2. ANÁLISIS DEL TECHO DE UN AUDITORIO MEDIANTE FEM

Transcripción

1 . ANÁLISIS DEL TECHO DE UN AUDITORIO MEDIANTE FEM El Objetivo es analizar el techo en forma de cono con abertura de un auditorio circular de diámetro igual a m, la altura total del cono sería.m, pero a causa de que existe una abertura al final, la altura como de un tronco de cono es.9m con un espesor de.m. Un modelo en D se muestra en el siguiente gráfico Es posible modelar la estructura con distintos elementos finitos, en el presente, se realizará un cálculo mediante el Método de los Elementos Finitos modelándolo la estructura como un sólido de revolución, ya que la estructura es completamente simétrico respecto del eje "z". Con este fin se busca una sección característica de revolución de toda la estructura, por ejemplo, cuando se le hace un corte de la mitad como en el gráfico siguiente. la secciones resaltadas representan completamente la estructura si hago que gire grados respecto al eje

2 "z", es posible simplificar aún más el modelo. ahora, será necesrio girar º la sección característica para obtener la estructura completa. En eso se basa el Método de los Elementos Finitos para las estructuras con simetría respecto al eje "z", se trabaja sobre la sección característica de revoución como en un plano, todas las condiciones a que está sometido la estructura debe ser asignado a esta sección característica de revolución. Siguiendo el procedimiento clásico para un análisis mediante Elementos Finitos, se discretiza la sección característica de revolución con elementos rectangulares de cuatro nodos, antes se toma un sistema de referencia global en la que estarán representados todos los elementos de la estructura, luego se identifica los nudos y elementos, se asigna las condiciones de contorno, las cargas, con esto debe quedar completamente representado nuestra estructura. Identificación de elementos

3 Numeración de nudos El análisis con tre elementos rectángulos de cuatro nodos es solamente con fines ilustrativos, para un análisis real se deberá discretizar con tantos elementos hasta que satisfaga un resultado adecuado.. ARGUMENTOS. nudos las coordenadas de todos los nudos, cada fila representa un punto, donde: Columna : coordenada radial "r" Columna : coordenada axial "z" NODE := Elementos Identificación de todos los elementos en el sistema, cada fila representa a un elemento, donde: Columna : número del nudo global, correspondente al nudo local Columna : número del nudo global, correspondente al nudo local Columna : número del nudo global, correspondente al nudo local Columna : número del nudo global, correspondente al nudo local MEMB :=

4 . Propiedades Módulo de elasticidad del material: E :=. 9 kg m Coeficiente de Poisson: ν :=. Espesor(en radianes) t := π radianes. Condiciones de contorno Define los grados de libertad restringidos en la estructura, donde: Columna : número del nudo donde existe restricción del desplazamiento Columna : "UR?" existe desplazamieto en la dirección radial? Columna : "UW?" existe desplazamiento en la dirección axial?, para ambos, la condición: es libre y restringido SUPP :=. cargas.. Cargas puntuales.[kgf] Las cargas puntuales actuan directamente sobre los nudos, deben ser ingresados directamente en el sistema de orientación global, cada columna representa: Columna : Número del nudo donde actúa la carga Columna : Carga puntual en la dirección radial Columna : Carga puntual en la dirección axial Estas cargas son en realidad distribuidas linealmente en toda la longitud de la circunferencia de radio Ri_m, entonces sus equivalentes puntuales para cada nodo será NLF :=

5 . MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL DE CADA ELEMENTO Reference:D:\FEM\Sólido de revolución CN\ Solido de Revolucion CN - Funciones.xmcd Se obtiene la matriz de rigidez local para el elemento: m:=. Propiedades del elemento Matriz de proiedades Espesor t π D = Matriz del elemento "B" "Deformación unitaria desplazamiento" de x - que relaciona las cuatro deformaciones unitarias con los desplazamientos nodales y está dado por. Las funciones de forma Matriz Jacobiano, que representa la transformación del sistema cartesiano al sistema normalizado la matriz "B" está dado por

6 . matriz de rigidez está dado por. devido a que la integral anterior al ser evaluado explícitamente es muy pesado, se opta por evaluar la función numéricamente, para cada elemento de la matriz de rigidez.

7 GDL( m) T = ( 9 ) k ( ) = de igual manera para todos los elementos

8 . MATRIZ DE RIGIDEZ ENSAMBLADO Reference:D:\FEM\Sólido de revolución CN\ Solido de Revolucion CN - Funciones.xmcd Todas las matrices de rigidez de los elementos se ensambla en una sola, simbólicamente se podría representar así K k i Seguidamente se muestra un código compacto para que ensambla la matriz de rigidez. la matriz de rigidez ensamblado es K =

9 . VECTOR DE FUERZAS NODALES Se procede de manera similar, simbólicamente se puede expresar mediante F cargas_nodales_equivalentes El programa siguiete ensambla solamente las cargas que actuan en los nudos el vector resultante es. -. F =

10 . DESPLAZAMIENTOS Reference:D:\FEM\Sólido de revolución CN\ Solido de Revolucion CN - Funciones.xmcd. Imposición de las condiciones de contorno La matriz de rigidez de toda la estructura "K" fue ensamblado sin tomar en cuenta los grados de libertad restringidos, modificando la matriz para los grados de libertad con desplazamiento restringido, se tiene. Km = Resolución del sistema de ecuaciones La matriz Km representa los coeficientes del sistema de ecuaciones que se formó tomando en cuenta todos los grados de libertad, y el vector de fuerzas el término independiente. se podría resolver de muchas maneras el sistema de ecuaciones, para el presente se resolverá formando la matriz aumentada y por eliminación de Gauss. augment( Km, F) =

11 rref ( augment( Km, F) ) = 9... donde los desplazamientos están representados por la última columna Q = donde: Columna : nudo Columna : desplazamiento en X Columna : desplazamiento en Y Qo =

12 .. REACCIONES EN APOYOS Las reacciones se obtienen mediante KQ F =. - R =. - Ro = donde: Columna : nudo Columna : reacción en X Columna : racción en Y

13 9. CONLUSIONES Reference:D:\FEM\Sólido de revolución CN\ Solido de Revolucion CN - Funciones.xmcd Los resultados obtenidos serán comparados con un análisis realizado en SAP v.. educacional, para una discretización inicial en cuadriáteros decuatro nodos. 9. Desplazamientos Qo = TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase U U Text Text m m DEAD DEAD DEAD.9E- -. DEAD DEAD DEAD DEAD DEAD donde los resultados tanto del análisis actual y los efectuados con sap v.. son los mismos 9. Reacciones en los apoyos. Ro = TABLE: Joint Reactions Joint OutputCase F F Text Text Kgf Kgf DEAD DEAD 9..9 con resultados idénticos, en esta parte no es necesario comparar los resultados con los del sap v.., simplemente se debe comprobar el equilibrio estático de la estructura y cumple en el presente análisis. con esto se garantiza implícitamente el equilibrio interiores al elemento y en cada nodo. 9. Tensiones... la evaluación de las tensiones para cada punto en el elemento, en las próximas versiones. Finalmente, que los resultados coincidan solamente garantiza el éxito que se logró resolviendo el sistema paso a paso, para una obtensión real de los resultados, se debe buscar el número de elementos necesarios refinando la malla de los elementos finitos, hasta converger con un resultado aceptable.