CÁLCULO DIFERENCIAL. Víctor Manuel Sánchez de los Reyes. Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

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1 CÁLCULO DIFERENCIAL Víctor Manuel Sánchez de los Reyes Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

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3 Índice 1. Conceptos topológicos y métricos Métricas, normas y productos escalares Conceptos topológicos Conjuntos abiertos Interior de un conjunto Conjuntos cerrados Puntos de acumulación de un conjunto Adherencia de un conjunto Frontera de un conjunto Sucesiones y completitud Compacidad Conexión Límites, continuidad y continuidad uniforme Cálculo diferencial en R n Funciones diferenciables Derivadas de orden superior y teorema de Taylor Extremos locales Teorema de la función inversa Teorema de la función implícita

4 2.6. Extremos condicionados Apéndice. Funciones convexas 53 Bibliografía 57 4

5 Tema 1 Conceptos topológicos y métricos 1.1. Métricas, normas y productos escalares Definición Un espacio métrico (E, d) está formado por un conjunto E y una función d : E E R, llamada métrica, que cumplen las siguientes propiedades: 1. (positividad) d(x, y) 0 para todo x, y E. 2. (no degeneración) d(x, y) = 0 si y solo si x = y. 3. (simetría) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y E. 4. (desigualdad triangular) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) para todo x, y, z E. Ejemplo (R n, d) siendo d la métrica usual dada por ( n ) 1/2 d(x, y) = (x i y i ) 2 i=1 donde x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ), es un espacio métrico (la única propiedad no trivial es la desigualdad triangular, la cual se obtendrá más adelante). Ejemplo (Métrica discreta). Si E es cualquier conjunto y { 0 si x = y d(x, y) = 1 si x y entonces d es una métrica sobre E. Observación El ejemplo anterior muestra que un espacio métrico no tiene por qué ser espacio vectorial. Sin embargo, el siguiente concepto solo tiene sentido en espacios vectoriales. 5

6 Definición Un espacio normado (E, ) está formado por un espacio vectorial real E y una función : E R, llamada norma, que cumplen las siguientes propiedades: 1. (positividad) x 0 para todo x E. 2. (no degeneración) x = 0 si y solo si x = (multiplicidad) λx = λ x para todo x E y λ R. 4. (desigualdad triangular) x + y x + y para todo x, y E. Ejemplo (R n, ) siendo la norma usual dada por x = ( n i=1 donde x = (x 1,..., x n ), es un espacio normado (la única propiedad no trivial es la desigualdad triangular, la cual se obtendrá más adelante). x 2 i ) 1/2 Ejemplo (R 2, 1 ) es un espacio normado con (x, y) 1 = x + y. Ejemplo (Norma del supremo). Sea el espacio vectorial E = {f : [0, 1] R : f está acotada}. Para cada f E, { f(x) : x [0, 1]} es un subconjunto acotado de R, con lo que tiene supremo finito y, por tanto, f = sup{ f(x) : x [0, 1]} define una función : E R, la cual constituye una norma sobre E. Proposición Si (E, ) es un espacio normado y d : E E R está definida por d(x, y) = x y, entonces d es una métrica sobre E. Demostración. Todas las propiedades son inmediatas salvo, quizás, la desigualdad triangular: d(x, y) = x y = x z + z y x z + z y = d(x, z) + d(z, y) para todo x, y, z E. Observación No todas las métricas provienen de normas. Supongamos que una métrica d proviene de una norma. Salvo que el espacio vectorial consista solo en el vector cero, sea x 0. Ya que d(λx, 0) = λx = λ x cuando λ, la métrica discreta y la acotada (ver ejercicio 1 a) no pueden provenir de una norma. 6

7 Definición Un espacio con producto escalar (E,, ) está formado por un espacio vectorial real E y una función, : E E R, llamada producto escalar, que cumplen las siguientes propiedades: 1. (positividad) x, x 0 para todo x E. 2. (no degeneración) x, x = 0 si y solo si x = (multiplicatividad) λx, y = λ x, y para todo x, y E y λ R. 4. (distributividad) x, y + z = x, y + x, z para todo x, y, z E. 5. (simetría) x, y = y, x para todo x, y E. Ejemplo (R n,, ) siendo, el producto escalar usual dado por x, y = n x i y i i=1 donde x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ), es un espacio con producto escalar. Ejemplo Sea el espacio vectorial C([0, 1]) = {f : [0, 1] R : f es continua}. La función, : C([0, 1]) C([0, 1]) R definida por f, g = 1 f(x)g(x) dx constituye 0 un producto escalar sobre C([0, 1]). Algunos resultados de demostración inmediata se recogen en la siguiente proposición. Proposición Si (E,, ) es un espacio con producto escalar, entonces: 1. λx + µy, z = λ x, z + µ y, z para todo x, y, z E y λ, µ R. 2. z, λx + µy = λ z, x + µ z, y para todo x, y, z E y λ, µ R. 3. x, λy = λ x, y para todo x, y E y λ R. 4. 0, x = x, 0 = 0 para todo x E. Proposición (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si (E,, ) es un espacio con producto escalar, entonces para todo x, y E. x, y x, x y, y 7

8 Demostración. Si x = 0 o y = 0, entonces x, y = 0 y, por tanto, la desigualdad (de hecho, la igualdad) se cumple. Así pues, podemos suponer que x, y 0 y, entonces, x, x, y, y > 0. Para todo λ R se tiene que 0 λx + y, λx + y = λ 2 x, x + 2λ x, y + y, y. Si definimos x, x = a, 2 x, y = b y y, y = c, la desigualdad anterior se convierte en aλ 2 +bλ+c 0. Si λ = b, obtenemos 2a b2 4ac, es decir, x, y 2 x, x y, y. Tomando raíces cuadradas se obtiene la desigualdad deseada. Observación La desigualdad de Cauchy-Schwarz es una igualdad si y solo si x e y son linealmente dependientes. Proposición Si (E,, ) es un espacio con producto escalar y : E R está definida por x = x, x, entonces es una norma sobre E. Demostración. Todas las propiedades son inmediatas salvo la desigualdad triangular: x + y 2 = x + y, x + y = x x, y + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2 donde la desigualdad es consecuencia de la de Cauchy-Schwarz. Observación De las Proposiciones y se obtiene que la norma y la métrica usuales son, efectivamente, una norma y una métrica sobre R n. Ejercicios 1. Sea (E, d) un espacio métrico. Prueba que las siguientes funciones D : E E R son también métricas sobre E: a) (Métrica acotada) D(x, y) = d(x,y) 1+d(x,y). b) D(x, y) = ínf{1, d(x, y)}. 2. Sea f : R R estrictamente creciente. Prueba que la función D : R R R definida por D(x, y) = f(x) f(y) es una métrica sobre R. 3. Sean E el conjunto de las sucesiones de números reales y a n una serie convergente de términos positivos. Prueba que la función d : E E R definida por d(x, y) = n=1 a n y n x n 1 + y n x n donde x = (x n ) n N e y = (y n ) n N, es una métrica sobre E. 8 n=1

9 4. Sean (E, ) un espacio normado y T : E E una aplicación lineal inyectiva. Prueba que la función T : E R definida por x T = T (x) es otra norma sobre E. 5. Demuestra que la norma del supremo en C([0, 1]) no es la definida por el producto escalar del Ejemplo Sea (E,, ) un espacio con producto escalar. Prueba que para todo x, y E se verifican: a) (Ley del paralelogramo) 2 x y 2 = x + y 2 + x y 2. b) x + y x y x 2 + y 2. c) 4 x, y = x + y 2 x y En el espacio normado (C([0, 1]), ), prueba que la ley del paralelogramo no es válida y deduce que esta norma no proviene de ningún producto escalar Conceptos topológicos Conjuntos abiertos Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Para cada x E y ɛ > 0, el conjunto B(x, ɛ) = {y E : d(x, y) < ɛ} se denomina bola abierta de centro x y radio ɛ. Un conjunto A E es abierto si para cada x A existe ɛ > 0 tal que B(x, ɛ) A. Análogamente, el conjunto B(x, ɛ) = {y E : d(x, y) ɛ} se denomina bola cerrada de centro x y radio ɛ. Ejemplo El conjunto vacío y el conjunto total E son abiertos. Ejemplo El intervalo (0, 1) es abierto en R pero no en R 2. Ejemplo La bola cerrada de centro 0 y radio 1 (bola unidad cerrada) no es abierta en R 2. Proposición En un espacio métrico (E, d), toda bola abierta es abierta. Demostración. Sean B(x, ɛ) una bola abierta de centro x y radio ɛ e y B(x, ɛ). Tomando ɛ = ɛ d(x, y) > 0, se tiene que B(y, ɛ ) B(x, ɛ). En efecto, si z B(y, ɛ ), entonces es decir, z B(x, ɛ). d(x, z) d(x, y) + d(y, z) < d(x, y) + ɛ = ɛ 9

10 Proposición En un espacio métrico (E, d), tanto la intersección de un número finito de abiertos como la unión de una colección arbitraria de abiertos son abiertas. Demostración. El caso de la intersección de un número finito de abiertos se puede reducir, por inducción, a la intersección no vacía de dos abiertos. Sean A y B abiertos y x A B. Existen ɛ 1, ɛ 2 > 0 tales que B(x, ɛ 1 ) A y B(x, ɛ 2 ) B. Basta tomar ɛ 3 = mín(ɛ 1, ɛ 2 ) ya que B(x, ɛ 3 ) A B. En cuanto a la unión de una colección arbitraria de abiertos, todo elemento de la unión pertenece a uno de los abiertos, con lo que existe una bola abierta centrada en él y contenida en dicho abierto y, por tanto, en la unión de todos ellos. Observación La intersección de una colección arbitraria de abiertos no tiene por qué ser abierta. Basta considerar, por ejemplo, en R la colección de intervalos ( ɛ, ɛ) con ɛ > 0. Observación A un conjunto con una colección dada de subconjuntos (llamados, por definición, abiertos) que cumplan las condiciones de la Proposición 1.2.6, y que contenga al conjunto vacío y al total, se le denomina espacio topológico Interior de un conjunto Definición Sean (E, d) un espacio métrico y A E. Un punto x A es interior a A si existe un abierto U tal que x U A. El interior de A es la colección de todos los puntos interiores a A y se denota por int(a). Observación La condición para que x int(a) es equivalente a que exista ɛ > 0 tal que B(x, ɛ) A. Observación El interior de un conjunto puede ser vacío. Por ejemplo, el interior de un único punto en R n. Observación El interior de un conjunto es la unión de todos sus subconjuntos abiertos, con lo que es el mayor subconjunto abierto de dicho conjunto. Observación Un conjunto es abierto si y solo si coincide con su interior. Observación Si A B, entonces int(a) int(b) Conjuntos cerrados Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Un conjunto A E es cerrado si su complementario E \ A es abierto. 10

11 Ejemplo El conjunto vacío y el conjunto total E son cerrados. Ejemplo Un punto en R n es un conjunto cerrado. Ejemplo El intervalo (0, 1] no es ni abierto ni cerrado en R. Proposición En un espacio métrico (E, d), toda bola cerrada es cerrada. Demostración. Sean B(x, ɛ) una bola cerrada de centro x y radio ɛ e y E \ B(x, ɛ). Tomando 0 < ɛ < d(x, y) ɛ, se tiene que B(y, ɛ ) E \B(x, ɛ). En efecto, si z B(y, ɛ ), entonces d(x, z) d(x, y) d(z, y) > d(x, y) ɛ > ɛ es decir, z E \ B(x, ɛ). De la Proposición se obtiene fácilmente el siguiente resultado análogo para conjuntos cerrados: Proposición En un espacio métrico (E, d), tanto la unión de un número finito de cerrados como la intersección de una colección arbitraria de cerrados son cerradas. Observación La unión de una colección arbitraria de cerrados no tiene por qué ser cerrada. Basta considerar, por ejemplo, en R la colección de puntos del intervalo (0, 1) Puntos de acumulación de un conjunto Definición Un punto x en un espacio métrico (E, d) es un punto de acumulación de un conjunto A E si A (U \ {x}) para todo abierto U que contiene a x. El conjunto de puntos de acumulación de A se denota por A. Observación La proposición nos permite afirmar que x A si y solo si A (B(x, ɛ) \ {x}) para todo ɛ > 0. Ejemplo Un conjunto en R formado por un único punto no tiene puntos de acumulación. Ejemplo Los puntos del intervalo [0, 1] son los puntos de acumulación de (0, 1). Observación Un punto de acumulación de un conjunto no tiene por qué pertenecer a él. Teorema Un subconjunto A de un espacio métrico (E, d) es cerrado si y solo si contiene a todos sus puntos de acumulación. 11

12 Demostración. Supongamos en primer lugar que A es cerrado. Así, para todo x E \ A existe ɛ > 0 tal que B(x, ɛ) E \ A, es decir, A B(x, ɛ) =, con lo que x A. Recíprocamente, supongamos que A contiene a todos sus puntos de acumulación y sea x E \A. Como x A A, existe ɛ > 0 tal que A B(x, ɛ) =, es decir, B(x, ɛ) E \A. Por tanto, E \ A es abierto Adherencia de un conjunto Definición Sean (E, d) un espacio métrico y A E. La adherencia de A es la intersección de todos los conjuntos cerrados que contienen a A y se denota por A. Observación La adherencia de un conjunto es el menor conjunto cerrado que lo contiene. Observación Un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su adherencia. Observación Si A B, entonces A B. Proposición La adherencia de un conjunto está formada por él mismo junto con sus puntos de acumulación. Demostración. Sean A un subconjunto de un espacio métrico (E, d) y B = A A. Por el Teorema , cualquier conjunto cerrado que contiene a A también debe contener a B. Si B es cerrado, entonces será el menor conjunto cerrado que contiene a A, con lo que B = A. Veamos que B es, en efecto, cerrado usando de nuevo el Teorema Sea x B. Entonces para cada ɛ > 0 se tiene que B (B(x, ɛ) \ {x}). Si y pertenece a dicha intersección, entonces y A o y A. En este último caso, B(y, ɛ d(x, y)) contiene puntos de A distintos de x. Así, x A con lo que x B. A partir de este resultado es obvia la consecuencia siguiente: Corolario Dado un subconjunto A de un espacio métrico (E, d) se tiene que x A si y solo si A B(x, ɛ) para todo ɛ > 0. Definición Dados dos subconjuntos A y B de un espacio métrico (E, d) con A B, se dice que A es denso en B si B A. Ejemplo Q es denso en R. 12

13 Frontera de un conjunto Definición Sean (E, d) un espacio métrico y A E. La frontera de A se define como (A) = A E \ A. Observación La frontera de un conjunto es cerrada. Observación (A) = (E \ A). Observación (A) = A \ int(a). El Corolario implica que la frontera de un conjunto tiene también la siguiente descripción: Proposición Dado un subconjunto A de un espacio métrico (E, d), se tiene que x (A) si y solo si para todo ɛ > 0, B(x, ɛ) contiene puntos de A y de E \ A. Ejercicios 1. Sean A, B R n con A abierto y definamos A + B = {x + y R n : x A e y B}. Demuestra que A + B es abierto. 2. Demuestra que todo subconjunto de un conjunto arbitrario es abierto con la métrica discreta. 3. Sean A R abierto y B = {(x, y) R 2 : x A}. Prueba que B es abierto. 4. Sea A R n y definamos B = {x R n : d(x, y) < 1 para algún y A}. Prueba que B es abierto. 5. Prueba la certeza o falsedad de las expresiones siguientes: a) int(a) int(b) = int(a B). b) int(a) int(b) = int(a B). c) A B = A B. d) A B = A B. e) int(a) = int(a). f ) int(a) = A. g) (A) = (A). 6. Es cierto en un espacio métrico general que el interior de una bola cerrada es la correspondiente bola abierta? 13

14 7. Sean (E, d) un espacio métrico y A E un subconjunto finito. Prueba que el conjunto B = {x E : d(x, y) 1 para algún y A} es cerrado. 8. Sean (E, d) un espacio métrico y A E. Demuestra que B es abierto (cerrado) en (A, d) si y solo si B = B A para cierto abierto (cerrado) B en (E, d). 9. Es cierto en un espacio métrico general que los puntos de una bola cerrada son puntos de acumulación de la correspondiente bola abierta? 10. Encuentra los puntos de acumulación de los siguientes subconjuntos de R 2 : a) Z Z. b) Q Q. c) {( m n, 1 n) : m, n Z, n 0 }. 11. Sean (E, d) un espacio métrico y A E. Demuestra que si x A, entonces todo abierto que contenga a x contiene a su vez infinitos puntos de A. 12. Dado A = { 1 n + 1 m : n, m N}, prueba que A = { 1 n : n N} {0}. 13. Dado un subconjunto A de un espacio métrico (E, d), prueba que A es cerrado. 14. Dado un subconjunto A de un espacio métrico (E, d), prueba que x A si y solo si ínf{d(x, y) : y A} = Dados un subconjunto A de un espacio métrico (E, d) y x E, se definen y para cada ɛ > 0, y d(x, A) = ínf{d(x, y) : y A} B(A, ɛ) = {x E : d(x, A) < ɛ} B(A, ɛ) = {x E : d(x, A) ɛ}. Prueba que para cada ɛ > 0, B(A, ɛ) es abierto y B(A, ɛ) es cerrado, y que A es cerrado si y solo si A = B(A, ɛ). ɛ>0 16. Dados dos subconjuntos A y B de un espacio métrico (E, d), prueba que (A B) (A) (B) (A B) A B. 17. Determina el interior, los puntos de acumulación, la adherencia y la frontera de los siguientes conjuntos: a) A = {( 1 n, y) R 2 : n N, 0 y 1 }. 14

15 b) B = { } (x, y) R 2 : (x, y) 1 = 1 n. n=1 c) C = {(x, 0) R 2 : 1 < x < 1} {( 1 n, 1 n) : n N }. d) D = {(x, y, z) R 3 : 0 < x < 1, y 2 + z 2 1}. e) E = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 } Sucesiones y completitud Definición Una sucesión x n en un conjunto E es una función de N en E. Dada una sucesión estrictamente creciente j(n) en N la sucesión y n = x j(n) se llama subsucesión de x n. En un espacio métrico (E, d), se dice que x n converge a un punto x E, y escribimos lím x n = x, si para todo abierto U que contiene a x existe n 0 N n tal que x n U para todo n n 0. Es obvio que la convergencia de una sucesión en un espacio métrico se puede caracterizar de la forma siguiente: Proposición Una sucesión x n en un espacio métrico (E, d) converge a x si y solo si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que d(x n, x) < ɛ para todo n n 0. Observación El límite de una sucesión convergente en un espacio métrico es único. Definición Una sucesión x n en un espacio normado (E, ) converge a x E si y solo si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que x n x < ɛ para todo n n 0. Los dos resultados siguientes se demuestran sin dificultad: Proposición Sean x n e y n sucesiones en un espacio normado (E, ) convergentes a x e y, respectivamente, y λ n una sucesión en R convergente a λ R. Entonces: 1. lím n (x n + y n ) = x + y. 2. lím n (λ n x n ) = λx. 3. Si λ n 0 para todo n N y λ 0, entonces lím n ( 1 λ n x n ) = 1 x. λ Proposición Una sucesión (x 1 k,..., xn k ) en Rn converge a (x 1,..., x n ) si y solo si x i k converge a xi para todo i = 1,..., n. Las sucesiones pueden utilizarse para determinar si un conjunto es cerrado, así como para caracterizar la adherencia de un conjunto: 15

16 Proposición Sea (E, d) un espacio métrico. 1. Un conjunto A E es cerrado si y solo si para cada sucesión convergente x n contenida en A, el límite pertenece a A. 2. Dado un conjunto B E, x B si y solo si existe una sucesión x n contenida en B convergente a x. Demostración. 1. En primer lugar, supongamos que A es cerrado y sea x n una sucesión contenida en A y convergente a x. Entonces x A y, por el Teorema , se tiene que x A. Recíprocamente, dado x A, para cada n N elegimos x n A B ( x, 1 n). La sucesión x n está contenida en A y converge a x, con lo que, por hipótesis, x A y, de nuevo por el Teorema , se tiene que A es cerrado. 2. El argumento es similar. La convergencia de una sucesión se puede caracterizar en términos de subsucesiones como muestra el resultado siguiente: Proposición Una sucesión x n en un espacio métrico converge a x si y solo si toda subsucesión suya converge a x también. 2. Una sucesión x n en un espacio métrico converge a x si y solo si toda subsucesión suya tiene a su vez una subsucesión convergente a x. Demostración. 1. Si toda subsucesión de x n converge a x, basta considerar las subsucesiones x 2n 1 y x 2n. 2. Si x n no converge a x, existe ɛ > 0 y una subsucesión x j(n) tales que d(x j(n), x) ɛ para todo n N. Abordemos ahora la completitud de un espacio métrico. 16

17 Definición En un espacio métrico (E, d), se dice que x n es una sucesión de Cauchy si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que d(x n, x m ) < ɛ para todo n, m n 0. El espacio (E, d) es completo si toda sucesión de Cauchy converge a un punto de E. Ejemplo R es un espacio métrico completo. Ejemplo Q y R \ {0} no son espacios métricos completos. Definición En un espacio normado (E, ), se dice que x n es una sucesión de Cauchy si para todo ɛ > 0 existe n 0 N tal que x n x m < ɛ para todo n, m n 0. Definición En un espacio normado (E, ), se dice que una sucesión x n está acotada si existe C R tal que x n C para todo n N. Definición En un espacio métrico (E, d), se dice que una sucesión x n está acotada si existen C R y x E tales que d(x n, x) C para todo n N. En general, se dice que un subconjunto A E está acotado si está contenido en una bola. Es fácil obtener las siguientes propiedades de las sucesiones de Cauchy: Proposición Toda sucesión convergente en un espacio métrico es una sucesión de Cauchy. 2. Una sucesión de Cauchy en un espacio métrico debe estar acotada. 3. Toda sucesión convergente en un espacio métrico está acotada. 4. Si una subsucesión de una sucesión de Cauchy en un espacio métrico converge a x, entonces la sucesión converge a x. El que R sea un espacio métrico completo junto con la Proposición implica: Teorema R n es un espacio métrico completo. Ejercicios 1. Calcula, si existen, los límites de las siguientes sucesiones de R 2 : a) ( ( 1) n, 1 n). b) ( 1, n) 1. ( ) cos(nπ) c), sen(nπ+ π 2 ). n n d) ( 1 n, n n). 17

18 2. Sean A, B R n cerrados. Debe A + B ser cerrado? 3. Sean (E, d) un espacio métrico completo y A E un subconjunto cerrado. Prueba que (A, d) es también un espacio métrico completo. 4. Sean (E, d) un espacio métrico y A E tales que (A, d) es un espacio métrico completo. Demuestra que A es cerrado. 5. Si (E, d) es un espacio métrico con la propiedad de que toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente, prueba que es completo. 6. Sea (E, d) un espacio métrico siendo d la métrica discreta. Es completo? 7. Sea x n una sucesión en R k tal que d(x n+1, x n ) rd(x n, x n 1 ) para cierto r [0, 1) y todo n > 1. Prueba que x n converge. 8. Sea x n una sucesión en R k tal que x n x m n m que x n converge. para todo n, m N. Demuestra 9. Sea E = {a 1, a 2,...} un conjunto numerable. Se define { d(a n, a m ) = 0 si n = m si n m 1 n + 1 m Comprueba que d es una métrica sobre E y estudia si (E, d) es completo Compacidad En R toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Por tanto, toda sucesión contenida en un conjunto cerrado y acotado tiene una subsucesión convergente a un punto de dicho conjunto. La generalización de esta propiedad en espacios métricos viene dada por la siguiente definición: Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Se dice que un subconjunto A E es secuencialmente compacto si toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente a un punto de A. Observación Utilizando la caracterización de los conjuntos cerrados mediante sucesiones se obtiene que todo conjunto secuencialmente compacto A debe ser cerrado. Además, debe estar acotado pues, de lo contrario, existirían un punto x y una sucesión x n en A tales que d(x n, x) n para todo n N, con lo que x n no podría tener ninguna subsucesión convergente. 18

19 Definición Sean (E, d) un espacio métrico y A E. Un recubrimiento (abierto) de A es una colección de conjuntos (abiertos) cuya unión contiene a A o recubre A. Un subrecubrimiento (finito) de un recubrimiento dado es una subcolección (finita) cuya unión también recubre A. Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Se dice que un subconjunto A E es compacto si todo recubrimiento abierto de A contiene un subrecubrimiento finito. Si A = E se dice que (E, d) es un espacio métrico compacto. Observación Un conjunto compacto A está acotado pues dado x A, la colección de bolas abiertas {B(x, n) : n N} forma un recubrimiento abierto de A. Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Se dice que un subconjunto A E es totalmente acotado si para todo ɛ > 0 existe un conjunto finito {x 1,..., x n } en A tal que A n B(x k, ɛ). k=1 Observación Un conjunto totalmente acotado A está acotado pues existe un conjunto finito {x 1,..., x n } en A tal que A n B(x k, 1) y k=1 B(x k, 1) B(x 1, 1 + d(x k, x 1 )) B(x 1, 1 + máx{d(x 2, x 1 ),..., d(x n, x 1 )}) para todo k {1,..., n}. Teorema (Bolzano-Weierstrass). Un subconjunto de un espacio métrico es compacto si y solo si es secuencialmente compacto. La demostración de este resultado requiere el establecimiento de dos lemas previos: Lema Un subconjunto compacto A de un espacio métrico (E, d) es cerrado. Demostración. Veamos que E \ A es abierto. Sea x E \ A. La colección de conjuntos abiertos U n = E \ B ( x, n) 1 con n N recubre A, así que debe existir un subrecubrimiento finito. Si n 0 ) es el índice máximo de los abiertos del subrecubrimiento, entonces se tiene que B (x, 1n0 E \ A. Lema Si (E, d) es un espacio métrico compacto y A E es cerrado, entonces A es compacto. Demostración. Sea {U i : i I} un recubrimiento abierto de A. Entonces la colección de conjuntos {U i : i I} (E\A) es un recubrimiento abierto de E, con lo que tiene un subrecubrimiento finito, digamos {U 1,..., U n, E \A}. Así, {U 1,..., U n } es un subrecubrimiento finito de A. 19

20 Demostración del Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sea A un subconjunto compacto de un espacio métrico (E, d) y supongamos que existe una sucesión x n en A que no tiene subsucesiones convergentes. En particular, esto significa que x n tiene infinitos puntos distintos, digamos y n. Puesto que y n tampoco tiene subsucesiones convergentes, para cada n N existe un abierto U n que contiene a y n y a ningún otro término de la sucesión. El conjunto {y 1, y 2,...} es cerrado pues no tiene puntos de acumulación. Aplicando el Lema a dicho conjunto se obtiene su compacidad. Pero {U n : n N} es un recubrimiento abierto suyo que no tiene ningún subrecubrimiento finito, lo cual es una contradicción. Así, x n tiene una subsucesión convergente cuyo límite está en A ya que, en virtud del Lema 1.4.9, A es cerrado. Recíprocamente, supongamos que A es secuencialmente compacto y sea {U i : i I} un recubrimiento abierto de A. Existe ɛ > 0 tal que para todo x A existe i I tal que B(x, ɛ) U i (en caso contrario, para todo n N existiría x n A tal que B ( x n, n) 1 no estaría contenida en ningún U i. Por hipótesis, x n tendría una subsucesión y n convergente a y A. Siendo i 0 I y δ > 0 tal que B(y, δ) U i0 y tomando ( n) 0 N suficientemente grande para que d(y n0, y) < δ y 1 2 n 0 < δ se tendría que B y 2 n0, 1 n 0 U i0 lo cual es una contradicción). Además, A es totalmente acotado (si no lo fuera, existiría r > 0 tal que A no se podría recubrir con un número finito de bolas abiertas de radio r. Tomando z 1 A, z 2 A \ B(z 1, r),..., z n A \ n 1 k=1 B(z k, r) obtendríamos una sucesión z n en A tal que d(z n, z m ) r para todo n, m N, es decir, sin ninguna subsucesión convergente). Por tanto, existe un conjunto finito {t 1,..., t n } en A tal que A n k=1 B(t k, ɛ). Ya que para cada k existe i k I tal que B(t k, ɛ) U ik, la colección {U i1,..., U ik } forma un subrecubrimiento finito. Teorema Un espacio métrico (E, d) es compacto si y solo si es completo y totalmente acotado. Demostración. Primero, supongamos que E es compacto. Por el teorema de Bolzano- Weierstrass, es secuencialmente compacto. Así, toda sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, luego la sucesión converge y (E, d) es completo. Además, según se probó en la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass, todo conjunto secuencialmente compacto es totalmente acotado. Recíprocamente, supóngase que E es completo y totalmente acotado. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, basta probar que E es secuencialmente compacto. Sea x n una sucesión en E (podemos suponer que todos los términos son distintos). Si recubrimos E con un número finito de bolas de radio 1, existe una subsucesión de x n totalmente contenida en una de esas bolas. Ahora, si recubrimos E con un número finito de bolas de radio 1 2, existe 20

21 una subsucesión de la anterior totalmente contenida en una de ellas, y así sucesivamente. La subsucesión diagonal (el primer elemento de la primera subsucesión, el segundo de la segunda, etc.) es de Cauchy y, por tanto, convergente. Corolario Sea (E, d) es un espacio métrico completo. Un subconjunto A es compacto si y solo si es cerrado y totalmente acotado. Demostración. Basta aplicar el teorema anterior al espacio métrico (A, d). Los compactos de R n están caracterizados por el siguiente teorema: Teorema (Heine-Borel). Un subconjunto de R n es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Demostración. Ya hemos probado que los conjuntos compactos son cerrados y acotados. Recíprocamente, sea A R n cerrado y acotado. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, basta probar que A es secuencialmente compacto. Sea x k = (x 1 k,..., xn k ) una sucesión en A. Como A está acotado, la sucesión x 1 k tiene una subsucesión convergente, digamos x 1 j 1 (k). Entonces x2 j 1 (k) tiene una subsucesión convergente, digamos x2 j 2 (k). Continuando de esta manera obtenemos la subsucesión convergente x jn(k) cuyo límite está en A por ser cerrado. El resultado siguiente se obtiene como una consecuencia importante del teorema de Bolzano-Weierstrass: Teorema (Propiedad de los conjuntos encajados). Sea A n una sucesión de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico (E, d) tales que A n+1 A n para todo n N. Entonces A n. n=1 Demostración. Elijamos x n A n para cada n N. La sucesión x n tiene una subsucesión convergente por estar contenida en el conjunto compacto A 1. El punto límite está en todos los conjuntos A n por ser cerrados. Ejercicios 1. Encuentra un ejemplo de un conjunto cerrado y acotado que no sea compacto. 2. Sean (E, d) un espacio métrico y A E. Una colección de conjuntos cerrados tiene la propiedad de intersección finita para A si la intersección de cualquier cantidad finita de ellos con A es no vacía. Demuestra que A es compacto si y solo si toda colección de conjuntos cerrados con la propiedad de intersección finita para A tiene intersección no vacía con A. 21

22 3. Es cierta la propiedad de los conjuntos encajados si estos no son compactos? 4. Prueba que A = {x R n : x 1} es compacto. 5. Demuestra, utilizando la definición, que no son compactos los siguientes conjuntos: a) R. b) (a, b) R. c) La bola abierta en R n de centro 0 y radio r. 6. Sean A, B R n compactos. Debe A + B ser compacto? 7. Estudia la compacidad de los conjuntos siguientes: a) {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 1, 0 z 2}. b) {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1} {( n, 0) : n N }. c) {( t, sen π t ) : 0 < t 1 }. 8. Sean A R n cerrado no vacío y x A. Demuestra que existe y A tal que d(x, y) = d(x, A) Conexión Definición Sea (E, d) un espacio métrico. Una aplicación ϕ : [a, b] E es continua si lím ϕ(t n ) = ϕ(t) para toda sucesión t n en [a, b] convergente a t [a, b]. Un n arco continuo que une dos puntos x, y E es una aplicación continua ϕ : [a, b] E tal que ϕ(a) = x y ϕ(b) = y. Un arco ϕ está contenido en un conjunto A si se verifica que ϕ(t) A para todo t [a, b]. Finalmente, decimos que un conjunto es conexo por arcos si cualesquiera dos puntos del conjunto se pueden unir mediante un arco continuo contenido en el conjunto. Ejemplo El intervalo [0, 1] es conexo por arcos, pues dados x, y [0, 1] basta tomar el arco continuo contenido en [0, 1] ϕ : [0, 1] R definido por ϕ(t) = (y x)t+x. Definición Sean (E, d) un espacio métrico y A E. Se dice que dos abiertos U y V separan A si satisfacen las condiciones siguientes: 1. U V A =. 2. U A. 3. V A. 22

23 4. A U V. Se dice que A es disconexo si existen tales conjuntos; en caso contrario, se dice que A es conexo. Finalmente, una componente conexa de A es un subconjunto conexo A 0 A tal que no existe un conjunto conexo en A que contenga a A 0 y sea distinto de A 0. Lema El intervalo [a, b] es conexo. Demostración. Supongamos que [a, b] es disconexo. Entonces existen dos abiertos U y V que separan [a, b]. Supongamos, además, que b V. Sea c = sup(u [a, b]), que existe porque U [a, b] es no vacío y está acotado superiormente. El conjunto U [a, b] es cerrado, pues su complementario es V (R \ [a, b]), que es abierto. Así, c U [a, b]. Ahora, se tiene que c b, pues c V y b V. Ya que ningún intervalo abierto centrado en c puede estar totalmente contenido en U, cualquier intervalo de ese tipo interseca a V [a, b]. Por tanto, c es un punto de acumulación de V [a, b]. Como U [a, b], el conjunto V [a, b] es cerrado, y entonces c V [a, b], lo cual contradice que U V [a, b] =. Corolario No existen subconjuntos cerrados disjuntos no vacíos A y B de [a, b] cuya unión sea [a, b]. Demostración. Si existieran tales subconjuntos, los abiertos U = R \ A y V = R \ B separarían [a, b]. La conexión por arcos y la conexión se relacionan de la siguiente forma: Teorema Los conjuntos conexos por arcos son conexos. Demostración. Sea A un conjunto conexo por arcos supuestamente disconexo. Entonces existen dos abiertos U y V que separan A. Sean x U A e y V A. Existe un arco continuo ϕ : [a, b] A que une x con y. Sean B = ϕ 1 (U) y C = ϕ 1 (V ). Supongamos que t n es una sucesión en B convergente a t. Entonces t [a, b] y ϕ(t n ) converge a ϕ(t). Se tiene que ϕ(t) U pues, en caso contrario, ϕ(t n ) V para n suficientemente grande lo que contradice el hecho de que U V A =. Por tanto, B es cerrado y, análogamente, C también. Además, B y C son no vacíos (a B y b C), disjuntos (B C = ϕ 1 (U V ) = ) y B C = ϕ 1 (U V ) = ϕ 1 (A) = [a, b]. Obtenemos, pues, una contradicción con el Corolario Observación El recíproco del teorema anterior no es cierto, es decir, existen conjuntos conexos que no son conexos por arcos. 23

24 Ejercicios 1. Sean ϕ : [0, 1] R 2 un arco continuo y A = ϕ([0, 1]). Demuestra que A es conexo por arcos. 2. Sean ϕ : [a, b] R 3 un arco continuo, a < c < d < b y A = {ϕ(t) : c t d}. Debe ϕ 1 (A) ser conexo por arcos? 3. Estudia las componentes conexas de Z y de Q [0, 1]. 4. Prueba que A = {x R n : x 1} es conexo. 5. Sean A R n, x A, y R n \ A y ϕ : [0, 1] R n un arco continuo que une x e y. Prueba que existe t [0, 1] tal que ϕ(t) (A). 6. Demuestra que un subconjunto de R es conexo si y solo si es un intervalo. 7. Si A es un subconjunto conexo de R n, debe ser R n \ A conexo? 8. Sean (E, d) un espacio métrico y {A i : i I} una colección de subconjuntos conexos de E tal que A i A j para cualesquiera i, j I. Prueba que i I A i es conexo Límites, continuidad y continuidad uniforme Definición Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E y f : A F. Supongamos que x 0 A. Se dice que L F es el límite de f en x 0 y lo denotamos por lím f(x) = L, si dado ɛ > 0, existe δ > 0 tal que para todo x A con 0 < d(x, x 0 ) < δ x x 0 se tiene que d (f(x), L) < ɛ. Observación El límite de f en x 0, si existe, es único. En efecto, supongamos que dicho límite es L y L, y sea ɛ > 0. Existen δ 1, δ 2 > 0 tales que si 0 < d(x, x 0 ) < δ 1, entonces d (f(x), L) < ɛ, y si 0 < d(x, x 2 0) < δ 2, entonces d (f(x), L ) < ɛ. Por tanto, si 2 0 < d(x, x 0 ) < mín{δ 1, δ 2 }, entonces d (L, L ) d (L, f(x)) + d (f(x), L ) < ɛ para todo ɛ > 0, luego d (L, L ) = 0 con lo que L = L. Definición Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E, f : A F y x 0 A. Se dice que f es continua en x 0 si x 0 A o si lím x x0 f(x) = f(x 0 ). Observación En la definición de límite hay que especificar que x x 0 pues f no tiene por qué estar definida en x 0, pero en la de continuidad puede ser x = x 0. Definición Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E y f : A F. Se dice que f es continua en B A si y solo si es continua en cada punto de B, y se dice que f es continua si y solo si lo es en todo su dominio A. 24

25 El resultado siguiente caracteriza la continuidad de una función: Teorema Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E y f : A F. Son equivalentes: 1. f es continua. 2. Para cada sucesión x n convergente a x 0 en A, se tiene que f(x n ) converge a f(x 0 ). 3. Para cada conjunto abierto U F, f 1 (U) es abierto en (A, d). 4. Para cada conjunto cerrado B F, f 1 (B) es cerrado en (A, d). Demostración. Es fácil demostrar que de 1 se obtiene 2. Veamos que 2 implica 4. Sean un conjunto cerrado B F y una sucesión x n en f 1 (B) convergente a x A. Por continuidad, la sucesión f(x n ) en B converge a f(x). Ya que B es cerrado, f(x) B, es decir, x f 1 (B). Pasando al complementario, de 4 se obtiene 3. Finalmente, 3 implica 1. En efecto, sean x 0 A y ɛ > 0. Por hipótesis se tiene que f 1 (B(f(x 0 ), ɛ)) es un conjunto abierto en (A, d), y x 0 f 1 (B(f(x 0 ), ɛ)), luego existe δ > 0 tal que B(x 0, δ) A f 1 (B(f(x 0 ), ɛ)), obteniéndose así 1. Observación En las condiciones del Teorema 1.6.6, si x 0 A, entonces se tiene que lím f(x) = L si y solo si lím f(x n ) = L para toda sucesión x n en A\{x 0 } convergente x x0 n a x 0. La prueba del solo si es análoga a la de 1 implica 2 del Teorema 1.6.6, y el si se obtiene por reducción al absurdo. A continuación vamos a estudiar el comportamiento de los conjuntos compactos y conexos bajo funciones continuas. Teorema Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E conexo (conexo por arcos) y f : A F continua. Entonces f(a) es conexo (conexo por arcos). Demostración. Supongamos que f(a) es disconexo. Entonces existen dos abiertos U y V tales que U V f(a) =, U f(a), V f(a) y f(a) U V. Ya que f 1 (U) = U A y f 1 (V ) = V A para ciertos abiertos U y V, se tiene que U V A =, U A, V A y A U V, es decir, A es disconexo. En cuanto a la conexión por arcos, sean z, w f(a), es decir, z = f(x) y w = f(y) con x, y A, y ϕ un arco continuo contenido en A que une x con y. Entonces f(ϕ(t)) es un arco continuo contenido en f(a) que une z con w. 25

26 Teorema Sean (E, d) y (F, d ) espacios métricos, A E compacto y f : A F continua. Entonces f(a) es compacto. Demostración. Sea y n una sucesión en f(a), es decir, y n = f(x n ) para cada n N, siendo x n una sucesión en A. Como A es compacto, existe una subsucesión x j(n) convergente a x A. Ya que f es continua, y j(n) es una subsucesión convergente a f(x) f(a), luego f(a) es compacto. Los siguientes resultados nos dicen como se comportan las funciones continuas al operar con ellas. Teorema Sean (E, d), (F, d ) y (G, d ) espacios métricos y f : A E F y g : B F G continuas con f(a) B. Entonces la composición g f : A G, definida por (g f)(x) = g(f(x)), es continua. Demostración. Sea U G abierto. Entonces (g f) 1 (U) = f 1 (g 1 (U)). Ahora, ya que g es continua, por el Teorema g 1 (U) = U B para cierto abierto U, luego (g f) 1 (U) = f 1 (U B) = f 1 (U ) = U A para cierto abierto U. Así, g f es continua. Proposición Sean (E, d) un espacio métrico, (F, ) un espacio normado, A E y x 0 A. 1. Si f, g : A F con lím x x0 f(x) = L y lím x x0 g(x) = L, entonces lím (f + g)(x) = L + L x x 0 estando definida f + g : A F por (f + g)(x) = f(x) + g(x). 2. Si f : A R y g : A F con lím x x0 f(x) = L y lím x x0 g(x) = L, entonces lím (f g)(x) = LL x x 0 estando definida f g : A F por (f g)(x) = f(x)g(x). 3. Si f : A R y g : A F con lím f(x) = L 0 y lím g(x) = L, entonces f x x0 x x0 es no nula en A (B(x 0, ɛ) \ {x 0 }) para cierto ɛ > 0 y lím x x 0 ( g f ) (x) = L L estando definida g f : A (B(x 0, ɛ) \ {x 0 }) F por ( g f ) (x) = g(x) f(x). 26

27 Demostración. 1. Sea ɛ > 0. Existe δ 1 > 0 tal que para todo x A con 0 < d(x, x 0 ) < δ 1 se tiene que f(x) L < ɛ 2 y existe δ 2 > 0 tal que para todo x A con 0 < d(x, x 0 ) < δ 2 se tiene que g(x) L < ɛ 2. Si x A con 0 < d(x, x 0) < mín{δ 1, δ 2 }, entonces, usando la desigualdad triangular, se tiene que (f + g)(x) (L + L ) < ɛ. 2. Sea ɛ > 0. Existe δ 1 > 0 tal que para todo x A con 0 < d(x, x 0 ) < δ 1 se tiene que y f(x) L < ɛ 2( L + 1) f(x) L + 1. Además, existe δ 2 > 0 tal que para todo x A con 0 < d(x, x 0 ) < δ 2 se tiene que g(x) L < ɛ 2( L + 1). Si x A con 0 < d(x, x 0 ) < mín{δ 1, δ 2 }, entonces, usando la desigualdad triangular, se tiene que (f g)(x) LL = f(x)g(x) L f(x) + L f(x) LL f(x) g(x) L + f(x) L L ɛ( L + 1) < 2( L + 1) + ɛ L 2( L + 1) < ɛ. 3. Basta considerar el producto de g y 1 1, ya que lím = 1. En efecto, consideremos f x x f(x) L 0 ɛ > 0. Existe δ 1 > 0 tal que para todo x A con 0 < d(x, x 0 ) < δ 1 se tiene L, con lo que f(x) >, y existe δ 2 2 > 0 tal que para todo x A con 0 < d(x, x 0 ) < δ 2 se tiene que f(x) L < ɛl2. Para todo x A con 2 0 < d(x, x 0 ) < mín{δ 1, δ 2 } se tiene que 1 f(x) 1 L = L f(x) Lf(x) < 2 f(x) L < ɛ. L2 que f(x) L < L 2 Corolario Sean (E, d) un espacio métrico, (F, ) un espacio normado, A E y x 0 A A. 1. Si f, g : A F son continuas en x 0, entonces f + g también. 2. Si f : A R y g : A F son continuas en x 0, entonces f g también. 27

28 3. Si f : A R y g : A F son continuas en x 0, con f(x 0 ) 0, entonces f es no nula en A B(x 0, ɛ) para cierto ɛ > 0 y g f es continua en x 0. Las funciones continuas con valores reales están acotadas sobre conjuntos compactos y alcanzan sus valores máximo y mínimo en puntos del conjunto: Teorema Sean (E, d) un espacio métrico, A E y f : A R continua. Si B A es compacto, entonces f está acotada en B, es decir, f(b) es un conjunto acotado. Además, existen x 1, x 2 B tales que f(x 1 ) = ínf f(b) (mínimo absoluto de f en B) y f(x 2 ) = sup f(b) (máximo absoluto de f en B). Demostración. En primer lugar, por el Teorema f(b) es compacto, luego cerrado y acotado. Por ser cerrado se tiene que ínf f(b), sup f(b) f(b). Las funciones continuas con valores reales sobre conjuntos conexos alcanzan todos los valores intermedios: Teorema (de los valores intermedios). Sean (E, d) un espacio métrico, A E y f : A R continua. Supongamos que B A es conexo (conexo por arcos) y que x, y B. Para cada c (f(x), f(y)) existe z B tal que f(z) = c. Demostración. Supongamos que no existe tal z. Sean U = (, c) y V = (c, ). Como f es continua, f 1 (U) = U B y f 1 (V ) = V B para ciertos abiertos U y V. Entonces, U V B =, x U B, y V B y B U V, luego B es disconexo, lo cual es una contradicción. Una variante del concepto de continuidad es la continuidad uniforme: Definición Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E y f : A F. Se dice que f es uniformemente continua en B A si y solo si para cada ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si x, y B con d(x, y) < δ, entonces d (f(x), f(y)) < ɛ. Observación Si f es uniformemente continua, entonces es continua. El recíproco no es cierto en general. Teorema Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E, f : A F continua y B A compacto. Entonces f es uniformemente continua en B. Demostración. Dado ɛ > 0 y x B, existe δ x > 0 tal que si d(x, y) < δ x, entonces d (f(x), f(y)) < ɛ. Los abiertos B ( ) x, δx 2 2 recubren B, luego existe un subrecubrimiento finito, digamos ( B x 1, δ ) ( x 1,..., B x n, δ ) x n

29 { } δx1 Si x, y B con d(x, y) < mín,..., δxn, entonces existe x 2 2 i tal que d(x, x i ) < δx i y, 2 por lo tanto, d(x i, y) d(x, x i ) + d(x, y) < δ xi. Así, d (f(x), f(y)) d (f(x), f(x i )) + d (f(x i ), f(y)) < ɛ. Ejercicios 1. Sea A R 2 compacto. Demuestra que es compacto. B = {x R : y R tal que (x, y) A} 2. Encuentra una función continua f : R R y un compacto (conexo) A R tal que f 1 (A) no sea compacto (conexo). 3. Dada f : R 2 R continua, prueba que A = {f(x) : x = 1} es un intervalo cerrado y acotado. 4. Da un ejemplo de una función no continua que transforma compactos en compactos. 5. Da un ejemplo de una función no continua que transforma conexos (conexos por arcos) en conexos (conexos por arcos). 6. Sean (E, d) un espacio métrico, A E y f : A R n una función dada por f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)). Demuestra que f es continua si y solo si lo es cada componente f i, i = 1,..., n. 7. Sean (E, d) un espacio métrico, A E abierto y f : A R n continua en x 0 A, siendo f(x 0 ) 0. Demuestra que existe ɛ > 0 tal que f es no nula en B(x 0, ɛ). 8. Demuestra que una aplicación lineal L : R n R m es continua (de hecho, existe C R tal que L(x) C x para todo x R n ). 9. Sean f : R n R m continua y A R n acotado. Prueba que f(a) está acotado. 10. Sean (E, d) un espacio métrico, A E conexo y f : A R continua con f(x) 0 para todo x A. Demuestra que o bien f(x) > 0 para todo x A o bien f(x) < 0 para todo x A. 11. Encuentra una función continua f : R n R m y un conjunto cerrado A R n tales que f(a) no sea cerrado. 29

30 12. Sean (E, d) un espacio métrico compacto y f : E E una isometría, es decir, d(f(x), f(y)) = d(x, y) para cualesquiera x, y E. Demuestra que f es una biyección. 13. Sean (E, d) y (F, d ) dos espacios métricos, A E y f : A F. a) Prueba que f es uniformemente continua si y solo si para cada par de sucesiones x n e y n en A con lím d(x n, y n ) = 0, se tiene que lím d (f(x n ), f(y n )) = 0. n n b) Demuestra que si f es uniformemente continua, entonces transforma sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy. 14. Sean (E, d) un espacio métrico y A E. Prueba que A es conexo si y solo si toda función continua f : A R tal que f(a) {0, 1}, es constante. Obtén como consecuencia que si A es conexo, entonces también lo es A. 15. Da un ejemplo de un conjunto conexo no conexo por arcos. 16. Sean f : R 2 R n y (a, b) R 2. a) Prueba que si para cada x R existe lím f(x, y), para cada y R existe y b lím f(x, y), y lím f(x, y) = L, entonces existen los límites reiterados x a y y son iguales a L. (x,y) (a,b) lím lím x a y b f(x, y) lím lím f(x, y) y b x a b) Da un ejemplo en el que los límites reiterados existan y sean distintos. c) Da un ejemplo en el que los límites reiterados existan y sean iguales, pero no exista f(x, y). lím (x,y) (a,b) d) Da un ejemplo en el que exista lím f(x, y) y no exista alguno de los límites (x,y) (a,b) reiterados. 17. Sean A = (0, + ) (0, 2π] R 2 y g : A R 2 definida por g(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sen θ). a) Prueba que g es una biyección continua de A sobre B = R 2 \ {(0, 0)} tal que g((0, r) (0, 2π]) = B((0, 0), r) \ {(0, 0)}. b) Sean f : B R y F = f g. Prueba que lím f(x, y) = L si y solo si (x,y) (0,0) para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < ρ < δ, entonces F (ρ, θ) L < ɛ, cualquiera que sea θ (0, 2π]. 30

31 c) Estudia la continuidad en (0, 0) de la función f(x, y) = { y x sen(x2 + y 2 ) si x 0 0 si x = Sean f, g y F las funciones definidas en el ejercicio anterior y supongamos que F (ρ, θ) = h(ρ)g(θ) donde h no es idénticamente nula en los intervalos de la forma (0, r) y lím ρ 0 h(ρ) = 0. a) Demuestra que lím f(x, y) = 0 si y solo si la función G está acotada. (x,y) (0,0) b) Estudia la continuidad en (0, 0) de la función f(x, y) = { x 3 x 2 y 2 si x 2 y si x 2 y 2 = Estudia la existencia en (0, 0) de límites reiterados, límites direccionales (a lo largo de rectas que pasan por el origen) y límite de las siguientes funciones: { 1 si 0 < y < x 2 a) f(x, y) = 0 si y 0 o y x 2 { x 3 y 3 si xy 0 b) g(x, y) = xy 0 si xy = 0 { x sen 1 cos(x 2 + y 2 ) si (x, y) (0, 0) c) h(x, y) = x 2 +y 2 0 si (x, y) = (0, 0) 20. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: a) f(x, y) = b) g(x, y) = c) h(x, y) = { x si 4x 2 + y 2 1 y (x, y) (0, 0) 4x 2 +y si 4x 2 + y 2 = 1 o (x, y) = (0, 0) { x 2 y 2 x 2 y 2 +(x y) 2 si (x, y) (0, 0) 1 si (x, y) = (0, 0) { ( ) x 2 y, sen(x + y) x 2 +y 2 si (x, y) (0, 0) (0, 0) si (x, y) = (0, 0) 21. Estudia la continuidad uniforme de las siguientes funciones: a) f(x) = (sen x, cos x). b) g(x, y) = x + y x definida en {(x, y) R2 : x 0}. c) h(x, y) = cos 3 1 x 2 +y 2 definida en R 2 \ {(0, 0)}. 31

32 22. (Principio de la aplicación contractiva) Sean (E, d) un espacio métrico completo, una función f : E E y k [0, 1) tales que d(f(x), f(y)) kd(x, y) para cualesquiera x, y E. Demuestra que existe un único punto fijo de f, es decir, un punto x E tal que f(x ) = x. De hecho, prueba que si x 0 es cualquier punto de E y definimos la sucesión entonces lím n x n = x. x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ),..., x n+1 = f(x n ),... 32

33 Tema 2 Cálculo diferencial en R n 2.1. Funciones diferenciables Definición Una función f : A R n R m es diferenciable en x 0 A si existe una aplicación lineal Df(x 0 ) : R n R m llamada diferencial de f en x 0 tal que f(x) f(x 0 ) Df(x 0 )(x x 0 ) lím x x 0 x x 0 Se dice que f es diferenciable en A si lo es en cada punto de A. Teorema Sean A R n abierto y f : A R m diferenciable en x 0 A. Entonces Df(x 0 ) queda determinada de forma única por f. = 0. Demostración. Sean L 1 y L 2 dos aplicaciones lineales que satisfagan la definición de Df(x 0 ), e R n con e = 1 y x = x 0 + λe con λ R. Como A es abierto, existe ɛ > 0 tal que B(x 0, ɛ) A y, así, x A si λ < ɛ. Entonces, L 1 (e) L 2 (e) = L 1(λe) L 2 (λe) λ = L 1(x x 0 ) L 2 (x x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0) L 1 (x x 0 ) x x 0 + f(x) f(x 0) L 2 (x x 0 ). x x 0 Ya que la última expresión tiene límite 0 cuando x tiende a x 0, se tiene que L 1 (e) = L 2 (e) con lo que, por linealidad, L 1 = L 2. Observación En general Df(x 0 ) no está determinada de forma única, por ejemplo, si A = {x 0 }. 33

34 Observación Examinando la demostración del Teorema se observa que Df(x 0 ) es única, si existe, en un rango más amplio de conjuntos que los abiertos. Hay otra forma de derivar una función f : R n R m. Escribimos f en componentes, f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )), y calculamos las derivadas parciales f j x i, para j = 1,..., m e i = 1,..., n, derivando f j con respecto de x i mientras mantenemos fijas las demás variables. Definición Sea f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )). Entonces f j x i, para j = 1,..., m e i = 1,..., n está dada por el siguiente límite, cuando existe: f j f j (x 1,..., x i 1, x i + h, x i+1,..., x n ) f j (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n ) = lím. x i h 0 h Teorema Sean A R n abierto y f : A R m diferenciable en A. Entonces las derivadas parciales existen y la matriz de Df(x) con respecto a las bases canónicas está dada por f 1 f 1 f x 1 x 2 1 x n f 2 f 2 f x 1 x 2 2 x n f m x 1 f m x 2 llamada matriz jacobiana de f, donde cada derivada parcial se evalúa en x. f m x n Demostración. El elemento a ij de la matriz de Df(x) con respecto a las bases canónicas es la i-ésima componente del vector Df(x)(e j ) siendo e j el j-ésimo vector de la base canónica de R n. Si y = x + he j con h R, entonces f(y) f(x) Df(x)(y x) = y x f(x 1,..., x j 1, x j + h, x j+1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) hdf(x)(e j ). h Ya que la última expresión tiene límite 0 cuando h tiende a 0, se tiene que Por tanto, f i (x 1,..., x j 1, x j + h, x j+1,..., x n ) f i (x 1,..., x n ) ha ij lím h 0 h a ij = lím h 0 f i (x 1,..., x j 1, x j + h, x j+1,..., x n ) f i (x 1,..., x n ) h = 0. = f i x j (x 1,..., x n ). 34

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