(ii) Halle el valor de k. 2. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son5, 6 7 y 8 4. (i) Halle la diferencia común

Transcripción

1 EJERCICIOS Y PROBLEMAS (SOBRE 5 PUNTOS) 1. Los dos primeros términos de una progresión geométrica u n son u 1 = 4 y u = 4 (a) (i) Halle la razón. (ii) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle u 5. ( 5 puntos) ( 5 puntos) Otra progresión v n se define mediante v n = an k, donde a, k R y, n Z +, tal que v 1 = 0 05 y v = 0 5 (b) (i) Halle el valor de a. (ii) Halle el valor de k. (c) Halle el menor valor de n para el cual v n > u n [4 puntos]. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son5, 6 7 y 8 4. (i) Halle la diferencia común (ii) Halle el vigésimo octavo término de la sucesión. (iii) Halle la suma de los veintiocho primeros términos. 3. Ramiro va todas las mañanas andando al trabajo. En el primer minuto recorre 80 m. A partir de ahí, cada minuto recorre el 90 % de la distancia recorrida en el minuto anterior. La distancia entre su casa y el trabajo es de 660 metros. Ramiro sale de su casa a las 8:00 y tiene que estar a las 8:15 sin falta. Bajo estas condiciones, Llegará Ramiro puntual al trabajo?, Razona numéricamente tu respuesta explicando tus pasos. [5 puntos] 1

2 SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA HOJA DE TRABAJO Nº1 SOBRE SUCESIONES Y PROGRESIONES. 1. Los dos primeros términos de una progresión geométrica u n son u 1 = 4 y u = 4 (a) (i) Halle la razón. (ii) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle u 5. Otra progresión v n se define mediante v n = an k, donde a, k R y, n Z +, tal que v 1 = 0 05 y v = 0 5 (b) (i) Halle el valor de a. (ii) Halle el valor de k. (c) Halle el menor valor de n para el cual v n > u n [4 puntos] Solución Los dos primeros términos de una progresión geométrica u n son u 1 = 4 y u = 4 (a) (i) Halle la razón. (ii) A partir de lo anterior o de cualquier otro modo, halle u 5. (i) Puesto que una progresión geométrica tiene por término general, u n = u 1 r n 1 Aplicando dicho término general al caso del n = obtenemos que, u = u 1 r 1 4 = 4 r 4 4 = r 1 05 = r Por lo tanto, la razón de la progresión geométrica es r = (ii) Calculamos ahora u 5 a partir del término general, u 5 = u 1 r 5 1 = =

3 Otra progresión v n se define mediante v n = an k, donde a, k R y, n Z +, tal que v 1 = 0 05 y v = 0 5 (b) (i) Halle el valor de a. (ii) Halle el valor de k. (i) Puesto que la progresión tiene por término general, v n = a n k Aplicando dicho término general al caso del n = 1 obtenemos que, v 1 = a 1 k 0 05 = a 1 = a a = 0 05 Por lo tanto, el valor de a es a = (ii) Calculamos ahora k a partir del término general sustituido para el caso n =, v = a k 0 5 = 0 05 k = k 5 = k Tomamos logaritmos decimales y despejamos k, 5 = k = log k = k log log = k = k Por lo tanto, k 319 (c) Halle el menor valor de n para el cual v n > u n [4 puntos] Este es un ejercicio que se hace con calculadora. Se trata de comprobar a partir de qué valor n, la parte de la izquierda de la inecuación es mayor que la de la derecha, v n > u n a n k > u 1 r n nlog > n 1 3

4 Lo hacemos mediante un tanteo razonado, v n = 0 05 nlog u n = n 1 v n u n = nlog n 1 v n > u n? n 1 0,05 4, -4,15 No 0,5 4,41-4,16 No 3 0, ,6305-3, No 4 1,5 4,8605-3,6105 No 5, , , No 6 3, , , No 7 4, , , No 8 6,5 5, , Sí 9 8, ,053186, Sí 10 10,4996 6, , Sí Por lo tanto, el menor valor natural para el que v n > u n es n = 8.. Los tres primeros términos de una progresión aritmética son 5, 6 7 y 8 4. (i) Halle la diferencia común (ii) Halle el vigésimo octavo término de la sucesión. (iii) Halle la suma de los veintiocho primeros términos. Solución. (i) Halle la diferencia común Puesto que una progresión aritmética tiene por término general, a n = a 1 + (n 1) d Aplicando dicho término general al caso del n = obtenemos que, a = a 1 + ( 1) d 6 7 = 5 + d = d 1 7 = d Por lo tanto, la diferencia de la progresión aritmética es d =

5 (ii) Halle el vigésimo octavo término de la sucesión. Puesto que la progresión aritmética tiene por término general, a n = 5 + (n 1) 1 7 Aplicando dicho término general al caso del n = 8 obtenemos que, a 8 = 5 + (8 1) 1 7 = = 50 9 Por lo tanto, a 8 = (iii) Halle la suma de los veintiocho primeros términos. Aplicando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética, S n = (a 1 + a n ) n Para el caso de los veintiocho primeros términos tendremos que, S 8 = (a 1 + a 8 ) 8 = ( ) 8 = = 78 6 Por lo tanto, S 8 = Ramiro va todas las mañanas andando al trabajo. En el primer minuto recorre 80 m. A partir de ahí, cada minuto recorre el 90 % de la distancia recorrida en el minuto anterior. La distancia entre su casa y el trabajo es de 660 metros. Ramiro sale de su casa a las 8:00 y tiene que estar a las 8:15 sin falta. Bajo estas condiciones, Llegará Ramiro puntual al trabajo?, Razona numéricamente tu respuesta explicando tus pasos. [5 puntos] Solución. Ramiro realiza, en las sucesivas distancias que va recorriendo paulatinamente en su recorrido, una progresión geométrica de razón, r = 90 % = = 0 9 Para saber si llega o no puntual debemos aplicar la fórmula de los n primeros términos de una progresión geométrica, S n = a 1 r n a 1 r 1 5

6 Ya que se trata de sumar los primeros quince términos de la progresión de va realizando en cada minuto, S 15 = m En tal caso, NO llegará al trabajo puntual ya que tras los primeros 15 minutos habrá recorrido, aproximadamente, m que es menor que los 660 m que tenía que recorrer para llegar a la oficina. 6