COMPARACIÓN DE CRITERIOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL FACTOR DE SENSIBILIDAD EN LA CALIBRACIÓN DE MASAS POR COMPARACIÓN

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1 Simposio e Merología 7 al 9 e Obre COMPARACIÓN DE CRITERIOS PARA LA ESTIMACIÓN DEL FACTOR DE SENSIBILIDAD EN LA CALIBRACIÓN DE MASAS POR COMPARACIÓN Fernano Kornbli, Jan Leiblih, Geraro Mini, Javier Barbagrigia Insio Naional e Tenología Insrial, (INTI - Argenina) Tel: , Fax: , ferk@ini.gob.ar Resmen: En la alibraión e pesas por el ilo e pesaa ABBA, eben ser onsieraos los efeos asoiaos a la sensibilia el omparaor ilizao, y a s eriva lineal en el oro plazo. Para evalar la sensibilia, se aiiona na pesa e valor e masa onoio, y se orrige el reslao por n faor esimao e aero a n iseño e állo preesableio. El objeivo e ese rabajo es omparar iseños alernaivos, oos ellos asoiaos al moelo general ABBA, y erivar rierios para la seleión e las pesas e sensibilia, qe minimien o rezan onvenienemene las inerimbres. INTRODUCCIÓN En la alibraión e pesas o eerminaión e masas por omparaión on pesas parón e igal valor nominal, eben enerse en ena los efeos asoiaos a la sensibilia el omparaor y a s eriva lineal en el oro plazo. Se sele emplear el ilo ABBA, o e oble ssiión (one, en general, las pesaas rolaas A selen orresponer a la pesa parón y las rolaas B a la inógnia). La iferenia e masas D se esima omo: D f () Done es la iferenia e iniaiones enre ambas masas, orregia por la eriva el omparaor, y f es el faor e sensibilia alanzao rane el ilo e pesaa, esimao omo: m f s () Sieno m s la masa onoia e na arga aiionaa, y la iferenia e iniaiones enre pesaas on y sin la sobrearga e valor m s. Un moo ampliamene ilizao e allar y, al qe nos referiremos aqí omo opión, es el llamao méoo e Bora, reomenao en C,4,, e [], (ver ambién [-5]), al qe nos referiremos aqí omo opión. Esá basao en n ilo e 4 pesaas, en las os úlimas e las ales se agrega la sobrearga (SC) e valor nominal m s. Sinéiamene, se sele expresar omo: A B B+SC A+SC. Si I (i, i, i, i 4 ) es el veor e iniaiones orresponienes a n ilo omo el anerior, se aplia () y () on ½(-i +i +i -i 4 ), (i -i ). En vir el alane e ese rabajo, no inlimos, en el moelo ()-(), omponenes qe sí eben ser omaos en ena al evalar los reslaos y la inerimbre en na alibraión o meiión, omo los asoiaos a la pesa parón, al empje el aire y los efeos e repeibilia y/o exenriia el omparaor (para n análisis ompleo ver, por ejemplo, [], [], [4], [6]). Por oro lao, aoparemos la simplifiaión onsisene en onsierar no signifiaiva a la inerimbre asoiaa a m s (no ofree ifila aiional agregar ese omponene al análisis, en aso neesario) Llamano ½(-,,, -), y ( -,,) a los veores-olmna qe efinen el iseño e la omparaión, reformlamos las variables aneriores omo: I I ;, () Con lo qe llegamos a la expresión veorial: I D m s (4) I Bsamos esableer n moo e onrasar esa opión on oras varianes enro el ilo ABBA en general, y esableer rierios aeaos para la Cenro Naional e Merología SM-SA-

2 Simposio e Merología 7 al 9 e Obre seleión e las pesas e sensibilia en aa na e ihas varianes... Oros iseños Varios aores han esiao iferenes iseños para opimizar en algún senio las alibraiones e pesas. En [7] se mesra la onvenienia en general el ilo e pesaa ABBA por sobre oros. En [8] se proponen algnas alernaivas a la opión. Por ejemplo, es posible eviar qe la eriva el omparaor afee la esimaión e s sensibilia si se iliza el mismo qe en la opión, pero on ½ (, -,, -), (ver ambién [6]) Llamaremos opión a esa úlima. En el mismo rabajo se ofree ora propesa, a la qe llamaremos opión, qe permie obener reslaos válios, aún ano las iferenias e iempo enre pesaas no sean onsanes. Se raa el iseño e 5 iniaiones A B B+SC A+SC A, on ½(, -, -,, ) y ½ ( -,,, -). (el faor ½ agregao en ambos veores no afea el állo e (4), pero permie qe la esimaión () resle insesgaa) Finalmene, ora variane, apliaa en los laboraorios el INTI, a la qe llamaremos opión 4, onsise en el iseño A B B A A+SC, on ½(-,,,-, ), y (,,, -, ) Tabla. Sínesis e las 4 opiones presenaas Opión Bora Davis eq. () e [8] Davis eq. (5) e [8] Diseño el ilo e pesaa A B B+SC A+SC A B B+SC A+SC A B B+SC A+SC A 4 A B B A A+SC En la Tabla, se esriben sinéiamene las 4 opiones presenaas, iniano el iseño e los ilos e pesaa en aa opión, y los orresponienes veores y. INCERTIDUMBRE ASOCIADA A D Uilizano n enfoqe veorial, omo el propeso en 6.. e [9] para m, expresamos el veor e los oefiienes e sensibilia e D on respeo a las iniaiones, omo: D I ( I) ( I) ( I) ( ) ( I) m I m s s Con lo al, la inerimbre asoiaa a D mple I M I D m 4 s (6) ( I) one M ( ) Σ ( ) I y Σ I es la mariz e ovarianza asoiaa a las iniaiones... Iniaiones no orrelaionaas: Se sele asmir qe las iniaiones no esán orrelaionaas enre sí, y asignar la misma inerimbre esánar in a aa na e ellas. Una asignaión razonable es in (expresaa en ivisiones el iniaor, no en niaes e masa). Así, Σ I resla n múliplo e la mariz ienia, y I D ( ) ( ) 4 ( I) I I I I + I I m 4 s in Y, en vir e () ( I) I m s in + D m 4 s in Cenro Naional e Merología SM-SA-

3 Simposio e Merología 7 al 9 e Obre m + s in ( f in ) (7) one represena la norma elieana, y la onsane f in pee inerprearse omo la inerimbre asoiaa a las iniaiones, expresaa, no en ivisiones el iniaor, sino en niaes e masa. Un moo alernaivo para eir (7) es apliar la Ley e Propagaión e Inerimbres [] en forma esalar a parir e () y (), onsierano omo omponenes e enraa a y. : on: D D D + + (8) D D + orr( ; ) j j in in, y el állo para es análogo. Aemás, por (), la ovarianza enre ambas variables es: ( ) ( ), jk ov i j ik ; ov, in in j, k (one ; inia el proo esalar enre ambos veores). Por lo ano, el oefiiene e orrelaión en (8) es: orr (, ) (, ) ov ; y se obiene (7) reemplazano las inerimbres y la orrelaión (8). La orrelaión es igal al oseno el ánglo formao por y. Si esos veores son orogonales enre sí, omo orre en las opiones y, las esimaiones e la eriva y e la sensibilia reslan no orrelaionaas, al omo se inia en el aparao 7 e []. En ambio, si ; >, el érmino rzao en (8) se velve negaivo. Eso signifia qe los errores asoiaos a ambas esimaiones se ompensan parialmene en el oiene (4), obenieno n menor valor para D. Una vez expresaa D en érminos e,, y, poemos planear el problema sigiene: para na aa opión e iseño (o sea, para y aos): eseamos elegir el valor nominal e la pesa e sensibilia, para minimizar o reir (7), lo al es eqivalene a minimizar o reir ( ) Pee asmirse qe epene e la iferenia real e masas enre parón e inógnia, y por ano es n valor fijo. En rigor, poría ser reia a valores eranos a, si se agrega, jno a la pesa e menor valor, oras pesas splemenarias e valores más peqeños, enieno a eqilibrar las iniaiones el parón y la inógnia. Sin embargo, ese proeimieno e aiionao e pesas amena el iempo neesariamene insmio en aa ilo, lo qe, en general se esea eviar. Así, el problema planeao resla: para,, y aos, elegir aeaamene la pesa e sensibilia (y en onseenia el valor e ), qe minimie ( ) o lo reza a valores razonables. El aso en qe ;, se presena en..., y el aso ; en Diseños on y orogonales Si ;, e (7) se eriva: D + in ( f ) Esa expresión se ree al amenar. Sin embargo, la seleión e na sobrearga on masa emasiao ala pee forzar a ilizar el omparaor en n rango e pesaa exenso, one s linealia pea verse afeaa, y por lo ano isorsionaa la esimaión e s sensibilia. Por lo ano, es onveniene esableer n valor e sólo lo sfiienemene alo para qe D no resle signifiaivamene mayor qe s oa inferior f in Por ejemplo, n rierio apliable, pee ser es el qe asegre qe: < Cenro Naional e Merología SM-SA-

4 Simposio e Merología 7 al 9 e Obre Con lo qe D sólo resla 9 + vees s oa inferior (n 5% mayor qe ella). En la opión, ;, y la relaión anerior se alanza si > 5, on lo qe ; ( ; ) ( os ( ) ) sen( ) D,7 f in En la opión se iliza el mismo qe en la, y 5, y la relaión se alanza ano > 5 7, on lo qe D,5 f in... Diseños on y no orogonales Si, en ambio, y no son orogonales, es posible alanzar n valor ópimo para ( ) se minimiza al elegir e forma al qe la proyeión orogonal el veor sobre la rea generaa por el veor oinia on ( ), al omo se represena en la Fig.. Fig.. Eleión e qe minimiza D Eso signifia qe ( ) ( ) esrio e oro moo: ; ; ;, o, one llamamos al ánglo formao por ambos veores. La mínima inerimbre resla D min sen ( ) f m s En la opión, ; 4; ; ; y la oniión ópima es la ya iniaa en la abla e [8]: Con esa opión, se llega a 4 () Dmin,97 f in. En la opión 4, ; ; ;. Con eso, se llega a nevamene a (), y a Dmin,94 f in En ambas opiones, sin embargo, es posible apliar aún menores sobreargas qe, si bien no realizan el valor ópimo, no inremenan signifiaivamene D respeo e iho ópimo. Por ejemplo, si en alqiera e las os opiones se aplia na sobrearga al qe, se llega a D f in.. Iniaiones orrelaionaas La asnión e no orrelaión enre iniaiones no es neesariamene iera en oos los asos. Por ejemplo, si el omparaor es alamene repeible y esable rane el ilo e pesaa, es razonable sponer na ala orrelaión enre la primera y qina iniaión en las opiones y 4, ao qe la arga nominal en esas iniaiones es la misma, y en onseenia el error e reoneo ebería ser similar. La mariz e ovarianza epene enones el oefiiene e orrelaión r 5 enre ambas iniaiones: Con lo qe se llega al valor ópimo: Cenro Naional e Merología 4 SM-SA-

5 Simposio e Merología 7 al 9 e Obre Σ I in r 5 r5 A fala e na esimaión fiable e r 5, es razonable asignar n valor a iho oefiiene, on lo al, si se aplia (4), y se seleiona la pesa e sensibilia según (), se obiene, respeivamene, para las opiones y 4: in M ; y 4 Con aa iseño, se repiieron ilos e omparaión, y se alló el sesgo meio B (promeio e los ilos menos el valor e m B-A ) y las esviaiones esánar s. Finalmene, se grafian los inervalos B ± s. Las líneas e pnos en los gráfios represenan la inerimbre expania asignaa a m B-A y las líneas llenas represenan ± B / g - - opiones Saroris Combis m A 5 kg m B-A g 4 4 M in B / g m s g Saroris Combis m s g m A 5 kg m B-A g on lo al, en la opión, resla - y en la opión 4, D. f in D.6 f in. - opiones 4 4 m s 4 g m s kg Figs. y. Calibraión e na pesa e 5 kg. RESULTADOS Las 4 opiones menionaas feron ensayaas en omparaores e masa e iferenes araerísias, simlano alibraiones e pesas e valor nominal m A : opiones Meler B5C m A 5 g m B-A mg 4 4 m s mg m s mg SARTORIUS Combis, Máx 5 kg, g. m A 5 kg Balanza meánia METTLER B5C, Máx kg,, mg, m A 5 g Las pesaas A feron efeaas apliano na pesa e valor nominal m A, y las pesaas B, aiionano a ésa ora pesa e masa onoia m B-A Se rabajó on os valores e m B-A en aa omparaor: no el oren e, y el oro el oren e. Aemás, en aa aso, se ilizaron pesas e sensibilia e os valores nominales: eranos a m B-A y a m B-A. B / mg Meler B5C m A 5 g m B-A mg opiones 4 4 m s 5 mg m s mg Figs. 4 y 5. Calibraión e na pesa e 5 g Cenro Naional e Merología 5 SM-SA-

6 Simposio e Merología 7 al 9 e Obre 4. DISCUSIÓN Los reslaos el pno son onsisenes on las inerimbres alanzaas en el pno, si se ienen en ena los efeos e repeibilia y exenriia, no onemplaos en. Para iferenias e masa peqeñas (m B-A ), no paree observarse emasiaa isrepania enre las os seleiones e m s. En ambio, para m B-A, la eleión e m s m B-A a peores reslaos en las opiones y, al omo es esperable e aero a... En el omparaor Saroris amena la ispersión, y en el omparaor meánio Meler pareen srgir efeos sisemáios mayores. De aero a las relaiones propesas en... y..., la seleión aeaa e m s (y en onseenia e ) epene básiamene e la iferenia e masa enre parón e inógnia ( ). Sin embargo, para bajos valores e, el valor e pee reslar peqeño en relaión a la resolión el omparaor, y en onseenia la esimaión e f pee verse afeaa por errores e isreizaión. Ese pee ser el moivo e algnos efeos aleaorios o sisemáios observaos. Por oro lao, observamos qe, e aero a.., D se ree al rabajar on iseños no orogonales, en los ales el signo el proo esalar ; sea igal al e, e forma al qe el érmino rzao e orrelaión se velva negaivo. En las opiones y 4, eso implia >. En onseenia, se pee proponer la sigiene mejora al apliar esas opiones: realizar n ilo e pesaa preliminar sólo para eerminar el signo e. Si ése resla negaivo, inerambiar las posiiones enre el parón la inógnia. En oras palabras, la apliaión e n ilo BAAB en lgar e ABBA renaría en na menor inerimbre en esas opiones. Aemás, en la opión 4, la masa e sensibilia se aplia sólo sobre la pesa e menor valor (A), y por lo ano la sensibilia es esimaa sobre el mismo rango e rabajo en qe se pesa la iferenia B-A. Eso pee ser na venaja en omparaores on baja linealia. En ambio, en omparaores on erivas imporanes (por ejemplo, balanzas meánias), sige sieno onveniene la opión. En alqiera e las opiones esripas, pee esimarse la eriva a parir e las iniaiones. 5. CONCLUSIONES El enfoqe planeao en ese rabajo permie jsifiar la seleión e na pesa e sensibilia en aa opión, y asignar las inerimbres asoiaas a D, enieno en ena, si orresponiere, las orrelaiones enre algnas e las iniaiones. En parilar, los rierios obenios en.. y.. reslan aeaos para las aro opiones analizaas. Aemás, los reslaos mosraos en. sgieren qe la exisenia e orrelaiones enre iniaiones no afea signifiaivamene las inerimbres finales. Por ora pare, la aopión e n moelo general para la expresión e D permie omparar los iferenes iseños enre sí, paso previo para la seleión e la opión más aeaa, e aero a las araerísias el omparaor ilizao. Más allá e qe los reslaos experimenales mosraos en sean onsisenes on los állos e los pnos aneriores, ihos reslaos eben ser onsieraos omo preliminares. Reslaría onveniene ensayar, ese esa perspeiva, na mayor variea e omparaores, e iversas araerísias, a fin e esableer onlsiones más efiniivas. Por úlimo, el moelo planeao pee ambién apliarse para esiar, la onvenienia o no, e ilizar pesas e sensibilia en aa siaión parilar, por ejemplo, en alibraiones e pesas e lase E o E ilizano omparaores e ala exai. Pee sponerse qe esos omparaores son lo sfiienemene lineales en el inervalo e pesaa, y esables rane el ilo efeao, omo para qe se velva inneesaria la ilizaión e pesas e sensibilia. Sin embargo, iha sposiión ebería ser valiaa en algnos asos. Para esa valiaión, pee parirse e (7), y omparar el valor e D obenio, on el qe se obenría, sin la apliaión e na pesa e sensibilia. RECONOCIMIENTO El presene rabajo fe realizao a parir e na observaión efeaa por Waler Bih, miembro el INRIM, rane na peer review realizaa a los laboraorios naionales el INTI en Diiembre e 9 []. El evalaor reomenó esableer y omenar n rierio para la seleión e pesas e sensibilia y, por oro lao, omparar el iseño apliao en el INTI on oros salmene apliaos. Las primeras ieas qe onjeron finalmene a Cenro Naional e Merología 6 SM-SA-

7 Simposio e Merología 7 al 9 e Obre ese rabajo srgieron en las fríferas onversaiones manenias on él. REFERENCIAS [] Inernaional Reommenaion OIML R - Weighs of lasses E, E, F, F, M-, M, M- an M, Par, Merologial an ehnial reqiremens, 4 [] NIST GMP 4, Goo Measremen Praie, for he Seleion an Use of Sensiiviy Weighs in Weighing Proeres, [] Davison,S. Perkin,M, Bkley, M, Measremen Goo Praie No. 7: The Measremen of Mass an Weigh, NPL, 4 [4] Beerra Saniago, L.O., Nava Marínez, J. Inerimbre en la alibraión e pesas por el méoo ABBA, pbliaión el CENAM, 4 [5] Jones, F., Shoonover, R.M., Hanbook of Mass Measremen, CRC Press, [6] Shwarz, R., Borys, M., Sholz, F. Gie o Mass Deerminaion wih High Aray, PTB Berih, PTB-MA-8e, Branshweig, Marh 7 [7] Gläser, M, Cyles of omparison measremens, nerainies an effiienies, Meas. Si. Tehnol. (), iopsiene.iop.org/957-///) [8] Davis, R.S., Noe on he Choie of a Sensiiviy Weigh, Jornal of Researh of he Naional Brea of Sanars, May-Jne 987 [9] JCGM : 9, Evalaion of measremen aa Spplemen o he Gie o he expression of nerainy in measremen Moels wih any nmber of op qaniies (Draf), JCGM, WG [] JCGM : 8 Evalaion of measremen aa. Gie o he expression of nerainy in measremen, JCGM, WG, available in [] Bih, W., Cox, M., Harris, P., Unerainy Moelling in Mass Comparisons, Merologia, 99/94,, [] Bih, W. Peer review for mass an volme Calibraion an Measremen Capabiliies of INTI; Argenina, Final Repor, 9. Cenro Naional e Merología 7 SM-SA-