VECTORES 1.2 CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES. En este capítulo estudiaremos los vectores y su álgebra.

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Gabriel Ayala García
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1 CAPITULO I CALCULO II VECTORES 1.1 INTRODUCCIÓN Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se contemplan las herramientas necesarias para la geometría tridimensional. Primero se estudian los vectores geométricamente, y a través de sus operaciones, también de forma geométrica, se llegan a conceptos fundamentales del Álgebra como son los de dependencia lineal y combinación lineal. 1.2 CONCEPTOS Y DEFINICIONES FUNDAMENTALES En matemáticas, y por lo tanto en la física y la ingeniería, se manejan dos tipos diferentes de cantidades. Éstas son escalares y vectores. En este capítulo estudiaremos los vectores y su álgebra. Un escalar es una cantidad que solo tiene una magnitud. Un vector es una cantidad que tiene dos características: magnitud y dirección. Ejemplos: Escalares: masa, temperatura, área, longitud, dinero. Vectores: fuerza, desplazamiento, velocidad, aceleración, campo eléctrico DEFINICIÓN DE VECTOR EN TÉRMINOS DE SUS COMPONENTES Algebraicamente se puede especificar un vector como un par ordenado <a,b>. Los elementos del par ordenado se llaman componentes del vector. Ejemplos: 1

2 = < 4, 2 > = < 2, 4 > VECTORES EN EL PLANO Y EL ESPACIO: Se denomina vector a cada elemento de V. Vectores en R 2 En el conjunto de todos los pares ordenados de números reales: R 2 = { ( a 1, a 2 ) : a 1? R? a 2? R } Vectores en R 3 En el conjunto de todos los tríos ordenados de números reales: R 3 = { ( a 1, a 2, a 3 ) : a 1? R? a 2? R? a 3? R } ( a 1, a 2, a 3 ) perteneciente a él es un vector. Vectores en R n El conjunto de todas las n - tuplas de números reales: ( a i ) n = ( a 1, a 2,..., a n ) Se llama el n - espacio real, o simplemente n espacio y se simboliza por R n : R n = { ( a i ) n = ( a 1, a 2,..., a n ) : i ( a i? R ) } EL conjunto de todos los vectores, determinados por un número dado de los números reales con ciertas operaciones básicas, definidas sobre estos vectores, se llama ESPACIO VECTORIAL: V. 2

3 1.3 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA Para representar un vector, es costumbre utilizar una flecha o segmento orientado. Donde: C, A es el origen B, D es el extremo del vector OP es la longitud que representa el modulo. La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector y la orientación de la flecha indica la dirección del vector. Notación: Para distinguir un vector de un escalar se denota a un vector con símbolos como:,,, etc. 1.4 IGUALDAD DE VECTORES Definición: Dos vectores y son iguales, =, si tienen la misma magnitud y la misma dirección. Ejemplo: 3

4 = 1.5 MÓDULO DE UN VECTOR El modulo de un vector es la longitud del segmento orientado. Sea A un vector de n dimensiones, A = {a 1, a 2, a 3,... a n } llamamos módulo, norma o simplemente longitud del vector al valor numérico (escalar) determinado por: 1.6 ÁLGEBRA VECTORIAL Se denomina álgebra vectorial al estudio de las operaciones básicas definidas sobre los vectores ADICIÓN DE VECTORES 4

5 La suma de vectores se define mediante la ley del paralelogramo, que se ilustra enseguida. Vectores originales Vectores desplazados Vectores y su suma Aunque hemos ilustrado a los vectores en un plano, ahora definiremos a los vectores y sus operaciones en el espacio tridimensional. En general, un vector en el espacio tridimensional es cualquier tríada de números reales, = <a 1, a 2, a 3 > en donde los números a 1, a 2, a 3 se llaman componentes del vector. 5

6 Ejemplo: = {4, 2, 3} En términos de componentes, la suma de vectores se define como sigue: Sean = <x 1, y 1, z 1 > y = <x 2, y 2, z 2 >, la suma de y se define como: + = <x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 > Ejemplo: = { 3, 2, 3 } = {2, 2, 0} = + = {5, 4, 3} LA SUSTRACCIÓN O RESTA DE VECTORES Se define la resta de vectores como: - = + (- ) 6

7 Y la igualdad entre vectores se define entonces de la siguiente manera: Sean = <a 1, a 2, a 3 > y = <b 1, b 2, b 3 >, entonces = si y sólo si A1 = b1, a 2 = b2, a3 = b PRODUCTO POR UN ESCALAR Ahora definiremos otra operación, la multiplicación de un vector por un escalar. Sea = <a 1, a 2, a 3 > y k un escalar, entonces definimos la multiplicación por un escalar como sigue: k = <k a 1, k a 2, k a 3 > Ejemplo: = {4, 3, 2} k = 1 / 4 = k = {1, 3 / 4, 1 / 2} Obsérvese que k es un vector con la misma dirección que si k > 0 y con dirección contraria si k < 0. La magnitud de k es k. En virtud de lo anterior, el negativo de - = (-1) es 7

1.7 PROPIEDADES DE LOS VECTORES Con la definición de vector en términos de componentes y con las propiedades de los números reales, puede demostrarse el siguiente teorema. 1.

8 1.7 PROPIEDADES DE LOS VECTORES Con la definición de vector en términos de componentes y con las propiedades de los números reales, puede demostrarse el siguiente teorema. 1. A + B = C (al sumar dos vectores se obtiene otro vector - ley de composición interna) 2. a. A = a (x 1, x 2 ) = (a x 1, a x 2 ) (para a Î R) [el producto de un vector y un escalar da otro vector] 3. (- 1). A = - A (opuesto) A - 1 = 1 / A (inverso) 4. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 5. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 6. a. (A + B) = a. A + a. B (para a? R) (propiedad distributiva) 7. A (a + b) = A. a + A. b (para a? R, b? R) 8. A + 0 = 0 + A = A [0 representa el vector nulo (0, 0) que es neutro en suma] 9. A + (- A) = A = A (1 es neutro en producto) A = 0 (0 es absorvente en el producto) 1.8 PRODUCTO ESCALAR El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, se denota de la siguiente forma: También podemos obtener un producto punto si: Dado dos vectores A y B llamaremos producto escalar de A y B al número real determinado por: A. B = A. B. cosθ Siendo θ el ángulo entre ambos vectores. 8

9 Si tenemos dos vectores A = {a 1, a 2,..., a n } y B = {b 1, b 2,..., b n } el producto escalar entre ambos puede hallarse mediante la sumatoria del producto de cada una de sus coordenadas. A. B = a 1 b 1 + a 2 b a n b n PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR 1. A. B = B. A 2. A. (B + C) = A. B + A. C 3. (a. A). B = A. (a. B) (para a? R) 4. A. A > 0 (para A > 0) 5. A. B < A. B (desigualdad de Cauchy - Schwarz) 6. Si A > 0, B >0 y θ?= 90º ;? A. B = 0 (El producto escalar de vectores ortogonales es nulo ya que el cos 90º = 0.) 1.9 LOS VECTORES UNITARIOS El versor o vector unitario es un vector cuyo módulo es 1. Una base ortogonal de los vectores del plano es un vector ortogonal es unitario. i es el versor de dirección horizontal (eje x) mientras que j es de dirección vertical (eje y). El vector k representa la tercera dimensión (eje z). Así si R = (2, 3, 5) puede escribirse como TEOREMA CÓSENOS DIRECTORES R = 2 i + 3 j + 5 k. Los cósenos directores de un vector diferente de cero, determinan tres ángulos con los tres ejes coordenados. Se representan de la siguiente forma. 9

10 1.9.2 PROYECCIÓN ORTOGONAL Geométricamente lo que queremos es determinar el vector que se obtiene al proyectar ortogonalmente el vector sobre el vector. Si denotamos a este vector con cumplir que entonces, de acuerdo con la figura, se debe y finalmente 1.10 PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ 10

11 El producto cruz entre dos vectores de, conocido también como producto externo de vectores ya que su resultado es un vector y se define de la siguiente manera: Recordemos que escribir, entonces también podríamos Esta fórmula se puede escribir en la forma de un determinante como sigue El producto cruz es un vector que es tanto perpendicular a como a. En general, con las propiedades que vamos a establecer para este producto cruz, solamente sería posible definirlo en y. El vector se puede ver como la dirección de una recta que sirve de eje de rotación única, perpendicular a y a. En 11

12 dos dimensiones no existe una tal dirección perpendicular a y a. En cuatro o más dimensiones, esta dirección es ambigua. Una generalización, en cierto sentido, del producto cruz a dimensiones es el producto exterior del álgebra multilínea. El producto exterior tiene magnitud pero no es un vector ni un escalar, es una área dirigida o "bivector". Este producto también comparte la propiedad Ejemplo Sean y entonces PROPIEDADES DEL PRODUCTO CRUZ Consideremos los vectores y, entonces (igualdad d Lagrange)

13 PRODUCTOS TRIPLES a) Triple producto escalar: También llamado producto interno su resultado es un escalar. Se definen como sigue: Sean a = ( a 1, a 2, a 3 ), b = ( b 1, b 2, b 3 ) y c = ( c 1, c 2, c 3 ), entonces: a ( b c ) = a 1 ( b 2 c 3 b 3 c 2 ) + a 2 ( b 3 c 1 b 1 c 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 b 2 c 1 ) Teoremas: Sean a, b y c vectores, entonces: a ( b c ) = b ( c a ) = c ( a b ) a ( b c ) = ( a b ) c a ( b c ) = volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a, b y c b) Triple producto vectorial: También llamado triple producto externo, su resultado es un vector. El triple producto vectorial de tres vectores A, B y C, se define como 13

14 (AxB)xC = (AoC)B (BoC)A AxB B C A (AxB)xC Propiedades A x (B x C) = (AoC) B - (AoB) C A x (B x C)? (A x B) x C 14

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