SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 2012 (MODELO 6)

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1 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Modelo 6 ) Germá-Jesús Rubio Lua SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS CCSS SOBRANTES 01 (MODELO 6) OPCIÓN A EJERCICIO 1_A Ua empresa vede tres artículos diferetes A, B y C, cada uo de ellos e dos formatos, grade y ormal. E la matriz F se idica las catidades de los tres artículos, e cada uo de los dos formatos, que ha vedido la empresa e u mes. E la matriz G se idica las gaacias, e euros, que obtiee la empresa por cada uidad que ha vedido de cada artículo e cada formato A B C A B C grade grade F = G = ormal ormal a) (1 puto) Efectúe los productos F t G y F G t. b) (0 75 putos) Idique e qué matriz se puede ecotrar las gaacias que ha recibido la empresa e ese mes por el total de las uidades vedidas de cada uo de los tres artículos y especifique cuáles so esas gaacias. c) (0 75 putos) Idique e qué matriz se puede ecotrar las gaacias que ha recibido la empresa e ese mes por el total de las uidades vedidas e cada uo de los dos formatos, especifique cuáles so esas gaacias y halle la gaacia total. A B C A B C grade grade F = G = ormal ormal Catidades Gaacias (a) Efectúe los productos F t G y F G t. F t G = = F G t = = (b) Idique e qué matriz se puede ecotrar las gaacias que ha recibido la empresa e ese mes por el total de las uidades vedidas de cada uo de los tres artículos y especifique cuáles so esas gaacias. Las gaacias de cada uo de los tres artículos es la diagoal pricipal de la matriz F G t 1400 gaacias del artículo A 450 gaacias del artículo B 80 gaacias del artículo C (c) Idique e qué matriz se puede ecotrar las gaacias que ha recibido la empresa e ese mes por el total de las uidades vedidas e cada uo de los dos formatos, especifique cuáles so esas gaacias y halle la gaacia total. Las gaacias de cada uo de los formatos es la la diagoal pricipal de la matriz F t G 00 gaacias del formato grade 470 gaacias del formato ormal. La gaacia total es = EJERCICIO _A Sea dos fucioes, f y g, tales que las expresioes de sus fucioes derivadas so, respectivamete, f (x)= x + y g (x) =. a) (1 puto) Estudie la mootoía de las fucioes f y g. b) (0 75 putos) De las dos fucioes f y g, idique, razoadamete, cuál de ellas tiee algú puto e el que su derivada es ula. c) (0 75 putos) Cuál de las fucioes f y g es ua fució poliómica de primer grado? Por qué?

2 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Modelo 6 ) Germá-Jesús Rubio Lua Sea dos fucioes, f y g, tales que las expresioes de sus fucioes derivadas so, respectivamete, f (x)= x + y g (x) =. (a) y (b) Estudie la mootoía de las fucioes f y g. Me está pidiedo la mootoía, que es el estudio de f (x) y de g (x). f (x) = x + Si f (x) = 0; teemos x + = 0, de dode x = -, que puede ser el posible extremo relativo. Como f (-3) = -1 < 0, f(x) es estrictamete decreciete ( ) e (-,-). Como f (0) = > 0, f(x) es estrictamete creciete ( ) e (-,+ ). Por defiició x = - es u míimo relativo de f. (tiee derivada ula) g (x) = Si g (x) = 0; teemos = 0, lo cual es absurdo, luego g o tiee extremos (o tiee derivada ula) y siempre es creciete o decreciete. Como g (0) = > 0, g(x) siempre es estrictamete creciete ( ). (c) Cuál de las fucioes f y g es ua fució poliómica de primer grado? Por qué? Sabemos que e las fucioes poliómicas, la derivada gasta u grado porque si f(x) = x k, f (x) = k x k-1 Como g (x) =, g(x) es de primer grado, porque al derivar desaparece la x. EJERCICIO 3_A Ua ura cotiee 5 bolas blacas si marcar, 75 bolas blacas marcadas, 15 bolas egras si marcar y 175 bolas egras marcadas. Se extrae ua bola al azar. a) (0 75 putos) Calcule la probabilidad de que sea blaca. b) (0 5 putos) Cuál es la probabilidad de que sea blaca sabiedo que está marcada? c) (0 5 putos) Cuál es la probabilidad de que sea egra y esté marcada? d) (0 75 putos) So idepedietes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blaca? Ua ura cotiee 5 bolas blacas si marcar, 75 bolas blacas marcadas, 15 bolas egras si marcar y 175 bolas egras marcadas. Se extrae ua bola al azar. Total de bolas = 400 Total de bolas blacas = 100. Marcadas 75 y si marcar 5. Total de bolas egras = 300. Marcadas 175 y si marcar 15. Este problema es muy fácil de realizar utilizado ua tabla de cotigecia (tabla de doble etrada), y después utilizado la defiició de probabilidad de Laplace (úmero de casos favorables partido por úmero de casos posibles). Blacas = B Negras = N Marcadas = M No marcadas = M C 5 15 Totales Totales Completamos la tabla de cotigecia sabiedo que tato la suma e horizotal como e vertical da los totales. He puesto e egrita los úmeros que he completado. (a) Blacas = B Negras = N Totales Marcadas = M No marcadas = M C Totales

3 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Modelo 6 ) Germá-Jesús Rubio Lua Calcule la probabilidad de que sea blaca. Total de bolas blacas 100 p( bola blaca ) = p("b") = = Total de bolas 400 = 0 5. (b) Cuál es la probabilidad de que sea blaca sabiedo que está marcada? Bolas blacas marcadas 75 p("bola blaca sabiedo que está marcada") = p("b/m") = = Total bolas marcadas 50 = 0 3. (c) Cuál es la probabilidad de que sea egra y esté marcada? Bola egra y marcada 175 p("bola egra y esté marcada") = p("n M") = = Total bolas 400 = (d) So idepedietes los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blaca? So idepedietes si p(m) p(b) = p(m B) Total de bolas marcadas 50 p(b) = 0 5; p(m) = = Total de bolas 400 = 0 65; Bola blaca y marcada 75 p(m B) = = Total bolas 400 = Como , los sucesos sacar bola marcada y sacar bola blaca so depedietes. EJERCICIO 4_A ( 5 putos) U ídice para calibrar la madurez lectora de los alumos de primaria se distribuye segú ua ley Normal co desviació típica. Elegida ua muestra de 18 alumos e u cetro de primaria, se obtiee ua media muestral de 10 8 e dicho ídice. Mediate el uso de u cotraste de hipótesis, se puede aceptar, co u ivel de sigificació del 1%, la hipótesis ula de que la media del ídice de madurez lectora de los alumos de este cetro o es iferior a 11? Trabajamos e la ormal N(0,1), tipificada de la ormal muestral. Nos dice el problema que la hipótesis ula es H 0 : µ 0 11, para ver la madurez lectora de los alumos de primaria co u ivel de sigificació del 1%, por tato la hipótesis alterativa es H 1 : µ 0 < 11 Datos del problema: µ 0 = 11; = 180; x = 10 8; σ = ; regió crítica = α = 1% = Etapa 1: Las hipótesis ula y alterativa so: H 0 : µ 0 11 (la madurez lectora de los alumos o es iferior a 11) y H 1 : µ 0 < 11, la cual os idica la direcció del cotraste, es decir la regió crítica esta a la izquierda del puto crítico z α = - z 1-α. Etapa : El ivel de sigificació es α = 0 01, luego teemos 1 - α = 0,99. De p(z z 1-α ) = 1 - α = = 0 99, mirado e las tablas de la N(0,1), vemos que o aparece e las tablas. El valor más próximo es , que correspode al valor crítico es z α = - z 1-α = - 33 que separa las zoas de aceptació y rechazo. Lo observamos e u dibujo:

4 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Modelo 6 ) Germá-Jesús Rubio Lua X - µ 0 Etapa 3 y 4: E este caso el estadístico de prueba de este cotraste es Z =, que sigue ua ley σ / ormal N(0,1).que sigue ua ormal tipificada, N(0,1), y el valor observado del estadístico de prueba será x - µ 0 10'8-11 el úmero z 0 = = σ / / 18 Etapa 5: Como el valor observado del estadístico de prueba z 0 = es mayor que el valor crítico z α = - z 1-α = - 33, vemos que os ecotramos e la regió de aceptació. Por tato, tomamos la decisió de la aceptar la hipótesis ula H 0 : µ Co lo cual, co ua probabilidad de equivocaros del 1%, afirmamos que la media del ídice de madurez lectora de los alumos del cetro es superior a 11". OPCIÓN B EJERCICIO 1_B ( 5 putos) E ua carpitería se costruye dos tipos de estaterías: grades y pequeñas, y se tiee para ello 60 m de tableros de madera. Las grades ecesita 4 m de tablero y las pequeñas 3 m. El carpitero debe hacer como míimo 3 estaterías grades, y el úmero de pequeñas que haga debe ser, al meos, el doble del úmero de las grades. Si la gaacia por cada estatería grade es de 60 euros y por cada ua de las pequeñas es de 40 euros, cuátas debe fabricar de cada tipo para obteer el máximo beeficio? x = Estatería grade y = Estatería pequeña Fució Beeficio B(x,y) = F(x,y) = lo que gaa = 60x + 40y = 60x + 40y. Restriccioes: Tiee para ello 60 m de tableros. Las grades ecesita 4 m de tablero y las pequeñas 3 m de tablero, luego 4x + 3y 60 Debe hacer como míimo 3 estaterías grades, y de pequeñas, al meos, el doble del úmero de las grades, luego x 3; y x; Las desigualdades 4x + 3y 60; x 3; y x, las trasformamos e igualdades, y ya so rectas, 4x + 3y 60; x 3; y x Para que os sea más fácil dibujar las rectas (co dos valores es suficiete), despejamos las y y teemos y = -4x/3 + 0; x = 3; y = x; Represetamos gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, y el recito e el cual estará los bordes del recito delimitado por las iecuacioes dadas. Calculamos los vértices del recito resolviedo las ecuacioes las rectas de dos e dos. De x = 3 e y = x; teemos el puto de corte es A(3,6)

5 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Modelo 6 ) Germá-Jesús Rubio Lua De x = 3 e y = -4x/3 + 0; teemos el puto de corte es A(3,16) De y = x e y = -4x/3 + 0; teemos x = -4x/3 + 0, de dode 6x = -4x + 60, es decir sale 10x = 60, luego x = 6 e y = 1, y el puto de corte es C(6,1) Vemos que los vértices del recito so: A(3,6); B(3,16) y C(6,1). Calculemos los valores máximo y míimo de la fució F(x,y) = 60x + 40y e dicha regió. El Teorema Fudametal de la Programació Lieal afirma que su máximo y míimo absoluto está e la regió acotada, y que estos extremos debe estar situados e algú vértice del recito, por lo que evaluamos F e los putos ateriores A(3,6); B(3,16) y el C(6,1). F(3,6) = 60(3) + 40(6) = 40; F(3,16) = 60(3) + 40(16) = 80; F(6,1) = 60(6) + 40(1) = 840 Teiedo e cueta lo aterior vemos que el máximo absoluto de la fució F e la regió es 840 (el valor mayor e los vértices) y se alcaza e el vértice C(6,1), es decir el beeficio máximo es de 840 y se obtiee haciedo 6 estaterías grades y 1 estaterías pequeñas. EJERCICIO _B Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: a) (0 8 putos) f(x) = e 3x l(x 5). x 3 b) (0 8 putos) g(x) =. x - 1 c) (0 9 putos) h(x) = (3x + 5x 1) 6 + x l(x). Calcule las derivadas de las siguietes fucioes: x + x f(x) = ; g(x) = (x +1) - l(e 3x + 4) ; h(x) = 1 x 3x - 5 x - Recordamos alguas derivadas y reglas de derivació. Tambié algo sobre extremos absolutos / f(x) f'(x).g(x) - f(x).g'(x) ( f(x)+g(x) ) = f (x)+g (x); ( f(x) g(x)) = f (x) g(x)+ f(x) g (x); = ; g(x) (g(x)) ( (f(x) k ) = k.f(x) k-1.f (x); ( a x ) = a x.l(a); ( e kx ) = k.e kx ; (x k ) = k.x k-1 ; (l(f(x)) = f'(x) ; (k) = 0. f(x) a) f(x) = e 3x l(x 5). f (x) = 3 e 3x l(x 5) + e 3x /(x 5). b) x 3 g(x) =. x - 1 x x x 3 (x - 1) 3 x 3 (x - x - 1) g'(x) = =. (x - 1) (x - 1) c) h(x) = (3x + 5x 1) 6 + x l(x). h (x) = 6 (3x + 5x 1) 5 (6x + 5) + x 1/x. EJERCICIO 3_B Se cosidera dos sucesos A y B asociados a u experimeto aleatorio. Se sabe que p(a) = 0 8, p(b) = 0 7, p(a B) = a) (1 puto) So A y B sucesos idepedietes? b) (1 puto) Calcule p(a/b). c) (0 5 putos) Calcule p(a C B C ). Se cosidera dos sucesos A y B asociados a u experimeto aleatorio. Se sabe que p(a) = 0 8, p(b) = 0 7, p(a B) = a)

6 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Modelo 6 ) Germá-Jesús Rubio Lua So A y B sucesos idepedietes? A y B so idepedietes si p(a) p(b) = p(a B) De p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) teemos p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = = Como p(a) p(b) = = 0 56 = p(a B), los sucesos so idepedietes. b) Calcule p(a/b). ( ) p(a/b) = p A B p(b) c) Calcule p(a C B C ). = 0 56/0 7 = 0 8. p(a C B C ) = {ley de Morga} = p(a B) C = {suceso cotrario} = 1 - p(a B) = = 0 44 EJERCICIO 4_B La velocidad a la que circula los coductores por ua autopista sigue ua distribució N(µ,0). E u cotrol efectuado a 100 coductores elegidos al azar ha resultado ua velocidad media de 110 km/h. a) ( putos) Determie el itervalo de cofiaza para µ, co u ivel del 99%. b) (0 5 putos) Cuál es el máximo error cometido e esta estimació? σ Sabemos que para la media poblacioal μ, el estimador MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribimos X N(µ, σ ) o X N(µ, σ ) Tambié sabemos que el itervalo de cofiaza para estimar la media es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ dode z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el puto crítico de la variable aleatoria Normal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ σ Tambié sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α /, para el itervalo de la media, de z 1- α/. σ dode el tamaño míimo de la muestra es = E. La velocidad a la que circula los coductores por ua autopista sigue ua distribució N(µ,0). E u cotrol efectuado a 100 coductores elegidos al azar ha resultado ua velocidad media de 110 km/h. a) Determie el itervalo de cofiaza para µ, co u ivel del 99%. Datos del problema: σ = 0; = 100; x = 110; ivel de cofiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dode α=0 01, co la cual α/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = 0 995, mirado e las tablas de la N(0,1) la probabilidad vemos que o viee, sio que viee y que correspode a z 1 = 57 y z = 58. Realizado la

7 IES Fco Ayala de Graada Sobrates de 01 (Modelo 6 ) Germá-Jesús Rubio Lua media de dichos valores teemos z 1-α/ = ( )/ = 575, por tato el itervalo de cofiaza pedido es: σ σ I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = '575,110 + ' = (104 85,115 15) b) Cuál es el máximo error cometido e esta estimació? Datos del problema: σ = 0; = 100; ivel de cofiaza = 99%, de dode z 1-α/ = 575. σ 0 Sabemos que el error máximo de la estimació es E = z1 α / = '575 = 5 15 km/h 100

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