Guía: Semejanza y congruencia de figuras. SGUIC3M049M311-A17V1

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1 Guía: Semejanza y congruencia de figuras. SGUIC3M049M311-A17V1

2 TABLA DE CORRECCIÓN SEMEJANZA Y CONGRUENCIA DE FIGURAS Ítem Alternativa Dificultad Estimada 1 C Aplicación Media A Aplicación Media 3 D Comprensión Media 4 B Difícil 5 A Comprensión Media 6 D Comprensión Fácil 7 A Fácil 8 E Comprensión Fácil 9 E Fácil 10 E Aplicación Fácil 11 C Media 1 E Comprensión Media 13 C Comprensión Media 14 A Media 15 C Media 16 B Difícil 17 A Aplicación Difícil 18 B Aplicación Difícil 19 D Difícil 0 E Difícil

3 1. La alternativa correcta es C. Aplicación Como los triángulos ABC y DEF son congruentes e isósceles en B y E respectivamente, entonces AB = DE = BC = EF = (x 5) cm y AC = DF = (x + 8) cm. Sabemos que el perímetro del triángulo DEF es 83 cm, es decir, DE + EF + FD = 78 cm. Entonces (x 5) + (x 5) + (x + 8) = 83 (Reuniendo términos semejantes) 5x = 83 (Sumando ) 5x = 85 (Dividiendo por 5) x = 17 Luego, DF = (x + 8) cm = (17 + 8) cm = 5 cm.. La alternativa correcta es A. Aplicación Como los segmentos EB y DF miden lo mismo, al igual que los segmentos AE y CF, entonces ABE CDF, por criterio LLL. D 4º 8º C Luego, el ángulo DFA es exterior al triángulo CDF, es decir, el ángulo DFA es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él en este triángulo. A 8º E F 4º B Por lo tanto, DFA 4º 8º 70º

4 3. La alternativa correcta es D. Comprensión Al completar el ángulo que falta, el triángulo ABC queda como en la figura. Luego: I) Es semejante al triángulo ABC por criterio AA. II) Es semejante al triángulo ABC por criterio AA. III) Es semejante al triángulo ABC por criterio AA. Por lo tanto, los tres triángulos son semejantes con el triángulo ABC. 4. La alternativa correcta es B. Si AB // CD, entonces Δ OAB ~ Δ OCD y la razón de semejanza es 1 :. Luego: I) Falsa, ya que BD = OB II) Verdadera, ya que corresponde a la condición del teorema de Thales. III) Falsa, ya que la razón entre los perímetros de los triángulos OAB y OCD es 1 :. Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.

5 5. La alternativa correcta es A. Comprensión Como el triángulo rectángulo de la figura tiene hipotenusa m y un cateto p, entonces el otro cateto es m p. Dado que se trata de un triángulo rectángulo con la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible aplicar el teorema de Euclides. Según éste, el producto de las proyecciones es igual al cuadrado de la altura. Considerando que x es la proyección del cateto p m p, entonces m = x m m² p² = x m. Por lo tanto, el valor de x es m p. m 6. La alternativa correcta es D. Comprensión I) Falsa, ya que el hecho que dos triángulos tengan sus tres ángulos respectivamente congruentes, implica que los triángulos son semejantes, pero no necesariamente que son congruentes. II) Verdadera, ya que, según el criterio LAL: dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo entre ellos es congruente III) Verdadera, ya que, según el criterio ALA: dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado entre ellos es congruente Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.

6 7. La alternativa correcta es A. Dos figuras congruentes entre sí son aquellas que coinciden en tamaño, forma, medidas, etc. Al superponerlas no es posible diferenciarlas. Luego: I) Verdadera, ya que ambas partes son exactamente iguales. A D II) Verdadera, ya que ambas partes son exactamente iguales. B C III) Falsa, ya que ambas partes no son exactamente iguales. B D Por lo tanto, solo los segmentos I y II dividen a la figura en dos partes congruentes entre sí.

7 8. La alternativa correcta es E. Comprensión I) El triángulo R es semejante con el triángulo S, ya que los ángulos alternos internos son congruentes, entonces las rectas son paralelas y los triángulos son semejantes. II) III) El triángulo R es semejante con el triángulo S, ya que por criterio AA, los triángulos son semejantes. El triángulo R es semejante con el triángulo S, ya que como las rectas son paralelas, entonces los triángulos son semejantes. Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas. 9. La alternativa correcta es E. (1) TSU = y SUT = γ. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo ST, ya que podemos establecer que los triángulos son semejantes y encontrar la constante de semejanza, pero no se conoce la medida del lado homólogo a ST. () UTS =. Con esta información, no es posible determinar la medida del trazo ST, ya que no se puede establecer si los triángulos son semejantes. Con ambas informaciones, no es posible determinar la medida del trazo ST, ya que se puede establecer que los triángulos son semejantes, sin embargo, no se conoce la medida del lado homólogo a ST. Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional. 10. La alternativa correcta es E. Aplicación Aplicando el teorema de Euclides: 1² = 9 (9 + m) (Desarrollando cuadrado y distribuyendo) 144 = m (Despejando m) 63 = 9m 7 = m

8 11. La alternativa correcta es C. I) Verdadera, ya que como ABC RQP, entonces RBF BQP, lo que implica que AB y PQ son paralelas. II) Verdadera, ya que como ABC RQP, entonces CB PQ RQ, luego CB RQ (Descomponiendo los segmentos) CR RB RB BQ (Restando el segmento RB ) CR BQ III) Falsa, ya que no hay ninguna característica geométrica que permita deducir esa conclusión. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 1. La alternativa correcta es E. Comprensión Al completar los ángulos, resulta la figura adjunta. Luego: I) Verdadera, por criterio AA. II) Verdadera, por criterio AA. D 3º 58º E C III) Verdadera, por criterio AA. Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas. A 3º 58º 58º 3º B

9 13. La alternativa correcta es C. Aplicación Si Δ ABC ~ Δ DEF, entonces BC 4 k, para algún k en los reales k EF Como la razón entre los perímetros también es k, entonces: P ABC P DEF k 138 P DEF 6 5 P Δ DEF = = 115 cm 14. La alternativa correcta es A. Dado que se trata de un triángulo rectángulo con la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible aplicar el teorema de Euclides. Según éste, el cuadrado de un cateto es igual al producto entre su proyección y la hipotenusa, luego: PM² = PR PN PR = MN² = RN PN RN = PM PN MN PN PR Entonces, = RN PM PN MN PN PM PN = = PN MN PM 8 = MN 1 = 3 = 9 4 Por lo tanto, PR : RN es igual a 4 : 9

10 15. La alternativa correcta es C. Dado que se trata de un triángulo rectángulo con la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible aplicar el teorema de Euclides. Según éste, el producto de las proyecciones es igual al cuadrado de la altura. Es decir, AD DC = ² AD (AC AD) = ². Despejando, AC AD. Luego: AD (1) = 4 cm. Con esta información y la del enunciado, no es posible calcular la medida de AC, ya que solo se entrega uno de los valores que se necesitan para calcular AC, y no se puede asumir de antemano que AD DC () AD = 4 cm. Con esta información y la del enunciado, no es posible calcular la medida de AC, ya que solo se entrega uno de los valores que se necesitan para calcular AC, y no se puede asumir de antemano que AD DC Con ambas informaciones, se puede calcular la medida de AC, ya que si se reemplazan los 4 valores conocidos: AC AD 4 = 8 cm AD 4 Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 16. La alternativa correcta es B. Por la semejanza se cumple que AB DC AB 18 PA CB PA 4 AB PA AB PA 4 Como el perímetro del ABP es 44, entonces se puede plantear como PA PB AB. Pero como el ABP es isósceles en P, entonces PA PB. Luego, resulta PA AB. Reemplazando, queda:

11 = PA + PA 176 = 8PA + 3PA 176 = 11PA PA = 16 PB Entonces, AB = PA = 16 = Como el ABP es isósceles en P y es semejante con el C, entonces el C es isósceles en B. Luego, = CB = 4. Por lo tanto, DP = PB = 4 16 = 8 Dado que el perímetro de un polígono corresponde a la suma de todos sus segmentos, entonces el perímetro del polígono ABCDP se calcula como: Perímetro = AB CB DC DP PA = = La alternativa correcta es A. Aplicación Dado que Q es el punto medio de AD, entonces QD = 3 y BC = 6. Además, como el APQ es triángulo rectángulo de catetos 3 cm y 4 cm, entonces QP = 5 cm. Como ABCD es un rectángulo, entonces PAQ = CBP = 90º. Luego, el QPA es complementario con el AQP, y el BPC es complementario con el PCB. Por otro lado, como CPQ = 90º, entonces el QPA es complementario con el BPC. Por lo tanto, QPA PCB y AQP BPC. Luego, como el APQ y el BCP tienen los tres ángulo respectivamente congruentes, entonces APQ BCP. Aplicando la proporcionalidad de lados homólogos resulta: D C AQ AP QP PB BC PC 3 PB PC Luego, PB PB = 4,5 cm PB 6 4 Entonces, DC = AP + PB = 4 + 4,5 = 8,5 3 Q β 3 A 5 4 α P β α 6 B Por otro lado, PC 46 6 PC PC = 7,5 cm Dado que el perímetro de un polígono corresponde a la suma de todos sus segmentos, entonces el perímetro del cuadrilátero PCDQ se calcula: Perímetro = PC DC QD QP = 7,5 + 8, = 4 cm

12 18. La alternativa correcta es B. Aplicación Dado que se trata de un triángulo rectángulo con la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible aplicar el teorema de Euclides. Si y es la medida de la proyección del cateto, entonces resulta la figura adjunta. y Según el teorema de Euclides, el cuadrado de un cateto es igual al producto entre su proyección y la hipotenusa, es decir: ² = y (y + 3) (Distribuyendo) 4 = y² + 3y (Ordenando) y² + 3y 4 = 0 (Factorizando) (y + 4) (y 1) = 0 x 3 Luego, y podría valer 4 ó 1, pero como no puede ser negativo, entonces y = 1. Además, el producto de las proyecciones es igual al cuadrado de la altura, o sea x² = y 3 = 1 3 = 3. Por lo tanto, el valor de x es La alternativa correcta es D. Dado que se trata de un triángulo rectángulo con la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible aplicar el teorema de Euclides. Según éste, hay dos formas directas de calcular la proyección de un cateto: El producto de las proyecciones es igual al cuadrado de la altura : AD = CD² CD AD El cuadrado de un cateto es igual al producto entre su proyección y la hipotenusa : AC² = AD AB AD AC AB

13 A) Da como resultado la medida de la proyección AD, ya que según el teorema de BC Pitágoras AB² BC² = AC². Luego: AB = AB AB BC AB AC = = AD. AB B) Da como resultado la medida de la proyección AD, ya que según el teorema de Pitágoras BC² ² = CD². Luego: BC = BC CD = = AD. C) Da como resultado la medida de la proyección AD, ya que corresponde a una de las formas directas de calcular la proyección. D) NO da como resultado la medida de la proyección AD, ya que según el teorema de Euclides el cuadrado de un cateto es igual al producto entre su proyección y la BC hipotenusa, o sea BC² = AB. Luego, AB, lo que significa que como resultado la medida de la hipotenusa, y no de la proyección. BC da E) Da como resultado la medida de la proyección AD, ya que corresponde a una de las formas directas de calcular la proyección. 0. La alternativa correcta es E. Si a y b son los catetos del triángulo rectángulo, y la hipotenusa mide 4 cm, entonces según el teorema de Pitágoras se cumple que a² + b² = 4² Además, dado que se trata de un triángulo rectángulo con la altura que cae sobre la hipotenusa, es posible aplicar el teorema de Euclides a b = 1 4 Luego, a² + b² = 16 y a b = 8. Al sumar ambos términos resulta: a² + b² + a b = (a + b)² = 4 a + b = 4 = 6 Por lo tanto, la suma de las medidas de los catetos es 6.