OSCILACIONES.-TEMA 3

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1 OSCILACIONES.-TEMA 3 CURSO 9- Bases Físicas del Medio Ambiente º de Ciencias Ambientales Profesor: Juan Antonio Antequera Barroso Una oscilación ocurre cuando un sistema es perturbado de su posición de equilibrio MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) Equilibrio m En el equilibrio no eperimenta ninguna fuerza el objeto por parte del muelle. LEY DE HOOKE F K K: constante recuperadora del muelle (N/m) Condición n del movimiento armónico simple Aplicando la segunda Ley de Newton d d K F ma m K a dt dt m La aceleración n es proporcional al desplazamiento y de dirección n negativa

2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) La ecuación general de este tipo de movimiento es: donde: () t A cos( ωt + δ ) Asen ωt + δ + (t): posición del objeto en cualquier instante.- Elongación (m) A: amplitud del movimiento (m), máimo desplazamiento del equilibrio. ω: frecuencia angular o pulsación (rad/s). δ: desfase o fase de oscilación (rad) π 3 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) Comprobación de la ecuación anterior al movimiento armónico simple d () t v() t Aω sen ( ωt + δ ) dt d () t dv() t K ω a() t Aω cos( ωt + δ ) Aω () t m dt dt A y δ se pueden determinar a partir de las condiciones iniciales t s Acosδ ( ) v( t s) v Aωsenδ El periodo T es el tiempo en el cual se repite (t). () t ( t + T ) A cos [ ω ( t + T ) + δ ] A cos ( ωt + δ + ωt ) 4

3 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) ωt π La frecuencia f es: ω π T ω f T π f T π π K m m K Independiente de A 5 cm m m Cuál de los dos Objeto objetos llegará primero a su posición de equilibrio si se sueltan a la vez? Objeto cm 5 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) Ejemplo: Viajamos en un barco entre las olas. El desplazamiento vertical del barco en las olas viene dado por: ( ) t π y.m cos + s 6 a) Encontrar la amplitud, la frecuencia, la pulsación, el periodo, las constante de fase. b) Dónde se encontrará el barco en el instante t s? c) Encontrar la velocidad y la aceleración en cualquier instante d) Encontrar la posición, la velocidad y la aceleración en t s Ejemplo: Un objeto oscila con una velocidad angular ω.8 rad/s. En el instante t s, el objeto se encuentra en 4 cm con una velocidad inicial v -5 cm/s. a) Encontrar la amplitud y constante de fase para el movimiento. b) Escribir (t) 6 3

4 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) v a () t Acosωt () t Aωsenωt () t Aω cosωt T/4 T/ 3T/4 T A -A (t) T π T π t ωt 4 T 4 T π T t ωt π T 3T π 3T 3π t ωt 4 T 4 π t T ωt T π T Aω -Aω Aω -Aω v(t) a(t) 7 EJEMPLOS DE MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE a) MOVIMIENTO CIRCULAR θ ωt + δ Acosθ Acos ωt + δ ( ) ( ω δ ) y Asenθ Asen t + Y A θ Acosθ X b) PÉNDULO SIMPLE φ S mgsenφ T mg L mgcosφ d S d φ F t mgsenφ m ml dt dt d φ g φ π L T π dt L ω g 8 4

5 E P ENERGÍA A DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Las energías potencial y cinética del sistema varían con el tiempo, permaneciendo la energía total constante E P () t K KA cos ( ω t + δ ) E T () + KA cte t mv ma ω sen ( ωt + δ ) KA sen ( ωt + δ ) E C E TOTAL E c E TOTAL t t E p ( av) EC ( av) ETOTAL 9 ENERGÍA A DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE -A A Ejemplo: Un objeto de 3 Kg unido a un muelle oscila con una amplitud de 4 cm y un periodo de s. a) Cuál es la energía total del sistema? b) Cuál es la velocidad máima del objeto? c) En qué posición la velocidad es igual a la mitad del valor máimo? 5

6 OSCILACIONES AMORTIGUADAS γ d d m + γ + K dt dt A : amplitud inicial τ: tiempo de relajación o amortiguamiento m/γ ω a : frecuencia angular modificada () t t A m ( ω t + δ ) A e τ cos ( ω t + δ ) cos a t a OSCILACIONES AMORTIGUADAS K γ K γ γ γ ω a ω ω 4 m m m 4 mk 4 mk 4 m ω ω ω a γ ω 4m ω γ C : amortiguación crítica γ γ C a) γ<γ C Sistema subamortiguado b) γγ C Sistema críticamente amortiguado c) γ>γ C Sistema sobreamortiguado 6

7 Ejemplo: Algunos insectos mayores, especialmente dípteros e himenópteros, presentan del orden de 5 movimientos -o másde las alas por minuto (Esto supone un ritmo superior al cambio de potencial debido a los impulsos nerviosos). Para eplicar de modo simplificado este movimiento rápido se supone que las alas actúan como un oscilador débilmente amortiguado, dado por una ecuación del tipo d θ dθ m + γ + Kθ dt dt donde θ es el ángulo que forma el ala con la horizontal, mla masa del ala que es del orden de m - g, y γ el coeficiente de rozamiento γ,4 gs - y K la constante elástica K6π gs -. a) Dibújese esquemáticamente la solución de la ecuación. Si suponemos que cuando la amplitud de oscilación decrece hasta un valor de /e, se dispara el impulso nervioso que devuelve la amplitud de la oscilación a su valor inicial. b) Cuántos impulsos nerviosos se disparan por minuto, según los datos del problema? 3 PROPAGACIÓN N DE ONDAS Las ondas transportan energía y cantidad de movimiento a través del espacio sin transportar materia. λ λ Ondas Armónicas λ: : longitud de onda K: número n de onda vδt π K λ v: velocidad de propagación λ ω ω v λf v λ T π K 4 7

8 PROPAGACIÓN N DE ONDAS y t y ( t ) y cos k, vt t f(-vt vt) y (, t ) y y cos cos y cos k k( vt) ( k ωt) y(, t) t T ( t) y cos( k ωt) y cos( ωt k) y cos π y y, ( t ) y cos ( k + ω t ), λ 5 ONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALES Ondas Transversales: Perturbación perpendicular a la propagación. Ondas Longitudinales: Perturbación paralela a la propagación. Ejemplo: Terremoto Movimiento Sísmico que se propaga a través de ondas elásticas a partir del hipocentro. Distinguimos dos tipos ondas de cuerpo o interiores y ondas superficiales. Ondas Longitudinales o primarias P: v 8-3 Km/s. Circulan en el interior de la Tierra. Atraviesa líquidos y sólidos. Son las primeras en registrarse. 6 8

9 Ondas transversales o secundarias o S: v4-8 Km/s Atraviesa únicamente sólidos Ondas Superficiales: Dos tipos: Rayleigh y Love Interacciones entre P y S. Son las más dañinas Rayleigh Love 7 Comportamiento animal ante un terremoto Poseen Reaccionan sensor ante ultrasensible corrientes a las vibraciones. electromagnéticas Daguan débiles. (China) Olisquean las emanaciones de gases Perciben Detectan ultrasonidos variaciones previos campo al temblor, magnético y minutos perciben antes el que infrasonido el hombre 8 9

10 ONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALES F Para un cuerda v μ Ondas sonoras en un fluido v: propiedades del medio e independencia del movimiento de la fuente vf(f,µ) v B ρ Ondas sonoras en gas γrt v γ(o,n,h ),4 M Ejemplo.- La tensión aplicada a una cuerda se obtiene colgando una masa de 3 Kg en uno de sus etremos, como se indica en la figura. La longitud de la cuerda es de,5 m y su masa de 5 g. Cuál es la velocidad de las ondas de la cuerda? 9 ENERGÍA A DE LAS ONDAS DE UNA CUERDA µδ dy Ec mvy ( μδ ) ( μδ ) ω A sen ( k ωt ) dt ΔE E C + E P μω ΔA sen ( k ωt ) dy E p F Δ μv ΔAdEk sen k ωt μω A d m P A v m μω dt E m μω A Δ ( ) ( ) Δsen ( k ωt) Ejemplo.- Ondas de longitud de onda 35 cm y amplitud. cm se mueven a lo largo de una cuerda de 5 m que tiene una masa de 8 g y está sometida a una tensión de N. a) Determinar la velocidad y la frecuencia angular de las ondas. b) Cuál es la energía total media de las ondas de la cuerda? c) Calcular la energía total media transmitida por unidad de tiempo a lo largo de la cuerda. Δ

11 SUPERPOSICIÓN N DE ONDAS.- ONDAS ESTACIONARIAS Principio de Superposición: Cuando dos o más ondas se combinan, la onda resultante es la suma algebraica de las ondas individuales ( k ω + ) ( k ω + ) y A cos t Φ y Acos t Φ ( δφ) cos( k ω + ΔΦ) y Acos t δφ ΔΦ ( Φ Φ ) ( Φ + Φ ) Φ SUPERPOSICIÓN N DE ONDAS.- ONDAS ESTACIONARIAS En Fase En Contrafase o Desfasada 8º Φ δφ A n A π π δφ A Φ Φ n Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva

12 y y SUPERPOSICIÓN N DE ONDAS.- ONDAS ESTACIONARIAS Acos Acos ( k ωt) ( k + ωt) y A cos ω Onda estacionaria ( t ) cos ( k ) No se produce propagación ni transmisión de energía. Ambas componentes temporal y espacial están desacopladas. Ejm.- Una cuerda fija por los etremos Puntos en que k (ó múltiplos de π) Oscilación n MáimaM VIENTRES Puntos en que k π/ (ó múltiplos de π/) No hay Oscilación NODOS 3 SUPERPOSICIÓN N DE ONDAS.- ONDAS ESTACIONARIAS Nodos en los etremos fijos n λ L n L λ λ L λ n L n f n nf L n3 λ λ/ λ 3 3 L 4

13 SUPERPOSICIÓN N DE ONDAS.- ONDAS ESTACIONARIAS Etremo fijo (nodo) y otro móvil (vientre) n λ/4 λ 4L λ n 4L n n 3 λ f n L 4 n f λ 5 Ejemplo.- Una cuerda se estira entre dos soportes fijos distantes,7 m entre sí y se ajusta la tensión de la cuerda hasta que la frecuencia fundamental de la cuerda es de 44 Hz. Cuál es la velocidad de las ondas transversales de la cuerda? Ejemplo.- Una cuerda de 3 m de longitud y densidad másica,5 Kg/m está sujeta por ambos etremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 5 Hz. La siguiente frecuencia de resonancia es 336 Hz. a) Qué armónico corresponde a la frecuencia de 5 Hz? b) Cuál es la frecuencia fundamental? c) Cuál es la tensión de cuerda? 6 3

14 REFLEXIÓN, REFRACCIÓN N Y DIFRACCIÓN Rayo incidente i r r f Rayo refractado n Rayo reflejado n Leyes de Snell Refleión: ir f Refracción: n sen in sen r v sen iv sen r Difracción 7 EFECTO DOPPLER Cuando un foco productor de ondas y un receptor se están moviendo uno con respecto al otro, la frecuencia observada por el receptor no es la emitida por el foco a) Receptor en reposo y emisor móvil acercándose b) Receptor en reposo y emisor móvil alejándose f r v v v e f e Se acerca: f r >f e. El sonido recibido es más agudo. v fr fe Se aleja: vf r <f + e v. eel sonido recibido es más grave 8 4

15 EFECTO DOPPLER c) Receptor acercándose y emisor en reposo f r v + v v r f d) Receptor alejándose y emisor en reposo r fe v m ve r f e v ± v R acerca R aleja f r v v v r f e E acerca E aleja 9 Ejemplo.- Un barco de estudio oceanográficos sitúa un receptor de sonido dentro del agua para captar el sonido de los delfines. Estos emiten frecuencias de Hz y se mueven a una velocidad de m/s, paralelamente al barco. Hállese la variación de la frecuencia: a) cuando se acercan hacia el barco y b) cuando se alejan (v sonidoagua 5 m/s) Ejemplo.- Una persona se halla de pie en el andén cuando pasa, haciendo sonar su silbato, un tren rápido circulando a Km/h. Cuál será la variación relativa de la frecuencia cuando se acerca, respecto a cuando se aleja? (v sonido 344 m/s) Ejemplo.- Un coche se desplaza a una velocidad de m/s hacia una alarma que emite un sonido con una frecuencia de 5 Hz. a) Qué frecuencia escucha cuando se acerca y b) cuándo se aleja? 3 5

16 ONDAS DE CHOQUE vδt sen α v Δt v e v e Mach v e v Ejemplo.- En el instante t, un avión supersónico se encuentra sobre un punto P volando hacia el este a una altura de 5 Km. El estampido sónico se oye en el punto P cuando el avión está a Km al este de dicho punto. Cuál es la velocidad de avión supersónico? 3 6