Capítulo 6 Acciones de control

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1 Capítulo 6 Aiones de ontrol 6.1 Desripión de un bule de ontrol Un bule de ontrol por retroalimentaión se ompone de un proeso, el sistema de mediión de la variable ontrolada, el sistema de ontrol y el elemento final de ontrol. Cada uno de estos Sistema de ontrol d(t) y sp (t) ɛ(t) (t) El. final f(t) + Controlador Proeso de ontrol y(t) y m (t) Medidor Figura 6.1. Diagrama de bloques de un lazo de ontrol por retroalimentaión. elementos tiene su propia dinámia, que vendrá desrita por una funión de transferenia. En este apítulo se expliará omo se puede enontrar la funión de transferenia de todo un lazo de ontrol a partir de las funiones de transferenia de ada uno de los elementos del lazo. El medidor, el proeso y el elemento final de ontrol serán habitualmente sistemas lineales de primer o de segundo orden, omo los desritos en los dos apítulos anteriores. Las funiones de transferenia de los ontroladores se detallarán más adelante en este apítulo. El sistema de ontrol se ompone del ontrolador y del punto suma, que ompara la letura del medidor on la onsigna para dar el error ε que alimenta el ontrolador. El objetivo del sistema de ontrol es minimizar el error para que su valor sea lo más próximo a ero. Además debe lograr eliminar los errores lo más rápidamente posible. En el apítulo 1 se desribe ualitativamente un bule de ontrol por retroalimentaión, un interambiador de alor en una planta de pasteurizaión de lehe. En este apítulo se desribirá el bule de una manera más detallada. El proeso, en este aso el interambiador de alor, viene desrito por la funión de transferenia G p. El proeso puede tener dos posibles entradas: f(t) que es la variable manipulable y d(t) que representa a las perturbaiones. Las perturbaiones pueden ser una entrada en ualquier punto del lazo de ontrol, pero normalmente son debidas alproeso.larespuestadelproeso es la variable ontrolada que normalmente se indiará omo y(t). Esta variable es la respuesta global del sistema formado por todos los elementos del lazo de ontrol. El valor de la variable ontrolada se mide on un sensor, un termómetro de resistenia de tipo Pt100 para el ejemplo, uya dinámia viene desrita por la funión de transferenia G m. Como salida de este proeso se obtiene la variable ontrolada mediday m (t). El valor de y m se ompara on la onsigna y sp (t) para obtener el error ε(t). El valor de la onsigna será normalmente ero, en el aso de estar definido utilizando variables de desviaión. Este error es la entrada del ontrolador, uya funión de transferenia es G. Las respuesta del ontrolador (t) es una intensidad de orriente o una diferenia de presión según sea el sistema de transmisión de informaión elétrio o neumátio. 65

2 66 Aiones de ontrol Sistema de ontrol d(s) y sp (s) + ɛ(s) (s) f(s) G (s) G f (s) G p (s) y(s) y m (s) G m (s) Figura 6.2. Funiones de transferenia que intervienen en un lazo de ontrol por retroalimentaión. Esta aión de ontrol (t) modifia al elemento final de ontrol (G f ), en ejemplo tratado es una válvula, para que ambie el valor de la variable manipulable f(t). El ambio de la variable manipulable modifia el estado del proeso. Si el sistema de ontrol funiona orretamente este ambio de la variable ontrolada debe tender a eliminar el error. En el aso de que lo que se haya produido haya sido un ambio a la onsgina, debe onduir al sistema al nuevo estado estaionario deseado. Aunque la mayoría de elementos del bule de ontrol son de aión direta el signo de la salida es el mismo de la entrada, también existen proesos de aióninversa.losproesosde aión inversa tienen una ganania negativa. Un elemento de aión inversa presente en todos los lazos de ontrol es el omparador. En el omparador se produe una ambio de signo ya que para alular el error se resta la variable medida a la onsigna (Fig a)). Por este motivo se puede onsiderar al omparador omo un elemento de aión inversa. Se puede demostrar de manera muy senilla que para que un lazo de ontrol pueda funionar orretamente debe tener un número impar de elementos de aión inversas, es deir, un número impar de ambios de signo en el lazo de ontrol. Si existe en el lazo de ontrol un número par de elementos de aión inversa se debe inluir un bloque -1 entre elomparadoryelontrolador (Fig b)). y sp + ɛ G y sp + ɛ 1 G a) y m b) y m Figura 6.3. a) El número de elementos de aión inversa en el lazo de ontrol es ero o par. b) Situaión si existe un elemento de aión inversa o su número es impar. En este urso los bloques y proesos utilizados solo tienen una entrada y una salida. En ambio el proeso en la figura 6.2 el proeso tiene dos entradas, la variable manipulable y las perturbaiones. Para evitar ese problema habitualmente el se onsidera que además del proeso existe una funión de transferenia debida a las perturbaiones (G d )quenoformapartedellazo de ontrol. Realizando esa modifiaión el lazo de ontrol queda omo el mostrado en la figura 6.4. Con freuenia los lazos de ontrol se expresan de manera simplifiada utilizando la forma anónia. Para ello es neesario tener en uenta que G, G f y G p son tres funiones de transferenia en serie. La funión de transferenia entre la onsigna y la salida es: y(s) y sp (s) = G G f G p 1+G G f G p G m La funión de transferenia entre la perturbaión y la salida es: y(s) d(s) = G d 1+G G f G p G m

3 6.2 Control proporional (P) 67 d(s) Sistema de ontrol G d (s) y sp (s) ɛ(s) (s) f(s) + G G + + (s) G f (s) p (s) y(s) y m (s) G m (s) Figura 6.4. Lazo de ontrol por retroalimentaión mostrando la funión de transferenia de las perturbaiones. d(s) G d (s) y sp (s) y(s) G(s) H(s) Figura 6.5. Forma anónia de un bule de ontrol por retroalimentaión. Por tanto la salida del lazo de ontrol para un ambio simultaneo de la onsigna y de la perturbaión será: G G y(s)= f G p G y sp (s)+ d d(s) 1+G G f G p G m 1+G G f G p G m 6.2 Control proporional (P) El aión de ontrol del ontrolador proporional es: (t)=k ε(t)+ s (6.1) donde K es la ganania proporional del ontrolador y s es el bias del ontrolador. La ganania del ontrolador también se puede expresar mediante la Banda proporional, expresada omo porentaje: BP = 100 K Normalmente, 1 BP 500. La banda proporional expresa el intervalo del error para que el ontrol se sature. Cuanto mayor es K,menoresBPymayoreslasensibilidaddelontroladora los ambios o, lo que es lo mismo, al error ε. El bias del ontrolador es el valor de la aión de ontrol uando el error es nulo. La funión de transferenia del ontrolador se obtiene realizando la trasnformada de Laplae alae.6.1: G (s)=k

4 68 Aiones de ontrol teniendo en uenta que se ha utilizado omo variable de desviaión: (t)=(t) s La aión de ontrol proporional es la más importante y se enuentra en todos los sistemas de ontrol. Ejemplo 6.1. Problema Control Proporional + Integral (PI) En este tipo de ontrolador la aión de ontrol es: (t)=k ε(t)+ K t ε(t)dt + s donde es el tiempo integral o tiempo de reset.sesueleexpresaromominutosporrepetiión ysesueleenontrarentre0.1min 50 min. También se puede expresar omo 1 (repetiiones por minuto) y se onoe omo la veloidad de reset. K es la ganania del ontrolador, tal omo ourría on el ontrolador proporional. Al onjunto K,avees,seleonoeomola ganania integral K I. A se le onoe omo el tiempo de reset porque es el tiempo neesario para que el ontrolador repita la aión de ontrol iniial: τ K I K εdt = ε = K ε para un error onstante on el tiempo, omo por ejemplo, el debido a un esalón. La funión de transferenia de este tipo de ontroladores es: ( G (s)=k 1+ 1 ) s El ontrolador PI atúa mientras exista error en la salida produiendo ada vez valores mayores para la aión integral. Por tanto, se deben tomar aiones espeiales para evitar saturaiones en los atuadores finales para errores persistentes oneltiempo. Ejemplo 6.2. Problema Control Proporional + Derivativo (PD) Se define omo: (s)=k ε(t)+k τ D dε(t) dt donde τ D es la onstante de tiempo derivativa. La aión de ontrol derivativa aplia una aión de ontrol proporional a la veloidad de ambio del error. En ierta manera se antiipa al error futuro, por ello se la onoe a vees omo ontrol antiipativo. En lugar de la onstante de tiempo derivativa se utiliza a vees la ganania derivativa K D que es K τ D. Presenta el problema de que puede tomar aiones de ontrol derivativas intensas para sistemas on ruido pero on un error próximo a ero, lo que implia quelaaióndeontrolnoes neesario. Este problema se puede soluionar añadiendo algún sistema de filtrado que elimine o minimie el ruido. Su funión de transferenia es: Ejemplo 6.3. Problema 6.6 G (s)=k (1 + τ D s) + s

5 6.6 Problemas 69 (t) s +3K ɛ s +2K ɛ s + K ɛ s 0 2 t Figura 6.6. Aión de ontrol (respuesta) de un ontrolador PI a un ambio en esalón en el error. 6.5 Control Proporional + Integral + Derivativo (PID) Simplemente es la ombinaión de las tres aiones de ontrol anteriores: (t)=k ε(t)+ K t dε(t) ε(t)dt + K τ D + s dt ysufunióndetransfereniaes: Ejemplo 6.4. Problema 6.5 ( G (s)=k 1+ 1 ) s + τ D s 6.6 Problemas Problema 6.1. Reduir el siguiente diagrama de bloques a la forma anónia: G 3 R G 1 G 4 G 2 C H 1 H 2 Problema 6.2. Determinar la ganania y la banda proporional de un ontrolador neumátio proporional de aión direta on una esala de C, si la variaión en la salida pasa de 20 a 100 kpa uando la temperatura aumenta desde 95 a 110 C. Si se ambia la banda proporional a 50%, determinar la ganania y la variaión de temperatura requeriada para un ambio total en la salida.

6 70 Aiones de ontrol Soluión Un posible diagrama del sistema de ontrol propuesto es el siguiente: T sp (t) Medidor de temperatura T m (t) Controlador (t) T (t) Q(t) Válvula neumátia Agua aliente Agua fría La temperatura del tanque T (t) la mide un sensor de temperatura. La respuesta de este medidor es T m (t), estavariablesealimentaalontroladorquelaomparaonel valor de onsigna T sp (t). Laaióndeontrol(t) se envía a la válvula neumátia que modifia el audal de agua aliente Q(t). Al varial el audal de agua aliente varía la temperatura deltanque.siel sistema de ontrol funiona orretamente la diferenia entre esta temperatura y la onsigna debe ser ada vez menor, si no se produen ambios o perturbaiones. Se puede plantear un diagrama de bloques que representa la instalaión anterior: T sp (t) ɛ(t) (t) Q(t) + Controlador Válvula Proeso T (t) T m (t) Medidor El ontrolador es proporional, lo que signifia que: Aion de ontrol: Error: ε(t)=t sp (t) T m (t) (t)=k ε(t) donde K es la ganania del ontrolador. La ganania del ontrolador será, por tanto, la pendiente de la reta siguiente: 100 P (kpa) T (ºC) 110

7 6.6 Problemas 71 Lo que supone: K = P max P min 100 kpa 20 kpa = T max T min 110 C 95 C = 5.33 kpa/ C La banda proporional (BP) es el porentaje de uso del ontrolador. En este aso, aunque el ontrolador tiene apaidad de ontrolar temperaturas entre 0 y 120 C se utiliza para ontrolar temperaturas entre 95 y 110 C. Eso supone que: BP = 110 C 95 C 120 C 0 C 100 = 12.5% Si la banda proporional es de 50%, el inremento de temperaturas ontrolado será: Por tanto la ganania del ontrolador será: K = T = BP 120 C kpa 20 kpa 60 C = 60 C = kpa/ C Problema 6.3. Un ontrolador neumátio de aión direta, que opera en el intervalo 3-15 psig para una esala de temperatura C, está saturado para temperaturas inferiores a 30 Cysuperioresa90 C. Determinar: a) La ganania y la BP b) La presión del aire a la salida del ontrolador uando la presión sea de 70 C ) La de un ontrol integral inorporado al proporional, si al introduir el elemento medidor en un medio a 70 C(iniialmentea30 C) el ontrolador se satura en 10 minutos Soluión a) En este aso el sistema ontrolador-elemento final de ontrol tiene la apaidad de ontrolar ambios de temperatura entre 0 y 100 C, pero se utiliza para ontrolar ambios entre 30 y90 C. Eso supone que no se utiliza toda la apaidad de ontrol del sistemadeontrolpero que se utiliza una ganania proporional del ontrolador más elevada,onlasventajasqueeso puede suponer. La banda proporional de este sistema es: La ganania del ontrolador es: BP = 90 C 30 C 100 C = 60% C K = b) La salida de un ontrolador proporional es: 15 psig 3 psig 90 C 30 C = 0.2 psig/ C (t)=k ε(t)+ s donde s es el bias del ontrolador, es deir, la salida del ontrolador uando el error es nulo. En primer lugar hay que alular el bias del ontrolador, para ello se va a suponer que en estado estaionario la temperatura es de 30 Cyquelasalidadelontroladoresde3psig.Por tanto, Si la temperatura es de 70 C, el error será: Por tanto, la salida del ontrolador es: 3 psig = K 0+ s s =3psig ε = 70 C 30 C = 40 C =(0.2 psig/ C)(40 C)+3psig = 11 psig ) Aquí se plantea un ambio en la temperatura en forma de esalón de altura 40 C, lo que supone que ε = 40 C.

8 72 Aiones de ontrol Un ontrolador proporional-integral (PI) responde a la siguiente dinámia: (t)=k ε + K t εdt + s Se debe busar qué onstante de tiempo integral hae que el ontrolador se sature (que alane uno de los valores límite de salida, en este aso, la máxima presión de salida) a los 10 minutos. Por tanto: (t = 10)=15 psig =(0.2 psig/ C)(40 C) (40 C)dt +3psig Resolviendo la euaión anterior se enuentra que = 20 min. Problema 6.4. La temperatura de un proeso tiene un ampo de variaión de 200 C. Para efetuar su ontrol se dispone de dos opiones de ontroladores neumátios que atúan sobre una válvula: 1. Un ontrolador proporional (3-15 psig) de BP = 50% 2. Un ontrolador PI de BP = 50% y =1min El proeso en estado estaionario está a 60 C, siendo la presión del ontrolador de 3 psig. Si la temperatura aumenta brusamente hasta 70 C, alular: a) La presión que atúa sobre la válvula en el ontrol P b) La presión que atua sobre la válvula en el ontrol PI ) La influenia de la BP en el ontrol PI d) La influenia de la en el ontrol PI Soluión Para ambos ontroladores la temperatura estaionaria es de 60 C. En esas ondiiones la salida del ontrolador es de 3 psig. Como onseuenia se tomarán s =3psig. El ambio bruso de temperatura es un esalón de altura 10 C: ε = 70 C 60 C = 10 C a) Una banda proporional de 50% implia que aunque el ampo de variaióndelontrolador sea de 200 Csoloseontrolaránvariaionesdetemperaturamáximasde: BP = 50%= T T = 100 C Por tanto la ganania proporional es: La salida del ontrolador proporional será: K = P 15 psig 3 psig = T 100 = 0.12 psig/k C (t)=k ε(t)+ s =(0.12 psig/k)(10 C)+3psig = 4.2 psig b) La respuesta del ontrolador PI es (la ganania proporional es la misma que en el apartado anterior): (t)=k ε(t)+ K t ε(t)dt + s = K ε + K εt+ s = 4.2 psig +(1.2 psig/min)t Alos9minutoselontroladorsesatura( = 15 psig). Pasados 9 minutos el sistema queda fuera de ontrol. ) Al aumentar la banda proporional, disminuye la ganania proporional. Esa disminuión supone que la aión de ontrol será menos intensa. La pendiente de la urva del aparatado b) K ε será menor, omo onseuenia el sistema de ontrol será más lento, tardará más tiempo en saturarse y en eliminar los errores del sistema. d) Si aumenta la onstante de tiempo integral, la aión de ontrol es menos intensa y más lenta ya que disminuye la pendiente K ε.

9 6.6 Problemas 73 Problema 6.5. Un ontrolador P+I+D está en estado estaionario on una presión de salida de 9 psig. El set point yel punto de registro están juntos iniialmente. En el tiempo t =0,el set point se varía respeto al punto de registro una veloidad de 0.5 in/min haia leturas más bajas. Si K =2psig/in de registro, = 1.25 min y τ D = 0.4 min, dibujar la presión de salida frente al tiempo. Soluión La salida de un ontrolador PID es: (t)=k ( ε(t)+ 1 En este problema: Sustituyendo: ( (t)=2 0 t ) dε(t) ε(t) dt + τ D + s dt K =2psig/in = 1.25 min τ D = 0.4 min (t =0min )=9psig ε(t)= 0.5 in/min 0.5t + 1 t 0.5tdt ) d( 0.5t) + s = t 0.8 t2 dt s El bias del ontrolador es s = 9.4 psig, ya que (t =0min )=9psig. Por tanto, la urva a representar es: (t)=9 t 0.4t 2 (t) (t) = 9 - t t^ t Problema 6.6. Calular la respuesta de un ontrolador PD a un ambio en el error en rampa de pendiente α. Dibujarlas ontribuiones de la aión derivativa y proporional separadas. Disutir la naturaleza antiipativa de la aión de ontrol derivativa a partir de esa gráfia. Problema 6.7. Identifiar los elementos físios presentes en el sistema de ontrol de temperatura de un fermentador. Comprarlos on los que se enontrarían en el sistema de ontrol de temperatura de un horno. Se observa alguna diferenia en la desripión matemátia de estos sistemas?

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