3. Campos escalares diferenciables: gradiente.

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1 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. 3. Campos escalares diferenciables: gradiente. Plano tangente diferenciabilidad. Consideremos na fnción f :(, ) U f(, ) de dos variables n pnto (, interior al conjnto U. Sea z = f(, ) de manera qe P= (,, z es n pnto de la gráfica de f. Cál es la ecación del plano tangente a la gráfica de f en el pnto P (si es qe eiste)? Si samos la interpretación geométrica de las derivadas parciales f (, ) f (,, descrita en la sección anterior, llegamos a la conclsión de qe el plano tangente debe pasar por el pnto P= (,, z contener a los vectores (,, f (, )) (,, f (, ), lo qe eqivale a qe el vector ( f(,, f(,,) sea normal a dico plano. Con este argmento llegamos a la conclsión de qe la ecación del plano tangente debe ser z z = f (, )( ) + f (, )( ). Esta ecación tiene sentido sin más qe sponer qe eisten las derivadas parciales de la fnción f en el pnto (,. Sin embargo, sabemos qe la, = fnción f(, ) = no es contina en el pnto (,, con lo cal no eiste plano tangente en el pnto (,,; pero eisten ss derivadas parciales f,, (, = f (, =, con lo cal tiene sentido considerar el plano de ecación z =. Todo esto nos indica qe para qe la gráfica de na fnción tenga plano tangente en n pnto no sólo deben eistir las derivadas parciales en ese pnto, sino qe debe verificarse algo más. DEFINICIÓN. Se dice qe f es diferenciable en el pnto (, si f(, ) f(, ) f (, )( ) f (, )( ) lim =, (, ) (, o eqivalentemente, (, ) (, ( + ( f(, ) f(, f(, f(, lim =. (, ) (, ) La matriz fila Df(, : = f(, f(, se llama diferencial de f en (,. Si f es diferenciable en el pnto (, decimos qe z z = f(, ( + f(, ( es la ecación del plano tangente a la gráfica de f en el pnto (,. OBSERVACIÓN. Si comparamos la epresión anterior con la qe emos visto anteriormente para fnciones de na variable, observamos qe la matriz fila Df(, : = f(, f(, interpreta en la definición de fnción diferenciable de dos variables el papel correspondiente a la derivada en la definición de derivada de na fnción de na variable. Esto se ve aún más claramente si escribimos, por ejemplo, A = (, A= (, ), con lo qe la fórmla anterior qeda f( A) f( A Df( A( A A lim =. A A A A

2 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. OBSERVACIÓN. Si f es na fnción diferenciable en el pnto (, llamamos ε (, ): = f(, ) z(, ), (, ) = (, ) + (, )( ) + (, )( ), es decir, la diferencia entre el valor con z f f f de la fnción s plano tangente en el pnto (,, entonces con f (, ) = f(, ) + f(, )( ) + f(, )( ) + ε(, ), ε(, ) lim =. ( ) + ( ) (, ) (, Esto nos dice, qe la diferencia ε (, ) entre la gráfica de la fnción s plano tangente tiende a cero más rápidamente qe la distancia del pnto (, ) al pnto (,. En particlar, se verifica qe lim ε(, ) = la fnción f es contina en el (, ) (, pnto (, pesto qe lim f (, ) = f(, + f(, lim ( + f(, lim ( (, ) (, (, ) (, (, ) (, (, ) (, = = = + lim ε (, ) = f(,. De eco, se verifica mco más, como veremos en la sigiente proposición. PROPOSICIÓN. Sea f :(, ) U f(, ) na fnción diferenciable en n pnto (, interior a U. Entonces eisten las derivadas direccionales de f en dico pnto si = (, ) es n vector nitario, se verifica qe D f(, = D f(, = f(, + f(,. DEM. Debemos probar qe si = (, ) es n vector nitario, entonces eiste el sigiente límite, de eco, tiene el valor qe se indica en la igaldad del ennciado, es decir, f( +, + ) f(, ) lim = D f(, = f(, + f(,. Detallaremos la preba en el caso en qe >. De igal forma se aría si <. Sabemos qe si f es diferenciable en el pnto (,, entonces con f (, ) = f(, ) + f(, )( ) + f(, )( ) + ε(, ), (, ) (, ε(, ) lim =. En particlar, si (, ) = ( +, + ) obtenemos qe ( ) + ( ) f ( +, + ) f (, ) = f (, ) + f (, ) + ε( +, + ), lego f ( +, + ) f (, ε( +, + ) = f(, + f(, +.

3 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Para los pntos de la forma (, ) = ( +, + ) se verifica qe ( + ( = ε(, ) si, entonces (, ) (,. De esto de lim (, ) (, ( + ( = dedcimos ε ( +, + ) qe lim =, con lo qe f( +, + ) f(, ) f f lim = (, + (,. PROPOSICIÓN (PROPIEDAD DE DIRECCIÓN ÓPTIMA). Sea f :(, ) U f(, ) na fnción diferenciable en n pnto (, interior a U. Entonces el valor máimo de la derivada direccional D f(, se alcanza cando es el vector nitario de la misma dirección sentido qe Df (, el valor mínimo de D f(, se alcanza cando es el vector nitario de la misma dirección sentido contrario qe Df (,. DEM. Usando la fórmla D f(, = D f(, obtenemos qe D f(, = Df(, = Df(, cos θ = Df(, cos θ, siendo θ [, π ] el ánglo qe forman los vectores Df (,. Entonces, el valor máimo de D f(, se alcanza cando cosθ =, es decir, θ = tiene la misma dirección sentido Df (, qe Df (,, por tanto, = : = D f (, = Df (, = Df (,. Df (, Df (, Análogamente, el valor mínimo de D f(, se alcanza para = : =, por tanto, D f (, ) = Df (, ) = Df (, ) Df (,. EJEMPLO. Consideremos la fnción fnción en el pnto (, ) es, como sabemos, ( ) ( ) D z, =. La dirección de mínimo cre- =,. cimiento es = =, El valor máimo de la derivada es ( ) z (, ) = +. La dirección de máimo crecimiento de esta Dz, =,. El vector nitario en esa dirección es el valor mínimo de la derivada es ( ) direcciones de crecimiento cero son aqellas = (, ) qe verifican ( ) direcciones tales qe + =. Por ejemplo, los vectores Observa la sigiente figra. =, D z, =. Las Dz, =, es decir, las =,. 3

4 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. dos fn- OBSERVACIÓN (PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LA DIFERENCIAL). Sean f, g: U ciones diferenciables en n pnto (, interior a U. Entonces se verifica: ) af + bg es diferenciable en (, Daf ( + bg) = adf+ bdg. ) fg es diferenciable en (, D( fg) = fdg+ gdf. 3) Si g (,, entonces f g es diferenciable en f gdf fdg (, D =. g g Las fnciones ss diferenciales están evaladas todas en el pnto (,. Es m difícil probar qe na fnción es diferenciable aplicando directamente la definición; el resltado clave qe nos permite dedcir, en todos los casos de interés, qe na fnción es diferenciable se conoce como la condición sficiente de diferenciabilidad. TEOREMA (CONDICIÓN SUFICIENTE DE DIFERENCIABILIDAD). Sea f :(, ) U f(, ) n campo escalar. Si las fnciones derivadas parciales de f eisten son continas en U, entonces f es diferenciable en todos los pntos interiores a U. EJEMPLO. Eisten fnciones diferenciables cas derivadas parciales no son continas. Por ejemplo, la fnción definida por f(, ) = ( + )sen si (, ) (, f (, = es diferenciable, pero ss derivadas parciales f + f no son continas en (,. De forma similar, en na variable, tenemos fnciones derivables ca derivada no es contina. Por ejemplo, la fnción definida por f( ) = sen si f ( =. Como comentamos anteriormente, es m complicado a partir de la definición, comprobar qe na 4

5 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. fnción concreta es diferenciable. Sin embargo, con la condición sficiente de diferenciabilidad es bastante simple. Basta calclar ss derivadas parciales comprobar qe son fnciones continas. Por ejemplo, los polinomios en dos ( en tres) variables son fnciones diferenciables. También lo sen( + ) son las fnciones e +,, + + Gradiente de n campo escalar. En ciertas aplicaciones del cálclo diferencial, las variables e de na fnción f (, ) peden representar diversas magnitdes: presión, temperatra, precios, voltios, amperios, cantidades de compestos qímicos, etc. Sin embargo, en la constrcción de mcos modelos de la técnica se san 3 para indicar, específicamente, el plano el espacio tridimensional, así qe las variables cartesianas corresponden a longitdes se san para representar posiciones; se dice entonces qe son variables espaciales. Para este caso, la diferencial, es decir, Df(, : = f(, f(, recibe el nombre de vector gradiente de f en (, se representa de las sigientes maneras (el símbolo se lee nabla) f (, o grad f (,. EJEMPLO. Sea f la fnción qe a cada pnto P le asigna el cadrado de s distancia al origen. En coordenadas cartesianas tenemos qe f (, ) = +. Como f (, ) = f (, ) = son fnciones continas, f (, ) es diferenciable s diferencial es Df (, ): = [ ] qe, por ser e las variables espaciales cartesianas, coincide con el gradiente de f. Si consideramos la misma fnción, pero dada en coordenadas polares, tenemos f (, r θ ) = r, como fr (, r θ ) = r fθ (, r θ ) = son continas, obtenemos qe f ( r, θ ) es diferenciable Df (, r θ ): = [ r ] es s diferencial. Las variables polares r θ no son las variables espaciales cartesianas e, así qe Df (, r θ ): = r no es el gradiente de f. [ ] En resmen, la noción de diferencial es abstracta, no depende del conteto en el qe estemos trabajando. Por contra, la noción de vector gradiente es de natraleza geométrica. Entonces, si tenemos n campo escalar definido en términos, por ejemplo, de las coordenadas polares cómo calclamos s gradiente, el vector de las derivadas parciales con respecto a las variables espaciales? Esto lo veremos en la sección sigiente donde estdiaremos la regla de la cadena qe es el instrmento adecado para realizarlo. EJERCICIO. Calcla la ecación del plano tangente de las sigientes fnciones en el pnto qe se indica ( + ) f(, ) = log +, P= (,,, () f(, ) = e, P= (,,), () ( ) (3) f(, ) =, P= (,,), (4) f(, ) = 4 +, P= (,, 5), (5) f(, ) = 3 +, P= (,,), (6) (, ) + f = e sen, P= ( π,,. EJERCICIO. Escribe la definición de diferenciabilidad de diferencial de na fnción de tres variables enncia las propiedades correspondientes. 5

6 GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. EJERCICIO 3. Escribe la definición de derivada direccional de na fnción de tres variables enncia las propiedades correspondientes. EJERCICIO 4. Encentra las direcciones de máimo mínimo crecimiento de las sigientes fnciones en los pntos qe se indican () f(, ) = + +, P= (,), (3) f (,, z) = log( ) + log( z) + log( z), P = (,,), () f(, ) = + e sen, P= (,, (4) f(,, z) = log( + ) z, P= (,,. EJERCICIO 5. En qé direcciones es nla la derivada de la fnción P = (,)? f(, ) = + en el pnto EJERCICIO 6. Eiste algna dirección en qe la derivada direccional, en el pnto P = (,), de la fnción f (, ) = 3+ 4 valga 4? EJERCICIO 7. La derivada direccional de na fnción diferenciable f en n pnto P es máima en la dirección (, ) s valor es 3. Cánto vale Df( P )? Y, Cánto vale la derivada direccional de f en P en la dirección del vector (,? EJERCICIO 8. Considera el campo escalar tridimensional f ( z,, ) = + z z, el pnto P = (,,3) el vector nitario = (,,. () Calcla ( ). D f P () En qé dirección es máima la derivada direccional de f en P? Cál es el valor de dica derivada direccional? 6