Método de Gauss-Jordán paso a paso para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3x3

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Lorenzo Fidalgo Ávila
hace 6 años
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1 Método de Gauss-Jordán paso a paso para la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 3x3 17-octubre-2013 Elaboró: Ing. Edwing Daniel Chay Morales 1 El propósito de este material es dar a detalle la aplicación del método de eliminación de Gauss- Jordan para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales de 3x3. Aparentemente el procedimiento es largo y complejo, pero conforme a la práctica se pueden realizar las operaciones con renglones directas, por lo que el método se vuelve más sencillo al comprender mejor los pasos. Ejemplo 1: Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales de 3 variables y 3 ecuaciones. Paso 1: Vamos a representar el sistema de ecuaciones en formato de matriz aumentada X Y Z k Paso 2: Debemos transformar la matriz que representa los elementos x,y,z en matriz identidad. Utilizando las operaciones con renglones. X Y Z k Una matriz identidad es la que tiene en su diagonal principal elementos 1 y los demás son cero Transformando la primera columna. 1 Catedrático Universidad Autónoma de Campeche, Instituto Tecnológico de Lerma. 1

2 Vamos a empezar la transformación. La primera columna el 1 está en la primera posición. Así que para que quede igual el elemento 2 debe ser R1 (1/2)R1 Este elemento 2 debería ser 1, así que multiplicamos por (1/2) todos los elementos del renglón R1 para que se transforme en 1 Ya tenemos que el primer elemento es 1, así que ahora falta que los demás elementos de la columna sean cero (0), por lo que realizaremos eliminación por pivoteo, y utilizando operaciones con renglones R1 Renglón Pivote El elemento 4, es un elemento que pertenece al renglón R2, Por lo R2 R2 4R1 tanto vamos a transformar el R2 Si aquí tenemos (4), para la eliminación cambiamos el signo (-4) multiplicado por el renglón que es pivote (R1) R1 Renglón Pivote El elemento 3, es un elemento que pertenece al renglón R3, Por lo R2 R2 4R1 tanto vamos a transformar el R3 R3 R3 3R1 Si aquí tenemos (3), para la eliminación cambiamos el signo (-3) multiplicado por el renglón que es pivote (R1). [Explicando las operaciones paso a paso] La operación R2 R2 4R1, involucra R2 y -4R Como es 4R1, se multiplica por (-4) los elementos del renglón Al sumarlo obtenemos el resultado 2

3 La operación R3 R3 3R1, involucra R3 y -3R Como es 4R1, se multiplica por (-3) los elementos del renglón 1 Al sumarlo obtenemos el resultado Por lo que obtenemos una nueva matriz: La primera columna Ya está lista Ahora continuamos con la segunda columna Transformando la segunda columna Este elemento debería ser 1, así que R2 (-1/3)R2 multiplicamos por (-1/3) en todo renglón R2 para que se transforme el elemento indicado en 1 Ya tenemos que el Elemento es 1, así que ahora falta que los demás elementos de la columna sean cero (0), por lo que realizaremos eliminación por pivoteo, y utilizando operaciones con renglones R1 R1 (2)R2 El elemento 2, es un elemento que pertenece al renglón R1, Por lo R2 Renglón Pivote tanto vamos a transformar R1 Si aquí tenemos (2), para la eliminación cambiamos el signo (-2) multiplicado por el renglón que es pivote (R2) R1 R1 (2)R2 El elemento -5, es un elemento que pertenece al renglón R3, Por lo R2 Renglón Pivote tanto vamos a transformar R3 R3 R3 + (5)R2 Si aquí tenemos (-5), para la eliminación cambiamos el signo (5) multiplicado por el renglón que es pivote (R2). 3

4 [Explicando las operaciones paso a paso] La operación R1 R1 (2)R2, involucra R1 y -2R Como es 2R2, se multiplica por (-2) todos los elementos del renglón Al sumarlo obtenemos el resultado La operación R3 R3 + (5)R2, involucra R3 y +5R Como es +5R2, se multiplica por (5) todos los elementos del renglón Al sumarlo obtenemos el resultado Por lo que obtenemos una nueva matriz: La primera y segunda columna Ya están listas Ahora continuamos con la tercera Transformando la tercera columna Este elemento debería ser 1, así que R3 (-1)R3 multiplicamos por (-1) en todo renglón R3 para que se transforme el elemento indicado en 1 Ya tenemos que el Elemento es 1, así que ahora falta que los demás elementos de la columna sean cero (0), por lo que realizaremos eliminación por pivoteo, y utilizando operaciones con renglones R1 R1 + (1)R3 El elemento -1, es un elemento que pertenece al renglón R1, Por lo tanto vamos a transformar R1 3 R3 Renglón Pivote Si aquí tenemos (-1), para la eliminación cambiamos el signo (+1) multiplicado por el renglón que es pivote R3. 4

5 R1 R1 + R3 El elemento 2, es un elemento que pertenece al renglón R2, Por lo R2 R2-2R3 tanto vamos a transformar R2 3 R3 Renglón Pivote Si aquí tenemos (2), para la eliminación cambiamos el signo (-2) multiplicado por el renglón que es pivote R3. [Explicando las operaciones paso a paso] La operación R1 R1 + (1)R3, involucra R2 y +(1)R Nota: +(1)R3 = +R3 + 3 Como es +R3, repetimos nuevamente los elementos de R3 4 Al sumarlo obtenemos el resultado La operación R2 R2-2R3, involucra R2 y -2R Como es 2R3, se multiplica por (-2) todos los elementos de R3-2 Al sumarlo obtenemos el resultado Por lo que finalmente tenemos la matriz: X Y z 4 Hemos concluido el procedimiento del -2 Método de Gauss-Jordán. 3 Paso 3: Interpretamos la solución del método de Gauss-Jordán La solución del sistema de ecuaciones 3x3 es x = 4, y = -2, z = 3 5

Matrices Invertibles y Elementos de Algebra

6 Referencias: Grossman, S. I. (1996). Álgebra Lineal (Quinta ed.). Mc Graw Hill. ITESM;, Departamento de Matemáticas. (12 de enero de 2011). Matrices Invertibles y Elementos de Algebra Matricial. Recuperado el 30 de agosto de 2012, de 6

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