Estadística. Convocatoria ordinaria

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1 Estadística. Convocatoria ordinaria Nombre Número de Examen Titulación... Grupo... Este examen puntúa sobre 20 puntos Problema 1. En un grupo de familias, un 10% ha cambiado de coche y también ha cambiado de piso. Un 50% no ha cambiado de coche y sí de piso. Entre los que han cambiado de coche, un 25% ha cambiado de piso. Determinar: a) La probabilidad de que una familia escogida al azar haya cambiado de coche (1 pto) P = La familia ha cambiado de piso C = La familia ha cambiado de coche Pr(P C ) = 0,1 Pr( P ) = 0,5 Pr(P C ) = 0,25 Pr(P C) = Pr(P C)/ Pr(C) P(C)= 0,1/0,25=0,4 b) La probabilidad de que una familia escogida al azar haya cambiado de piso (1 pto) Pr(P) = Pr( )+Pr( ) = 0,1+0,5 = 0,6 c) La probabilidad de que una familia entre las que no han cambiado de piso, haya cambiado de coche (1 pto) Pr(C) = Pr( ) + Pr( ), por tanto Pr( ) = 0,4-0,1 = 0,3 Pr(C )= Pr( )/Pr()= 0,3/0,4= 0,75

2 Problema 2. Un detector de mentiras se administra con regularidad a los miembros del servicio secreto. Se sabe que la probabilidad de que el detector dé positivo si el sujeto está mintiendo es de 0,88 y la probabilidad de que dé negativo si está diciendo la verdad es de 0,86. Se sabe que en el 99% de las veces los miembros del servicio secreto dicen la verdad. Un individuo da positivo en el test, cuál es la probabilidad de que sea persona haya dicho la verdad? (2 ptos) V = El individuo ha dicho la verdad + = El test ha dado positivo P(+) = 0.01* *0.14 = P(V +) = (0.99*0.14)/ = Problema 3 La proporción de contaminante presente en una muestra de aire es una variable aleatoria con función de densidad dada por: = +, 0<<1 0, a) Si = calcular el valor de a y b para que sea función de densidad. (1 pto) Para que f(x) sea función de densidad, su integral en todo el rango (entre 0 y 1) debe ser 1 y además, como la esperanza es 3/5, la integral de x f(x) entre 0 y 1 debe ser 3/5, tenemos así el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a+b/3 = 1 y a/2+b/4=3/5, de donde a = 3/5 = 0.6; b = 6/5 = 1.2 b) Calcular la probabilidad de que la proporción de contaminante en una muestra de aire sea superior a 0.6. (0,5 ptos) >0,6 =0,5536 c) Calcular la probabilidad de que si la proporción de contaminación del aire es superior a 0,6 sea también superior a 0,8 (1 pto) ' >0,8 >0,6 ( >0,8 > 0,8 >0,6 = = >0,6 >0,6 =0,3152 0,5536 =0,

3 Problema 4 Una empresa dedicada a la realización de estudios de mercado ha recibido el encargo de evaluar las compras que un consumidor puede realizar al año (en kg) de una nueva variedad de hortaliza que ya se comercializa en el norte de Europa. Para ello ha tomado una muestra de 100 consumidores obteniendo los siguientes datos: Count 100 Average 2,99387 Standard deviation 0,14203 Coeff. of variation 0,04744 Minimum 2,2 Maximum 3,28408 Range 1,08408 Stnd. skewness -10,7509 Stnd. Kurtosis 26,3933 Asimismo, ha realizado un test chi cuadrado para analizar si el consumo de dicha hortaliza sigue una distribución normal, obteniendo: Chi-Square = 27,68 with 21 d.f.p-value = 0, a) Siguen los datos una distribución normal? Por qué?, =0,05 (0,5 ptos) El valor del test de normalidad de la chi-cuadrado es mayor que 0,05, luego no podemos rechazar que el consumo de la hortaliza siga una distribución normal. b) Calcule un intervalo aproximado, centrado en la media, donde estaría el consumo del 95% de la población (1 pto) El consumo de hortaliza por individuo sigue distribución aproximadamente normal con parámetros N(µ =2,99387,σ =0,14203), como el intervalo [-1,96, 1,96] contiene aproximadamente el 95% de las observaciones de una normal estándar, el 95% de las observaciones del modelo anterior están en el intervalo 2,99387±1,96 0,14203=2,99387±0,27838='2,71549,3,27225(

4 Problema 5 En una empresa de servicios, la tasa de reclamaciones es del 2%. Se ha contratado a una nueva responsable de calidad que durante los últimos dos meses ha elaborado un estudio destinado a comprobar si dicha tasa de reclamaciones se mantiene en el 2%. Para ello analizó 40 servicios detectando reclamaciones en 2 de ellos. Analizar si la tasa de reclamaciones de la empresa ha aumentado (p valor 0.087), =0,05 (2 ptos) Datos muestra H o H 1 Tipo contraste P valor n = 40 p = 0,02 p > 0,02 Una población. 0 = 2 40 =0,05 Proporción. Unilateral. 0,087 conclusiones El p-valor del contraste es >0,05 No podemos rechazar la hipótesis nula. No podemos afirmar que la tasa de reclamaciones haya aumentado. Problema 6 En una fabricación de transistores PNP se desea controlar como característica de calidad la disipación de potencia total, medida en mw. Para ello se toman 10 muestras de 5 transistores y se mide su disipación de potencia, obteniéndose los siguientes resultados: Muestra Suma Datos adicionales. Para n = 4: d 2 = 2,059 d 3 = 0,880 D 3 = 0 D 4 = 2,282 Para n = 5: d 2 = 2,326 d 3 = 0,864 D 3 = 0 D 4 = 2,114 Para n = 10: d 2 = 3,078 d 3 = 0,797 D 3 = 0,223 D 4 = 1,777 Se pide: a) Calcular la distribución de una observación con el proceso bajo control y capacidad del proceso. (2 ptos) Calculamos los límites de control: ± = : ; < con d 2 =2, ±3 >,? = =231 2 = =21 89 = 10 2,326 =9,03 =231±12.11 LC: 231 LCS: 243,11 LCI: 218,89

5 Calculamos los límites de control para los rangos. LC: 21 LCS: 21 2,114 = 44,394 LCI: 0 La muestra 6 está fuera de control en el gráfico de medias, mientras que en el gráfico de rangos no hay ninguna muestra fuera de control. Eliminamos la muestra 6 y volvemos a calcular ambos gráficos 228,33±3 B,C = =228,33 2 = = = 20 2,326 =8,6 =228,33±11,54 LC: 228,33 LCS: 239,87 LCI: 216,79 Calculamos los límites de control para los rangos. LC: 20 LCS: 20 2,114 = 42,28 LCI: 0 Las muestras restantes están en control tanto para el gráfico de medias como para el de rangos. La disipación de potencia de un transistor sigue distribución normal con media 228,33 y desviación típica 8,6. 89 =8,6 Capacidad = 6 8,6 = 51,6 b) Se clasifican como irrecuperables y se destruyen aquellos transistores con una disipación de potencia que superan a la media en 28,33 mw, y se venden con distintivo Gold aquellos con una disipación de potencia inferior a la media en 28,33 mw. Si la probabilidad de encontrar un transistor irrecuperable cuando el proceso trabaja en condiciones de control es de 4,9 x 10-4, calcular la proporción de transistores Gold fabricados en esas condiciones. (1 pto) Como la media en control es 228,33 y la distribución es Normal, y por tanto simétrica: P(X>228,33+28,33) = P(X<228,33-28,33) = 4,9 x 10-4 c) Para monitorizar el proceso se toman muestras cada hora de tamaño 4. Calcular los límites de control para el gráfico de medias. (1,5 ptos) 89 =8,6 en estado de control. 228,33±3 B,C =228,33±12,9 LC: 228,33 LCS: 241,23 LCI: 215,43 D

6 Problema 7 Se consideran los siguientes modelos de regresión lineal. Dependiendo del modelo, los números entre paréntesis pueden indicar p-valores, estadísticos t o errores estándar (SE). Regresiones simples: log(y)= *log(x1) (t=28.15) R 2 = R 2 ajustado= Modelo 1 log(y)= *log(x2) (t=26.26) R 2 = R 2 ajustado= Modelo 2 log(y)= *log(x3) (t=29.23) R 2 = 22,2 R 2 ajustado= Modelo 3 Regresiones dobles: log(y) = *log(X1) *log(X2) (SE=0.006) (SE=0.006) R 2 = R 2 ajustado= log(y) = *log(X1) 0.003*log(X3) (SE=0.009) (SE=0.02) R 2 = R 2 ajustado= Modelo 4 Modelo 5 log(y) = *log(X2) *log(X3) (p-valor=0.14) (p-valor=0.26) R 2 = R 2 ajustado= Modelo 6 Sabiendo que la diagnosis es adecuada en todos los modelos, se pide: a) Realizar el análisis del mejor modelo de regresión simple justificando claramente la elección y cuantificar el efecto que tienen incrementos de la variable independiente sobre la dependiente. (0,5 ptos) El mejor modelo de regresión simple es el primero porque es el que tiene un R-cuadrado más alto (44.27), y la variable es significativa ya que el estadístico T en valor absoluto es mayor que 2. Si la variable X 1 aumentase un 1%, la variable Y aumentaría un 0.052%.

7 b) Analizar el modelo 4 cuantificando los efectos de sus variables explicativas sobre la variable Y. (1 pto) La variable X 1 es significativa ya que el intervalo al 95% de confianza de su coeficiente es 0.05±2*0.06= [0.0380, ] que no contiene al 0. La variable X 2 no es significativa ya que el intervalo de confianza es [-0.01, 0.014] que contiene al 0. En este caso un aumento de un 1% de la variable X 1 produce un aumento de un 0.05% de la variable Y. Como la variable X 2 no es significativa, no tiene efecto sobre Y. c) Cuál o cuáles de las variables del modelo 6 son significativas? Justificar la respuesta. (1 pto) En este modelo ambas variables son no significativas, ya que su p-valor es mayor que d) Si se ajustase una regresión con las tres variables, Qué variables saldrían significativas? Justificar la respuesta. (1 pto) X 1, que es la única variable significativa en los diversos modelos. e) Según los resultados obtenidos en los apartados anteriores, qué variable o variables formarán parte del mejor modelo posible (considerando también la regresión triple). (1 pto) El mejor modelo es el 1 que es el mejor de los que nos han presentado ya que tiene el mayor R 2 ajustado dentro de los modelos todas cuyas variables explicativas son significativas. Si añadiésemos la variable X 2 o X 3 a un modelo con X 1 éstas serían no significativas, por lo que podemos descartar la regresión triple.