Tema 4 Probabilidad. Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles.

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1 Tema 4 robabilidad Fenómeno aleatorio: es aquel cuyos resultados son impredecibles. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda: Resultados posibles: cara, cruz. Selección al azar de un alumno entre los 30 de una clase: Resultados posibles uno cualquiera de los 30. La imprecisión de los resultados nos lleva a plantearnos la medición de la incertidumbre ligada a estos resultados, evaluándola numéricamente. Esto nos lleva a la probabilidad. Conceptos básicos Supongamos que se realiza un experimento aleatorio Se llama suceso elemental a cada uno de los resultados posibles. Se llama Espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles Se llama suceso al compuesto por uno o más sucesos elementales Se llama suceso seguro, que notaremos con E, al formado por todos los resultados posibles Se llama suceso imposible, que notaremos con,al que no contiene ninguno de resultados posibles φ

2 Tema 4: robabilidad Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado E {, 2, 3, 4, 5, 6} Espacio muestral 3 5 Suceso Elemental: {5} Suceso: {2, 4, 6} Operaciones con sucesos Unión de dos sucesos y es un nuevo suceso, U, constituido por los sucesos elementales de y los de. Se realiza cuando tiene lugar cualquiera los sucesos elementales que lo forma. Intersección de dos sucesos y es un nuevo suceso,, constituido por los sucesos elementales que están a la vez en y en. Se realiza, cuando se realiza y. Contrario de un suceso : Está formado por todos los suceso elementales de E que no están en. Se nota con Dos sucesos y se dicen incompatibles si su intersección es el suceso

3 Tema 4: robabilidad Ejemplo: Experimento aleatorio: Lanzamiento de un dado ; Suceso {3,4,5,6} Suceso {2, 4, 6} ropiedades de las Operaciones con sucesos ; ; C C C C E E φ φ; φ E ; ; C C C C C C Suceso intersección de y {4, 6} Suceso unión de y {2,3,4,5,6} ;

4 Tema 4: robabilidad lgebra de sucesos El conjunto de todos los sucesos está dotado de una estructura denominada álgebra de sucesos. Un álgebra de sucesos es una clase, F, formada por subconjuntos de E denominados sucesos del espacio muestral que verifica: Si un suceso pertenece a F, también pertenece su complementario o contrario. Si una serie de sucesos, 2,, n, pertenece a F, también pertenece la unión. El suceso imposible también pertenece a F or tanto, las propiedades de unión, intersección y complementación de sucesos de F da lugar a sucesos que pertenecen a F.

5 Tema 4: robabilidad Concepto de probabilidad Dado un experimento y su espacio muestral asociado, E, una aplicación que asocia a cada suceso un número real : F R es una probabilidad si verifica los siguientes axiomas: ara cualquier suceso, su probabilidad es mayor o igual a cero 2 La probabilidad del suceso seguro, E, es uno: E 3 Dados dos sucesos incompatibles y se verifica que la probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos: U + Toda aplicación que cumpla esos axiomas es una probabilidad definida sobre el álgebra de sucesos F. Se denomina espacio de probabilidad a la terna E, F,.

6 Tema 4: robabilidad Concepto clásico o de Laplace de probabilidad Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos Se asume que todos los resultados posibles ligados al experimento aleatorio tienen la misma oportunidad de aparecer. Dado un suceso se determina su probabilidad como el cociente nº de casos favorables al suceso nº de casos posibles Concepto frecuencialista de probabilidad Nos permite evaluar numéricamente las posibilidades de ocurrencia de los sucesos Se asume que el experimento aleatorio puede realizarse un número grande de veces. Dado un suceso se determina su probabilidad como la frecuencia relativa con que aparece o tiene lugar.

7 Tema 4: robabilidad ropiedades derivadas de los axiomas de la probabilidad La probabilidad del suceso contrario es igual a menos la probabilidad del suceso La probabilidad del suceso imposible es cero φ 0 La probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades menos la probabilidad de la intersección U + Si el suceso está incluido en el, la probabilidad de es menor o igual a la de La probabilidad del cualquier suceso es menor o igual a

8 robabilidad condicionada Tema 4: robabilidad Dado un suceso con probabilidad no nula, la probabilidad de que ocurra, supuesto que ha ocurrido, se denomina probabilidad condicionada de dado. Se determina como el cociente entre la probabilidad de la intersección y la del suceso condicionado: / De modo similar se define la probabilidad del suceso condicionado dado, supuesto que no es el suceso imposible: Observa que estas igualdades nos permiten expresar la probabilidad del suceso intersección mediante: / / / Sucesos independientes Dos sucesos y se dice que son independientes si la realización de uno de ellos no afecta a la realización del otro. Es decir: /, o de modo equivalente, / O bien, también de modo equivalente, si la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades

9 Ejemplos Tema 4: robabilidad En una Facultad el 25% de los alumnos suspendió matemáticas, el 5% química y el 0% las dos. Se selecciona un estudiante al azar. a Si suspendió química, cuál es la probabilidad de que suspendiera matemáticas? b Si suspendió matemáticas, cuál es la probabilidad de que suspendiera química? c Cuál es la probabilidad de que haya suspendido matemáticas o química? d Cuál es la probabilidad de que no suspenda química? e Cuál es la probabilidad de que no suspenda ninguna de las dos? f Son independientes los dos sucesos? a 0,25; 0,5; 0, 0, / 0,667 0,5 b 0, / 0,4 0,25

10 Tema 4: robabilidad Ejemplos 0, 0,5; 0,25; c 0,3 0, 0,5 0, d 0,85 0,5 e 0,7 0,3 f 0,0375 0,5 0,25, 0 No son independientes

11 Ejemplo Tema 4: robabilidad La tabla siguiente muestra la clasificación de un grupo de trabajadores de una empresa según sector de producción en que trabaja y número de bajas registradas durante un año. sector producción Dias de J Sector Sector Sector C más de Seleccionado un trabajador al azar, determina: a robabilidad de que esté de baja más de 20 días b robabilidad de que pertenezca al sector c robabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector d robabilidad de que esté de baja más de 20 días o que pertenezca al sector e Dado que pertenece al sector, qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días? f Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y pertenecer al sector? g robabilidad de no estar de baja más de 20 días h robabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector

12 Ejemplo Continuación Tema 4: robabilidad a robabilidad de que esté de baja más de 20 días , b robabilidad de que esté en el sector 350 0, sector producción Dias de J Sector Sector Sector C total más de Total c robabilidad de que esté de baja más de 20 días y pertenezca al sector , d robabilidad de que esté de baja más de 20 días o pertenezca al sector , ,394 0,464 0,5945 e Dado que pertenece al sector, qué probabilidad hay de que esté de baja más de 20 días? 20 0, / 0,374 0,394 f Son independientes los sucesos estar de baja más de 20 días y pertenecer al sector? No, porque no se verifica la igualdad g robabilidad de no estar de baja más de 20 días ,3468 0, h robabilidad de no estar de baja más de 20 días y no pertenecer al sector ,5945

13 Teorema de la robabilidad Total Tema 4: robabilidad Dado un conjunto de sucesos, 2,, n que verifica Su unión es el suceso seguro U 2... n E ara cualesquiera sucesos i, j, su intersección es el suceso imposible i j φ i, j En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica S n i i S / i 3 i 2 S j n

14 Teorema de ayes Tema 4: robabilidad Dado un conjunto de sucesos, 2,, n que verifica Su unión es el suceso seguro U 2... n E ara cualesquiera sucesos i, j, su intersección es el suceso imposible i j φ i, j En estas condiciones, dado un suceso cualquiera, S, se verifica i / S n j i S / i j S / j Ejemplo : 3 oficinas O, O2 y O3 de una Compañía seguradora tienen respectivamente un total de asegurados igual a 200, 2300 y 750. Los porcentajes de reclamaciones por parte de sus clientes son respectivamente del 2%,,8% y 3%. -Si se selecciona al azar un asegurado, cuál es la probabilidad de que reclame? -Dada una reclamación qué probabilidad hay de que proceda de la oficina O2?

15 Tema 4: robabilidad._ Estamos en las condiciones del teorema total. Cada asegurado procede de una oficina O 0,282 O2 0, O3 0, Las probabilidades de reclamaciones, dadas las oficinas son R / O 0,02; R / O2 0,08; R / O3 0,03 or el teorema de la probabilidad total 3 R i Oi R / Oi 0,282 0,02 + 0,54 0,08 + 0,76 0,03 0, _ Estamos en las condiciones del teorema ayes. O2 R / O2 O2 / R 3 Oj R / Oj j O2 R / O2 R 0,54 0,08 0,0207 0,4686

16 Ejemplo 2 Tema 4: robabilidad Dos máquinas y 2 producen el 70% y 30%, respectivamente del total de artículos de la producción. El 0% de los artículos producidos por y 5% de los producidos por 2 son defectuosos. Se selecciona al azar un artículo y resulta ser defectuoso. ué probabilidad hay de que proceda de 2? 0,7; 2 0,3 D / 0,; D / 2 0,5 2 D / 2 2 / D 2 j D / j j 0,3 0,5 0,7 0, + 0,3 0,5 0,045 0,5 0,39