Repartido 5. Profesor Fernando Díaz Matemática A 3ro E.M.T. Iscab DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.

Transcripción

1 Repartido 5 Proesor Fernando Díaz Matemática A ro E.M.T. Iscab 6.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA. Deinición: Se llama derivada de una unción en un punto =a, y se representa d a D a a, al guiente ite eiste: d a lim a a a a a lim Ejemplo: Calcula ', utilizando la deinición de derivada, endo: = + 5 Solución: ' Interpretación geométrica: El conjunto de unciones reales de variable real es tan amplio que es prácticamente impoble encontrar propiedades generales para todas. Si nos restringimos a las unciones continuas ya pueden establecerse algunas propiedades importantes como los teoremas de Bolzano y de Weierstrass. Pero en las unciones continuas todavía se plantean mucos problemas como puede ser la determinación de la recta tangente en un punto de la gráica. Con la deinición intuitiva de que la tangente es la recta que toca a la curva sólo en ese punto la recta de la primera igura no sería tangente, mientras que en las otras iguras abría varias tangentes alguna bastante etraña en un mismo punto.

2 Lo cierto es que esa deinición intuitiva sólo es válida para la circunerencia y curvas milares: cerradas y conveas n baces. Para el caso general ace alta una nueva deinición que sea válida empre y que corresponda a la idea intuitiva en los casos en que ésta pueda aplicarse. Y esa deinición es la guiente: La recta tangente a una curva en un punto Pa, a es la poción ite acia la que tienden las rectas secantes que pasan por ese punto P y por otro punto Q de la curva, cuando el segundo punto Q se acerca a P. Para poder allar la ecuación de esa recta tangente en el punto de coordenadas Aa, a, la escribimos en orma punto-pendiente: y a = m a necetamos saber el valor de la pendiente m. Para ello, tenemos en cuenta que la recta tangente es la poción ite de las secantes, entonces su pendiente será el ite de las pendientes de las secantes, con lo que: Punto Fijo Punto Variable Recta Ángulo Pendiente a a A.P...sec nº...α... m tgα a a A.P...sec nº...α... m tgα

3 Cuando esa tuación la llevemos al ite, es decir, cuando acerquemos P acia A, tendremos: A.A...tangente...α... m tgα lim a a a Por tanto, la derivada de una unción en un punto a puede interpretarse geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la gráica de la unción en el punto a, a. Interpretación íca: El cálculo de derivadas o cálculo dierencial surge en el glo XVII al tratar de resolver una serie de problemas que aparecían en las Matemáticas y en la Fíca, como son entre otros: - la deinición de velocidad - la determinación de la recta tangente a una curva en un punto dado. - el cálculo de los valores máimos y mínimos que alcanza una unción. En estos y otros problemas milares de lo que se trata, en el ondo, es de estudiar, de medir y cuantiicar, la variación de un determinado enómeno, la rapidez con que se produce un cambio. La tasa de variación media TVM, o cociente incremental, nos da una primera idea de la rapidez con que varía un enómeno en un intervalo determinado. Se deine como el cociente: TVM a, b b b a a Δ Δ Δy Δ es decir, nos dice cuanto variaría la unción por cada unidad de variación de la variable independiente dentro del intervalo conderado suponiendo que esa variación uese uniorme en todo el intervalo. La tasa de variación media coincide, evidentemente, con el valor de la pendiente de la recta que une los puntos de coordenadas, y +, +.

4 El valor obtenido al calcular la T.V.M. de una unción en un intervalo determinado no quiere decir que en todo el intervalo se aya mantenido ese porcentaje de variación; de eco, no suele ser así. Además, lo que interesa normalmente es saber lo que ocurre en un punto determinado: la velocidad en un instante dado, la trayectoria que seguirá un disco al ser lanzado, el punto en que un proyectil alcanza su máima altura, etc. Por tanto, el problema es estudiar la variación instantánea T.V.I. de la unción en un punto determinado. Para ello lo que aremos será estudiar su variación en intervalos [, ] o [, ] cada vez mas pequeños aciendo que se aproime a. En el momento en que coincida con la T.V.M. se convertirá en la tasa de variación instantánea que es lo que realmente nos interesa. Pero el problema es que en el cociente que deine la T.V.M. al llegar a coincidir con el denominador valdría. Por ello se deine la tasa de variación instantánea como: TVI lim lim Y este ite es lo que emos llamado derivada de la unción en el punto. Por tanto la derivada puede interpretarse también como la tasa de variación instantánea, es decir, como la razón de cambio instantánea de una unción. Ecuación de la recta tangente a la gráica de una unción en un punto. Ecuación de la recta normal. Como vimos en la interpretación geométrica de la derivada, ésta es la pendiente de la recta tangente a la unción realmente a la gráica de la unción en el punto de coordenadas P a, a, por lo que la ecuación de la recta tangente será: y a ' a. a NOTA: Para calcular la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación de la recta en la orma punto-pendiente: y y m. La normal a una curva en un punto P a, a es la perpendicular a la recta tangente en dico punto. Si la pendiente de la tangente es m t ' a, la pendiente de la normal será m N ya que el producto de ambas debía ser - y la ecuación de la recta normal ' a nos viene dada por: y a a ' a

5 Si a =, la recta tangente será orizontal y de ecuación y = a. En ese caso la recta normal es vertical y de ecuación = a. Ejemplos.. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva dada por de abscisa =. en el punto Calculamos la derivada de la unción dada en el punto que nos indican. Aplicando la propia deinición tendremos:.. ' En consecuencia, ' m t ' Una vez que emos obtenido las pendientes de las rectas tangente y normal a la curva, podemos escribir sus ecuaciones, utilizando la ecuación de la recta en la orma puntopendiente: Si tenemos en cuenta que el punto de tangencia tiene por coordenadas,, 8, las ecuaciones de las rectas pedidas son: y m N ' Ecuación de la recta tangente: y 8. y 6 Ecuación de la recta normal: y 8 y Dada la parábola de ecuación y 8, allar el punto donde la tangente es paralela al eje de abscisas. Calculamos la derivada de la unción dada en un punto cualquiera : 8 8 '

6 Como la tangente es paralela al eje de abscisas, las dos rectas tendrán igual pendiente: tenemos en cuenta que la pendiente del eje de abscisas es igual a cero, al igualar la derivada a cero nos queda: m t ' 8 4 Obtenida la abscisa del punto de tangencia, la ordenada correspondiente del punto la obtenemos sustituyendo en la unción: En consecuencia, el punto de tangencia tiene por coordenadas 4, 4..- DERIVADAS LATERALES. Como una derivada es un ite, para que eista, an de eistir y coincidir los ites laterales que, en este caso, se llaman derivadas laterales de la unción en el punto: Derivada por la izquierda. Se llama derivada por la izquierda de la unción en el punto = a al guiente ite, es que eiste: ' a = lim a a o ' a = a a a Derivada por la dereca: Se llama derivada por la dereca de la unción en el punto = a al guiente ite, es que eiste: ' a. = lim a a o ' a. = a a a Evidentemente, una unción es derivable en un punto sí, y sólo sí, es derivable por la izquierda y por la dereca en dico punto y las derivadas laterales son iguales. Si las derivadas laterales eisten pero no coinciden, se debe a que la unción tiene un punto anguloso.

7 Ejemplo: Este es el caso de la unción ' y '. que en el punto = tiene por derivadas laterales Derivabilidad en un intervalo. Una unción es derivable en un intervalo abierto a, b es derivable en cada uno de sus puntos. Una unción es derivable en un intervalo cerrado a, b es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto a, b y derivable por la dereca en a y por la izquierda en b. Ejemplo En la gráica podemos observar que la unción es derivable en el intervalo n,p pero no en el m,p ya que en este último intervalo contiene un punto anguloso Relación entre continuidad y derivabilidad. La derivabilidad es una propiedad de las unciones más restrictiva que la continuidad, ya que eisten unciones continuas que no son derivables. La implicación de que una unción derivable es continua se demuestra en el guiente TEOREMA: "Si una unción es derivable en un punto derivada inita, entonces es continua en dico punto" En consecuencia, las unciones derivables orman un subconjunto de las unciones continuas.

8 Demostración: será continua en a : lim, a, lim a a Por ser derivable en a a lim a en ese ite, en concreto a. a a, luego tiene que eistir todo lo que interviene a Además, en caso de eistir el ite, será: a lim a lim a lim a a a a a a lim lim a a a a a por tanto eiste lim y además coincide con a, con lo que se cumplen las tres a condiciones así que es continua en a. NOTA: Sin embargo, el recíproco de este teorema no es cierto: Una unción continua en un punto no es necesariamente derivable en dico punto. Ejemplo: Esto podemos verlo ácilmente estudiando la unción en el punto =. En eecto, esta unción es continua en = Como =, entonces es continua en =. Veamos aora la derivabilidad en = : ' ' ' ' Por tanto, la unción no es derivable en el punto =.

9 .- FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS Hasta aora sólo emos estudiado la derivada de una unción en un punto y el resultado es un número real por tratarse de un ite. Si una unción es derivable en un subconjunto D ' de su dominio D D' D, podemos deinir una nueva unción que asocie a cada elemento de D ' su derivada en ese punto: ' ' D' / D' ' Esta nueva unción que agna a cada elemento su derivada correspondiente recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA o, mplemente, DERIVADA y se representa por Ejemplo: Halla la derivada de y. A continuación, calcula la derivada en el punto =. d y' lim d lim d Entonces : d lim lim lim En = la derivada es: =4 Calcula la derivada de y d y' lim d d Entonces: d lim Derivadas sucevas Ya emos visto que la derivada de una unción en un punto, eiste, es el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva de la unción en ese punto. Si esto se generaliza a todos los puntos, emos visto que obtenemos la unción derivada. Si a esta unción derivada primera la volvemos a derivar, se obtiene otra unción derivada, llamada derivada segunda. A partir de la unción derivada primera se puede deinir, eiste, también su derivada que recibe el nombre de derivada segunda y se representa por ''. Análogamente se deinirían la derivada tercera, cuarta, quinta,..., n-éma, y se 4 5 n representarían por ''',,,,

10 Otras ormas de representar las derivadas son: D, D, D,, D n d d ', d d '',, d n d n n Ejemplo: Dada la unción: Tenemos que Si continuamos con este proceso, obtendremos la derivada tercera, cuarta, quinta, etc. 8 IV V Observen que, a partir de la cuarta derivada, las guientes empre van a ser cero, en este caso particular que emos tomado como ejemplo. Ejemplo: Conderemos la unción sen, y calculemos las cuatro primeras derivadas: IV cos sen cos sen A partir de aquí vuelven a repetirse las unciones derivadas, ya que la cuarta derivada, coincide con la unción original. Ejercicios de aplicación 4 Hallar las cuatro primeras derivadas de Hallar las primeras tres derivadas de Hallar las primeras cinco derivadas de sen cos

11 4.- REGLAS DE DERIVACIÓN. REGLA DE LA CADENA. Obtener la epreón de la unción derivada de una unción dada implica calcular el ite que deine a esa unción derivada en un punto genérico usando la epreón que deine a la unción original; es decir, calcular y lim Pero calcular ese ite cada vez que deseemos obtener la derivada de una unción resulta bastante engorroso y, por ello, se obtienen aunque no las demostraremos unas epreones o órmulas generales que permiten obtener ácilmente la derivada de cualquier unción. Esas órmulas o reglas de derivación son las guientes:.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE: Una unción constante es empre derivable y su derivada vale empre. = k =.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD: La unción identidad es empre derivable y su derivada vale empre. = =.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE NATURAL: La unción potencial de eponente natural es empre derivable y su derivada vale = n = n n 4.- DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES: Si dos unciones y g son derivables la unción suma + g también es derivable y su derivada es la suma de las derivadas. + g = + g 5.- DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES: Si dos unciones y g son derivables la unción producto g también es derivable y su derivada vale g = g + g Como caso particular tenemos que una unción es derivable el producto de un número k por la unción también es derivable y su derivada vale En el caso de tres unciones sería: k = k g = g + g + g y así sucevamente.

12 6.- DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES: Si dos unciones y g son derivables, en los puntos en que la segunda sea distinta de cero la unción cociente también es derivable y su derivada vale g g g g Como caso particular tenemos que una unción g es derivable la unción g es derivable en todos los puntos en que g sea distinta de cero y su derivada vale g g g 7.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE ENTERO NEGATIVO: La unción potencial de eponente entero negativo es empre derivable y su derivada vale = n = - n - n 8.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA: La unción logarítmica = ln, que sólo está deinida para los números potivos, es empre derivable y su derivada vale = ln = 9.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN POTENCIAL DE EXPONENTE REAL: La unción potencial de eponente real = a es empre derivable y su derivada vale = a = a a Como caso particular tenemos la derivada de la raíz n-éma que se deduciría escribiéndola como potencia de eponente raccionario y derivando: n n n n Y para la raíz cuadrada:

13 .- DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA DE BASE a: La unción logarítmica de base un número real a potivo y distinto de, que está deinida sólo para números potivos, es empre derivable y su derivada vale log a lna log a e.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE a: La unción eponencial de base un número real a potivo y distinto de es empre derivable y su derivada vale a a a ln a log e a Como caso particular podemos conderar la unción eponencial de base el número e, que suele llamarse mplemente unción eponencial, cuya derivada es = e = e Ésta es la única unción que coincide con su derivada..- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: a La unción seno es empre derivable y su derivada vale = sen = cos b La unción coseno es empre derivable y su derivada vale = cos = - sen c La unción tangente es derivable empre que eista y su derivada vale = tg sec cos tg.- DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS: a La unción arco seno, deinida en [-,], es derivable en -, y su derivada vale = arc sen b La unción arco coseno, deinida en [-,], es derivable en -, y su derivada vale = arc cos

14 c La unción arco tangente es empre derivable y su derivada vale = arc tg 4.- DERIVADA DE UNA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES. REGLA DE LA CADENA: Dadas dos unciones y g, la unción es derivable en un punto y la unción g es derivable en el punto, la unción compuesta g es derivable en el punto y su derivada vale g = g [] 5.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN RECÍPROCA O INVERSA: Si una unción es inyectiva y derivable, con derivada distinta de cero, la unción recíproca o inversa - también es derivable y su derivada vale 6.- DERIVACIÓN LOGARÍTMICA: Es un método que permite calcular ácilmente mucas derivadas y que conste en tomar logaritmos neperianos en los dos miembros de la unción y derivar a continuación. Ejemplo: y = sen y cosln y sen Ln y = ln sen Ln y = sen ln y cos ln y cos ln sen y sen sen 7.- DERIVACIÓN IMPLÍCITA: Es un método que se emplea cuando resulta diícil escribir la unción a derivar en la orma y =. Ejemplo: y + y = 5 y + y y + y = y y 4y

15 ANEXO: Reglas de Derivación: OPERACIONES REGLA SUMA Y DIFERENCIA g' ' g ' PRODUCTO g' ' g g ' '. g. g ' COCIENTE ' g g PRODUCTO POR UN Nº k. ' k. ' COMPOSICIÓN g ' g ' ' A modo de ejemplo, podríamos comprobarlas con la suma y dierencia: Suponiendo que las unciones y g sean derivables, tenemos: g g g' g g g g g g g g ' g' Derivada del producto de una constante por una unción. k k k ' k k k lim k k '

16 Derivadas de Funciones Elementales: T I P O S Constante: k ' F O R M A S S I M P L E S COMPUESTAS F. Identidad: ' Potencial Logarítmico Eponencial Potencial-eponencial Raíz Cuadrada Seno Coseno Tangente Cotangente n n n n D n. D n.. ' ' D L D L ' D loga loga e Dloga loga e D e e D e '. e D a a. La D a '. a. La D Arco seno D arcsen Arco coseno D arccos Arco tangente D arctg Arco cotangente D arcctg D g g. g. ' g'. D g. L ' Dsen cos D sen ' cos Dcos sen D cos ' sen D tg tg D tg '. tg D tg sec D tg '.sec ' D tg D tg cos cos Dctg ctg Dctg '. ctg Dctg cosec Dctg ' cosec ' Dctg Dctg sen sen D arcsen D arccos ' ' D arctg ' ' Darcctg

17 EJERCICIOS RESUELTOS. Dada la unción : deinida por, 6,, Determina los puntos en los que la unción es derivable y en cada uno de ellos calcula su derivada. Nuestra unción es una unción deinida a trozos en cada uno de los cuales está deinida como una unción cuadrática o como unción lineal. Tanto una como la otra son unciones continuas y derivables en todo y, por tanto, en el trozo en el que están deinidas. En consecuencia, la unción es continua y derivable en {,} por serlo las unciones mediante las que está deinida. Estudiemos la continuidad y la derivabilidad de la unción en los puntos = y =. En = : Como en este punto ay un cambio de deinición de la unción, para estudiar la eistencia de ite en él tendremos que calcular los ites laterales de la unción: Por otra parte, y la unción sería continua en el punto =. Estudiemos la derivabilidad: tendremos que calcular las derivadas laterales ' ' ' En =. Continuidad: operamos de igual manera que en =. no eiste Por tanto, la unción no es continua en = presenta en este punto una discontinuidad inevitable de salto inito y, en consecuencia, será no derivable en él. La derivada de la unción nos vendría dada por: 6,,,, '

18 Estudia, según los valores del parámetro a, la continuidad y derivabilidad de la unción : deinida por a a Para cualquier valor distinto de, la unción está deinida como unción cuadrática en cada uno de los segmentos, para cualquier valor del parámetro a. Como las unciones cuadráticas son continuas y derivables en todo, también lo serán en cualquier intervalo abierto de y, por tanto, la unción será continua y derivable, para cualquier valor del parámetro a, en {}. Estudiemos la continuidad de en el punto : Para que sea continua tiene que eistir ite en el punto y, para ello, los ites laterales tienen que ser iguales: a 4 a a Igualando estos ites laterales obtenemos: a 4 4 a a 4 a 8 En consecuencia, la unción sería continua en el punto a 8. Para este valor del parámetro la unción nos queda de la orma: y su derivada, salvo en el punto, es: ' Calculamos la derivada en el punto : ' ' 8 4 ' ' 4 La unción es derivable en el punto =. En resumen: Si a 8, la unción es continua y derivable en R {}. Si a 8, la unción es continua y derivable en R. ' ' ' 4 EJERCICIOS PROPUESTOS.. Hallar la ecuación de la tangente a las curvas en los puntos que se indican: 8 en el punto P,. 5 en el punto P, en el punto de abscisa =.

19 .. Escribid la ecuación de la recta tangente a la ipérbola y en el punto de abscisa =. e en el punto de abscisa =.. En qué punto de la gráica de la unción 6 8 la tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante? 4. Determinar los puntos de la curva y en los cuales la tangente es paralela a la recta y Buscar los puntos de la curva y 7 que tienen la tangente ormando un ángulo de 45º con el eje de abscisas. 6. Estudiar la derivabilidad de la unción Dibujar la gráica. 7. Demostrar que la unción no puede tener tangente en el punto de abscisa 8. Dada la unción, allar ' y ''. Representar gráicamente los resultados. 9. Estudia la derivabilidad de la unción en el intervalo,.. Estudia la derivabilidad de la unción cos en el intervalo,.. Halla la derivada de la unción sen Es ' continua en? Es ' derivable en?. Calcula m y n para que la unción 5 m n sea derivable en todo.. Estudiar la derivabilidad de las guientes unciones y, en caso de no sean derivables en algún punto, dar el valor de sus derivadas laterales: 4. Conderemos la unción g. Sabiendo que g es continua en, probar que es derivable en y calcular su derivada. No se puede suponer que g es derivable; puede no serlo.

20 DERIVABILIDAD. EJERCICIOS. Relaciona la gráica de cada unción dada en las iguras a-d con las gráicas de sus derivadas I-IV. Eplica las razones de su elección.. Para cada una de las guientes unciones, traza la gráica de su derivada.. Determina la derivada de cada una de las guientes unciones: b a c. sen d. e. cos. tan sen 5 sen g.. 5 cos i. tan

21 4. Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la curva y en el origen. 5. Si la recta tangente a y en 4,, pasa por el punto, encuentra 4 y '4 6. Dibuja una unción para la cual, ', ' y ' 7. Si 5 encuentra ' y úsela para allar la ecuación de la recta tangente a la unción en el punto, 8. Para las guientes unciones alla la derivada en el punto que se indica a y 5 ; 8, b y y 4 ;, c y y ;, 9. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la circunerencia y 5en los puntos 4, y -,4