No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones

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1 RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 ERSION 1.0 EJES TEMÁTICOS Proposiciones Teoría de conjuntos Sistemas de numeración a) Levántate temprano! b) Has entendido lo que es una proposición? c) Estudia esta lección! d) Cuál es tu nombre l? e) Prohibido pasar f) Borra el pizarrón No son proposiciones por no poder ser evaluadas como verdaderas ni falsas. Las exclamaciones, órdenes ni las preguntas son proposiciones Práctica Dirigida Nº 01 INDICADORES DE LOGROS Identifica los conceptos de proposiciones y los conectores lógicos, desarrollando el pensamiento crítico y analítico. Aplica el razonamiento lógico en las operaciones entre conjuntos y determina relaciones de pertenencia y contenencia. Reconoce los sistemas de numeración dados en diferentes culturas y con diferentes bases. I.-Indique cual (es) de los siguientes enunciados son proposiciones: a) = 16-4 ( ) b) Estudie lógica proposicional! ( ) c) Los hombres no pueden vivir sin oxigeno ( ) d) 3 x 6 = y x 5 ( ) e) El silencio es fundamental para estudiar? ( ) f) = 2 ( ) g) Breña es un distrito de la provincia de Lima ( ) h) Un lápiz no es un cuaderno ( ) i) Eres estudiante de matemática? ( ) j) 15 < 13 ( ) k) Ponga atención ( ) PROPOSICIONES LÓGICAS Enunciado.- Es toda frase u oración que se utiliza en nuestro lenguaje PROPOSICIÓN.-Es todo enunciado, respecto de la cual se puede decir si es verdadera () o falsa () Notación Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: Proposición q: Rímac es el distrito de la provincia de Lima () r: El número 15 es divisible por 3. () s: El perro es un ave. () t: Todos los triángulos tienen cuatro lados () u: Qué día es hoy? No es una proposición p: iva el Perú 1! EXPRESIONES NO PROPOSICIONALES OPERACIONES PROPOSICIONALES Definiremos las operaciones entre proposiciones en el sentido siguiente: dadas dos o más proposiciones, de las que se conoce los valores veritativos, se trata de caracterizar la proposición resultante a través de su valor de verdad. A tal efecto, estudiaremos a continuación el uso y significado de los diferentes conectivos lógicos mencionados arriba: 1.-NEGACIÓN Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo: P : Diego estudia matemática ~p : Diego no estudia matemática Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad: p ~p

2 Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación. q: 6 es un número par y por ser ambas verdaderas, la conjunción de ERSION 1.0 ellas (que no es sino la declaración i) es RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 verdadera. Tabla de verdad La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es ~p: no todos los alumnos estudian matemática o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~p: hay alumnos que no estudian matemática 2.-CONJUNCIÓN Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p q (se lee "p y q") Símbolo Operación asociada Significado ~ Negación Conjunción o producto lógico Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación Diferencia simétrica no p o no es cierto que p p y q p o q (en sentido incluyente) p implica q, o si p entonces q p si y sólo si q p o q (en sentido excluyente) La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa. Ejemplo 2: Si p: 3 es mayor que 7 q : Todo número par es múltiplo de dos Entonces : p q : 3 es mayor que 7 y todo número par es múltiplo de dos Por ser ambas verdaderas la conjunción de ellas es verdadera 3.-DISYUNCIÓN p q p q Dadas dos proposiciones p yq, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p q, se lee p o q Ejemplo 1. Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es. La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera Tabla de verdad Sea la declaración i) 5 es un número impar y 6 es un número par p q vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son p: 5 es un número impar

3 p q p q RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 Tabla de verdad ERSION 1.0 p q p q Ejemplo2 Si p : Hace frió en Invierno, y q : Napoleón invadió Lima p q : Hace frió en Invierno o Napoleón invadió Lima Por ser al menos una de la proposiciones verdadera la conjunción es verdadera 4.-IMPLICACIÓN O CONDICIONAL Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q). La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. Supongamos la implicación i)si apruebo, ENTONCES te presto el libro p q La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 5.-DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONAL Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q") Ejemplo 1: p : Karina ingresa a la universidad q : Karina estudia mucho Entonces: p q : Karina ingresa a la universidad si y sólo si estudia mucho. Ejemplo 2: Sea i) a = b si y sólo si a² = b² El enunciado está compuesto por las proposiciones: p q p q p: a = b q: a² = b² es. En los demás casos es. Tabla de verdad Esta doble implicación es falsa si p es y q La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De

4 p q p q RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 q p (p q) (q p) verdad ERSION 1.0 este modo, la tabla de valores de verdad de p q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) (q p), como vemos: Diferencia Simétrica p q p q p q ~p q Diferencias simétrica o disyunción en sentido excluyente de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p o q en sentido excluyente") cuya tabla de valores de verdad es: p q p q Ahora bien, si analizamos la proposición q: ~p q, su tabla de verdad resulta: La verdad de p q está caracterizada por la verdad de una y sólo una de las proposiciones componentes. Sea i) o vamos a Lima o vamos a Ica queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado i) es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es also. PROPOSICIONES LÓGICAMENTE EQUIALENTES Dos proposiciones p y q se llaman equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. De ser así se denota: p q Sea p: p q, recordamos su tabla de Como vemos, luego de realizar las tablas de valor veritativo encontramos que ambas proposiciones tienen el mismo resultado final. Con esto, decimos que ambas proposiciones son logicamente equivalentes, y en este caso particular lo simbolizamos: (p q) (~p q) PRIMERA PRÁCTICA DE MATEMÁTICA Profesor Juan L. Capristano Gonzales 1.-Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a).- Lima es la capital del Perú y Bolivia se encuentra ubicada en América del Sur. b).-si 2 > 1, entonces 3 > 2 ó 21 < 5 c).- 24 es un número par y 42 es un número impar

5 d) Si Bolivia limita con el Perú, entonces Perú limita con Chile. 2.- ormalice las siguientes proposiciones a).- Si ella no viene entonces nos vamos al cine b)- Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer la docencia d).- Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no has perdido el tiempo" 4.- HALLE EL ALOR DE ERDAD RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 a)[(pλ q) q ] v p d) (p v q) Λ p b) (p q) v p e) [ (p q) Λ p ] q c) p (pλq) f) p v ( p v q ) ERSION 1.0 e)- Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodia f) Si te cuesta entender las cosas, pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes g).-estudio Álgebra si y solo si estudio ísica, o si no estudio ísica entonces estudio Aritmética h) Roxana estudia o trabaja, pero si no estudia entonces trabaja. En consecuencia, Roxana no trabaja hoy no es lunes 5.- Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) p ( p q ) c) p Λ ( p q ) b) ( p q ) p d) (p q ) [ p Λ ( p q ) ] 5.- Si p=, q=, r=. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas a) (p Λ q ) ( p r ) c) p Λ q r e) ( p q ) r b) r Λ [p ( r q ) ] d) )[(pλ q) (q Λ r )] p f) ( p q ) ( r Λ q ) 6.- a)si la proposición p ( p q ) es falso, determine el valor de verdad de : (p q ) b) Si la proposición ( p Λ q ) ( q r ), es falsa determine el valor de : p r CONECTIOS LÓGICOS ^ conjunción ~ negación disyunción y También Aún A la vez No obstante Además Pero Sin embargo Aunque No es cierto que Es falso que No es el caso que No sucede que O A menos que SINÓNIMOS

6 p P q q implicación RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 p es condición suficiente para q Si p, q q si p Que p siempre que q Cuando p, q q es condición necesaria para p En caso de que p entonces q p solo si q Si y sólo si Cuando y sólo cuando Equivale a Es necesario y suficiente para En el caso, y sólo en el caso, de que ERSION Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones, función proposicional.determine su valor de verdad: a) El pisco es peruano b) 3 es un número racional c) iva el Perú! d) Un triángulo es un polígono de tres lados e) x es hermano de y f) 28 < 15 g) Te gusta la Matemática? h) El es arquitecto EJERCICIOS 1. Determina el valor de verdad de cada proposición y de su negación Símbolo Proposición alor a: La suma de dos números pares es otro número par ~a: b: Los animales carnívoros se alimentan exclusivamente de las plantas

7 RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 ERSION 1.0 ~b: c: Las ballenas son los mamíferos más grandes del mundo ~c: d: Los lápices y los cuadernos son elementos empleados para cocinar ~d: e: 136 es múltiplo de 4 ~e: 2. Escribe la proposición compuesta representada en cada caso y determina el valor de verdad, si sabes que: p: Un hexágono tiene seis lados q: México está en Suramérica Símbolo Proposición compuesta alor p q: p q: p q: p q:

8 RESOLUCION Nº DE 07 DE NOIEMBRE DE 2012 ERSION 1.0 ~q: q ~p: ~q ~p: ~q ~p: