EXPRESIONES ALGEBRAICAS.

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1 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Se dice expresión algebraica aquella que está formada por números y letras unidos mediante signos. 4x y Observa que existen dos variables x e y. En la siguiente expresión algebraica se puede ver solo una variable. 3x 2 + 2x -1 A veces es posible sustituir la incógnita por un número para resolver la expresión. Por ejemplo si x = 5, la expresión se resolvería mediante: 3(5) 2 + 2(5) -1 = = 84 MONOMIOS. Un monomio es una expresión algebraica formada por un coeficiente (números) y unas variables (letras elevadas a un exponente), en las que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia. En el caso de que los monomios no tengan variables también se denomina monomio al coeficiente. Si dos monomios tienen las mismas variables se dice que son semejantes. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 1

2 3x 2 yz 4 25x 2 yz 4 Para saber el grado del monomio hay que sumar los exponentes de sus variables. Así en el ejemplo anterior, el primer monomio (y el segundo porque son semejantes) es de = 6. Pero se puede dar el caso de que el grado del monomio sea cero si: 3x 0 Por lo que cualquier número se puede considerar de grado cero. OPERACIONES CON MONOMIOS. En cuanto a las operaciones de producto y división con los exponentes de las variables de los monomios, se procede de la misma forma que con potencias con bases iguales. En el caso de la suma y resta, los monomios deben de ser semejantes cuyo resultado es otro monomio semejante con coeficientes diferentes. 3x 2 yz 4 25x 2 yz 4 28x 2 yz 4-22x 2 yz 4 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 2

3 En la multiplicación se multiplican los coeficientes y las variables. (2xy 2 z 3 ) (-3x 2 yz) = 2(-3) / x(x 2 ) / y 2 (y) / z 3 (z) = -6x 3 y 3 z 4 Observa cómo se multiplican coeficientes con coeficientes y variables con variables. La división se realiza de igual manera. 9xy 2 z 3 : -3x 2 yz = 9 : (-3) / x:x 2 / y 2 :y / z 3 :z = -3x -1 yz 2 Se puede elevar un monomio a una potencia, elevando a la misma todo su contenido: (2xy 2 z 3 ) 2 = 2( 2 ) x( 2 ) y( 2 )( 2 ) z( 3 )( 2 ) = 4x 2 y 4 z 6 POLINOMIOS. Un polinomio es la suma algebraica de dos o más monomios no semejantes. Por lo que cada uno de los monomios del polinomio es un término del polinomio. Si un polinomio tiene dos términos se dice que es un binomio y si tiene tres, trinomio. Se suele representar a los polinomios como P(x), Q(x), etc. P(x) = 3x2 + x Es un binomio cuyos términos son 3x2 y x. Q(x) = 3xy x + y Es un trinomio cuyo términos son 3xy, x e y. Existen polinomios de más términos como puedes ser: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 3

4 P(x) = 6x 5 3x 4 + 6x 2 x + 3 Siendo el anterior de 5 términos. En vez de hacer referencia a los términos del polinomio se suele usar la expresión de grado, y que hace referencia a la mayor potencia del polinomio. Así, el anterior ejemplo nos dice que es un polinomio de grado cinco. Se dice término independiente del polinomio al monomio de grado cero. En el anterior ejemplo es el +3 final. OPERACIONES CON POLINOMIOS. La suma y resta de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene sumando o sustrayendo todos los términos de ambos polinomios y reduciendo los términos semejantes. (2x 3 9x 2 + 5x - 4) + (6x 4 5x 3 + x 2 5x + 6) Primero se localiza el grado de los polinomios para que quede ordenado y después se realiza las operaciones sumando o restando los monomios de cada grado. = 6x 4 + ( 2x 3 5x 3 ) + (-9x 2 + x 2 ) + (5x 5x) + (-4 + 6) = 6x 4 3x 3 8x Para la multiplicación de polinomios se multiplica cada término de unos con los términos de los otros. Así que realizando: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 4

5 (2x 3 9x 2 + 5x - 4)(6x 4 5x 3 + x 2 5x + 6) = 2x 3 (6x 4 5x 3 + x 2 5x +6) 9x 2 (6x 4 5x 3 + x 2 5x +6) +5x(6x 4 5x 3 + x 2 5x +6) -4(6x 4 5x 3 + x 2 5x +6) = +(12x 7 10x 6 + 2x 5 10x x 3 ) (54x 6-45x 5 + 9x 4 45x x 2 ) + (30x 5 25x 4 + 5x 3-25x2 + 30x) (24x 4 20x 3 + 4x 2 20x + 24) Agrupamos términos y asignamos el signo correcto. 12x 7 10x 6 + 2x 5 10x x 3 54x x 5-9x x 3-54x x 5 25x 4 + 5x 3-25x x x x 3-4x x 24 12x 7 64x x 5 68x x 3 83x x - 24 La división de polinomios se realiza con el mismo procedimiento pero se puede realizar por pasos: 3x 4 + 5x -1 2x 2 : x 2 + 2x Primero ordena el polinomio de grado 4 y si falta un término pon un cero donde corresponda: 3x 4 + 0x 3 2x 2 + 5x -1 : x 2 + 2x Para obtener el cociente, divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 5

6 3x 4 : x 2 = 3x 2 Ya que (3x 2 )(x 2 ) es igual al dividendo. Multiplica el primer término del cociente por el divisor: (3x 2 )( x 2 + 2x) = 3x 4 + 6x 3 Cambia el signo para que sea negativo. NOTA: Es importante saber que el término que aparece en el cociente siempre tendrá el mismo signo del divisor en el momento de la operación. Así que ahora realizamos la operación aritmética del dividendo con la operación anterior: 3x 4 + 0x 3 2x 2 + 5x -1 : x 2 + 2x - 3x 4-6x 3-6x 3 2x 2 + 5x 1: x 2 + 2x Esta es la nueva división que se procede igual que la anterior, pero ahora para el polinomio de grado tres. Dividiendo el primer término del dividendo por el primer término del divisor, nos da: -6x 3 : x 2 = -6x Observa el signo negativo porque empieza el dividendo con un signo negativo. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 6

7 Ahora multiplicando el término del cociente por el cociente nos da otro polinomio: (-6x)( x 2 + 2x) = -6x 3-12x 2 Y restándolo al resto del dividendo: -6x 3 2x 2 + 5x 1: x 2 + 2x (-1)(-6x3 12x 2 ) +10x 2 + 5x -1 : x 2 + 2x Y procedemos igual que anteriormente para resolver éste último polinomio. Sabes por qué es la última operación? Pues sí, al tener el mismo grado el dividendo y el divisor, queda claro que el siguiente número del cociente deberá ser un término independiente; y en este caso es 10: +10x 2 : x 2 = (x 2 + 2x) = 10x x +10x 2 + 5x -1 : x 2 + 2x -10x 2-20x -15x RESTO Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 7

8 Entonces la división se expresa tal que: 3x 4 + 5x -1 2x 2 : x 2 + 2x P(x) = 3x 2 6x + 10 R(x) = -15x -1 Ya que no es una división exacta. RUFFINI. Cuando en el divisor solo exista un polinomio de grado uno y termino independiente, se puede aplicar Ruffini para simplificar los cálculos. 5x 3 4x 2 + 2x 3 : x 2 Al igual que el anterior, si faltara algún grado se pondría cero en su lugar. Para Ruffini, lo primero que se hace es que se coge los números y se colocan por columnas: (+2) Como el divisor es -2, al dividir has visto que se cambia el signo, por lo que hay que tomar el +2 para el cálculo. Por lo que el resultado es: P(x) = 5x2 + 6x + 14 R(x) = 25 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 8

9 Resuelve: Q(x) = x 3 + 3x 2 4 : P(x) = x +2 Ordenamos: (-2) >>> P(x) = x2 + x 2; R(x) = 0 Obtenemos un resto de cero, por lo que se puede seguir resolviendo: (1) >>> P(x) = x + 2; R(x) = 0 Por lo que el polinomio es igual a: Q(x) = x 3 + 3x 2 4 = (x2 + x 2) (x + 2) Si haces la prueba verás que te da el mismo resultado. BINOMIO DE NEWTON. Se dice factorial de un número al producto de ese número por los miembros naturales crecientes desde el cero hasta el mismo. Por ejemplo el factorial de 5! (factorial se representa por el signo de exclamación invertida!), será: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 9

10 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120 Un binomio es la expresión algebraica de la forma x 2 + 3, x + 3, 2x 2 + 4y 3, etc. Existen fórmulas para binomios sencillos como lo son al cuadrado y al cubo: (x + y) 2 = x 2 + y 2 + 2xy (3x + 5y)2 = 3x 2 + 5y (3 * 5) = 9x + 25y + 30 (x + 3) 2 = x (x * 3) = x x = x 2 + 6x + 9 (x + y) 3 = x3 + (3x 2 y) + (3xy 2 ) + y 3 (2x 3) 3 = 2x 3 (3(2x) 2 3) (3(2x) 3 2 ) 3 3 = 8x3 + 36x x - 27 (x + 3) 3 = x 3 + (3x 2 3) + (3x3 2 ) = x 3 + 9x x + 27 Para el cuadrado y el cubo existen fórmulas específicas. Pero cuando hay que realizar otro tipo potencia, la cosa se complica mucho y es mejor utilizar el triángulo de Pascal. TRIÁNGULO DE PASCAL O TARTAGLIA. El triángulo de Pascal nos permite calcular de forma sencilla las potencias de los números de binomios. Por ejemplo el binomio (x + y) 2 representa 3 espacios vacíos porque su desarrollo final es x 2 + 6x + 9. El binomio (x + y) 3 representa 4 espacios vacío porque su desarrollo final será x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 10

11 Por lo tanto el binomio (x + y) 4 tendrá 5 espacios vacíos; el x + y) 5, 6 espacios, etc., etc. Representando el triángulo de Tartaglia: Para la construcción del triángulo, en el vértice y en los lados siempre se ponen un 1. Así en la primera fila hay un 1. En la siguiente fila (cuadrado) hay un 1 y 1. En la tercera fila (cubo), a los lados se pone un 1 y en el medio la suma de los números de la fila anterior. Es decir si la fila de cuadrado era un 1 y 1, la suma es 2, por lo que en la fila 3 habrá un 1, 2, 1. En la fila 4, se pone un 1 a los lados y la suma de los números de la fila 3 de manera que primero se suma el 1 + Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 11

12 2 para el espacio siguiente de la fila 4, y luego el para el otro espacio libre. Hasta ahora queda así: Puedes darte cuenta que cada espacio libre disponible debajo de la fila representa la suma de cada números superiores. Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 12

13 Así que la siguiente fila será 1, la suma de 1 + 3, la suma de 3 + 3, la suma de y 1. La siguiente fila será 1, la suma de 1 + 4, la suma de 4 + 6, la suma de 6 + 4, la suma de y 1. Y hasta que rellenemos la potencia (o nivel) que queramos calcular, y que en este caso será (x + y) 6. Ahora teniendo el triángulo formado, para el desarrollo, solamente tienes que poner los números y dejar los espacios: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 13

14 (x + y)6 = _ Ahora vamos al triángulo de Pascal y vemos la fila 7 y ponemos los números representados juntos a los signos del binomio. (x + y)6 = Ahora hay que poner los exponentes. Primero se pone el primer término de izquierda a derecha y en orden descendente. Es decir, la X de 6 a 0: (x + y) 6 1x 6 + 6x x x x 2 + 6x + 1 Y ahora se ponen el segundo término de izquierda a derecha en orden ascendente. Es decir, la Y de 0 a 6: (x + y )6 1x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y x 3 y x 2 y 4 + 6xy 5 +1y 6 Por lo que nos queda ya resuelto el binomio a la sexta potencia. Cuando queremos desarrollar en forma de números, simplemente hay que sustituir los números por sus equivalentes. Sustituyendo: (5x 3) 6 = (5x) 6 + 6(5x) 5 (-3) + 15(5x) 4 (-3) (5x) 3 (-3) (5x) 2 (-3) 4 + 6(x)(-3) 5 + 1(-3) 6 = 15625x 6 + [6(3125x 5 )(-3)] + [15(625x 4 )(9)] + [20(125x 3 )(- 27)] + [15(25x 2 )(81)] + [6(5x)(-243)] = Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 14

15 15625x x x x x2 7290x +729 Puede resultar un tanto engorroso, pero es la manera más rápida de calcular potencias de binomios aunque se puede realizar también mediante el binomio de Newton como vimos anteriormente y de manera más larga. (x + y) 6 = x 6 +!( 6 1 )x5 y +!( 6 2 )x4 y 2 +!( 6 3 )x3 y 3 +!( 6 4 )x2 y 4 +!( 6 5 )xy5 +!( 6 6 )y6 = X 6 + ( + ( 6! 1!(6 1)! )x5 y + ( 6! 4!(6 4)! )x2 y 4 + ( 6! 2!(6 2)! )x4 y 2 + ( 6! 5!(6 5)! )xy5 + y 6 = 6! 3!(6 3)! )x3 y 3 X 6 + 6x 5 y +15x 4 y x 3 y x 2 y 4 + 6xy 5 + y 6 Observa que el factorial de cada elemento coincide con el espacio asignado de la potencia en el triángulo de Pascal. (5x 3) 6 = Para resolver éste binomio mediante el método de Newton lo mejor es sustituir en el final de la resolución del binomio anterior y operar los términos sabiendo que ahora x = 5x e y = -3: (5x) 6 + [6(5x) 5 (-3)] + [15(5x) 4 (-3) 2 ] + [20(5x) 3 (-3) 3 ] + [15(5x) 2 (-3) 4 ] + [6(5x)(-3) 5 ] + (-3) 6 = Primero se resuelven las potencias: (15625x 6 ) + [6(3125x 5 )(-3)] + [15(625x 4 )9] + [20(125x 3 )(-27)] + [15(25x 2 )81] + [6(5x)(-243)] Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 15

16 Después se multiplican los términos independientes y se resuelven teniendo en cuenta el signo de la operación: 15625x x x x x2 7290x Observa que da el mismo resultado realizado desde el triángulo de Tartaglia que desde el teorema de Newton. DESARROLLO DE BINOMIOS A menudo te pedirán en los ejercicios que desarrolles un binomio completo o que determines una potencia específica de ese desarrollo. Por ejemplo, calcula el T 10 del binomio (3x 2 + 7y) 20 : Mediante el triángulo de Tartaglia, resolvemos que esa fila tendrá 11 espacios con los números: 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10, 1 Aplicando el binomio a esta potencia específica, utilizaremos la potencia de 11 para el primer término y la potencia de 9 para el segundo término (eso se realiza calculando el número de espacio totales de esa fila del triángulo para la potencia del primer término y quitando los 1 de los extremos de esa misma fila (en total 9 espacios), para el segundo término. Por supuesto, se debe de realizar la operación con el factorial de esa potencia a calcular: Así, resolviendo nos queda que: 20! T10 = ( 9! (20 9! )[(3x2 ) 11 + (7y) 9 ] Y resolvemos: Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 16

17 ( )[(3 11 x 22 ) + (7 9 y 9 )] = (167960)(3 11 )(x 22 )(7 9 )(y 9 ) = [ (177147x 22 ) + ( y 9 )] = =1, e+18 x 22 y 9 Ahora resolvemos el T=4: En el triángulo hay 5 espacios por lo tanto el primer término será elevado a 5 y el segundo a 3: T4 = ( 20! 3! (20 3! )[(3x2 ) 5 + (7y) 3 ] = (1140)3 5 x y (243x y 3 ) = = x 10 y 3 Sabrías desarrollar el T7del binomio (3x + 1 x 2)9? ( 9! ) 6! (9 6! (((3x)8 + ( 1 x 2))6 = 84(3 8 x 8 + ( 1 x 2)6 ) = 6561x8 + 1 x48 x12 = 84 x x 12= x 4 Matemáticas. Pascual Gómez del Pino. Operaciones con polinomios. Página 17