMPLEMENTOS DECIMALES El complemento a nueves de un número decimal A se obtiene restando cada digito A de 9, y el complemento a dieses de A es su complemento a nueves más uno. Ejemplo: Dado A= 1408, su complemento a nueves es 8591 y el complemento a dieses es 8592, es decir: 9999-A= =8591 ( ) +1=8591+1=8592 Sean A y B dos enteros decimales con cuatro dígitos, suponiendo que A es menor que B, la diferencia Y = B-A se puede escribir como: Y=B-A+( )=B+[(9999-A)+1] COMPLEMENTO BINARIOS El complemento a unos de un número binario A se obtiene restando cada digito A de 1, y el complemento a doses de A es su complemento a unos más 1. Ejemplo: El número binario A = 10011, su complemento a unos es y el complemento a doces es La resta binaria se realiza sumando el complemento a unos más uno o sumando el complemento a doses. 19

20 Ejemplo: 1. evaluar la resta Y=B-A, siendo A= y B= a) El complemento a unos de A es se suma esto a B y se le suma 1: B Complementos a unos de A Y b) E l complemento a doces de A es estos se le suma a B: B Complementos a doses de A Al quitar el 1 que da la diferencia Y. 2. Realizar la resta Y=B-A, siendo A= y B= El complemento a doses de A es se suma esto a B: B Complemento a doses de A Z Se debe observar que no hay un 1 en el octavo lugar, Z no es la resta Y. La razón de esto es porque A es mayor que B. para obtener Y se debe restar , es decir el negativo del complemento a doses de Z, por lo que la resta Y es

21 RESTA DE OCTALES Para restar octales usaremos la tabla 1. para el siguiente ejemplo, al pedir 1 al 4 éste queda convertido en 11 octal,, si se observa en la tabla el nueve decimal es igual a 11 octal, entonces 9 menos 5 es igual a 4 y llevamos 1 quedando el cuatro convertido en 13 su equivalente es 11, menos 6 es igual 5 y así sucesivamente hasta terminar MULTIPLICACIÓN DE OCTALES. Recordemos que el sistema octal va del cero al 7, por lo tanto no puede existir un número ocho, tenemos que usar la tabla 1 para poder hacer la multiplicación y luego la suma. Dos por uno es dos, dos por tres es igual 6, estos dos primeros números no rebasan el sistema, pero 2 por 4 si, por consiguiente se busca su equivalente que es el 10, entonces es cero y llevamos 1, 2 por 6 es igual 12 más 1 que llevamos 13 su equivalente es 15 y así las dos cifras siguientes y proceder a hacer la suma *372 8 *

22 RESTA DE HEXADECIMALES El 13 hexadecimal es igual a 19 decimal, entonces 19 menos 13 (que es a lo que equivale D igual a 6 y llevamos 1, el 4 queda disminuido en una unidad, nuevamente 13 es igual a 19 menos 12 igual 7, el 8 menos 1, pasa a ser 17 hexadecimal que equivale a 23 menos 11 (B = 11) igual C que equivale a 12, el cinco queda convertido en 4 menos 2 igual a B46A - 2BCD 16-9FD5 16 2C MULTIPLICACIÓN DE HEXADECIMALES AF35 A574 *6D816 *A9B 579A8 71BFC 8E5B1 5D114 41B3E AF13B8 6DAB5 ALGORITMO DE BOOTH (LA MULTIPLICACION BINARIA) El algoritmo de booth es un algoritmo que sirve para multiplicar (y dividir) números binarios con signo de manera rápida y sencilla en complemento a dos. 22

23 Aqui explico de manera detallada el funcionamiento de ese algoritmo y muestro una implementación del mismo para micro controladores PIC. La manera en que se representan los números binarios negativos es mediante su complemento a dos. El complemento a uno consiste en invertir el valor de cada bit, esto es que si se tiene el número 5 binario b su complemento a uno sería b Una vez teniendo el complemento a 1 para obtener el complemento a dos simplemente se le debe sumar un 1, asi que se tiene b de modo que el complemento a dos del número 5 binario es b Ese es un dato muy importante ya que de ese modo se representan los números binarios negativos y el complemento a dos es parte del algoritmo de multiplicación de Booth. También es importante explicar que utilizando números de 8 bits el número mayor que se puede representar en complemento a dos es 127 y -127 que en binario son b y b respectivamente. En ensamblador MPASM la manera de obtener el complemento a dos de un número es: comf NUM,f incf NUM,w movwf NUMC2 Donde NUM es el registro en el que se encuentra el número que se quiere pasar a complemento a dos y NUMC2 es el registro donde se guarda el complemento a dos del número. Hasta ahí todo bien, ahora pasemos al algorítmo. Supongamos que queremos multiplicar dos números de 8 bits, digamos que queremos multiplicar 5*(-6) donde 5 es el multiplicando y -6 es el multiplicador, con esos datos se forman 3 arreglos distintos de la siguiente manera: 23

24 A= S= P= El byte superior de A está formado por el multiplicando, el siguiente byte se forma con ceros y se agrega un bit extra que también es 0. El byte superior de S está formado por el complemento a dos del multiplicando, el siguiente byte al igual que el caso anterior se forma con ceros y al final se agrega un bit extra que es 0. El byte superior de P está formado por ceros, el siguiente byte es el valor del multiplicador y por último se tiene el bit extra. Se puede observar que los tres números formados son de 17 bits cuando los números que se van a multiplicar son de 8 de modo que los números formados siempre serán de N+1 bits, siendo N el número de bits de los factores. Sigamos entonces. Este algoritmo consiste en comparar los últimos dos dígitos del número P y dependiendo del caso que sea realizar un suma o no realizar ninguna acción. Luego de evaluar cada caso se debe realizar un corrimiento a la derecha, manteniendo el valor del bit más significativo y desechando el valor del bit menos significativo. Los cuatro casos que se tienen se pueden ver en la siguiente tabla: 0 0 -> No realizar ninguna acción 0 1 -> P = P + A 1 0 -> P = P + S 1 1 -> No realizar ninguna acción 24

25 Veamos el algoritmo paso a paso usando los números A, S y P de arriba. Primero tenemos el número P original: [0 0] P Se comparan los últimos dos dígitos [0 0] con los cuatro casos posibles y se ve que no se debe realizar ninguna acción por lo que en la primer iteración simplemente se realiza un corrimiento a la derecha: [1 0] -> Ahora los últimos dos dígitos [1 0] indican que se debe realizar la suma P=P+S y después el corrimiento a la derecha: [1 0] P=P+S [0 1] -> Después del corrimiento los últimos dos dígitos son [0 1] por lo que se debe realizar la suma P=P+A y después el corrimiento a la derecha: [0 1] P=P+A [1 0] -> Ahora los últimos dos dígitos son [1 0], se realiza la suma P=P+S y después el corrimiento a la derecha: [1 0] P=P+S [1 1] -> Los últimos dos dígitos [1 1] al igual que cuando fueron [0 0] indican que solo se debe realizar el corrimiento a la derecha: 25

26 [1 1] -> De nuevo se tiene [1 1] por lo que se realiza únicamente el corrimiento y en lo sucesivo se tendrá siempre el mismo caso: [1 1] -> [1 1] -> [1] -> Después de 8 iteraciones termina el algoritmo, se desecha el bit menos significativo (el bit extra) y se obtiene el producto de la multiplicación: 5*(-6) = = -30 Cabe mencionar que el numero de iteraciones que realiza el algoritmo es igual N, que es el numero de bits de los factores y el resultado final es igual a 2N, en este caso se multiplican factores de 8 bits por lo que el resultado final es de 16. Esta es la manera en la que funciona el algoritmo. Solamente hay que tener en cuenta que al realizar los corrimientos a la derecha se debe mantener siempre el bit más significativo, esto es que si se tiene 1101 y se realiza el corrimiento el resultado será 1110 y no Implementación del algoritmo de Booth en MPASM Aplicando los pasos que acabo de explicar realice una implementación del algoritmo de Booth para la multiplicación en MPASM para realizar multiplicaciones de números signados de 8 bits en micro controladores PIC 16F. El algoritmo implementado sigue los mismos pasos descritos, compara los últimos dos dígitos del factor P y realiza alguna de las acciones posibles para después llevar a cabo el corrimiento. Como mencione en un principio el algoritmo solo 26

27 puede multiplicar números que van del -127 al 127 y el resultado lo da a través de los registros RESULTADOH: RESULTADOL. Para poder utilizar esta rutina (multibooth) se deben declarar los registros A1, A2, A3, S1, S2, S3, P1, P2, P3, MULTIPLICANDO, MULTIPLICADOR, RESULTADOH, RESULTADOL y CONT. En los registros RESULTADOH :RESULTADOL se muestra el valor positivo del resultado y si este fuera negativo se activa la bandera SIGNO (bit 0 del registro A3) para indicar que se trata de un numero negativo. Una vez explicado el algoritmo creo que no hay necesidad de explicar la implementación de la rutina aunque si así fuera siempre están los comentarios para exponer y aclarar las dudas. 1.5 ALGORITMO DE LA DIVISION BINARIA Divisores Binarios. La operación de división es algo más compleja que la multiplicación, pero también se realiza en la mayoría de computadores mediante un circuito sumador/restador y algún algoritmo adecuado. Dado dos operandos, el dividendo D y el divisor d, el objetivo de la división es calcular el cociente Q y el resto R tal que: D = d *Q + R Con la condición de que el resto sea menor que el divisor, es decir 0Rd. Los circuitos que realizan la multiplicación y la división son análogos, pues el producto se puede realizar por sumas sucesivas y el cociente se puede realizar mediante restas sucesivas. Vamos a ver primero el método de lápiz y papel para los números binarios positivos. Para ello seguiremos el siguiente algoritmo: 27

28 1. Examinar los bits del dividendo de izquierda a derecha hasta encontrar una cadena mayor que el divisor. 2. Se coloca un 1 en el cociente y se procede a restar el divisor al dividendo. 3. Ahora empieza unas acciones cíclicas: al resto se le añade una cifra del dividendo, si no es mayor que el divisor se añade un 0 al cociente y se baja otra cifra; así hasta que el nuevo resto sea mayor que el divisor y entonces se añade un 1 al cociente y se procede a restar el divisor del resto actual. 4. Este proceso se repite hasta que se acaban todos los bits del dividendo. Ejemplo: D = 39 = d = 6 = no resta Cociente resto parcial resta resto parcial resta resto parcial

29 1 1 0 no resta Resto Cociente = 6 = Resto = 3 = 1 1 El algoritmo de la división se basa en prueba y error. Al igual que con los números en decimal, la división binaria busca el número que multiplicado por el divisor nos da el mayor número que se puede restar al dividendo sin que nos dé un valor negativo. En la división binaria los valores a probar son siempre o el uno o el cero, primero probamos con el uno esto nos hará restar al dividendo el divisor, eligiendo los bits adecuados, si la resta es negativa en vez de un uno cambiamos por un cero y bajamos una nueva cifra, si el resultado fue positivo dejamos el valor de la resta al cual se le añade una nueva cifra del dividendo y seguimos con la operación. Pero a la hora de realizar un circuito digital que realice la división es mejor cambiar un poco el método y en vez de desplazar el divisor a la derecha, desplazaremos el resto parcial a la izquierda ( en la práctica es como multiplicarlo por 2) y operamos con el divisor fijo. Veamos como realizaríamos la anterior división con esta variante al método propuesto. Ejemplo: D = 39 = d = 6 =

30 no resta Cociente R *R resta R *R resta R *R no resta Resto Cociente = 6 = Resto = 3 = 1 1 El problema es que el último resto parcial Rn no contiene exactamente el resto, pues el valor verdadero se calcula como: R = Rn * 2-n 30

31 Está claro que es más difícil de automatizar la división debido al proceso de ensayo. Las tareas a realizar por el circuito son: acomodar metódicamente el divisor con relación al dividendo y realizar una sustracción, en complemento a dos. Si el resultado es cero o positivo, se pone el bit cociente como 1, el resultado de la resta se amplía con otro dígito del dividendo y el divisor se acomoda para otra sustracción. Esta técnica se realiza utilizando una estructura de registro similar a la que se utilizó para realizar la multiplicación, y se muestra en el circuito de la hoja siguiente. Ejemplo: Realizar segun el método de la división con restauración el siguiente cociente: D/d. D = 8 (1000) d = 3 (0011) con (-3) = (1101) Ac D d Inicialmente: Finalmente: resto cociente División por el método de restauración. Tal como se ha indicado, para evitar la utilización de circuitos comparadores de elevado coste, la comparación se realiza entre el dividendo y el divisor se realiza mediante una resta. Al realizar la resta, una respuesta positiva indica que el divisor es más pequeño, y se coloca un 1 en el cociente. Una respuesta negativa indica que el divisor es mayor y por tanto que la resta no era necesaria, por lo que hay que volver a sumar el divisor al dividendo. A esta operación se le llama restaurar el valor original del dividendo, dándole nombre al método. 31

32 Todo este proceso se puede realizar sobre la estructura de registros vistos anteriormente y utilizando el algoritmo descrito a continuación: 32

33 División sin restauración. Es posible acelerar este algoritmo mediante la eliminación de la restauración que implica una suma para volver a recobrar un dato. Para ello debemos darnos cuenta de que si la restauración la escribimos como: (Rj)A <-- (Rj)A + d (1) Esta va seguida siempre de un desplazamiento (*2) y una resta (Rj+1)A <-- (2*Rj)A - d (2) donde 2* corresponde a un desplazamiento a izquierda de los registros A y Q. Estas dos ecuaciones pueden combinarse en una sola para la obtención de los sucesivos restos parciales sobre el registro R: 33

34 (Rj+1)A <-- (2*Rj)A - d = 2 * ((Rj)A + d ) - d (3) En esta idea se basa el método de la no restauración, en que si el bit Qn-i = 1 el resto parcial se evalúa segun la ecuación (2) y Qn-i = 0 el resto parcial se evalúa segun la ecuación (3). DIVISIÓN SIN RESTAURACIÓN A A*2 A A-d A< 0 A A*d A A*2 A A-d 34

35 Cuando: A<0 A A A [2*(A+d)]-d [2*A*2*d-d] 2*A+d Ejemplo: Realizar según el método de la división sin-restauración el siguiente cociente: D/d. D = 8 (1000) d = 3 (0011) con (-3) = (1101) Ac D d Inicialmente: Finalmente: resto cociente 35

36 UNIDAD LÓGICA PROPOSICIONAL Introducción La lógica es la disciplina que trata de los métodos del razonamiento. Es ampliamente utilizada en matemáticas para la demostración de teoremas, en computación para la verificación de programas y en la programación declarativa, en ciencias naturales y físicas para sacar conclusiones de experimentos, en ciencias sociales y en varias áreas más para la solución de una gran variedad de problemas. La lógica permite estudiar los métodos para distinguir los razonamientos correctos de los incorrectos. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico CONCEPTO DE PROPOSICIÓN Una proposición es una sentencia declarativa que puede ser verdadero o falso pero no ambas. 36

37 Ejemplos: Llovió ayer, Hace frío Hoy es viernes Las proposiciones serán expresadas como P, Q,... y algunas veces son llamadas átomos o fórmulas atómicas. Una proposición compuesta se forma por una proposición modificada por la palabra no o por conectar sentencias con las palabras y, o, si... entonces, si y solo si. Generalmente, a las proposiciones se les representa por letras del alfabeto desde la letra p, es decir: p, q, r, s, t... etc., las cuales se conocen como variables preposicionales. Con frecuencia nos referimos a proposiciones con nombres simbólicos. Ejemplos: El ocho es un número par. (Verdadero) Cinco es menor que cuatro. (Falso) La tierra es plana (Verdadero) El gato es una ave (Falso) Cómo te llamas? No es una proposición, ya que no expresa ningún juicio del que se pueda decir si es verdadero o falso. En general, las frases interrogativas, admirativas e imperativas, no son proposiciones. TIPOS DE PROPOSICIONES Se pueden considerar dos tipos de proposiciones: 37

38 PROPOSICIONES SIMPLES. Una proposición simple (que no se puede dividir en dos o más frases) Es decir, no tienen conectivos o términos de enlace se le conoce como proposición simple o atómica. Ejemplos: Pedro es alto, María es católica, El sol es redondo PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES. El cálculo preposicional es el estudio de las relaciones lógicas entre proposiciones. Es posible combinar proposiciones por medio de los conectivos lógicos, obteniendo así una proposición compuesta. Por ejemplo: El martes tenemos examen y tengo que estudiar Hoy es viernes y hace calor Las aves trinan y los perros ladran 2.2 TÉRMINOS DE ENLACE DE PROPOSICIONES Son elementos que se usan para enlazar varias proposiciones o para modificar el valor de verdad de una proposición (este último es el caso de la negación). Los términos de enlace que se utilizan en las proposiciones son: 38

39 SÍMBOLO REPRESENTACIÓN SIGNIFICADO Negación No Conjunción Y Disyunción O Condicional Implica Bicondicional Si y sólo si El valor de verdad de la proposición compuesta depende de los enunciados que se combinen y de los conectivos que se utilicen. Las tablas de verdad muestran los valores de verdad de los enunciados compuestos en términos de los valores de verdad de sus componentes. Ejemplo: La luna es una estrella (Atómica) La luna no es una estrella (Molecular) Si estamos en diciembre entonces llegará pronto la navidad (molecular) Es grande o pequeño (molecular) La mosca es un insecto (Atómica) Si ahorro mi dinero entonces pronto comprare mi coche (molecular) LA NEGACIÓN NO El valor de verdad de la negación de una proposición es el contrario al valor de la proposición. Esto es, si la proposición es verdadera su negación es falsa, y si la proposición es falsa, su negación será verdadera. 39

40 p p V F F V Tabla 2.1 El término de enlace NO, es el único que no conecta realmente dos proposiciones, sin embargo, cuando a una proposición se le agrega un no se forma una proposición molecular y puede ser de dos formas: Externa Interna Externa: La presentación externa del no es cuando aparece fuera de la proposición sobre la cual actúa. Ejemplo: No iré al cine Interna: Cuando aparece dentro de la proposición sobre la cual actúa Ejemplo: Juan no es mi compañero de clase Karina no es mi hermana biológica 40

41 DISYUNCIÓN O Se dice que el término de enlace o tiene dos sentidos Incluyente Excluyente Incluyente: En el sentido incluyente hay una tercera posibilidad de que se cumplan las dos condiciones Ejemplo: El libro es azul o esta sobre la mesa Excluyente: En este sentido solamente puede ocurrir una o la otra de las posibilidades Ejemplo: Es de día o de noche La disyunción de p o q, p q, es la proposición que es verdadera cuando ya sea que p o q o ambas son verdaderas; la disyunción será falsa solamente cuando ambas proposiciones p y q sean falsas. 41

42 Disyunción (o) p q p q V V V V F V F V V F F F Tabla 2.1 LA CONJUNCIÓN Y La conjunción de dos proposiciones es una proposición compuesta que resulta verdadera cuando lo son las dos proposiciones simples que la constituyen, y falsa en caso contrario, es decir, cuando alguna de las dos es falsa. Conjunción (y) p q p q V V V V F F F V F F F F Tabla 2.2 CONDICIONAL (SI, ENTONCES) La condicional de dos proposiciones es una proposición compuesta que resulta falsa cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, y en los demás casos es verdadera. 42

43 Condicional (implica) p q p q V V V V F F F V V F F V Tabla 2.3 Ejemplos: p: 2 es un entero positivo q: 2 es un número racional p q 2 es un entero positivo implica 2 es un número racional Si 2 es un entero positivo entonces 2 es un número racional 2 es un entero positivo sólo si 2 es un número racional 2 es un número racional si 2 es un entero positivo para 2 es un entero positivo es necesario 2 es un número racional para 2 sea un número racional es suficiente que 2 sea un entero positivo 43

44 BICONDICIONAL (SI, SOLO SI) La bicondicional de dos proposiciones es una proposición compuesta que resulta verdadera cuando ambas son verdaderas o ambas son falsas, y en caso contrario es falsa. Dadas dos proposiciones p y q, se define la proposición bicondicional p si y sólo si q, p q, como la proposición que es verdadera si ambas proposiciones p y q son falsas, o bien si ambas son verdaderas. Bicondicional (si y sólo si) p q p q V V V V F F F V F F F V Tabla 2.4 Ejemplos: p: 2 es un entero positivo q: 2 es un número racional p q 2 es un entero positivo si y sólo si 2 es un número racional. 44

45 VALORES DE CERTEZA DE UNA PROPOSICIÓN El número de casos o filas que tiene la tabla de verdad de una proposición compuesta es siempre 2 n, siendo n el número de proposiciones simples de que consta. Por ejemplo, si interviene 2 proposiciones habrá: 2 2 = 4 casos. TÉRMINOS DE ENLACE DOMINANTE Los términos de enlace El uso de comas El uso de paréntesis El uso de las reglas de potencia de los términos de enlace Pueden unir o pueden ser usados con proposiciones compuestas de la misma forma que con las proposiciones simples. En todos estos casos uno de los términos de enlace es el mayor (dominante) porque actúa sobre toda la proposición. ELEMENTOS PARA DETERMINAR EL TÉRMINO DE ENLACE DOMINANTE Potencia El término de enlace es el más potente de todos El término de enlace es más potente que ۸۷~ Los términos de enlace ۷ ۸ tienen igual potencia entre ellos El término de enlace ~ es el más débil de todos. 45

46 Ejemplo: P = Estudio Q = Pasaré el examen R = Aprobaré la materia Si estudio entonces pasaré el examen y aprobaré la materia. Se simboliza P (Q۷ R) Término de enlace dominante es SI ENTONCES No ocurre que si estudio entonces no pasaré el examen y aprobaré la materia. Se simboliza ~ (P (Q ۷ R)) Término de enlace es el NO. 2.3 ELABORACIÓN DE LA TABLA DE VERDAD (p۷q) v r P q r (p ۸ q) v r V V V V V F V V F V V V V F V F F F V F F F V V F V V F F F F V F F V V F F V F F F F F F F V V 46

47 2.4 DIAGRAMAS LINEALES Una forma de analizar el valor de certeza de una proposición compuesta es estableciendo un diagrama. Ejemplo: ((A ۷ B) (C ۸ D) ۷ B) Donde ۸ ۸ A = V ۸ B = V C = F ۷ D = V ( ~ (A ۷ B) (C ۸ D) ۷ B) ۸ v F v V RECÍPROCA Y CONTRA POSITIVA La proposición q p se llama la recíproca de p q. La contra positiva de p q es q equivalentes. p, siendo ambas proposiciones 47

48 TABLAS DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS Una condición de verdad (T) o falsedad (F) asignada a una fórmula la definimos como valor de verdad. Las tablas de verdad muestras los valores de verdad de los enunciados compuestos en términos de los valores de verdad de sus componentes. Una proposición compuesta puede contener varias proposiciones y conectivos, por Ejemplo: (p q) (p q) P q p q p q (p q) (p q) (p q) V V V V F V V F F F V V F V F V F F F F F V F F Tabla 2.6 Cualquier renglón en una tabla de verdad para una fórmula dada P se le llama interpretación de P. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA Una fórmula P es una tautología (y se escribe = P si su valor es T bajo toda posible interpretación de P. 48

49 Las proposiciones compuestas que siempre son verdaderas se conocen como tautologías, y son útiles en las demostraciones de proposiciones complejas. Otro tipo de proposiciones especiales son las que siempre son falsas: las contradicciones. Cuando una proposición no es ni tautología ni contradicción se dice que es una contingencia. Ejemplo. Si analizamos la fórmula lógica { ( p q ) p } q, tenemos la siguiente tabla de verdad: p Q p q q p { ( p q ) p } q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V Tabla 2.7 En este caso comprobamos que independientemente de la combinación de valores de verdad de las proposiciones p y q, el resultado de la fórmula lógica es siempre V. Decimos, aquí también, que esta fórmula es una tautología o ley lógica. Ejemplo: Si analizamos ahora la fórmula lógica p ~p p ~p p ~p V F F V F F Tabla

50 Encontramos que la fórmula es siempre falsa, es entonces una Contradicción. Ejemplo: Si, analizamos ahora la fórmula lógica p q P q p q V V F F V F V F V F F F Tabla 2.9 Encontramos que la fórmula algunas veces es verdadera y otras es falsa, por lo tanto es una contingencia. EQUIVALENCIA DE FÓRMULAS Dos proposiciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad para cada opción de los valores de las variables que intervienen en ellas. Para denotar equivalencia lógica usaremos el símbolo: (puede utilizarse también ). Las proposiciones equivalentes tienen la última columna de sus tablas de verdad iguales. En la tabla 1 se muestran las equivalencias lógicas más utilizadas. 2.5 IMPLICACIONES LÓGICAS Dadas dos proposiciones p y q, decimos que p implica lógicamente q siempre que p tenga valor de verdad verdadero q tendrá valor de verdad verdadero, y cuando q es falsa p es falsa. Para denotar implicación lógica usaremos el símbolo: La tabla 2 muestra un conjunto de equivalencias lógicas comúnmente empleadas. 50

51 TABLA Equivalencias Lógicas 1. p p doble negación 2a. (p q) (q p) leyes conmutativas 2b. (p q) (q p) 2c. (p q) (q p) 3a. [(p q) r] [p (q r)] leyes asociativas 3b. [(p q) r] [p (q r)] 4a. [p (q r)] [(p q) (p r)] leyes distributivas 4b. [p (q r)] [(p q) (p r)] 5a. (p p) p leyes de idempotencia 5b. (p p) p 6a. (p c) p leyes de identidad 6b. (p t) t 6c. (p c) c 6d. (p t) p 7a. (p p) t 7b. (p p) c 8a. (p q) ( p q) leyes de Morgan 8b. (p q) ( p q) 8c. (p q) ( p q) 8d. (p q) ( p q) 51

52 9 (p q) ( q p) contra positiva 10a. (p q) ( p q) implicación 10b. (p q) (p q) 11a. (p q) ( p q) 11b. (p q) (p q) 12a. [(p r) (q r)] [(p q) r] 12b. [(p q) (p r)] [p (q r)] 13. (p q) [(p q) (q p)] equivalencia 14. [(p q) r] [p (q r)] ley de exportación 15. (p q) [(p q) c] reducción al absurdo TABLA 2.12 Implicaciones Lógicas 16. p (p q) adición 17. (p q) p simplificación 18. (p c) p absurdo 19. [p (p q)] q modus ponens 20. [(p q) q] p modus tollens 21. [(p q) p] q silogismo disyuntivo 22. p [q (p q)] 52

53 23. [(p q) (q r)] (p r) transitividad de 24. [(p q) (q r) ] (p r) transitividad de o silogismo hipotético 25a. (p q) [(p r) (q r)] 25b. (p q) [(p r) (q r)] 25c. (p q) [(q r) (p r)] 26a. [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] dilemas constructivos 26b. [(p q) (r s)] [(p r) (q s)] 27a. [(p q) (r s)] [( q s) ( p r)] dilemas destructivos 27b. [(p q) (r s)] [( q s) ( p r)] DUALIDAD El principio de dualidad establece que si intercambiamos por, y t por c, en un teorema verdadero obtenemos otro teorema verdadero. Este principio se puede observar en las tablas 1 y 2. La teoría de inferencia para el cálculo proposicional Validación usando tablas de verdad Por medio del uso de tablas de verdad es posible demostrar si dos proposiciones son equivalentes. Por ejemplo se puede demostrar (p q) (p q) escribiendo sus tablas correspondientes; se puede observar que las últimas 53

54 columnas de ambas tablas son idénticas, lo cual demuestra que ambas proposiciones son equivalentes. p q p q V V V V F F F V F F F F Tabla 2.11 P q q (p q) (p q) V V F F V V F V V F F V F V F F F V V F Ejemplo: Tabla 2.12 Demostraremos que las proposiciones p q y ~(p ~q) son equivalentes, a través de su tabla de verdad. P q p q V V F F V F V F V F V V Tabla

55 P q (p ~q) ~(p ~q) V V F V V F V F F V F V F F F V Tabla 2.14 Como podemos observar, el resultado final de ambas tablas es el mismo, y podemos concluir entonces que: ( p q ) ~ ( p ~q) 2.6 REGLAS DE INFERENCIA La regla de inferencia es sinónimo de razonamiento BUENO (válido) RAZONAMIENTO MALO (No válido) Un razonamiento nos lleva a deducir una conclusión RAZONAMIENTOS DEDUCCIÓN CONCLUSIONES DEMOSTRACIÓN 55

56 Las reglas de inferencia utilizan las proposiciones o formulas lógicas que se le denominan premisas; al aplicarse las reglas de inferencia a las premisas obtenemos las conclusiones (Al paso de las premisas a la conclusión se le denomina deducción) 1. p Q (p q) adición 2. (p q) (1) p simplificación 3. (p q) P (2) q modus ponens 4. (p q) q p modus tollens 56

57 5. (p q) p q silogismo disyuntivo 6. (p q) (q r) (p r) 7. p q p q silogismo hipotético conjunción DEMOSTRACIÓN DIRECTA Se llama demostración válida a la demostración formal con una sucesión válida de proposiciones, sin importar lo que sea la conclusión. Ejemplo. Realizar la demostración del siguiente argumento: Si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el curso. Si apruebo el curso, entonces me permitirán tomar el siguiente curso. Por consiguiente, si no me permiten tomar el siguiente curso, entonces no soy un genio. s = estudio g = soy un genio p = aprobaré el curso a = me permitirán tomar el siguiente curso 57

58 Demostración 1. s g p hipótesis (estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el curso) 2. p a hipótesis (si apruebo el curso, entonces me permitirán tomar el siguiente curso) 3. g g s adición R g s g 3; ley conmutativa R2a. 5. g p 4; silogismo hipotético R24 6. g a 5,2; silogismo hipotético R24 7. a g 6; contra positiva R9 Si no me permiten tomar el siguiente curso, entonces no soy un genio DEMOSTRACIÓN INDIRECTA (POR CONTRADICCIÓN) En general, demostrar un teorema H 1 H 2... H n C es equivalente a demostrar que H 1 H 2... H n C una contradicción, en virtud de la equivalencia lógica de reducción a lo absurdo R15. A este método se le conoce como demostración por contradicción, o como demostración indirecta. Ejemplo. Si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el curso. No me permitirán tomar el siguiente curso. Si apruebo el curso, entonces me permitirán tomar el siguiente curso. Por lo tanto, no estudié. Demostración 1. s g p hipótesis (si estudio o si soy un genio, entonces aprobaré el curso) 58

59 2. a hipótesis (no me permitirán tomar el siguiente curso) 3. p a hipótesis (Si apruebo el curso, entonces me permitirán tomar el siguiente curso) 4. ( s) negación de la conclusión 5. s 4; doble negación R1 6. s s g adición R16 7. s p 6,1; silogismo hipotético R24 8. s a 7,3; silogismo hipotético R24 9. a 5,8; modus ponens R a a 9,2; conjunción 11. c 10 R7b 2.7 EL CÁLCULO DE PREDICADOS (OPCIONAL) El cálculo proposicional es una teoría de la lógica completa y autónoma. Sin embargo el problema se presenta cuando se requiere aplicar una proposición a varios elementos o cuando se necesita usar un número grande o infinito de proposiciones. Por ejemplo si deseamos representar que los números 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9 son dígitos, es posible definir una función (predicado) a la que llamaremos dígito, que pueda aplicarse a los diferentes números (sujetos); así la representación queda de la forma dígito(1) dígito(2) dígito(3) dígito(4) dígito(5) dígito(6) dígito(7) dígito(8) dígito(9). Con la utilización de la función predicado se soluciona una parte del problema, pero qué pasa si quiero aplicar una proposición p a todos los números naturales. Sería necesario escribir p(0) p(1) p(2) p(3)... y así sucesivamente hasta infinito, lo cual es imposible. 59

60 Para solucionar este problema es necesario agregar nuevos símbolos que nos permitan generalizar la aplicación de un predicado. Estos nuevos símbolos reciben el nombre de cuantificadores, y el nuevo sistema que combina estos nuevos símbolos y reglas con el cálculo proposicional se denomina cálculo de predicados. Llamaremos universo del discurso o dominio del discurso al conjunto de elementos con los cuales se va a trabajar. Un predicado, el cual denotamos como p(x), es una función que produce una proposición siempre que le demos un elemento del universo. La variable x en la expresión p(x) se llama variable libre del predicado. El cuantificador universal, se utiliza para construir proposiciones compuestas de la forma x p(x) y se lee como para toda x, p(x), o bien para cada x p(x) o para cualquier x p(x). Esta proposición compuesta obtiene un valor de verdad verdadero si la proposición p(x) es verdadera para toda x en el universo del discurso; siendo falsa en cualquier otro caso. El cuantificador existencial, se utiliza para formar proposiciones compuestas de la forma x p(x), y se lee existe x tal que p(x), o para alguna x, p(x)., obteniendo un valor de verdad verdadero cuando al menos una x en el universo del discurso hace p(x) verdadera; y un valor falso si p(x) es falsa para todas las x en el dominio del discurso. La variable x en las expresiones x p(x) y x p(x), se llama variable acotada. Ejemplos: Si tenemos como universo del discurso Las manzanas producidas en México, podemos expresar lo siguiente. 60

61 Todas las manzanas son rojas Cualquier manzana es dulce x manzana(x) roja(x) x manzana(x) dulce(x) Algunas manzanas son rojas x manzana(x) roja(x) Existen manzanas dulces x manzana(x) dulce(x) Utilizando Los niños del mundo como universo del discurso, tenemos: Todos los niños son traviesos x niño(x) travieso(x) Algunos niños son traviesos x niños(x) 61

62 UNIDAD ÁLGEBRA BOOLEANA Álgebra de Boole (también llamada Retículas booleanas) en informática y matemática, es una estructura algebraica que rigorizan las operaciones lógicas Y, O y NO, así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento. Se denomina así en honor a George Boole, (2 de noviembre de 1815 a 8 de diciembre de 1864), matemático inglés que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico a mediados del siglo XIX. El álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional. En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en DEFINICIÓN El álgebra de Boole son operaciones internas y cumplen los siguientes axiomas: 1. Propiedad conmutativa: 2. Propiedad asociativa: 62

63 3. Propiedad distributiva: 4. Propiedad de los neutros. Existen tales que: 5. Propiedad de los opuestos. Existe tal que: COMO RETÍCULO El álgebra de Boole está conformada solo por dos elementos el 0, y 1 el 0 primero que el 1: Como retículo presenta las siguientes propiedades, las leyes principales son estas: 1. Ley de Idempotencia: 2. Ley de Asociatividad: 3. Ley de Conmutatividad: 63

64 4. Ley de Cancelativo 3.2 OPERACIONES Hemos definido el conjunto A = {1,0} como el conjunto universal sobre el que se aplica el álgebra de Boole, sobre estos elementos se definen varias operaciones, veamos las más fundamentales: Operación suma: La operación suma (+) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: a b a + b Su equivalencia en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo. 64

65 Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado será 1, es necesario que los dos sumandos sean 0, para que el resultado sea OPERACIÓN PRODUCTO a b a b La operación producto ( ) asigna a cada par de valores a, b de A un valor c de A: Esta operación en lógica de interruptores es un circuito en serie de dos interruptores Solo si los dos valores a y b son 1, el resultado será 1, si uno solo de ellos es 0 el resultado será 0. 65

66 OPERACIÓN NEGACIÓN La operación negación presenta el opuesto del valor de a: Un interruptor inverso equivale a esta operación: a OPERACIONES COMBINADAS a b Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras más complejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo: Que representado en lógica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso. 66

67 La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tabla de verdad. 3.3 LEYES FUNDAMENTALES El resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones definidas a variables del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado es único. 1. Ley de idempotencia: 2. Ley de involución: 3. Ley conmutativa: 67

68 4. Ley asociativa: 5. Ley distributiva: 6. Ley de cancelación: 7. Ley de identidad: 8. Leyes de De Morgan: 68

69 PRINCIPIO DE DUALIDAD El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0. Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta. Adición Producto OTRAS FORMAS DE NOTACIÓN DEL ÁLGEBRA DE BOOLE En matemática se emplea la notación empleada hasta ahora ({0,1}, +, ) siendo la forma más usual y la más cómoda de representar. Por ejemplo las leyes de De Morgan se representan así: 69

70 Cuando el álgebra de Boole se emplea en electrónica, suele emplearse la misma denominación que para las puerta lógica AND (Y), OR (O) y NOT (NO), ampliándose en ocasiones con X-OR (O exclusiva) y su negadas NAND (NO Y), NOR (NO O) y X-NOR (equivalencia). las variables pueden representarse con letras mayúsculas o minúsculas, y pueden tomar los valores {0, 1} Empleando esta notación las leyes de De Morgan se representan: En su aplicación a la lógica se emplea la notación tomar los valores {F, V}, falso o verdadero, equivalentes a {0, 1} y las variables pueden Con la notación lógica las leyes de De Morgan serían así: En el formato de Teoría de conjuntos el Álgebra de Boole toma el aspecto: En esta notación las leyes de De Morgan serían así: 70

71 Desde el punto de vista práctico existe una forma simplificada de representar expresiones booleanas. Se emplean apóstrofos (') para indicar la negación, la operación suma (+) se representa de la forma normal en álgebra, y para el producto no se emplea ningún signo, las variables se representan, normalmente con una letra mayúscula, la sucesión de dos variables indica el producto entre ellas, no una variable nombrada con dos letras. La representación de las leyes de De Morgan con este sistema quedaría así, con letra minúscula para las variables: y así, empleando letras mayúsculas para representar las variables: Todas estas formas de representación son correctas, se utilizan de hecho, y pueden verse al consultar bibliografía. La utilización de una u otra notación no modifica el álgebra de Boole, solo su aspecto, y depende de la rama de las matemáticas o la tecnología en la que se esté utilizando para emplear una u otra notación. ÁLGEBRA DE BOOLE APLICADA A LA INFORMÁTICA Se dice que una variable tiene valor booleano cuando, en general, la variable contiene un 0 lógico o un 1 lógico. Esto, en la mayoría de los lenguajes de programación, se traduce en false (falso) o true (verdadero), respectivamente. 71

72 Una variable puede no ser de tipo booleano, y guardar valores que, en principio, no son booleanos; ya que, globalmente, los compiladores trabajan con esos otros valores, numéricos normalmente aunque también algunos permiten cambios desde, incluso, caracteres, finalizando en valor booleano COMPUERTAS LÓGICAS Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en la página anterior y funcionan igual que una calculadora, de un lado ingresas los datos, ésta realiza una operación, y finalmente, te muestra el resultado. Cada una de las compuertas lógicas se las representa mediante un Símbolo, y la operación que realiza (Operación lógica) se corresponde con una tabla, llamada Tabla de Verdad, vamos con la primera... COMPUERTA NOT Se trata de un inversor, es decir, invierte el dato de entrada, por ejemplo; si pones su entrada a 1 (nivel alto) obtendrás en su salida un 0 (o nivel bajo), y viceversa. Esta compuerta dispone de una sola entrada. Su operación lógica es s igual a a invertida 72

73 COMPUERTA AND Una compuerta AND tiene dos entradas como mínimo y su operación lógica es un producto entre ambas, no es un producto aritmético, aunque en este caso coincidan. *Observa que su salida será alta si sus dos entradas están a nivel alto* COMPUERTA OR Al igual que la anterior posee dos entradas como mínimo y la operación lógica, será una suma entre ambas... Bueno, todo va bien hasta que = 1, el tema es que se trata de una compuerta O Inclusiva es como a y/o b *Es decir, basta que una de ellas sea 1 para que su salida sea también 1* COMPUERTA OR-EX O XOR Es OR EXclusiva en este caso con dos entradas (puede tener mas, claro...!) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b. *Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1* 73

74 Estas serían básicamente las compuertas mas sencillas. Es momento de complicar esto un poco más... COMPUERTAS LÓGICAS COMBINADAS Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores, los resultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tres nuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX... Veamos ahora como son y cuál es el símbolo que las representa. Compuerta NAND Responde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representación simbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuerta AND. Compuerta NOR El resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de la operación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregas un círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR. 74

75 COMPUERTA NOR-EX Es simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se pueden apreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar la diferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico. BUFFER S Ya la estaba dejando de lado..., no se si viene bien incluirla aquí pero de todos modos es bueno que la conozcas, en realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un poco la señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráfico, la señal de salida es la misma que de entrada. 75

76 Hasta aquí de teoría, nos interesa más saber cómo se hacen evidente estos estados en la práctica, y en qué circuitos integrados se las puede encontrar y más adelante veremos unas cuantas leyes que se pueden aplicar a estas compuertas para obtener los resultados que deseas CIRCUITOS INTEGRADOS Y CIRCUITOS DE PRUEBA Existen varias familias de Circuitos integrados, pero sólo mencionaré dos, los más comunes, que son los TTL y CMOS: Estos Integrados los puedes caracterizar por el número que corresponde a cada familia según su composición. Por ejemplo; Los TTL se corresponden con la serie 5400, 7400, 74LSXX, 74HCXX, 74HCTXX etc. algunos 3000 y Los C-MOS y MOS se corresponde con la serie CD4000, CD4500, MC14000, 54C00 ó 74C00. en fin... Cuál es la diferencia entre uno y otro...?, veamos... yo comencé con los C-MOS, ya que disponía del manual de estos integrados, lo bueno es que el máximo nivel de tensión soportado llega en algunos casos a +15V, mientras que para los TTL el nivel superior de tensión alcanza en algunos casos a los +12V aproximadamente, pero claro estos son límites extremos, lo común en estos últimos es utilizar +5V. Otra característica es la velocidad de transmisión de datos, resulta ser, que los circuitos TTL son más rápidos que los C-MOS, por eso su mayor uso en sistemas de computación. 76

77 Es importante que busques la hoja de datos o datasheet del integrado en cuestión, distribuido de forma gratuita por cada fabricante y disponible en Internet. Veamos lo que encontramos en uno de ellos; en este caso un Circuito integrado 74LS08, un TTL, es una cuádruple compuerta AND. Es importante que notes el sentido en que están numerados los pines y esto es general, para todo tipo de integrado... Comenzaremos con este integrado para verificar el comportamiento de las compuertas vistas anteriormente. El representado en el gráfico marca una de las compuertas que será puesta a prueba, para ello utilizaremos un fuente regulada de +5V, un LED una resistencia de 220 ohm, y por supuesto el IC que corresponda y la placa de prueba. El esquema es el siguiente... 77

78 En el esquema está marcada la compuerta, como 1 de 4 disponibles en el Integrado 74LS08, los extremos a y b son las entradas que deberás llevar a un 1 lógico (+5V) ó 0 lógico (GND), el resultado en la salida s de la compuerta se verá reflejado en el LED, LED encendido (1 lógico) y LED apagado (0 lógico), no olvides conectar los terminales de alimentación que en este caso son el pin 7 a GND y el 14 a +5V. Montado en la placa de prueba te quedaría algo así... Esto es a modo de ejemplo, Sólo debes reemplazar IC1, que es el Circuito Integrado que está a prueba para verificar su tabla de verdad. LEYES Lo primero y más importante es tratar de interpretar la forma en que realizan sus operaciones cada compuerta lógica, ya que a partir de ahora las lecciones se complican un poco más. Practica y verifica cada una de las tablas de verdad. LEYES DE D MORGAN Se trata simplemente de una combinación de compuertas, de tal modo de encontrar una equivalencia entre ellas, esto viene a consecuencia de que en algunos casos no dispones del integrado que necesitas, pero si de otros que podrían producir los mismos resultados que estas buscando. 78

79 Para interpretar mejor lo que viene, considera a las señales de entrada como variables y al resultado como una función entre ellas. El símbolo de negación (operador NOT) lo representaré por "~", por ejemplo: a. ~ b significa a AND NOT. 1 a Ley: El producto lógico negado de varias variables lógicas es igual a la suma lógica de cada una de dichas variables negadas. Si tomamos un ejemplo para 3 variables tendríamos.. ~ (a.b.c) = ~a + ~b + ~c El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NAND de 3 entradas, representada en el siguiente gráfico y con su respectiva tabla de verdad. El segundo miembro de la ecuación se lo puede obtener de dos formas... 79

80 Fíjate que la tabla de verdad es la misma, ya que los resultados obtenidos son iguales. Acabamos de verificar la primera ley. 2 a Ley: La suma lógica negada de varias variables lógicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas... ~ (a + b + c) = ~a. ~b. ~c El primer miembro de esta ecuación equivale a una compuerta NOR de 3 entradas y la representamos con su tabla de verdad... El segundo miembro de la ecuación se lo puede obtener de diferentes forma, aquí cité solo dos... 80

81 Se observa que la tabla de verdad es la misma que para el primer miembro en el gráfico anterior. Acabamos así de verificar la segunda ley de De Morgan. Para concluir... Con estas dos leyes puedes llegar a una gran variedad de conclusiones, por ejemplo Para obtener una compuerta AND puedes utilizar una compuerta NOR con sus entradas negadas, o sea... a. b = ~( ~a + ~b) Para obtener una compuerta OR puedes utilizar una compuerta NAND con sus entradas negadas, es decir... a + b =~( ~a. ~b) Para obtener una compuerta NAND utiliza una compuerta OR con sus dos entradas negadas, como indica la primera ley de De Morgan... ~ (a.b) = ~a + ~b Para obtener una compuerta NOR utiliza una compuerta AND con sus entradas negadas,...eso dice la 2º ley de De Morgan, así que... habrá que obedecer... ~(a + b) = ~a. ~b 81

82 La compuerta OR-EX tiene la particularidad de entregar un nivel alto cuando una y sólo una de sus entradas se encuentra en nivel alto. Si bien su función se puede representar como sigue... s = a. ~b + ~a. b Esta ecuación indica las compuertas a utilizar. Para obtener una compuerta NOR-EX agregas una compuerta NOT a la salida de la compuerta OR-EX vista anteriormente y ya la tendrás. Recuerda que su función es... s = ~(a. ~b + ~a. b) Para obtener Inversores (NOT) puedes hacer uso de compuertas NOR o compuertas NAND, simplemente uniendo sus entradas. 82

83 3.6. Funciones y Operadores Lógicos A estas alturas ya estamos muy familiarizados con las funciones de todos los operadores lógicos y sus tablas de verdad, todo vino bien..., pero... qué hago si dispongo de tres entradas (a, b y c) y deseo que los estados altos sólo se den en las combinaciones 0, 2, 4, 5 y 6 (decimal)...? Cómo combino las compuertas...? y Qué compuertas utilizo...?. MAPAS DE KARNAUGH Podría definirlo como un método para encontrar la forma más sencilla de representar una función lógica. Esto es... Encontrar la función que relaciona todas las variables disponibles, de tal modo que el resultado sea el que se está buscando. Para esto vamos a aclarar tres conceptos que son fundamentales. a)- Minitérmino Es cada una de las combinaciones posibles entre todas las variables disponibles, por ejemplo con 2 variables obtienes 4 minitérminos; con 3 obtienes 8; con 4, 16 etc., como te darás cuenta se puede encontrar la cantidad de minitérminos haciendo 2 n donde n es el número de variables disponibles. b)- Numeración de un minitérmino Cada minitérmino es numerado en decimal de acuerdo a la combinación de las variables y su equivalente en binario así... 83

84 Bien... El Mapa de Karnaugh representa la misma tabla de verdad a través de una matriz, en la cual en la primer fila y la primer columna se indican las posibles combinaciones de las variables. Aquí tienes tres mapas para 2, 3 y 4 variables... Analicemos el mapa para cuatro variables, las dos primeras columnas (columnas adyacentes) difieren sólo en la variable d, y c permanece sin cambio, en la segunda y tercera columna (columnas adyacentes) cambia c, y d permanece sin cambio, ocurre lo mismo en las filas. En general se dice que... Dos columnas o filas adyacentes sólo pueden diferir en el estado de una de sus variables Observa también que según lo dicho anteriormente la primer columna con la última serían adyacentes, al igual que la primer fila y la última, ya que sólo difieren en una de sus variables c)- Valor lógico de un minitérmino (esos que estaban escritos en rojo), bien, estos deben tener un valor lógico, y es el que resulta de la operación que se realiza entre las variables. Lógicamente 0 ó 1 Lo que haremos ahora será colocar el valor de cada minitérmino según la tabla de verdad que estamos buscando... 84

85 El siguiente paso, es agrupar los unos adyacentes (horizontal o verticalmente) en grupos de potencias de 2, es decir, en grupos de 2, de 4, de 8 etc... y nos quedaría así... Qué pasó con la fila de abajo. Recuerda que la primera columna y la última son adyacentes, por lo tanto sus minitérminos también lo son. De ahora en más a cada grupo de unos se le asigna la unión (producto lógico) de las variables que se mantienen constante (ya sea uno o cero) ignorando aquellas que cambian, tal como se puede ver en esta imagen... 85

86 Para terminar, simplemente se realiza la suma lógica entre los términos obtenidos dando como resultado la función que estamos buscando, es decir... f = (~a. ~b) + (a. ~c) Puedes plantear tu problema como una función de variables, en nuestro ejemplo quedaría de esta forma... f(a, b, c) = S(0, 1, 4, 6) F es la función buscada (a, b, c) son las variables utilizadas (0, 1, 4, 6) son los mini términos que dan como resultado 1 o un nivel alto. S La sumatoria de las funciones que producen el estado alto en dichos mini términos. Sólo resta convertir esa función en su circuito eléctrico correspondiente. Veamos, si la función es... f = (~a. ~b) + (a. ~c) o sea... (NOT a AND NOT b) OR (a AND NOT c) El esquema eléctrico que le corresponde es el que viene a continuación... 86

87 El resultado de todo este lío, es un circuito con la menor cantidad de compuertas posibles, lo cual lo hace más económico, por otro lado cumple totalmente con la tabla de verdad planteada al inicio del problema, y a demás recuerda que al tener menor cantidad de compuertas la transmisión de datos se hace más rápida. El valor booleano de negación suele ser representado como false, aunque también permite y equivale al valor natural, entero y decimal (exacto) 0, así como la cadena "false", e incluso la cadena "0". 87

88 UNIDAD 4 TEORÍA DE CONJUNTOS 4.1 DEFINICIÓN Y NOTACIÓN DE CONJUNTOS El término conjunto juega un papel fundamental en el desarrollo de las matemáticas modernas. Además de proporcionar las bases para comprender con mayor claridad algunos aspectos de la teoría de la probabilidad. Su origen se debe al matemático alemán George Cantor ( ). Podemos definir de manera intuitiva a un conjunto, como una colección o listado de objetos con características bien definidas que lo hace pertenecer a un grupo determinado. Para que exista un conjunto debe basarse en lo siguiente: La colección de elementos debe estar bien definida. Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, generalmente, estos elementos deben ser diferentes, si uno de ellos se repite se contará sólo una vez. El orden en que se enumeran los elementos que carecen de importancia. NOTACIÓN A los conjuntos se les representa con letras mayúsculas A, B, C, y a los elementos con letras minúsculas a, b, c, por ejemplo, el conjunto A cuyos elementos son los números en el lanzamiento de un dado. A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos finitos e infinitos. 88

89 FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad. El conjunto de días de la semana INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud. El conjunto de los números reales Existen dos formas comunes de expresar un conjunto y la selección de una forma particular de expresión depende de la conveniencia y de ciertas circunstancias siendo: EXTENSIÓN: Cuando se describe a cada uno de los elementos. A = {a, e, i, o, u} COMPRENSIÓN: Cuando se enuncian las propiedades que deben tener sus elementos. A = {x x es una vocal} Para describir si un elemento pertenece o no a un conjunto, se utiliza el símbolo de pertenencia o es elemento de, con el símbolo, en caso contrario. A = {1, 2, 3} 2 A; 5 A TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por { }. 89

90 CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, denotado por U. 4.2 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS Considerando el conjunto A y el conjunto B, si ambos tienen los mismos elementos, es decir, si cada elemento que pertenece a A también pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. A = B SUBCONJUNTO Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Representado por el símbolo A B o B A CONJUNTO POTENCIA La familia de todos los subconjuntos de un conjunto se llama conjunto potencia. Si un conjunto es finito con n elementos, entonces el conjunto potencia tendrá 2n subconjuntos. A = {1, 2} El total de subconjuntos es: 22 = 4 {1,2}, {1}, {2}, { } 90

91 CONJUNTOS DISJUNTOS Son aquellos que no tienen elementos en común, es decir, cuando no existen elementos que pertenezcan a ambos. F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} G = {a, b, c, d, e, f} PARTICIÓN Cuando un conjunto es dividido en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos, se le denomina partición. 4.3 OPERACIONES DE CONJUNTOS Unión. Intersección. Diferencia. Complemento. Producto cartesiano. UNIÓN DE CONJUNTOS. Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera del conjunto universal. La unión de A y B, expresada por A U B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o pertenecen a B. 91

92 A - B = {x x A o x B} INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La intersección de A y B, expresada por A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A y a B simultáneamente, es decir: A B = {x x A y x B} DIFERENCIA DE CONJUNTOS O COMPLEMENTO RELATIVO. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera del conjunto universal. La diferencia o complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. A - B = {x x A, x B} COMPLEMENTO ABSOLUTO Sea A un subconjunto cualesquiera del conjunto universal. El complemento de A es el conjunto de elementos que perteneciendo al universo y no pertenecen al conjunto A, denotado por A o Ac. A = {x x U, x _ A} Nota: A = U A 92

93 4.4 LEYES DE CONJUNTOS IDEMPOTENCIA A U A = A ASOCIATIVA (A U B)U C = A U (B U C) (A B) C = A (B C) CONMUTATIVA (A U B) = (B U A) DISTRIBUTIVA A U (B C) = (A U B) (A U C) A (B U C) = (A B) U (A C) IDENTIDAD A U Ø = A A U U = U A Ø = Ø A U = A INVOLUCIÓN (A ) = A COMPLEMENTO A U A = U A A = Ø U = Ø Ø = U D MORGAN (A U B) = A B (A B) = A U B 93

94 4.5 IGUALDAD ENTRE CONJUNTOS. SUBCONJUNTOS Y SUPERCONJUNTOS IGUALDAD DE CONJUNTOS Dos conjuntos A y B se dicen iguales, lo que se escribe A = B si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos: DIAGRAMAS DE VENN Un diagrama de Venn es una representación pictórica de conjuntos en el plano. El conjunto universal U se representa por un rectángulo, cualquier otro conjunto se representa con un círculo. Una operación se representa mediante el sombreado de los elementos del conjunto. 94

95 Diagrama de Venn que muestra Un conjunto A se dice que es subconjunto de otro B, si cada elemento de A es también elemento de B, y se denota. Es decir: Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si A B, se cumpla A = B. Si, siendo A un subconjunto de B, B tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto A, entonces decimos que es un subconjunto propio de B, lo que se representa por. Es decir Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto "impropio" de sí mismo. Demostración Si A es un subconjunto de B, decimos también que B es un superconjunto de A, lo que se escribe. Así pues también que: significando que B es superconjunto propio de A. La relación "ser subconjunto" es una relación de orden entre conjuntos puesto que es reflexiva, transitiva y antisimétrica. 95

96 OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión A B Diagrama de Venn que ilustra Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. Esto significa que x A B si y sólo si x A ó x B. De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos los elementos elemento de S,. de algún De esta manera es el caso especial donde. Ejemplo. Si tenemos los conjuntos 96

97 entonces:, INTERSECCIÓN Diagrama de Venn que ilustra Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de A y B, representado por. Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B: Esto significa que x A B si y sólo si x A y x B. 97

98 Puede definirse también la intersección de una familia de conjuntos, de forma similar al caso de la unión. Si dos conjuntos A y B son tales que, entonces se dice que A y B se dice que son conjuntos disjuntos. Ejemplo. Si tenemos los conjuntos entonces:, DIFERENCIA Diagramas de Venn que muestran A B 98

99 Diagramas de Venn que muestra B A Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por. Es decir: Se denota como A-B. Ejemplo. Dados los conjuntos se tiene:, 99

100 COMPLEMENTO Diagrama de Venn que ilustra el complemento de A, A C. El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A. El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares es el formado por los números impares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias. Ejemplo. Consideremos el universo de los números naturales {1,2,3,...}, y entendamos los puntos suspensivos "..." como "y todos los demás". Sean los conjuntos: 100

101 (los números impares). Se tiene entonces: (los números pares). DIFERENCIA SIMÉTRICA Diagrama de Venn que ilustra la diferencia simétrica de A y B, AΔB. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos: 101

102 4.5 ÁLGEBRA DE CONJUNTOS Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que:, y entonces: Elemento neutro de la unión Elemento neutro de la intersección Propiedad conmutativa de la intersección Propiedad conmutativa de la unión Propiedad de Involución. Propiedad asociativa de la intersección intersección unión Propiedad asociativa de la unión Propiedad distributiva de la Propiedad distributiva de la 102

103 103

104 UNIDAD 5 RELACIONES 5.1 CONCEPTO DE RELACIONES Es un conjunto de pares ordenados Se llama par ordenado a un conjunto formado por dos elementos y un criterio de ordenación que establece cuál es primer elemento (absisa) y cuál el segundo (ordenada). Teniendo dos conjuntos A y B, para cada elemento a A y b B se puede formar una tupla (a,b) que se conoce como pareja ordenada. Una notación alternativa es <a,b>. En muchas ocasiones es necesario tener un conjunto de más de dos elementos, en el cual haya un orden establecido y se pasa entonces a formar conjuntos de n elementos ordenados. Tales conjuntos se llaman n-adas ordenadas. Así: (a1, a2,..., an) representa la n-ada ordenada de componentes a1, a2,...,an. Dentro de la pareja ordenada, a es el primer elementos y b el segundo, siendo importante el orden, de modo que (a,b) es diferente de (b,a). Las n-adas son una sucesión de elementos, donde n representa la cantidad de elementos ordenados que pertenecen a uno o más conjuntos 104

105 PRODUCTO CARTESIANO Dados dos conjunto A y B, el conjunto de todos los pares ordenados (a,b), tales que a A y b B, se llama producto cruz o producto cartesiano de A y B, y se escribe como A X B. A X B = { (a,b) a A b B} 5.2 RELACIONES BINARIAS Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados, subconjunto del producto cartesiano A X B. Por ejemplo: la relación binaria sobre R mayor que, se define como: { (x,y) x,y R x > y} El dominio y rango de una relación S sobre X x Y se definen como: Dominio D(S) = {x y (x,y) S} Rango R(S) = {y x (x,y) S } De modo que el dominio es el conjunto de valores que aparecen como primer componente de cada una de las parejas en S, y el rango es el conjunto de todos 105

106 los valores que aparecen como segundo componente. R1 BXA={(1,a),(1,b)} Dominio R1={1} Rango R1={a,b} 5.3 PROPIEDAD DE LAS RELACIONES Si establecemos una relación R entre los elementos de un mismo conjunto, tendremos un subconjunto del producto cartesiano A x A. Las propiedades fundamentales que pueden presentar este tipo de relación son: Propiedad reflexiva: Cuando todo elemento del conjunto está relacionado con sí mismo. R es reflexiva en A x ( x A xrx) Propiedad irreflexiva: Cuando ningún elemento está relacionado consigo mismo. R es ireflexiva en A x ( x A No xrx) Propiedad simétrica: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, éste segundo también está relacionado con el primero. 106

107 R es simétrica en A x y ( x,y A, xry yrx) Propiedad asimétrica o antisimétrica: Cuando ningún par ordenado de la relación cumple la propiedad simétrica. R es antisimétrica en A x y ( x,y A, xry yrx x=y) Propiedad transitiva: Cuando cada vez que un elemento está relacionado con otro, y éste está relacionado con un tercero, el primer elemento está relacionado con el tercero. R es transitiva en A x y z ( x,y,z A, xry yrz xrz) Otras características de las propiedades para relaciones de un mismo conjunto, son las siguientes: 107

108 5.4 RELACIONES DE EQUIVALENCIA Una relación R sobre un conjunto A se le llama relación de equivalencia si cumple con las propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo: C = {-2,-1,0,1,2} R = { (x,y) x,y C x-y es par} R = {(-2,-2), (-2,0), (-2,2), (-1,-1), (-1,1), (0,-2), (0,0), (0,2), (1,-1), (1,1), (2,-2), (2,0), (2,2)} Relación de equivalencia Reflexiva (X,X) { (-2,-2), (-1,-1), (0,0), (1,1), (2,2) } Simétrica (X,Y)(Y,X) { (-2,0), (0,-2); (0,2), (2,0); (1,-1), (-1,1); (2,-2),(2,2) } Transitiva (X,Y)(Y,Z) (X,Z) { (-2,0), (-2,2) (-2,2); (-1,1), (-1,1) (-1,1); } 108

109 Para: R = {(-2,-2), (-2,0), (-2,2), (-1,-1), (-1,1), (0,-2), (0,0), (0,2), (1,-1), (1,1), (2,-2), (2,0), (2,2)} Una relación de equivalencia.- caso especial de las relaciones en un conjunto, la cual permite marcar características similares entre sus elementos mediante clasificación, determinando una partición del mismo en las clases de equivalencia. CLASES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES Partición Una colección L de conjuntos no vacíos se llama partición de un conjunto X si L es disjunta por pares y la unión de estos conjuntos es X. Ejemplo: L = { {1,4,5}, {2,6}, {3}, {7,8}} es una partición del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8} 109

110 TEOREMA. Dada una relación de equivalencia en un conjunto X, se puede hacer una partición de X agrupando los elementos equivalentes de X. Sea R una relación de equivalencia sobre un conjunto X. Para cada a X, sea [a] = {x X xra} Entonces: L = {[a] a X } Es una partición de X. CLASES DE EQUIVALENCIA. Sea R una relación de equivalencia en un conjunto X. Los conjuntos [a] definidos antes se denominan clases de equivalencia de X inducidas por la relación R. Ejemplo: Considere la partición L ={ {1,3,5}, {2,6}, {4} }. La clase de equivalencia [1] contiene a todos los x tales que (x,1) R. Entonces [1] = {1, 3, 5}. De manera similar: [3] = [5] = {1, 3, 5}, [2] = [6] = {2, 6}, [4] = {4} 110

111 RELACIONES DE ORDEN PARCIAL Y REPRESENTACIÓN La relación se llama de orden parcial si satisface las siguientes propiedades: reflexiva, antisimétrica y transitiva. Si S es un conjunto bajo un orden parcial se dice que (S, ) es un conjunto parcialmente ordenado (COPO). Ejemplo: S = {1,2,3,4,5,6} y m n = n es múltiplo de m COPO (S, ) = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2,6), (3,6), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} Los copos se pueden representar gráficamente mediante un diagrama de Hasse: 111

112 Una relación de orden.- otro caso especial de las relaciones en un conjunto, la cual permite dar jerarquía a los elementos a través de la relación. En los diagramas de Hasse, se utilizan puntos para representar a cada elemento de la relación, los cuales se unen por medio de una recta, de modo que el primer elemento de la relación quede abajo y el segundo arriba. 112

113 UNIDAD 6 TEORIA DE GRAFOS 6.1 GRAFOS Y ÁRBOLES Introducción La teoría de grafos se inicia con ideas geométricas muy simples y tienen muchas aplicaciones importantes ya que es una herramienta básica aplicable a los campos de la ciencia y la tecnología. Sus áreas de aplicación se observan por ejemplo: en la inteligencia artificial, la economía, la física, la teoría de autómatas, las telecomunicaciones, la biología, la teoría de los juegos, la teoría de conjuntos, etcétera. Para entender mejor los grafos y sus estructuras, podemos expresar que un grafo se compone básicamente por dos partes: Un Nodo o Vértice Una Arista (que también puede presentarse como un Segmento, Bucle, Rama o Lazo, según sea su aplicación.) Por lo tanto, tomando en cuenta los conceptos anteriores podemos denotar a un grafo como un conjunto de nodos y segmentos G = (N, S). TIPOS DE GRAFOS Existen diferentes tipos de grafos debido a su composición o estructura, es decir, dependiendo de ciertas características en su formación. Dichas estructuras se presentan a continuación desde la más simple. 113

114 NODOS Un Nodo o Vértice Estos son elementos en los cuales se unen dos o más segmentos. Se pueden denotar como: nodo N, o vértice V. Un nodo puede expresarse tal y como se muestra en la Figura. RAMAS Y LAZOS Las ramas y lazos de un grafo son totalmente iguales o equivalentes a un segmento o una arista, solamente varía su aplicación, ya que los conceptos de rama y lazo son utilizados principalmente en árboles binarios. Así pues, tenemos que una arista, segmento, rama o lazo es la unión entre dos o más nodos. Y se denota como N o S, nodo o segmento respectivamente. También, una arista puede representarse como un bucle, que es una arista que regresa al mismo nodo, (no confundiéndolo con una arista cíclica, que va de un nodo A al nodo B y retorno al origen). A continuación se muestran ejemplos de un nodo o vértice en un grafo común (Figura. 5.2), una rama o lazo de un árbol binario (Figura. 5.3), un bucle (Figura. 5.5), y una arista cíclica (Figura. 5.5) 114

115 Figura. 5.2 Figura. 5.3 Figura. 5.4 Figura

116 6.2 Grado o Valencias En Teoría de grafos, el grado o valencia de un vértice(nodo) es el número de aristas incidentes al vértice. Un ejemplo de valencias en nodos: Las valencias en grafos también se pueden expresar como pesos, y estos se encuentran generalmente como unidades de distancia entre dos nodos (aristas), a un grafo con valencias asignadas se le denomina grafo rotulado. Este tipo de aplicaciones de grafos se pueden utilizar para graficar un mapa o un croquis de determinado lugar. Un ejemplo de valencias en aristas: Figura

117 CAMINOS Un camino se puede expresar como una secuencia de arcos, de tal manera que el vértice final de cada uno sirve como vértice inicial al siguiente. Un camino tiene una longitud n si pasa por n arcos, y por tanto, recorre n + 1 vértices. TIPOS DE CAMINOS. El camino elemental o trayectoria: es un camino que pasa por una serie de vértices una sola vez. Es decir, es aquel que no pasa 2 veces por un mismo vértice, salvo, excepcionalmente, que el vértice que se repite sea el inicial y el final. Camino simple o sendero: es un camino que pasa por una serie de aristas una sola vez. Todo camino elemental es un camino simple, pero la inversa puede no cumplirse. Ambos caminos pueden observarse en la Figura. 5.7 Figura

118 RAMAS PARALELAS Las ramas paralelas se pueden distinguir tomando en cuenta a un árbol binario, se ubican en un par de ramas o lazos que descienden en un mismo nivel como se muestra en la Figura. 5.8 Figura. 5.8 GRAFOS SIMPLES, DE SIMILARIDAD, BIPARTIDOS Y COMPLETOS. Existen diferentes tipos de grafos, los cuales se enuncian y muestran a continuación. GRAFOS SIMPLES: Se dice que es grafo simple cuando no hay más de una arista entre un par de nodos (no más de de una arista dirigida en el caso de gráficas dirigidas). 118

119 Figura. 5.9 GRAFOS BIPARTITOS: Se dice que es un grafo bipartito G cuando un conjunto de nodos N se puede particionar en dos subconjuntos P y Q tales que, cada segmento de G, conecta un nodo de P con un nodo Q, tal y como se muestra en la Figura Figura Un grafo bipartito completo, es cuando cada nodo de P está conectado con cada nodo de Q. En los ejemplos anteriores, todos son grafos bipartitos completos. 119

120 GRAFOS COMPLETOS: Un grafo completo es cuando cada nodo está conectado con todos los nodos. Al grafo completo de n nodos se le denota como grafo regular K Figura GRAFOS NULOS Existen también grafos nulos, los cuales son un conjunto de nodos aislados desunidos, es decir a los cuales no llega un segmento o un bucle. Figura

121 GRAFOS DE SIMILARIDAD: Veamos la siguiente gráfica: Figura Aquí se muestran dos grafos (a, b) y (b, a) no son iguales pero son similares ya que en los dos grafos tienen los mismos vértices. GRAFOS CONEXOS Un grafo es conexo si no puede ser expresado como la unión de dos subgrafos, de lo contrario será inconexo. Se dice que un grafo G (VA) es conexo si cualquier vértice V pertenece al conjunto de vértices, alcanzable desde cualquier otro. Claro ejemplo se observa en la Fig.5.14, ya que cumple con las reglas que se mencionan más adelante. Figura

122 La relación ALCANZABLE DESDE, resulta ser una relación de equivalencia sobre el conjunto de vértices desde un grafo que cumple las siguientes propiedades. Reflexiva: Toda vértice es alcanzable desde sí mismo. Simétrica: Si 1 es alcanzable desde 2 entonces 2 es alcanzable desde 1. Transitiva: Si 1 es alcanzable desde 2, 1 es alcanzable desde 3, entonces 1 es alcanzable desde 3. La relación de equivalencia induce en el conjunto de vértices del grafo una partición el cual es un conjunto de componentes conexos que se definen a través de sus propiedades. En caso contrario, es decir, en que no se cumplan totalmente las reglas de un grafo conexo, será inconexo (Fig. 5.15). Figura

123 Un grafo está fuertemente conectado si desde cualquier vértice se puede llegar a todos los demás, es decir que desde cualquier vértice se puede visitar todos los demás como se muestra en la Figura Figura Un grafo es débilmente conectado, si por lo menos desde un vértice no podemos llegar a los demás. (Fig. 5.17) Figura

124 REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE GRAFOS. Para poder trabajar con grafos en una computadora, se han de representar en forma matricial, es decir, utilizando matrices matemáticas. Así, comprendemos que a todo grafo se le puede asociar con una matriz cuadrada booleana M, donde las filas van a representar el vértice inicial y las columnas el vértice final. Un claro ejemplo se encuentra en la Figura Figura RAMAS DE MATRIZ ADYACENTE E INCIDENCIA. Matriz de Incidencia La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias. 124

125 Construcción de la matriz a partir de un grafo Relación binaria descrita mediante una matriz de incidencia, y mediante un grafo 1. Las columnas de la matriz representan las aristas del grafo. 2. Las filas representan a los distintos nodos. 3. Por cada nodo unido por una arista, ponemos un uno (1) en el lugar correspondiente, y llenamos el resto de las ubicaciones con ceros (0). En el ejemplo de la figura, si sumamos las cantidades de 1 s que hay en cada columna, veremos que hay solo dos. Pero si sumamos las cantidades de unos 1 s que hay por cada fila, comprobaremos que los nodos 2, 4 y 5 poseen un valor de 3. Ese valor indica la cantidad de aristas que inciden sobre el nodo. Ejemplo Comparación con otras representaciones Existen otras formas de representar relaciones binarias, como por ejemplo los pares ordenados o los grafos. Cada representación tiene sus virtudes y desventajas. En particular, la matriz de incidencia es muy utilizada en la programación, porque su naturaleza binaria y matricial calza perfecto con la de los computadores. Sin embargo, a 125

126 una persona común y corriente se le hará mucho más sencillo comprender una relación descrita mediante grafos, que mediante matrices de incidencia. Otra representación matricial para las relaciones binarias es la matriz de adyacencia. Matriz de adyacencia La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias. Construcción de la matriz a partir de un grafo 1. Las columnas y filas de la matriz representan los nodos del grafo. 2. Se llena la matriz de ceros (0). 3. Por cada arista que une a dos nodos, se suma uno (1) al valor que hay actualmente en la ubicación correspondiente de la matriz. 1. Si tal arista es un bucle y el grafo es no dirigido, entonces se suma dos (2) en vez de uno (1). Finalmente, se obtiene una matriz que representa el número de aristas (relaciones) entre cada par de nodos (elementos). Existe una matriz de adyacencia única para cada grafo (sin considerar las permutaciones de filas o columnas), y viceversa. Comparación con otras representaciones Existen otras formas de representar relaciones binarias, como por ejemplo los pares ordenados o los grafos. Cada representación tiene sus virtudes y desventajas. En particular, la matriz de adyacencia es muy utilizada en la programación, porque su 126

127 naturaleza binaria y matricial calza perfecto con la de los computadores. Sin embargo, a una persona común y corriente se le hará mucho más sencillo comprender una relación descrita mediante grafos, que mediante matrices de incidencia. Otra representación matricial para las relaciones binarias es la matriz de incidencia. La matriz de adyacencia es una matriz cuadrada que se utiliza como una forma de representar relaciones binarias 1. Suponga que le dicen que la matriz de la adyacencia para un grafico simple tiene 5 filas y 5 columnas. 2. Y Suponga que también le dicen que cada fila contiene tres unos y dos ceros, porque es este imposible? porque no seria una matriz 3. Consiga la matriz de la adyacencia para un cubo. Fig.5.19 Figura

128 Tabla corregida ISOMORFISMO El concepto de isomorfismo es el cambio de estructura si añadir o retirar parte de ella, es decir, que dos grafos son isomorfos que presentan las mismas partes que les componen aun en diferentes órdenes, como se muestra en la Fig. 5.20, donde ambas figuras son isomorfas de si misma. Figura

129 6.3 REDES En este apartado nos referimos a problemas que tienen como objetivo central encontrar redes eficientes que conecten un conjunto de puntos. En muchas situaciones practicas como en la instalación de redes eléctricas o de telefonía, en la construcción de redes de transporte, así como en el diseño de circuitos eléctricos, que requiere conectar puntos que representan localizaciones geográficas (centrales telefónicas, ciudades, etc.) de tal manera que se puede ir desde cualquier punto cualquiera otro. Cuando esto se logra, tenemos una red en la que las conexiones son líneas telefónicas, carreteras, vías férreas, documentos, etc. Además de la posibilidad de conseguir una red que interconecte a un conjunto de puntos se requiere que esto se haga de manera óptica donde usualmente optima, significa más barata o más corta. A los problemas que se refieren a la posibilidad de encontrar redes mínimas, y nuevamente la principal herramienta para resolverlos es la teoría de graficas. Empezaremos por definir lo que es una red de transporte y cómo se utilizan para modelar. DEFINICION 1. Una Red de Transporte R es un grafo dirigido ponderado con las siguientes características: I.) Tiene un nodo fijo F, llamado fuente, el cual no tiene ninguna arista terminal. II.) El peso de cada arista (i,j) es no negativo; esto es, w(i,j)

130 Las redes de transporte tienen algunas propiedades que son inmediatas, una de ellas que resulta muy importante es el hecho de que el flujo de salida de la fuente es igual al flujo de entrada del sumidero. Esto se puede establecer en el teorema siguiente utilizando la simbología apropiada. TEOREMA. Sea R una red de transporte con flujo f, entonces: f(f,i) = f(i,s) EJEMPLO. En una parte de la ciudad se van a colocar dos bombas de agua para abastecer a tres colonias de acuerdo al siguiente diagrama: Como se puede ver, esta no es una red de transporte puesto que no hay una fuente ni un sumidero. Pero debido a que es un grafo dirigido y que el flujo va de izquierda a derecha podemos fácilmente convertirla en una red, agregándole un nodo fuente F y otro nodo sumidero S. Para esto, le agregamos las correspondientes aristas con como peso, para dar opción a cualquier posible valor. TEOREMA DEL FLUJO MAXIMO Una vez que hemos modelado una situación específica con una red de transporte, es importante poder analizar su alcance, esto es, el flujo máximo que puede soportar. En el caso concreto de las bombas de agua nos interesa saber cuál es la cantidad máxima que es posible suministrar con este sistema de bombeo. Para esto veremos un algoritmo que nos ayudará a determinar este valor tan importante. Definición 1. Sea R una red de transporte con fuente F, sumidero S, con pesos w(i,j) y con flujo f. Sea n0, n1,, nk un camino de F = n0 a S = nk, donde las 130

131 aristas pertenecen a R pero sin considerarlo como un grafo dirigido. Una arista (ni, ni+1) en el camino: Si está en R decimos que está orientada en forma propia y si no está en R decimos que no está orientada en forma propia. Dos aristas consecutivas pueden tener las siguientes orientaciones: Primera Orientada en forma propia Orientada en forma propia No orientada en forma propia No orientada en forma propia Segunda No orientada en forma propia No orientada en forma propia Orientada en forma propia Orientada en forma propia Teorema: Sea C: n0, n1,, nk un camino de F = n0 a S = nk en una red R. Sea f un flujo en R con valores f(i,j). Para las aristas orientadas en forma propia tenemos W(i,j) < f(i,j) y para las no orientadas en forma propia f(i,j) > 0. Definimos f + (i,j) como: f(i,j) para las aristas que no están en el camino. f(i,j) + M si la arista está orientada en forma propia. f(i,j) M si la arista no está orientada en forma propia. M = min { W(i,j) f(i,j) si (i,j) está orientada en forma propia y si f(i,j) no está orientada en forma propia } Entonces f+ es un flujo que f precisa en el valor M. Algoritmo del Flujo Máximo: 131

132 Sea R una red de transporte con fuente F y sumidero S y con pesos w(i,j) para cada arista (i,j). Sean n0, n1,, nk los nodos de la red. [I] Inicio: f(i,j) = 0, N = { } [E] Eliminar etiquetas: pred(ni) = NULL, val(ni) = NULL para todos los nodos ni. [Fuente] Etiquetar la fuente: pred(f) = #, val(f) =, N = { F } [Fin] Si N = { } el algoritmo termina y f es un flujo máximo. [Main] Mientras val(s) = NULL [N] Elegimos un nodo u en N, N = N ū. [A] Para toda arista (u,v) con val(v) = NULL si f(u,v) < W(u,v) : pred(v) = u y val(v) = min {val(u), W(u,v) f(i,j)} si f(u,vj) > 0 : pred(v) = u y val(v) = min{ val(u), f(i,j) } hacemos N = N {v} [C] Encontramos un camino n0, n1,, nk de F a S. Sea S = n0, ni + 1 = pred(ni) para todo nodo ni F [AC] Actualizar el flujo en el camino. Para cara (ni, ni-1) Si la arista está orientada en forma propia f(ni, ni-1) = f(ni, ni-1) + val(s) Si la arista no está orientada en forma propia f(ni, ni-1) = f(ni, ni-1) val(s) Quitamos el predecesor de S, pred(s) = NULL Regresar a [Fin] 132

133 TEOREMA DEL CORTE MINIMAL Un corte T es una selección cualquiera de nodos de una red tal que la fuente F está en T y el sumidero S no está en T. Vemos por lo tanto que S Tc. Definición: Decimos que un corte es mínimo si la capacidad tiene un valor mínimo. Ejemplo. La capacidad del corte del ejemplo 1 es w(f,e) + w(f,h) + w(c,d) = = 14 Teorema. Si tenemos una red R con flujo f y un corte T. Entonces si la igualdad del teorema anterior se cumple se tiene un flujo máximo y un corte mínimo. En este caso se tiene: f(i,j) = w(i,j) si i T, j NO T y también f(i,j) = 0 si i NO T, j T. A este teorema se le conoce como el teorema del flujo máximo y corte mínimo. PAREOS La teoría de redes y en particular el teorema del flujo máximo tienen muchas aplicaciones. Uno de los ejemplos más ilustrativos es el problema de hacer corresponder los elementos entre dos conjuntos. Supongamos que tenemos una relación entre dos conjuntos, por ejemplo el caso de que 4 personas S1, S2, S3 y S4 solicitan trabajo y se tienen 4 trabajos disponibles T1, T2, T3, T4: El primero está capacitado para los trabajos T2 y T4, el segundo solicita a T1, T3 y T4 y el tercero a T2 y T4 y el cuarto para T2 y T4. 133

134 REDES PETRI Una Red de Petri es una representación matemática de un sistema distribuido discreto. Las redes de Petri fueron definidas en los años 1960 por Carl Adam Petri. Son una generalización de la teoría de autómatas que permite expresar eventos concurrentes. Una red de Petri está formada por lugares, transiciones y arcos dirigidos, así como por fichas que ocupan posiciones. Los arcos conectan un lugar a una transición o una transición a un lugar. No puede haber arcos entre lugares ni entre transiciones. Los lugares contienen un número cualquiera de fichas. Las transiciones se disparan, es decir consumen fichas de una posición de inicio y producen fichas en una posición de llegada. Una transición está habilitada si tiene fichas en todas sus posiciones de entrada. En su forma más básica, las fichas que circulan en una red de Petri son todas idénticas. Se puede definir una variante de las redes de Petri en las cuales las fichas pueden tener un color (una información que las distingue), un tiempo de activación y una jerarquía en la red. La mayoría de los problemas sobre redes de Petri son decididles, tales como el carácter acotado y la cobertura. Para resolverlos se utiliza un árbol de Karp-Miller. Se sabe que el problema de alcance es decidible, al menos en un tiempo exponencial. DEFINICIÓN DE LAS REDES DE PETRI Mediante una red de Petri puede modelizarse un sistema de evolución en paralelo compuesto de varios procesos que cooperan para la realización de un objetivo común. 134

135 La presencia de marcas en una ficha se interpreta habitualmente como presencia de recursos. El franqueo de una transición (la acción a ejecutar) se realiza cuando se cumplen unas determinadas precondiciones, indicadas por las marcas en las fichas (hay una cantidad suficiente de recursos), y la transición (ejecución de la acción) genera unas pos condiciones que modifican las marcas de otras fichas (se liberan los recursos) y así se permite el franqueo de transiciones posteriores. Definición: Una red de Petri es un conjunto formado por R = {P,T, Pre,Post}, dónde P es un conjunto de fichas de cardinal n, T un conjunto de transiciones de cardinal m, PRE la aplicación de incidencia previa que viene definida como y Post la aplicación de incidencia posterior que viene definida como Definición: Una red marcada es el conjunto formado por {R,M} donde R es una Red de Petri como la definida, M es una aplicación denominada marcado y. Se asocia a cada ficha un número natural, denominado marca. Las marcas para una ficha se reúnen en columnas 135

136 6.4 ÁRBOLES Un árbol es una grafica conexa que no contiene circuitos. En la actualidad, los árboles son algunas de las estructuras más útiles de las matemáticas discretas y constituyen una herramienta invaluable en las ciencias de la computación, ya que muchas de las clasificaciones y búsquedas que realizan las computadoras pueden ser modeladas por árboles. Debido a su importancia es preciso familiarizarnos con ellas y enunciar algunas de sus propiedades más útiles. Ejemplo: Las figuras 5.22 muestra ejemplos de gráficas que son árboles (todas son conexas y no tiene circuitos). Figura 5.22 Las figuras 5.23 muestran ejemplos de graficas que no son árboles. Figura 5.23 La figura del lago derecho si es un árbol no debería estar incluida. 136

137 En una grafica conexa, cualesquiera dos vértices están conectados por una trayectoria, y de que si hay más de una trayectoria que las conecte entonces la gráfica no es un árbol. Caracterización 1 Unos árboles cualesquiera dos vértices están unidos por una única trayectoria. Caracterización 2 En un árbol las aristas son puentes. Caracterización 3 Todo árbol con n vértices tiene exactamente n-1 aristas. ÁRBOLES GENERADORES. La figura (1 (a)) muestra tres gráficas que son conexas y que no son árboles; tienen demasiadas aristas! Cada una de estas gráficas contiene un árbol (figura 1 (b)) que incluye a todos sus vértices y al que llamamos un árbol generador de la gráfica. Figura 1. (a) Ninguno es árbol. Ya que tienen circuitos. Figura 1. (a) 137

138 Figura 1. (b) Estos dos grafos son arboles porque no tienen circuitos Un árbol generador es aquel que, el número de sus aristas tiene que ser uno menos que el número de sus vértices, y podemos reformular la definición de árbol generador como: Un árbol generador de una gráfica conexa G con n vértices es una subgráfica de G que tiene n-1 de las aristas de G y todos los n vértices de G. Cómo encontrar árboles generadores? La caracterización 2 de árbol sugiere un método para encontrar un árbol generador para una gráfica. Solo hay que eliminar sucesivamente aristas de la gráfica hasta llegar a una etapa en que la eliminación de cualquiera de las aristas restantes produce una gráfica no conexa. 138

139 Ejemplo: La figura 2 (a) muestra una gráfica conexa que tiene 9 vértices y 10 aristas, por lo que sabemos que no es un árbol (véase la caracterización 3). Sabemos que un árbol generador de esta gráfica tiene que tener los mismos 9 vértices y 8 aristas, y por lo tanto que tenemos que eliminar dos aristas para conseguir un árbol generador. La figura 2 (b) muestra el árbol generador obtenido al eliminar las aristas AB y FG. Observa que este árbol generador es sólo de los muchos posibles para esta gráfica Figura 2 a Figura 2b 139

140 6.5 ALGORITMO DE KRUSKAL En 1956 el matemático norteamericano Joseph Kruskal descubrió un algoritmo muy simple cuya aplicación nos garantiza encontrar un árbol generador mínimo en cualquier gráfica ponderada. La idea principal de Kruskal consiste en ser ambicioso, escogiendo siempre la arista más barata disponible y cuidando que en cada paso del proceso no se forme ningún circuito. Ejemplo 6. Encontrando el árbol generador mínimo de la siguiente figura 5.24 Paso 1. Elegimos la arista de peso mínimo; es la arista AE (peso 2), (figura 3.1) Paso 2. Elegimos la siguiente arista de peso mínimo; hay dos, AC (peso 4) y CE (peso 4). En este caso podemos elegir cualquiera de las dos. Elegimos CE (figura 3.2) 140

141 Paso 3. En este caso no podemos incluir la arista AC por que se formaría un circuito (A, C, E, A), por tanto elegimos la siguiente arista BC (peso 5), (figura 3.3). Paso 4. Elegimos la siguiente arista de peso mínimo; hay dos AB (peso 6) y BE (peso 6). Con cualquiera de estas dos aristas se formaría un circuito, escogemos entonces las aristas DE (peso 7) por ser la siguiente arista de peso mínimo (figura 3.4) Esto completa la construcción de un árbol generador, que es un árbol generador mínimo de peso total 18. Figura 5.25 Figura 5.26 Figura 5.27 Figura

142 Algoritmo de kruskal Regla 1. Elige la arista de menor peso (en caso de empate elige una arbitraria). Regla 2. Elige la siguiente arista disponible de menor peso. Si hay más de una, elige una arbitrariamente. Regla 3. Elige la siguiente arista de menor peso que no cierra un circuito con las aristas ya elegidas. Si hay más de una, elige una arbitrariamente. Regla 4. Para una gráfica de n vértices, repita la regla 3 hasta que se hayan elegido n-1 aristas de la gráfica. Los vértices de la gráfica y las n-1 aristas así elegidas constituyen el árbol generador mínimo. 142

143 Ejercicios. 1.- Encontrar un árbol generador para las siguientes gráficas: 143

144 6.6 BOSQUES Es inmediato probar que si un grafo G no tiene ciclos, es unión disjunta de árboles (es decir todas sus componentes conexas son árboles). A los grafos que no tienen ciclos se les llama Bosques. Figura 5.29 Teorema: Un grafo G es un bosque si, y sólo si para todo par de vértices distintos U, V existe a lo sumo un camino simple de extremos U y V. U Figura

145 LA RUTA MÁS CORTA En esta sección nos referiremos a un problema que es similar a los problemas que hemos considerado anteriormente en que a pesar de su aparente sencillez, involucra métodos e ideas que han probado ser invaluables en la solución de una gran gama de problemas prácticos. En la sección pasada nos referimos a problemas cuyo objetivo es encontrar redes eficientes que conectan a un conjunto de puntos, y en el capitulo anterior el problema «, del agente viajero plantea la posibilidad de encontrar un circuito de Hamilton de menor peso total en una grafica ponderada. Qué ocurre si en lugar de querer visitar todos los vértices de una grafica regresando al punto de partida nos interesa únicamente encontrar la ruta más corta de un vértice a otro de la grafica? Este es precisamente el problema que nos interesa plantear y resolver en esta sección. Continuando con el tema de viajeros y rutas, consideremos un sistema de carreteras e intersecciones. Una persona desea viajar en su automóvil desde una intersección A del sistema hacia otra intersección B. En general, hay muchas rutas disponibles de A a B. El problema consiste en determinar una ruta para la cual la distancia recorrida sea la menor posible, es decir la ruta más corta. Suena familiar? En términos puramente matemáticos, recurriendo al lenguaje de teoría de graficas, el problema de la ruta más corta consiste en determinar una trayectoria de menor peso total que une a cualesquiera dos vértices de una grafica ponderada conexa. Así planteado el problema, y de acuerdo con la experiencia que hemos adquirido, ya 145

146 te podrás haber imaginado la cantidad de situaciones prácticas que este problema matemático representa. Si recordamos que los pesos de las aristas pueden representar distintas variables (distancia, tiempo, costo, etc.) y que los vértices pueden representar distintos objetos (ciudades, intersecciones de calles etc.), el problema de la ruta más corta estará involucrado en cualquier problema practicó de la vida real en el que el objetivo sea encontrar la manera más eficiente de interconectar a cualesquiera dos de estos objetos. Cómo resolverías el problema de la ruta más corta? Una posible manera de resolverlo es recurrir a la fuerza bruta como ya lo hemos hecho antes, enlistando de una manera sistemática todas las posibles rutas (trayectorias) entre los dos vértices en cuestión, calculando el peso total de cada una de ellas, y seleccionando la de menor peso total. Como ya sabemos, este no es un procedimiento eficiente m cuando la grafica involucrada tiene muchos vértices, y el trabajo se vuelve inmanejable m incluso para una supercomputadora. Lo que necesitamos es un algoritmo eficiente para determinar la ruta más corta en el que el trabajo necesario no crezca muy rápidamente B cuando el tamaño de la grafica crece. La experiencia de la sección anterior, donde presentamos el algoritmo de Kruskal que resuelve el problema de encontrar árboles generadores mínimos de una manera simple y contundente. Es verdad que después de la experiencia con el - problema del agente viajero para el que no se conoce un algoritmo óptimo y eficiente, tenemos razón de dudar. 146

147 Afortunadamente, en el problema de la ruta más corta nos encontramos nuevamente ante una de esas situaciones excepcionales en donde todo funciona muy bien y en donde, como en el problema de árboles generadores mínimos, contamos con un algoritmo simple, óptimo y eficiente. El algoritmo que se usa para encontrar una trayectoria óptima se atribuye a E.W. Dijstra, nacido en los Países Bajos en 1930, y considerado como uno de los teóricos originales de la ciencia de la computación moderna. El algoritmo de Dijstra. Llamado así en su honor, permite encontrar la trayectoria más corta de un vértice de una grafica hacia cada uno de los otros vértices de la grafica. Más adelante en esta sección presentaremos una modificación del algoritmo de Dijstra. RECORRIDOS EN UN ÁRBOL Proceso que permite acceder una sola vez a cada uno de los nodos del árbol para examinar el conjunto completo de nodos. Recorrido en Profundidad: el proceso exige alcanzar las profundidades de un camino desde la raíz hacia el descendiente más lejano del primer hijo, antes de proseguir con el segundo. Recorrido en Anchura: el proceso se realiza horizontalmente desde la raíz a todos sus hijos antes de pasar con la descendencia de alguno de ellos. Primeramente se ven los algoritmos para construir el árbol sintáctico, para la expresión dada en sufijo, prefijo o posfijo y también se presentan algoritmos para reconocer si una expresión está sintácticamente correcta cuando está dada en prefijo o posfijo. 147

148 Recorridos: Al visitar los nodos de un árbol existen algunas maneras útiles en las que se pueden ordenar sistemáticamente los nodos de un árbol. Los ordenamientos más importantes son llamados: pre orden, post-orden y enorden y se definen recursivamente como sigue: Si un árbol T es nulo, entonces, la lista vacía es el listado pre orden, post-orden y en-orden del árbol T. Si T consiste de un sólo nodo n, entonces, n es el listado pre orden, post-orden y en-orden del árbol T. Los algoritmos de recorrido de un árbol binario presentan tres tipos de actividades comunes: Visitar el nodo raíz Recorrer el subárbol izquierdo Recorrer el subárbol derecho Estas tres acciones llevadas a cabo en distinto orden proporcionan los distintos recorridos del árbol. Recorrido en PRE-ORDEN: Visitar el raíz Recorrer el subárbol izquierdo en pre-orden Recorrer el subárbol derecho en pre-orden 148

149 Recorrido EN-ORDEN Recorrer el subárbol izquierdo en en-orden Visitar el raíz Recorrer el subárbol derecho en en-orden Recorrido en POST-ORDEN Recorrer el subárbol izquierdo en post-orden Recorrer el subárbol derecho en post-orden Visitar el raíz Si T es un árbol con raíz n y subárboles T1, T2, Tk, entonces, El listado pre-orden de los nodos de T es la raíz n, seguida por los nodos de T1 en pre-orden, después los nodos de T2 en pre orden, y así, hasta los nodos de Tk en pre-orden. El listado post-orden de los nodos de T es los nodos de T1 en postorden, seguidos de los nodos de T2 en post-orden, y así hasta los nodos de Tk en post-orden, todos ellos seguidos de n. El listado en-orden de los nodos de T es los nodos de T1 en-orden, seguidos por n, seguidos por los nodos de T2, Tk, cada grupo. Recorreremos el Árbol Siguiente: Recorrido Pre Orden (RID) El recorrido en Pre Orden del árbol es el siguiente: 2, 7, 2, 6, 5, 11, 5, 9 y 4. Recorrido En Orden (IRD) El recorrido en InOrden del árbol es el siguiente: 2, 7, 5, 6, 11, 2, 5, 4 y 9 149

150 .Recorrido Post Orden (IDR) El recorrido en Post Orden del árbol es el siguiente: 2, 5, 11, 6, 7, 4, 9, 5 y APLICACIONES DE GRAFOS A TODO COLOR En las secciones precedentes hemos considerado tanto los aspectos teóricos como las aplicaciones prácticas de diversos temas de la teoría de graficas. En esta sección presentaremos nuestros últimos temas de graficas que es el que se refiere a la coloración de graficas. Los problemas de coloración de graficas constituyen una de las aéreas mas importantes de la teoría de graficas que dentro del contexto global de las matemáticas representan un tema profundo, dotado de una gran importancia histórica y que tiene muchas aplicaciones a problemas reales tanto en procesos de producción como en el diseño y asignación de horarios, de canales a transmisores de radio y televisión, etc. COLORACIÓN DE GRAFICAS El problema más estudiado en este tema basado en una muy vieja idea que consiste en colorear los vértices de una grafica de tal manera que si dos vértices están unidos por una arista, tengan colores distintos. Surge entonces la pregunta cuántos colores se necesitan para colorear una grafica? El problema de coloración de vértices consiste en determinar el mínimo número de colores necesarios para colorear una grafica. El origen de este problema es el conocido como problema de los cuatro colores o conjetura de los cuatro colores 150

151 que desafió a grandes matemáticos por más de un siglo, hasta que en 1977 se convirtió en el teorema de los cuatro colores. PROBLEMA DE LOS CUATRO COLORES En sus orígenes, el problema de los cuatro colores se describía en términos de coloración de mapas.es común que los mapas que dibujan en un plano sean coloreados de tal manera que para países vecinos se usen colores distintos. Esto permite distinguir fácilmente los diferentes países y localizar sus fronteras. La pregunta cuántos colores se necesita para colorear un mapa? Surge de manera natural, ya que mientras más grande y complicado sea el mapa se espera necesitar más colores. El objetivo principal al colorear un mapa es el de usar el menor número de colores posibles, siempre y cuando se usen colores distintos para los países que comparten una frontera. En 1852 el notable matemático Augusto de Morgan de la universidad de Londres y uno de sus estudiantes, Francis Guthrie observo que el mapa de los condados de Inglaterra podía ser coloreado con cuatro colores de tal manera que condados distintos tuviesen colores distintos. Guthrie le pregunto a de Morgan si era verdad que bastan cuatro colores para colorear un mapa. La primera referencia escrita sobre el problema de los cuatro colores es una carta escrita por de Morgan, dirigida a Sir William Rowan Hamilton fechada el 23 de octubre de 1852, donde relata la pregunta de su estudiante. A Hamilton no le intereso el problema y así lo expreso a de Morgan. Después de algunas reflexiones, a de Morgan le parecía claro que cuatro colores deberían de bastar, pero no pudo demostrarlo y nadie más pudo hacerlo durante más de un 151

152 siglo, hasta que en 1976 dos matemáticos de la universidad de Illinois, Kenneth Apple y Wolfgang Haken resolvieron el problema. Así lo que por muchos años se conocía como la conjetura de los cuatro colores se convirtió en el teorema de los cuatro colores. El problema fue resuelto de una manera muy diferente a la de cualquier intento previo, ya que se usaron más de 1200 horas de tiempo de una computadora de alta velocidad para producir una demostración que ocupa cientos de páginas y aproximadamente 10,000 diagramas. Hasta el momento no se conoce una demostración que no dependa de una verificación por computadora. Pero como un problema tan simple es tan difícil de resolver, tan difícil que durante muchos años permaneció como uno de los problemas más famosos de las matemáticas? Para entender la naturaleza del problema observamos que, en el mapa de la figura el país A es vecino tanto del país B como del país D, ya que cada uno de ellos tiene una frontera común con A, pero A no se le considera vecino de C por que comparten únicamente un punto y por tanto no tiene una frontera común. Podemos colorear a A y C de color rojo y de manera similar podemos colorear a B y D de azul de tal suerte que solamente se necesitan dos colores para colorear este mapa. Sin embargo rápidamente nos percatamos de que dos colores no bastan y de que hay situaciones para las que tres y hasta cuatro colores son necesarios. 152

153 La conjetura de los cuatro colore es que cuatro colores son siempre suficientes. (a) (b) (c) Figura 5.39 Desde los inicios del problema, los matemáticos observaron la utilidad replantear el problema de colorear mapas en términos de gráficos. de Si representamos cada región de un mapa dibujado en el plano por un vértice de una gráfica en la cual dos vértices están conectados por una arista si la región del mapa que cada uno representa tiene una frontera común, entonces colorear los vértices de la grafica de tal manera que los vértices adyacentes tengan colores distintos. La figura 5.39 (b) muestra una gráfica en la que cada vértice representa una región del mapa de la figura 5.39 (a) y en el que hay aristas entre vértices si las regiones del mapa tienen una frontera en común. El problema de colorear el mapa se traduce entonces en el problema de colorear los vértices de la grafica. En este caso se requieren cuatro colores. La figura 5.40 ilustra este proceso. A B E D A C C E B D Figura 5.40(a) figura 5.40 (b) 153

154 Al proceso de asignar colores a los vértices de una gráfica de tal manera que los vértices adyacentes reciban colores distintos le llamaremos colorear la grafica, y al mínimo número de colores que se necesita usar se le conoce como número cromático de la gráfica. Él número cromático de la grafica 5.40 (b) es cuatro. Figura 5.41 Colorea la gráfica, vértice por vértice y solo usa un nuevo color cuando los colores que usaste previamente ya no pueden ser usados. Una variación de este algoritmo resulta al iniciar el proceso de coloración en el vértice de mayor grado, continuando luego con el siguiente vértice de mayor grado, luego con el siguiente vértice de mayor grado y así sucesivamente hasta que todos los vértices hayan sido coloreados. Observa que los vértices de mayor grado son aquellos que están en conflicto con más vértices de la grafica. Este orden de coloreo da lugar a un algoritmo alternativo de tipo ambicioso. Colorea la gráfica, el vértice en orden descendiente de grados, después de colorear el vértice de mayor grado, continué con el siguiente vértice de mayor grado y así sucesivamente hasta colorear todos. Usa un nuevo color solo cuando los colores que usaste previamente ya no pueden ser usados. 154

155 Ahora podemos colorear la gráfica de la figura 5.41 usando cualesquiera de estas dos estrategias ( inténtalo!). La figura 5.42(a) muestra la coloración obtenida al colorear los vértices en orden consecutivo (1, 2,3,...) y la figura 5.42 (b) muestra la coloración no obtenida al colorear los vértices en orden descendiente de grado. Las dos coloraciones usan el menor número de colores y por lo tanto constituyen dos maneras distintas de determinar que él número cromático de gráfica es 5, concluyendo que el menor número de carros de arena requeridos es 12. Figura 5.42 Tanto en el ejemplo 10 como en el ejemplo 11 hemos resuelto dos problemas prácticos, reduciéndolos al mismo problema matemático de determinar el número cromático de una gráfica. Muchos otros problemas prácticos constituyen distintas formas de este mismo problema matemático y, como en el caso de los problemas de tipo PAV que 155

156 estudiamos en él capitulo 2, resolver el problema de determinar él número cromático de una grafica equivalente a resolver una gran cantidad de problemas prácticos importantes. Desafortunadamente, el problema de determinar él número cromático de una grafica es, como en el caso de los problemas de tipo PAV, un problema muy difícil y no se conoce ningún algoritmo eficiente para colorear una gráfica usando el menor número de colores, y las posibilidades de que se llegue a conocer uno son muy remotas. Los algoritmos que mencionamos en el ejemplo 11 son algoritmos aproximadamente que aunque para nuestro problema particular encontraron la respuesta óptica, en general producen respuestas aproximadas. A continuación mencionaremos otros dos problemas prácticos importantes que también se reducen al problema de colorear graficas de manera óptica. MÁS PROBLEMAS DE COLORACIÓN DE GRAFICAS Asignación de canales de radio y televisión. Las señales que unas estaciones de radio o televisión trasmiten pueden interferir con las señales de transmisión de otras. Esto depende esencialmente de la ubicación geográfica de las estaciones y de las frecuencias de transmisión. En México, la dependencia encargada de asignar las frecuencias de transmisión (canales) es la secretaría de comunicaciones y transporte. 156

157 Un problema que se plantea en las dependencias encargadas de asignar los canales de transmisión, es el de asignar el menor número de frecuencias posibles a las estaciones transmisoras de tal manera que sus señales no interfieran. La solución a este problema consiste en colorear una gráfica apropiada, construyendo una gráfica en la que los vértices representan las estaciones de transmisión y en la que hay una arista, si las señales que transmiten las correspondientes estaciones interfieren, podemos observar que si usamos como colores las frecuencias de transmisión el problema se reduce a determinar él número cromático de esta grafica. Sincronización de semáforos. El problema consiste en asignar a cada semáforo de un sistema de flujo de transito un tiempo de duración de la luz verde. A cada flujo de transito le corresponde un semáforo y por tanto se requiere asignar a cada flujo de transito un tiempo de luz verde, de tal manera que a dos flujos que se encuentren en una intersección les sean asignados distintos tiempos de luz verde. Nuevamente la solución a este problema consiste en colorear una gráfica apropiada. Los vértices son los flujos de transito, las aristas representan las interferencias, y en este caso los colores son los tiempos de luz verde. PLANARIDAD Y COLORACIÓN Hemos resuelto problemas prácticos modelándolos con gráficas apropiadas y después coloreando las gráficas. El teorema de los cuatro colores afirma que cualquier mapa que se pueda dibujar en un plano se puede colorear usando cuatro colores o menos. 157

158 Si el teorema es cierto, por qué se requieren más de cuatro colores para colorear algunas graficas? Consideremos las graficas completas K4 y K5 mostradas en las figuras 5.45 (a) y 5.45 (b) respectivamente, y tratemos de volver a dibujar cada una de ellas de tal manera que sus aristas se intercepten únicamente en los vértices (imaginemos que las aristas son ligas elásticas). (a) Figura 5.45 (b) Es muy fácil volver a dibujar la gráfica K4 de la figura 5.45 (a) sin que sus aristas se crucen, (las figura 5.46(a)); pero por más esfuerzo que hacemos no podemos dibujar la grafica K5 de la figura 5.45 (b) sin que sus aristas se crucen. Por lo menos dos de sus aristas siempre se interceptan. La figura 5.46 (b) muestra un intento K5 sin que se intercepten sus aristas. A B A C D C E D Figura

159 A una gráfica que se puede dibujar de tal manera que dos de sus aristas no se interceptan excepto en un vértice se le llama gráfica planar. La grafica completa K4 es planar y la clasifica completa K5 no es planar. Las regiones de un mapa son representadas por los vértices de una gráfica cuyas aristas unen vértices que representan regiones que tienen una frontera común, la gráfica que resulte es planar. En otras palabras, las graficas que provienen de un mapa dibujado en el plano son siempre planares. Esta observación nos permite volver a enunciar el teorema de los cuatro colores de manera distinta. La teoría de Grafos juega un papel importante en la fundamentación matemática de las Ciencias de la Computación. Los grafos constituyen una herramienta básica para modelar fenómenos discretos y son fundamentales para la comprensión de las estructuras de datos y el análisis de algoritmos. Otra gráfica importante que no es planar en relación con el problema de los servicios públicos es la grafica que volvemos a mostrar en la figura 5.47 A B C D E Figura 5.47 F 159

160 Si intentas dibujar esta grafica sin que se crucen sus aristas descubrirás que por más que te esfuerces no te será posible hacerlo. Además de no ser planar, la grafica de la figura 5.47 tiene una característica importante. Es un ejemplo de lo que se denomina grafica bipartida. Una gráfica es bipartida si sus vértices se pueden dividir en dos conjuntos distintos de tal manera que cada arista de la gráfica tenga un vértice en cada uno de estos conjuntos. Se dice que una gráfica bipartida es completa si contiene todas las aristas posibles entre las parejas de vértices en los dos conjuntos distintos. A la grafica bipartida se les denota por K M.N donde M y N son los números de vértices de los conjuntos distintos. La grafica de la figura 5.47 es una grafica K3.3. La figura 5.48 muestra una gráfica bipartida completa K3.2 porque sus vértices pueden ser separados en dos conjuntos distintos (A, B, C y X, Y); Y todas las aristas tienen un vértice en cada conjunto; las aristas posibles de un conjunto al otro han sido dibujadas. A B C X Figura 5.48 Y 160

161 El problema de determinar si una gráfica es planar puede ser difícil cuando se trata de graficas con muchos vértices; el intentar dibujar algunas de estas gráficas sin que sus aristas se crucen consumiría mucho tiempo y esfuerzos sin garantía de resultados. En 1930 el matemático polaco casimires kuratowski demostró un teorema que proporciona un criterio para determinar la planaridad de una grafica. El teorema de kuratowski identifica a las importantes graficas K5 y K3.3 como las culpables de que una grafica no sea planar, y afirma que cualquier grafica que contenga a K5 o K3.3 como subgráfica no es planar. Kuratowski también observo que la carencia de una K5 y una K 3.3 no es garantía de la planaridad. Podemos usar el criterio de kuratowski para determinar que la grafica de la figura 5.49(a) no es planar debido a la presencia como subgráfica de una K 3.3 si observamos con detenimiento los vértices (A, B, C, D, E y F) vemos que estos se pueden separar en dos conjuntos distintos (A, C, E y B, D, F) que forman una subgráfica K3.3 de la gráfica, (figura 5.49 (b)). A B D A B D C F G E C F E Figura 5.49 (a) figura 5.49 (b) 161

162 Ejercicios 1. Determina él número cromático de cada una de las siguientes gráficas. (a) (b) (c) 2. Cuál es el numero cromático de? a) K 2 b) K3 c) K4 d) KN 3. Don Juventino compro 6 variedades distintas de peces. Algunos de los peces pueden vivir en la misma pecera, pero algunos otro no. Olominas pueden vivir con damiselas; Ángeles azules pueden vivir con olominas; ballestas pueden vivir con damiselas y con olominas; escorpiones pueden vivir únicamente con ballestas y las pirámides no pueden vivir con ningún otro tipo de pez. Cuál es el mínimo número de peces que necesita don Juventino para alojar a todos los peces? 162

163 4. Colorea los siguientes mapas usando el menor número de colores posibles. Cuántos colores usaste? 5. en un plantel se requiere programar seis exámenes finales distintos. La siguiente tabla muestra los exámenes que se requieren para siete estudiantes distintos. ESTUDIANTES EXAMEN (M)MATE * * * * (E)ESPAÑOL * * * (F)FISICA * * * (H)HISTORIA * * (I) INGLES * * COMPUTO * * * * * a) Dibuja una grafica que indique cuales exámenes tienen estudiantes en común con otros exámenes. b) cuál es el menor número de espacios de tiempo que requiere para programar seis exámenes? 163

164 6.8 REPRESENTACIÓN DE ESTRUCTURA MEDIANTE GRAFOS Una vez comprendido el termino grafo, así como sus aplicaciones cabe mencionar que uno de los aspectos más importantes en computación es la programación. Para elaborar un programa es conveniente tener una forma de representar las ideas antes de elaborar el código. Aquí se presenta una aplicación de los grafos en la representación de los conceptos básicos de diagramas de flujo. Por supuesto que los diagramas de flujo son mucho más generales que su uso en programación y pueden ser utilizados para muchas otras aplicaciones. Los diagramas que se tratan son: Secuencias If-then-else While SECUENCIAS El primer concepto elemental es que toda acción puede resumirse como una relación entre una situación inicial dada, una situación final deseada y una situación final obtenida, unidas mediante una secuencia de situaciones intermedias (s1, s2, sn-1). El proceso más simple es posiblemente el de una secuencia de pasos, su representación en diagrama de flujo es: Sentencias de control de lógica Bucle while. Ejecuta una sentencia repetidamente hasta que la condición del bucle da Falso. Bucle Repeat- Until. Se usa cuando es necesario que el bucle se ejecute al menos una vez. En este caso la verificación de la condición ofrece esa posibilidad. 164

165 Bucle For-Do. Es ideal para los casos en que está predeterminado el número de veces que se ejecutará una sentencia. If-Then-Else. Esta sentencia ejecuta una, muchas o ninguna sentencia dependiendo de la evaluación de la condición establecida. Cuando se ejecuta una sentencia Case, el valor del selector, que es una variable y puede ser cualquier tipo escalar excepto Real, se usa para determinar cuál, si la hubiera de las, sentencias del Case se ejecuta. Las constantes asociadas con la sentencia deben de ser del mismo tipo que la variable selector SELECCIÓN (IF -THEN EL-SE) La selección if-then-else, se utiliza para evaluar condiciones según el sentido que le quiera dar el programador o el usuario. Se interpreta en dos condiciones con la condición If-then y la parte else. Se utiliza la if-then para indicar si la instrucción es verdadera según la condición que se halla instalado y el else se utiliza para evaluar la instrucción si no fuese verdadera. Dependiendo la evaluación de cada condición se programa que es lo que se va a hacer con cada caso sea el del if-then o el del else 165

166 Estructura de If Then Else IF (Condición) THEN (Bloque de sentencias 1) ELSE (Bloque de sentencias 2) END IF MIENTRAS (WHILE) Esta estructura es característica de lenguajes como PASCAL, y su uso es muy sencillo, se especifica un valor de partida (lógicamente) y un valor de parada (por eso es hasta ) que es el valor limite hasta el cual se realizara cierta instrucción utilizando como base el valor de repetición. La condición es cualquier expresión simple que al evaluarse devuelve el valor verdadero o falso. El bucle se repite mientras la condición sea verdadera. Cuando es falsa, el programa pasa a la instrucción siguiente, después del cuerpo de la estructura. Estructura de While Expresión 1; WHILE (expresión 2) { Sentencia expresión 3; } 166

167 REPETIR HASTA QUE (REPEAT-UNTIL) La acción de repeat-until es repetir una serie de instrucciones hasta que se cumpla una determinada condición. Su formato es: ESTRUCTURA DE REPEAT-UNTIL Repeat Begin Sentencia 1; Sentencia 2; Sentencia n; End; Until expresion lógica SELECION MÚLTIPLE (CASE) Cuando se ejecuta una sentencia Case, el valor del selector, que es una variable y puede ser cualquier tipo escalar excepto Real, se usa para determinar cuál, si la hubiera de las, sentencias del Case se ejecuta. Las constantes asociadas con la sentencia deben de ser del mismo tipo que la variable selector. La sentencia CASE puede incluir una sentencia ELSE, esto se usa para filtrar opciones no deseadas en el programa. 167

168 Se evalúa la expresión, dando como resultado un número. Luego, se recorren los "Case" dentro de la estructura buscando que el número coincida con uno de los valores. Es necesario que coincidan todos sus valores. Cuando se encuentra la primera coincidencia, se ejecuta el bloque de sentencias correspondiente y se sale de la estructura Select-Case. Si no se encuentra ninguna coincidencia con ningún valor, se ejecuta el bloque de sentencias de la sección "Case Else". Estructura de Case SELECT (Expresión) CASE Valor1 (Bloque de sentencias 1) CASE Valor2 (Bloque de sentencias 2) CASE Valor n (Bloque de sentencias n) CASE ELSE (Bloque de sentencias "Else") END SELECT 6.9 ESTRATEGIA Y ALGORITMOS DE BUSQUEDA. GUIADA POR DATOS (FORWARD) Los algoritmos look-back tratan de reforzar el comportamiento de Bactracking mediante un comportamiento más inteligente cuando se encuentran en situaciones 168

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