Curso introductorio de MATLAB r. René Escalante Universidad Simón Bolívar Departamento de Cómputo Científico y Estadística

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1 Curso introductorio de MATLAB r René Escalante Universidad Simón Bolívar Departamento de Cómputo Científico y Estadística

2 CURSO INTRODUCTORIO DE MATLAB René Escalante c 2006 EDITORIAL EQUINOCCIO Todas las obras publicadas bajo nuestro sello han sido sometidas a un proceso de arbitraje. Valle de Sartenejas, Baruta, Edo. Miranda Apartado postal 89000, Caracas 1080-A, Venezuela Teléfono (0212) /3162/3164, fax (0212) Hecho el depósito de ley Reservados todos los derechos Coordinación editorial: Carlos Pacheco Producción: Margarita Oviedo y Nelson González Diagramación: René Escalante Diseño de portada: Grisel C. Boada Jiménez Corrección: José Manuel Guilarte ISBN Depósito legal LF MATLAB r, Simulink r y Handle Graphics r son marcas registradas de The MathWorks, Inc., Natick, MA, USA.

3 Contenido Prefacio iii I Nociones de MATLAB 1 1 Primeros pasos con MATLAB Cálculos con MATLAB Arreglos Funciones Práctica adicional Capacidades gráficas elementales Gráficas en dos dimensiones Gráficas en tres dimensiones La impresión Práctica adicional II Métodos numéricos con MATLAB 33 3 Álgebra lineal numérica Operaciones y funciones matriciales Resolución de un SEL y el número de condición Cálculo de autovalores Práctica adicional Interpolaciónyajustedecurvas Comandos para polinomios i

4 4.2 Ajuste por mínimos cuadrados Interpolación polinomial Práctica adicional Integración y diferenciación numéricas Funciones de cuadratura Derivación numérica Práctica adicional Ecuaciones diferenciales ordinarias EDO de primer orden EDO de orden mayor Problemas con valores en la frontera Práctica adicional III Tópicos adicionales 67 7 Matemáticas simbólicas Variables simbólicas Un poco de calculus Algunas manipulaciones algebraicas Un poco de álgebra lineal Gráficas de funciones Un poco de ecuaciones diferenciales Más matemáticas simbólicas Práctica adicional Más MATLAB Toolboxes Cambios en MATLAB Tablas de funciones MATLAB Referencias 99 Índice 102 ii

5 Prefacio Curso introductorio de MATLAB r, que tiene sus raíces en el texto MATLAB r Básico 1, pretende ser una obra de consulta rápida y estudio práctico, dirigida a los estudiantes de ingeniería y ciencias básicas, así como al profesional que desee actualizar sus conocimientos en el área del cálculo científico a través del uso de la herramienta de trabajo denominada MATLAB 2.Elpropósito de este libro es el de ayudar al lector a iniciarse en MATLAB, sin pretender ser un sustituto de la documentación MATLAB. El ambiente de trabajo MATLAB, desarrollado por The MathWorks, Inc., es fácil de aprender y usar; es además potente, exacto, robusto y rápido. Integra cálculo, visualización gráfica y programación en un ambiente abierto y flexible. La elaboración de este trabajo ha tenido como base la experiencia del autor, durante los últimos nueve años, en la utilización del MATLAB como una herramienta fundamental, tanto en la docencia (en el dictado de cursos de pregrado, postgrado, extensión y tesis dirigidas) como en diferentes aplicaciones y trabajos de investigación, todos en el área de cómputo científico. Abarca la obra tres partes: la primera, consistente en una introducción a los comandos MATLAB y a sus capacidades gráficas; la segunda es una revisión de algunos métodos numéricos elementales a través del uso práctico del MATLAB, y una tercera parte conformada por algunos temas adicionales. Las Prácticas adicionales, al final de cada capítulo desde el 1 hasta el 7, pueden también considerarse como proyectos que, en el desarrollo de un curso dado, el instructor tome en cuenta asignar, según sea su estrategia de trabajo. Además de tratar de mantener un enfoque aplicado, ha existido por parte del autor la intencióndequeestepequeño manual esté dirigido principalmente a la enseñanza de las matemáticas básicas de la ingeniería, por lo que se ha añadido un capítulo sobre matemáticas simbólicas (el capítulo 7), incluido en la tercera parte. Por último, en el capítulo 8, correspondiente al final de la tercera parte, y a manera de apéndice de las anteriores, se listan 1 Publicado originalmente por la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela [6]. 2 MATLAB es una marca registrada de The MathWorks, Inc. iii

6 funciones y operadores MATLAB, así como algunos recursos adicionales y cambios introducidos en diferentes versiones del software. En este sentido, hay que mencionar que, si bien el texto está pensado para trabajar con las herramientas más elementales que proporciona MATLAB (presentes en casi todas las versiones), también procuramos realizar, sobre la marcha, observaciones relativas a algunas facilidades y características que involucran a las versiones más recientes, tales como la 6.0, 6.5 y 7.0. En el texto se citan además algunas referencias de obras básicas de publicación reciente, tanto del área de las matemáticas numéricas como del propio MATLAB (las mismas se encuentran incluidas al final de la obra). Añadimos también referencias a sitios web, donde se ofrecen tutoriales de introducción al uso del MATLAB. Las palabras que en el texto aparecen escritas en la fuente typewriter (por ejemplo, help), representan funciones o comandos MATLAB que el usuario puede escribir (también pueden ser las salidas producidas por el mismo MATLAB). Dependiendo del tiempo disponible, se puede abarcar todo el material en un curso de unas treinta horas, o bien se puede disponer muy bien de las dos primeras partes (que incluyen también ejercicios) en un curso de unas veinticuatro horas. Se recomienda encarecidamente al lector usar el computador al mismo tiempo que va leyendo el texto, sintiéndose libre de experimentar con los ejemplos y ejercicios. Deseo agradecer a la Editorial Equinoccio por permitirme llevar a feliz término el presente proyecto. Asimismo, deseo agradecer muy especialmente a los diferentes revisores anónimos por sus muy valiosas sugerencias. En el autor está el sincero deseo de que este material cumpla con su objetivo esencial de lograr un mayor acercamiento y mejor comprensión de las matemáticas a través del uso del MATLAB. En este sentido, todo comentario que permita mejorar en algún sentido lo aquí expresado será bienvenido. R. E. rene@cesma.usb.ve Enero, iv

7 Parte I Nociones de MATLAB 1

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9 Capítulo 1 Primeros pasos con MATLAB En un ambiente tipo Windows, hacemos un doble click sobre el ícono de MATLAB (o de STUDENT-MATLAB) y obtenemos una ventana con el cursor en >> (oen EDU>> ). En un sistema Unix tenemos acceso a MATLAB a través del comando matlab. En realidad MATLAB tiene una amplia interfazgráfica de usuario. Al comenzar MATLAB, aparecerá la ventana MATLAB con algunas subventanas y barras de menús (ver la figura 1.1). Las instrucciones y expresiones MATLAB se escribirán en la ventana de comandos (o Command Window ). Inmediatamente podremos escribir las funciones que expondremos a continuación. Figura 1.1: Ventana inicial de MATLAB (versión 7). Para salir del MATLAB, escribamos 3

10 >> quit obien, >> exit Una de las funciones más usadas es la de help seguida del nombre de alguna otra función o comando específico. Por ejemplo, >> help help obien, >> help quit Podríamos también obtener ayuda directamente (o en línea) presionando la tecla F1 o seleccionando Help del menú desplegable (en ambos casos se abre la ventana de ayuda). En lugar del comando help también podemos escribir doc en la ventana de comandos. Otra forma de acceder a las ayudas en línea es a través del uso de los comandos helpwin (que abre una ventana de ayuda para el MATLAB), helpdesk (usa un internet browser para buscar información y acceder a la documentación en línea) y lookfor palabra (encuentra la primera línea de texto correspondiente a las ayudas que contienen en esa línea la palabra buscada). Otra cosa que al inicio es importante conocer es la versión con que estamos trabajando. Escriba ver. El comando what muestra una lista de archivos MATLAB en el directorio actual de trabajo. El comando who (o mejor whos) mostrará una lista de las variables usadas en el espacio actual de trabajo (o workspace ). El comando disp puede usarse para mostrar mensajes o datos en la pantalla. Por ejemplo, ensaye >> disp(pi) obien, >> disp( Esta es una prueba para disp. ) El comando demo guía al usuario por algunas demostraciones de cómo trabaja MATLAB. Con MATLAB podemos introducir datos por el teclado usando el comando input: >> r = input( Escriba ahora el radio ) 4

11 Una vez que se escriba el valor del radio (seguido de return), la entrada es guardada en r. También una cadena de caracteres puede escribirse desde el teclado: >> z = input( Su primer apellido es:, s ) El segundo argumento representa la entrada por el teclado de una cadena de caracteres. Para imprimir mensajes y números podemos usar fprintf. Por ejemplo: >> fprintf( El volumen de la esfera es: %13.6f.\n,vol) %13.6f es el formato y es similar a F13.6 en FORTRAN. \n crea una línea nueva. Con el comando fprintf podemos escribir la salida formateada en un archivo. El nombre del archivo estará incluido en el argumento; por ejemplo, >> fprintf( archi, Volumen = %13.6f.\n,vol) escribirá lasalidaenelarchivoarchi. Si el archivo no existe se crea uno nuevo, pero si existe, entonces, la salida se añade al mismo. Si usamos el comando save todas las variables serán guardadas en el archivo matlab.mat. El comando load recuperará todalainformación guardada. Podemos asignar un nombre al archivo que contenga nuestros datos; por ejemplo, >> save misvaria guarda todas las variables en el archivo misvaria. Cuando queremos recuperar las variables simplemente escribimos: >> load misvaria Si solamente necesitamos guardar algunas variables escribimos, por ejemplo: >> save misvaria x y z Así, las variables x, y, z serán guardadas en el archivo misvaria. Todas las variables se guardarán en doble precisión binaria. Cuando necesitemos recuperar los datos escribimos (sin los nombres de las variables): >> load misvaria Un archivo que contiene una lista o tabla de números en formato ASCII puede recuperarse desde MATLAB. A la variable que contiene los datos se le da el mismo nombre que el nombre del archivo pero sin la extensión. Por ejemplo, si un archivo nombre.dat contiene datos 5

12 ASCII, load nombre.dat recuperará los datos en una variable llamada nombre (si el archivo ASCII contiene una tabla de números, la variable será una matriz del mismo tamaño que la tabla). El ejecutar comandos directamente desde el teclado puede ser adecuado cuando lo que escribimos es poco, o cuando queremos ensayar algunas ideas de manera interactiva. De otro modo, el usuario debe crear un M-archivo tipo script o un M-archivo tipo function, yaque los M-archivos ( M-files ) pueden ser guardados en disco y pueden editarse todas las veces que sean necesarias. Un M-archivo puede referenciar a otros M-archivos, incluso a él mismo de manera recursiva. Cuando un script es ejecutado, las sentencias en el M-archivo suelen no verse por pantalla. Sin embargo, con el comando echo on las sentencias son mostradas de manera que el usuario pueda ver qué parte del M-archivo está ejecutándose. Para no mostrar las declaraciones del M-archivo escribamos echo off. El signo % en un M-archivo indica que cualquier sentencia después de este signo sobre la misma línea es un comentario, y es, por lo tanto, ignorado en los cálculos. diary on guarda en un archivo llamado diary toda la información introducida por el teclado, así comolamayoría de la salida por pantalla, y diary off termina con este proceso. Si el archivo diary ya existe, la salida por pantalla es añadida al archivo diary. Otro nombre, que no sea diary, puede especificarse para el archivo escribiendo el mismo después de diary. Sin on u off, y escribiendo diary solamente, conmutamos diary on y diary off. Elarchivo así creado puede editarse más tarde o puede, simplemente, imprimirse como un archivo de texto. 1.1 Cálculos con MATLAB Comencemos por evaluar, por ejemplo, Volumen = 4 3 πr3, con r =3. Los comandos a escribir son: >> r = 3; >> vol = (4/3)*pi*r^3; donde pi = π enmatlab.sinoescribimoselúltimo ; el resultado se muestra por pantalla inmediatamente. En todo caso, siempre podemos obtener el volumen calculado al escribir vol. También podemos escribir: 6

13 >> r = 3; vol = (4/3)*pi... *r^3; (Nota: Una instrucción puede continuarse en la línea siguiente escribiendo tres puntos al final de la línea.) Bloque if - else: La sentencia if termina siempre con la sentencia end. Ejemplos: 1. Si R es mayor que cero: >> R = 3; >> if R > 0, area = pi*r^2; end 2. Si R es igual a cero: >> R = 3; >> if R == 0, area = pi*r^2; end 3. Si R es diferente de cero: >> R = 3; >> if R ~= 0, area = pi*r^2; end Mayor o igual y menor o igual son, respectivamente, >= y <=. Los operadores lógicos and y or se escriben & y, respectivamente. La sentencia if puede usarse con else o elseif. Por ejemplo: >> R = 3; >> if R > 4 a = 0; elseif R==4 a = 1; else a = 2; end 7

14 Nombre de la variable Significado Valor eps Épsilon de la máquina e-16 pi π i, j Imaginarios 1 inf Infinito NaN No un número date Fecha clock Fecha y hora flops Cantidad de operaciones (Obsoleto a partir de MATLAB 6) nargin No. de arg. de entrada de una func. nargout No. de arg. de salida de una func. Tabla 1.1: Algunos números y nombres de variables. En MATLAB las variables y arreglos no tienen que ser declarados. Cualquier nombre puede usarse, aunque debemos procurar evitar las situaciones de incompatibilidad con MATLAB. El nombre de una variable, función o comando difiere del nombre que obtenemos si cambiamos alguna de sus letras minúsculas por su correspondiente mayúscula (o viceversa). Si el nombre de una variable (y su correspondiente signo = ) es omitido, automáticamente se crea una variable ans (de answer ) a la que se le asigna la respuesta generada. Algunos números y nombres de variables aparecen en la tabla 1.1. (Actividad: Con ayuda del comando help, explore el uso de las variables que aparecen en la tabla 1.1.) Para borrar una o varias variables usamos el comando clear seguido del nombre de las variables. Si no sigue ninguna variable después de clear se borrarán todas las variables. En MATLAB podemos usar los lazos for/end y while/end. Por ejemplo, calculemos el volumendelaesferaparar = 1,2,3,4,5: >> for r = 1:5 vol = (4/3)*pi*r^3; disp([r,vol]) end Obien, 8

15 >> r = 0; >> while r < 5 r = r + 1; vol = (4/3)*pi*r^3; disp([r,vol]) end O de manera decreciente: >> for r = 5:-1:1 vol = (4/3)*pi*r^3; disp([r,vol]) end En MATLAB los números se muestran por defecto con cinco dígitos. No obstante, los mismos números pueden mostrarse con 16 dígitos usando el comando format long. Pararegresaral anterior formato usamos el comando format short. Porúltimo, para representar los números en formato de punto flotante podemos escribir format short e, obienformat long e. (Actividad: Con el comando help explore el comando format.) 1.2 Arreglos En MATLAB los arreglos pueden introducirse de diferentes maneras. A saber, a través de una lista de elementos de manera explícita, generando las entradas por medio de comandos y funciones, creando un archivo con un editor local, o simplemente cargando los elementos del arreglo desde archivos de datos externos o aplicaciones (ver Using MATLAB o la ayuda en línea). En MATLAB un arreglo unidimensional representa un vector fila o un vector columna. Una variable x puede definirse como un vector fila: >> x = [0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]; Para imprimir, por ejemplo, la segunda entrada de x escribimos x(2) (seguido de enter ) para obtener: ans =

16 Una forma equivalente en que podemos definir x es: >> for i=1:6 x(i) = (i-1)*0.1; end Podemos definir elementos adicionales, por ejemplo, >> x(7) = 0.6; La definición de un vector columna es similar a la de un vector fila excepto porque las entradas están separadas por ;. Si colocamos una prima inmediatamente después del vector obtenemos su traspuesta. Si no recordamos el tamaño de un vector, podemos escribir: >> length(x) Ysiescribimos >> size(x) MATLAB nos devolverá dosnúmeros: el primero representa al número de filas, y el segundo al número de columnas de x. Los vectores y y x pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos término a término si usamos las operaciones: >> z = x + y >> z = x - y >> z = x.* y >> z = x./ y En MATLAB, un arreglo bidimensional representa una matriz, y la definimos al especificar sus entradas. Por ejemplo: >> A = [0.1, 0.2, 0.3; 0.4, 0.5, 0.6; 0.7, 0.8, 0.9]; escribiendo A obtenemos: A =

17 Una fila o columna de un arreglo bidimensional puede expresarse, por ejemplo, como A(1,:) y A(:,3) que representan la primera fila y la tercera columna de la matriz A, respectivamente. Los elementos dentro de una fila de una matriz pueden estar separados por espacios en blanco o por comas. En el caso de que alguna entrada esté expresada en forma exponencial (por ejemplo, 5.67e-6) debemos evitar los espacios en blanco. Una matriz o un vector (arreglo unidimensional) sólo acepta índices que sean enteros positivos. Para poder acceder al último elemento de una matriz usamos end como subíndice (lo que permite ir al último elemento del arreglo sin tener que saber de antemano el tamaño del mismo). Por ejemplo, si >> x = 3:45-sqrt(100); >> x(end) ans = 35 >> x(end - 7) ans = 28 Si consideramos la matriz 1 >> A = [spiral(4) [.1;.2;.3;.4]] A = Puede descubrir el patrón de la matriz n n spiral(n)? 11

18 Entonces, >> A(end, end) ans = >> A(end-3:end,end-2:end) ans = Dos arreglos bidimensionales A y B pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos término a término si usamos las operaciones: >> C = A + B >> C = A - B >> C = A.* B >> C = A./ B Asumiendo que A y B son matrices del mismo tamaño, las entradas de las mismas pueden ser comparadas en un if: 1. if A == B se satisface solamente si A(i,j) = B(i,j) para todas las entradas. 2. if A >= B se satisface solamente si A(i,j) >= B(i,j) para todas las entradas. 3. if A ~= B se satisface solamente si A(i,j) ~= B(i,j) para por lo menos una entrada. MATLAB permite el uso de los números complejos en la mayoría de sus operaciones y funciones. Dos maneras de representar matrices complejas son: >> A = [1 2;3 4] + i*[5 6;7 8] >> A = [1+5i 2+6i;3+7i 4+8i] 12

19 Nota: Deben evitarse los espacios en blanco en la representación de números complejos en una matriz. Además, i ó j pueden usarse para la parte imaginaria. Sin embargo, si i y j son usados como variables y se reescriben sus valores, podemos definir una nueva parte imaginaria con, por ejemplo, ii = sqrt(-1). En los lenguajes de programación corrientes los números se clasifican en varias categorías tales como de precisión simple, de precisión doble, real, entero o complejo. En MATLAB todas las variables son tratadas en doble precisión (en FORTRAN, por ejemplo, las variables reales y las complejas no pueden compartir las mismas subrutinas, en MATLAB esto no importa). En MATLAB pueden considerarse también arreglos de dimensión mayor que dos. MATLAB opera de manera eficiente con matrices del tipo sparse odispersas (matrices con la mayoría de sus entradas iguales a cero). Ver help sparse y help full. 1.3 Funciones MATLAB tiene numerosas funciones matemáticas. Las funciones MATLAB tienen dos importantes diferencias con respecto a otros lenguajes de programación (como FORTRAN o C), las cuales son: 1. Las funciones matemáticas trabajan con variables complejas sin discriminación alguna. 2. Las funciones matemáticas trabajan con argumentos que son vectores y matrices. Hay funciones en MATLAB que operan esencialmente sobre escalares, pero cuando las aplicamos a una matriz operan sobre cada uno de sus elementos (como por ejemplo, log, log10, round, sin, cos, tan, asin, acos, atan, rem, abs, ceil, exp, sign, sqrt, floor, entre otras). Otras funciones MATLAB operan básicamente sobre un vector (fila o columna), pero actúan sobre una matriz m n (m >2), operando sobre las columnas para obtener un vector fila que es el resultado de su aplicación sobre cada columna (el resultado análogo sobre las filas puede obtenerse usando la traspuesta de la matriz original). Algunas de estas funciones son: max, min, sort, any, all, median, mean, std, prod y sum. Así, por ejemplo, el lector puede comprobar que la mayor entrada de una matriz dada A es max(max(a)) ynomax(a). En la tabla 1.2 mostramos algunas funciones MATLAB (en el capítulo 7 presentamos muchas más). (Actividad: Con ayuda del comando help, explore el uso de las funciones mostradas en la tabla 1.2.) 13

20 Funciones elementales Descripción abs(x) Valor absoluto de x angle(x) Si x es real, angle =0. Si x = 1, angle = π 2 sqrt(x) Raíz cuadrada de x real(x) Parte real compleja imag(x) Parte imag. compleja conj(x) Conjugado complejo sign(x) +1 si x > 0; -1 si x < 0 exp(x) Exponencial en base e log(x) Log en base e log10(x) Log en base 10 rem(x,y) Resto de x/y sort(x) Ordena los elementos de un arreglo en orden ascendente cross(x,y) Producto cruz dot(x,y) Producto escalar max(x) Máximo elemento del vector x min(x) Mínimo elemento del vector x rand(n) Genera una matriz nxn de números aleatorios rand( seed,k) Genera un número aleatorio con la semilla k > 1 ceil(x) Redondea al mayor entero fix(x) Parte entera floor(x) Redondea al menor entero round(x) Redondeo al entero más cercano Funciones trigonométricas Descripción sin(x) Seno cos(x) Coseno tan(x) Tangente 14

21 asin(x) acos(x) atan2(y,x) Inversa del seno Inversa del coseno Arctangente del 4to. cuadrante π atan2(y,x) π atan(x) π atan(x) π 2 2 sinh(x) Seno hiperbólico cosh(x) Coseno hiperbólico tanh(x) Tangente hiperbólica asinh(x) Inversa del seno hiperbólico acosh(x) Inversa del coseno hiperbólico atanh(x) Inversa de la tangente hiperbólica Análisis de datos Descripción corrcoef(x) Coeficientes de correlación cov(x) Matrizdecovarianza cplxpair(x) Ordena en pares conjug. compl. cumprod(x) Producto acumulado cumsum(x) Suma acumulativa hist(x) Histograma mean(x) Media median(x) Mediana prod(x) Producto de elementos randn(x) Nros. aleatorios distrib. normalm. sum(x) Suma los elementos de un arreglo subspace(a,b) Ángulo entre dos subespacios std(x) Desviación standard Tabla 1.2: Algunas funciones MATLAB. 15

22 Las funciones en MATLAB, que son guardadas aparte como M-archivos, son equivalentes a las subrutinas en otros lenguajes. Consideremos ahora una función (M-archivo) para la siguiente ecuación: f(x) = 3x4 +8x 3 4x +5. x 3 +5x +6e 2x Si suponemos que guardamos el M-archivo con el nombre de ejerc1.m, entonces escribimos: function y = ejerc1(x) y = (3*x.^4 +8*x.^3-4*x+5)./ (x.^ 3+5*x+6*exp(-2*x)); Una vez hayamos guardado el M-archivo, el mismo puede usarse en otro M-archivo. comando: El >> y = ejerc1(4) produce y = Y si el argumento es una matriz, como en: >> ejerc1([1,2;3,4]) el resultado será también una matriz: ans = Las variables en un archivo tipo function son locales por defecto. Sin embargo, una variable puede ser declarada global (ver help global). Una función puede tener también múltiples argumentos de salida. Consideremos, como ejemplo de este caso, una función que evalúa la media y la desviación estándar de un conjunto de datos (ver el ejemplo después de escribir help function). Podemos escribir: function [media,desvst] = medi_st(x) n = length(x); media = sum(x)/n; desvst = sqrt(sum(x.^2)/n - media.^2); 16

23 Después de guardar este programa como medi_st, lo podemos usar en, por ejemplo, >> x = [ ]; >> [m,s] = medi_st(x) que produce (al escribir primero m yluegos): m = s = Como un sencillo y último ejemplo consideremos la siguiente función 2 : function y = randint(m,n,a,b) % RANDINT Genera de manera aleatoria una matriz % randint(m,n) genera una matriz mxn con entradas % entre 0 y 9. % randint(m,n,a,b) genera una matriz mxn con entradas % entre a y b. if nargin < 3, a = 0; b = 9; end y = floor((b-a+1)*rand(m,n)) + a; Esta función debemos guardarla con el nombre randint.m (que corresponde al nombre de la función). Observemos que nargin (el número de argumentos de entrada, escriba help nargin) permite establecer un valor por defecto de una variable de entrada omitida, como tal es el caso con a y b en el ejemplo. De esta manera podemos crear nuevas funciones, las cuales tendrán el mismo estatus que otras funciones MATLAB. Más aún, podemos usar los comandos type y help, como mostramos a continuación. >> type randint 2 Ejemplo tomado de la referencia [22], que es una excelente introducción al uso del MATLAB, contiene útiles consejos y sugerencias. Ver también [23]. 17

24 function y = randint(m,n,a,b) % RANDINT Genera de manera aleatoria una matriz % randint(m,n) genera una matriz mxn con entradas % entre 0 y 9. % randint(m,n,a,b) genera una matriz mxn con entradas % entre a y b. if nargin < 3, a = 0; b = 9; end y = floor((b-a+1)*rand(m,n)) + a; >> help randint RANDINT Genera de manera aleatoria una matriz randint(m,n) genera una matriz mxn con entradas entre 0 y 9. randint(m,n,a,b) genera una matriz mxn con entradas entre a y b. Nota: A partir de MATLAB 6.x, el manejador de una función dada ( function handle ) es una referencia a la misma función que puede tratarse como una variable. De manera que puede copiarse, almacenarse en una matriz (no numérica), ubicarse en un arreglo, etc. Para ello, podemos usar el comando feval; así, por ejemplo, k y = feval(k,0) es lo mismo que k(0) o y = cos(0). También podemos usar un string como en y = feval( cos,0) No obstante, el método del manejador de funciones es más general. Ver también la 8.2. Una función anónima ( anonymous function ) se puede definir a través una expresión de una línea (en lugar de requerir un M-archivo). Ensayemos escribir, por ejemplo, >> f x.^3 - pi*x - cos(7*x) Y luego puede probar >> f([1 2; 3 4]) 18

25 La sintaxis general para una función anónima es handle arg2,...) expresión Por ejemplo, >> norma2 sqrt(x^2 + y^2 + z^2) Ahora, ensaye escribir >> norma2(1,1,1) ycomparecon >> norm([1 1 1]) El comando inline le permite almacenar una función como un objeto (simbólico). Ver help inline, help symvar yelcapítulo 7). Por ejemplo, si f(x) =(x +2)(x 2), podemos definir esta parábola como >> f = inline( (x+2).*(x-2) ) f = Inline function: f(x) = (x+2).*(x-2) Podemos realizar algunas evaluaciones: >> f(5) ans = 21 >> f(0:6) ans =

26 Los objetos tipo inline pueden usarse en lugar de otras variables: >> x = linspace(-5,5); >> plot (x,f(x)) >> hold on >> plot (x,f(x-3)) >> grid (Nota: La función linspace genera un vector fila con 100 entradas igualmente espaciadas entre sus dos argumentos. Para saber acerca de las funciones plot y hold ver el capítulo que sigue, 2.1.) 1.4 Práctica adicional Ejercicio 1: Algunos simples esquemas while-loops pueden aplicarse para obtener información acerca del sistema en punto flotante con que cada uno de nosotros trabaja. a) Escribir un script que asigne a p el entero positivo más pequeño tal que 1 +1/2 p = 1. b) Escribir un script que asigne a q el entero positivo más pequeño tal que 1/2 q = 0. c) Escribir un script que asigne a r el entero positivo más pequeño tal que 2 r = inf (cuando hay overflow MATLAB produce el valor especial inf). Nota: En MATLAB eps representa el épsilon de la máquina (alrededor de en la mayoría de las máquinas); es decir, representa la precisión de punto flotante de la computadora que se está usando (es la distancia de 1.0 al número siguiente más grande en punto flotante). Es útil cuando queremos especificar la tolerancia para la convergencia de procesos iterativos. Ejercicio 2: Si un escalar x aproxima a otro x, entonces el error absoluto yelerror relativo en x son, respectivamente, x x y x x / x. Usando estos dos tipos de errores analicemos la calidad de la aproximación de Stirling, S n = 2πn (n/e) n, al factorial de un número n, n!. Escriba un archivo tipo script que genere una tabla de errores para diferentes valores de n (por ejemplo, para n =1,...,15). Qué puede concluir acerca del uso de estos dos tipos de errores? 20

27 Ejercicio 3: Problema clave: Un hombre puso una pareja de conejos en un lugar cerrado. Cuántas parejas de conejos tendrá alcabodeunaño si cada mes una pareja fértil engendra una nueva pareja, que a partir del segundo mes se vuelve fértil? a) Denotemos por f n el número de pares de conejos después de n meses. Encuentre una expresión matemática que permita calcular f n a partir de f n 1 y f n 2. b) Qué hubiera sucedido si en el enunciado anterior no se hubiera especificado un mes como el tiempo necesario para que cada nueva pareja nacida alcanzara la madurez? c) Escriba un M-archivo tipo function que genere un vector que contenga los primeros n números generados por el problema clave. d) Cuál es el índice del número f n más grande que pueda representarse (aproximadamente) como una cantidad MATLAB en doble precisión sin alcanzar el overflow 3? e) Escriba las dos matrices: >> A = [1 1; 1 0]; >> X = [1 0; 0 1]; Luego introduzca la declaración: >> X = A*X Presione de manera repetida la tecla up arrow, seguida por la tecla Enter. Qué sucede? Reconoce los elementos de las matrices generadas? Cuántas veces podríamos repetir esta iteración antes de que X alcance el overflow? Ejercicio 4: Defina una función cuya entrada consista de dos pares de puntos en el plano y cuya salida sea, bien algún punto de intersección de los segmentos que esos puntos definen o bien la información de que los segmentos en cuestión no se cortan en punto alguno. 3 Se suele traducir como desbordamiento, y ocurre cuando los datos resultantes de una entrada o procesamiento requieren más bits de los que han sido proporcionados por el software oelhardware para almacenar los datos (MICROSOFT. Diccionario de informática e Internet, McGraw-Hill, Madrid, 2001), como sucede cuando realizamos operaciones en punto flotante cuyo resultado es demasiado grande para ser representado por el sistema. 21

28 Entrada: P1, P2, P3 y P4, donde cada uno es un punto en el plano, es decir, un vector con dos componentes. Salida: Las coordenadas de algún punto de corte entre los segmentos P1-P2 y P3-P4 o el mensaje de que no existe ningún punto de corte entre los segmentos. Pruebe su función con los siguientes ejemplos: Ejemplos P1 P2 P3 P4 1 (0,0) (5,5) (5,0) (0,5) 2 (1,1) (3,3) (6,0) (0,6) 3 (2,2) (2,4) (1,5) (3,5) 4 (1,4) (4,1) (3,2) (2,3) 5 (-1,0) (3,0) (0,-3) (0,3) 6 (1,0) (4,3) (3,3) (1,2) 7 (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) 8 (1,0) (4,3) (2,2) (6,6) 9 (0,0) (3,3) (3,3) (5,5) 10 (2,3) (5,0) (3,2) (4,1) 11 (2,3) (5,0) (3.5, 1.5) (3.5, 1.5) (Nota: Siempre es importante documentar lo mejor posible nuestros programas.) (Propuesto por el Prof. J. Renom. Notasdeclasesdecómputo científico. Departamento de Cómputo Científico y Estadística, Universidad Simón Bolívar, Sartenejas, 2004.) Ejercicio 5: Supongamos que tenemos una fuente de calor de 200 C y dos tipos de aislantes: el primero puede reducir el calor en 20 Cporcadamilímetro de espesor y el segundo, un 15 % por cada milímetro de espesor. Escribir un script que permita hallar el mínimo espesor necesario de cable aislante para reducir la temperatura por debajo de 30 C. Ejercicio 6: Comenzando con un entero positivo n, escriba un script que genere una sucesión a partir de las siguientes reglas: si n = 1, parar; si n es par, reemplazarlo con n/2; si n es impar, reemplazarlo por 3n + 1. Corra el programa para algunos valores de n (por ejemplo, para n =7, 27, 379, 1845, 3001). Cuántos pasos más son necesarios para terminar la sucesión si n llega a ser (en algún momento de este proceso) una potencia de 2? Ejercicio 7: Escriba un M-archivo tipo function que encuentre el máximo común divisor de dos números 22

29 positivos dados (no arreglos). Si los números no son enteros positivos debe mostrarse un mensaje de error. Utilice aquí los comandos mod y break. Ejercicio 8: (Propuesto en [16].) Sea F el conjunto de números en punto flotante en base 2, con mantisas de t bits y exponentes en el rango [ L, L]. Escriba una función MATLAB k=max10(t,l) que genere el entero positivo más pequeño k tal que 10 k no pueda representarse exactamente como un número en punto flotante de F. 23

30 24

31 Capítulo 2 Capacidades gráficas elementales MATLAB puede producir gráficas de curvas en el plano, y gráficas de curvas y superficies en tres dimensiones (mallas). Los comandos básicos que aquí consideraremos son plot, plot3, mesh, surf y light. 2.1 Gráficas en dos dimensiones Si x y y son vectores de igual longitud, el comando plot(x,y) crea una ventana y traza una gráfica de los elementos de x contra los de y. Escribamos, por ejemplo, >> x = -5:0.01:5; y = sin(2*x); plot(x,y) (Nota: Cuando usamos signos de dos puntos para separar tres números, se generarán valores entre el primer número y el tercero, usando el segundo número como incremento.) Observemos que la distancia entre entradas consecutivas del vector x (0.01 en nuestro ejemplo) debe escogerse lo suficientemente pequeña para que la curva muestre una apariencia de continuidad. Ejercicio 1: Graficar la función y = sen(x)e x2 en el intervalo [ 3, 3] (recordar el uso de.* y.^). Utilizar luego el comando zoom (ver help zoom). Ejercicio 2: Es un hecho conocido que, si tomamos un número suficiente de términos, entonces las sumas parciales n x k k=0 del desarrollo de Taylor de e x convergen. Escriba un k! script que explore esto, graficando el error relativo de las sumas parciales como una función de n 50, para distintos valores de x: 10, 5, 1, -1, -5, -10. (Nota: Use el comando semilogy, el cual es útil cuando representamos números cuyo rango varía demasiado; para más detalles consultar el help de MATLAB.) A veces queremos visualizar las diferentes figuras que hemos generado. Para ello usamos el 25

32 comando figure. Si, por ejemplo, figure No. 1 es la figura actual, entonces el comando figure (o figure(2)) crea una nueva ventana con la segunda figura, y pasa ésta a ser la figura actual (el comando figure(1) mostrará la primera figura y pasa a ser de nuevo la figura actual). Otra opción consiste en mostrar varias gráficas superpuestas en una misma ventana (en un mismo sistema de ejes coordenados). El comando hold permite hacer esto. Escribamos primero hold on (o hold) antes de los comandos plot subsiguientes, y luego escribamos el comando hold off (o hold) para liberar la condición. También podemos graficar varias curvas en un solo sistema coordenado usando el mismo comando plot. Por ejemplo, el siguiente script lo hace así: x = 0:0.01:3*pi; y1 = sin(x); y2 = sin(2*x); y3 = sin(3*x); plot(x,y1,x,y2,x,y3) Obien, x = 0:0.01:3*pi; y = [sin(x), sin(2*x), sin(3*x) ]; plot(x,y) según muestra la figura 2.1. El comando legend crea una leyenda en la figura actual de trabajo que permite identificar los diferentes gráficos (ver help legend). Otros comandos que siguen al plot y que tienen un string como argumento son: title (el título del gráfico), xlabel (la etiqueta para el eje x), ylabel (la etiqueta para el eje y), gtext (coloca un texto sobre el gráfico con la ayuda del mouse), text (coloca un texto en las coordenadas que se especifiquen), grid (muestra una cuadrícula sobre la gráfica actual) y axis (aunque por defecto los ejes son autoescalados, este comando permite personalizar el escalamiento de los ejes). (Actividad: Con ayuda del comando help, explore estos comandos.) MATLAB tiene un comando para obtener fácil y eficientemente la gráfica de una función. Consideremos, por ejemplo, la función del ejercicio 1 y definamos un M-archivo tipo function que llamaremos ejerc1.m ( hagámoslo!), entonces el comando >> fplot( ejerc1,[-3,3]) 26

33 Figura 2.1: Podemos graficar varias curvas en el mismo sistema coordenado. o simplemente, >> fplot( sin(x).*exp(-x.^2),[-3,3]) producirá lagráfica sobre el dominio indicado. También podemos graficar curvas definidas paramétricamente. Por ejemplo, ensaye los comandos >> t = 0:0.001:2*pi; x = cos(5*t); y = sin(4*t); plot(x,y) (Actividad: Con ayuda del comande help plot, explorecómousarlafunción plot para obtener diferentes tipos de líneas, símbolos y colores cuando realicemos nuestras gráficas con MATLAB.) El comando subplot particiona una figura de manera tal que gráficas más pequeñas son ubicadas en una figura (en un arreglo de gráficas). Para una información más detallada puede escribir help subplot. Otras funciones útiles para obtener gráficas en el plano son: polar, bar, hist, fill, quiver, stairs, rose, feather y compass. El lector puede explorar estas funciones vía el comando help. En MATLAB puede ocurrir que algunos comandos gráficos permanezcan activos aun después de que la gráfica ha sido completada, y puedan interferir con trabajos posteriores. Por ello, es conveniente limpiar variables y ventanas gráficas antes de volver a trabajar con otra grafica. El comando clf limpia el contenido de la ventana de la gráfica (la figura), y el comando cla limpialagráfica trazada y redibuja los ejes. 27

34 2.2 Gráficas en tres dimensiones Si x, y y z son tres vectores de igual longitud, el comando plot3(x,y,z) produce curvas en el espacio tridimensional. Por lo general, estos vectores se definen de manera paramétrica. Por ejemplo, t = 0:0.001:20*pi; x = cos(t); y = sin(t); z = t.^3; plot3(x,y,z), title( Helice ), xlabel( x ),... ylabel( y ), zlabel( z ) representa una hélice que se comprime sobre el plano xy (ver figura 2.2). Al igual que en el caso bidimensional, aquí también podemos usar los comandos para identificar los ejes (incluyendo zlabel) y el comando axis. Figura 2.2: Hélice comprimiéndose sobre el plano xy. El comando mesh nos permite trazar una superficie (una malla) en tres dimensiones. Para trazar la gráfica de una función z = f(x, y) sobre un rectángulo, definimos primero los vectores x1 yy1 que dan las particiones de los lados del rectángulo. Luego, la función meshgrid crea una matriz x, con cada una de sus filas igual a x1 y longitud de columna la de y1 (de manera semejante crea una matriz y, con cada una de sus columnas igual a y1). Finalmente, aplicamos mesh (o surf) a una matriz z = f(x, y) (obtenida al evaluar f en las matrices x y y). Ensayemos el siguiente ejemplo: 28

35 x1 = -2:0.2:2; y1 = x1; [x,y] = meshgrid(x1,y1); z = exp(-x.^2-y.^2); mesh(z) que traza la gráfica de z = e x2 y 2 en [ 2, 2] [ 2, 2]. (Asignación: Probemos este ejemplo con el comando surf en lugar de mesh. Este comando produce una superficie con facetas, ver help surf.) Los comandos shading y colormap están asociados con diferentes matices y colores. Hay tres opciones para el primero: shading faceted, shading interp y shading flat. Para el segundo comando hay varias posibilidades: colormap(hsv) (por defecto), colormap(hot), colormap(cool), colormap(jet), colormap(gray), etc.(verhelp colormap y colorbar). (Asignación: Experimentar con la superficie anterior usando estos comandos.) Nota: Los comandos shading y colormap se escriben después del comando surf. El comando view puede usarse para especificar, tanto en coordenadas cartesianas como esféricas, el punto de vista desde el cual el objeto tridimensional va a ser visualizado. Probemos, por ejemplo, con view(0,90) en la última figura generada. Para ver una información más detallada acerca del uso de este comando recomendamos revisar la ayuda de MATLAB. Para este comando también es válida la nota anterior. Ejercicio 3: La función MATLAB peaks genera una interesante superficie. Experimente sobre esta superficie usando los comandos shading, colormap, view y rotate3d (usar el comando help cuando sea necesario). Podemos usar también fuentes de luz con el comando light. Use este comando para añadir una fuente de luz a la superficie peaks (ver figura 2.3). También podemos graficar superficies definidas paramétricamente. Ensaye las funciones sphere and cylinder, y note que generan las gráficas de las correspondientes superficies (ver type sphere y type cylinder). Otras funciones relacionadas y que podemos explorar vía help son: meshz, surfc, surfl, contour y pcolor. Nota: MATLAB tiene otras capacidades gráficas avanzadas, como son los gráficos basados en objetos (i.e., Handle Graphics y Graphical User Interface, o GUI). Se invita al 29

36 Figura 2.3: La superficie peaks con escala de grises y una fuente de luz. lector revisar el Using MATLAB Graphics y el documento en línea Creating Graphical User Interfaces. Vertambién [17]. Escriba guide!. 2.3 La impresión Usando el comando print de MATLAB podemos fácilmente obtener una impresión de la gráfica actual de trabajo. Si solamente escribimos el comando print, seenvía la figura actual a la impresora por defecto. El M-archivo printopt nos permite especificar las opciones que por defecto puede usar el comando print. Si se desea, editando este archivo, se pueden cambiar las opciones por defecto (ver help printopt). El comando print archivo guarda la gráfica actual (con el nombre designado archivo) con el formato de archivo por defecto (usualmente PostScript). Por ejemplo, print grafica6 crea un archivo PostScript grafica6.ps para la figura actual de trabajo, la cual puede imprimirse posteriormente. Si el nombre del archivo ya existe, el mismo será reescrito, a menos que usemos la opción append. Así, por ejemplo, print -append grafica6 30

37 añade la gráfica actual al archivo ya existente grafica6.ps. De esta forma, podemos guardar varias gráficas en un sólo archivo. Lasopciones -d y -f denotan un dispositivo ( device ) y una figura ( figure ), respectivamente. Por ejemplo, print -deps - f2 grafica5 guarda en el archivo PostScript encapsulado grafica5.eps el gráfico Figure No. 2, aunque no sea la figura actual. Podemos crear un M-archivo para guardar una figura que más tarde podemos cargar a fin de generar nuevamente la figura. El comando print -dmfile grafic6 crea un M-archivo que contiene la información necesaria para después reproducir la figura. A través del uso del help se pueden ver muchas otras opciones para el uso práctico del comando print. 2.4 Práctica adicional Ejercicio 1: Graficando matrices. Si el argumento del comando plot es una matriz, MATLAB usará las columnas de la matriz para graficar un conjunto de líneas (una por columna). Pruebe escribir: >> A = [ ; ; ] >> plot(a), grid MATLAB también grafica las columnas de una matriz respecto a los índices de una fila. Por ejemplo, ensaye escribir: >> x = [ ] >> plot(a,x), grid Podrán graficarse las columnas de una matriz respecto a otra? Experimente. Explore con help plot y doc plot. Podemos usar la función meshgrid para generar dos matrices x y y. En efecto: >> [x, y] = meshgrid(1:4) 31

38 Podemos además definir la superficie z = x 2 + y 2, que no es más que la distancia de cada punto (x, y) al origen (en realidad, al evaluar z obtendremos otra matriz). A continuación, grafiquemos la superficie z como una función de x y y. Por último, expanda el dominio de trabajo al incrementar los datos de entrada usando meshgrid, para luego obtener una nueva gráfica (que sería la de un cono con vértice en el origen). Ejercicio 2: Hay varias formas de graficar una superficie tridimensional con MATLAB. Consideramos aquí dos tipos de gráficas: la gráfica de malla (mesh) ylagráfica de superficie (surf). Escriba un script que trace las gráficas de malla y de superficie de la función de dos variables z = f(x, y) =1/(1 + x 2 + y 2 )(aquí, x = -2:0.1:2; y = -1:0.1:2). Use también los comandos meshgrid, title (para identificar las gráficas), xlabel, ylabel y zlabel. Ejercicio 3: Un mapa de contorno es un mapa de elevación que contiene un grupo de líneas que conectan elevaciones iguales. Un mapa de contorno se genera a partir de datos de elevación tridimensionales, y puede generarse con MATLAB usando matrices que definen el intervalo de coordenadas x y y, y los datos de elevación (coordenada z). Para generar una gráfica de contorno y su correspondiente gráfica de malla usaremos los comandos contour y meshc, respectivamente. Use la ayuda de MATLAB para ver la sintaxis correspondiente a estos comandos. Suponiendo que los arreglos x, y y z se definen como en el ejercicio 2, genere el mapa de contorno y la gráfica de malla correspondiente. 32

39 Parte III Tópicos adicionales 67

40

41 Capítulo 7 Matemáticas simbólicas El Toolbox de matemática simbólica ( Symbolic Math Toolbox ), que utiliza el kernel del Maple V r, nos permite efectuar cálculo simbólico desde el MATLAB (sin abandonar el ambiente de trabajo MATLAB). Muchas funciones de este Toolbox tienen los mismos nombres que sus contrapartes numéricas. MATLAB selecciona la correcta dependiendo del tipo de entrada asignada a la función. Escribir, por ejemplo, help eig y help sym/eig muestra la ayuda para la función numérica para autovalores y su contraparte simbólica, respectivamente. 7.1 Variables simbólicas Con el comando syms podemos declarar una variable como simbólica. Por ejemplo, >> syms x crea una variable simbólica x. Por otra parte, Maple r tiene su propio espacio de trabajo, por lo que los comandos clear o clear x no borran esta declaración; ellos sólo limpian la variable MATLAB x, pero no la variable de Maple. No obstante, el comando clear all borra todas las variables, tanto las de MATLAB como las de Maple r. Las variables simbólicas pueden construirse a partir de variables numéricas que ya existen. Esto lo hacemos usando la función sym. Por ejemplo, podemos escribir >> x = 2/5; >> y = sym(x) O bien, podemos hacer >> y = sym( 2/5 ) 69

42 Los comandos syms y sym tienen muchas opciones. (Asignación: Ensayemos escribir help syms y help sym.) 7.2 Un poco de calculus La función limit nos permite calcular límites simbólicos de algunas expresiones. Por ejemplo, podemos escribir >> syms x h n >> limit((1 + x/n)^n, n, inf) También podemos ensayar: >> limit((sin(x+h) - sin(x))/h,h,0) La función diff calcula la derivada simbólica de una función definida por una expresión simbólica. Por ejemplo, >> syms x >> f = x^5 * exp(x); >> diff(f) produce la derivada simbólica de f con respecto a x (en la misma notación del MATLAB): ans = 5*x^4*exp(x)+x^5*exp(x) También podemos calcular derivadas parciales. Por ejemplo, >> syms x y >> f = x^5 + x*y; >> diff(f) %con respecto a x (por defecto) ans = 5*x^4+y >> diff(f,x) 70

43 ans = 5*x^4+y >> diff(f,y) ans = x Los dos primeros cálculos corresponden al cálculo de f f,yelúltimo, al cálculo de.podemos x y obtener también la segunda derivada. Por ejemplo, >> syms x y >> f = x^5 + x*y; >> diff(f,x,2) ans = 20*x^3 Usando la función int, podemos intentar calcular la antiderivada de una función definida a través de una expresión simbólica. Por ejemplo, >> syms x y alfa >> int(cos(x*y - alfa),alfa) ans = -sin(x*y-alfa) Por supuesto que existirán situaciones en las que int no nos permitirá obtener un resultado en términos de funciones elementales. Ensaye escribir: >> int(exp(-x^2)) cuyo resultado viene dado en términos de la función de error erf. Ensaye también 71

44 >> int(sqrt(1 + x^3)) Su resultado está dadoentérminos de la función EllipticF, lacualestá definida por una integral (hacer también pretty(int(sqrt(1 + x^3)))). La función pretty mostrará una expresión simbólica más fácil de leer (otros formatos en los que podemos mostrar una expresión simbólica son: latex, ccode y fortran). Ensayemos escribir: >> syms x y alfa >> f = x/(alfa*x + y) >> pretty(f) >> g = int(f) >> pretty(g) También podemos trabajar con integrales definidas. Por ejemplo, podemos escribir >> int(cos(x),0,pi) %con respecto a x por defecto, obien, >> int(cos(alfa),alfa,0,pi) >> int(exp(-x^2),0,inf) Aunque los resultados obtenidos son simbólicos, la función double los convierte en numéricos (MATLAB). Por ejemplo, el resultado de la última integral es 1/2*pi^(1/2), pero si hacemos double(ans) obtenemos el resultado numérico MATLAB También podemos usar la función vpa ( variable precision arithmetic ) para transformar la expresión en un número simbólico de precisión arbitraria. Por ejemplo, podemos ensayar escribir: >> vpa(ans,30) para obtener el resultado con 30 dígitos significativos: ans = Ejercicio 1: Realizar un estudio comparativo de estas técnicas (a través del análisis de algunos ejemplos) con las funciones de integración numéricas de MATLAB, quad y quad8 (ver capítulo 5). La función taylor calcula las series de Maclaurin y Taylor de expresiones simbólicas. Por ejemplo, 72

45 >> taylor(sin(x) + exp(x)) muestra el desarrollo de Maclaurin de 5to. orden que aproxima a sen(x)+e x. Asimismo, el comando >> taylor(sin(x) + exp(x^2),10,x,pi/2) muestra el desarrollo de Taylor de grado 10, que aproxima a sen(x)+e x2, alrededor del punto x 0 = π/2. A través del uso de la función eval, podemos evaluar numéricamente una expresión simbólica. Por ejemplo, >> syms x y >> z = x^3 + sin(x*y); >> x = 5; >> eval(z) ans = 125+sin(5*y) >> y = 7; >> eval(z) ans = Ensaye escribir también: >> z = x^3 * exp(7*x); >> w = diff(z) >> v = vectorize(w) >> x = 0:.1:1; >> eval(v) Qué puede concluirse del uso del comando vectorize? 73

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