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- Cristóbal Redondo Peña
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1 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Ejrcicios d Aplicció d l drivd co rcts tgts orls ϕ Dds ls ucios ϕ S Hllr ϕ cos ϕ ϕ cos ϕ cos ϕ Qué águlo or co l j o ls tgts l curv puto cu scis s? θ θ. pr θ θ rc θ l Qué águlos or co l j d Asciss l cortrs co st l orig d coordds ls siusoids S S? S pto S Cos θ Cos cos θ Cos θ Cos θ ; θ θ Arc θ rc θ º Cos θ º θ Cos º Qué águlo or co l j d sciss l cortrs co ést l orig d coordds l tgtoid? θ Sc θ Sc θ θ º Dtrir l coicit gulr d l tgt l curv 7 l puto. Diios k coicit gulr Sust. Pto k k k dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
2 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Dtri l vlor d l prir drivd d l ució X Dod I B A so costts. I I B I A I B I I I I AB A I I A A B AB AB A B B B I 7 Hllr l puto d l curv cu cució d l rct tgt s prll l j o. L rct s prll l j o si ist L L p I AB 8 Ecotrr l puto d l práol u águlo co l j. cu rct tgt or d d d d ; Pro Tg θ Tg d d p Dtri l pdit d l rct tgt l curv l puto. 7 7 S T l tgt l práol. Hllr l puto qu T cort l j. L si T cort l j -. dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
3 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. U rct qu ps por l puto s tgt l curv Hllr l puto d tgci. 7 7 R pto pto s p si l p Tg ct l s Idicr los putos dl gráico dod l tgt s horizotl si - - s Pto El si horizotl s L ± Pto Si Idicr los putos dl gráico dod l tgt s horizotl si ; {} IR Lugo o ti tgts horizotls. {} IR Lugo o ti tgts horizotls.
4 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Hllr los putos qu ls tgts l curv s prlls l j d sciss. θ Coo so prlls l j d ls sciss ; Sust. l ució pto ; pto ; pto Dostrr qu ls curvs s itrcpt águlo rcto l orig. Not Pr qu dos curvs s itrcpt águlo rcto u puto s d cuplir qu sido ls pdits d ls curvs l puto cosidrdo; por prt ; ; Idicr los putos dl gráico dod l tgt s vrticl si ; L gráic ti tgt vrticls si o ist. Do. IR Si tocs o ist. Por lo tto l gráic d ti u tgt vrticl. dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
5 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Do [ [ Si - tocs o ist. Por lo tto l gráic d ti tgt vrticl. 7 Idicr los putos dl gráico dod l tgt s vrticl si L gráic ti tgt vrticl si o ist. Do [ ] Si ± tocs o ist. Por lo tto ± l gráic d ti u tgt vrticl. Do [ [ Si tocs o ist. Por lo tto l gráic d ti u tgt vrticl. 8 Dtri los putos los culs l rct tgt s horizotl. L tgt s horizotl si pto pto Escriir ls cucios d l tgt d l orl l curv l Puto - R R N R R N dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
6 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. Escriir ls cucios d l tgt d l orl l práol l puto cu scis s Sustituios l vlor d l práol pr sr l puto d cotcto 8 8 N R R P to Dtri l puto P d l gráic d pr l qu su rct Tgt ps por l orig. ' Pto Igulos S cotrr l cució d l rct tgt l curv l puto. L L Ecotrr l cució d l rct tgt l curv 8 7 l puto
7 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. E qu puto l rct tgt ; cort l j. p c Usdo drivd cotrr l vértic d l práol. 8 E l vértic d l práol l rct tgt l gráic ti pdit cro. Lugo l vértic d l práol s --. Escriir l cució d l rct tgt d l orl l hipérol l puto cu scis s. L L L N N 8
8 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 Hllr ls cucios d l tgt d l orl l curv l Puto. / R RN 8 Hllr l puto qu l rct tgt l gráico d s itrcpt co ll uvt. Rct tgt l puto ; L Y Itrscció d co L Si ; Lugo l puto s - - dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 8
9 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic E qu puto d l curv l rct tgt l curv s isctriz dl prir cudrt. d d d d S l puto d l curv dod l tgt s isctriz dl prir cudrt. S L l rct tgt l curv qu L divid dos águlos iguls l prir cudrt tocs Lugo Por lo tto l puto s Pror qu l rct tgt s tié tgt l curv otro puto; cotrr dicho puto. Rct tgt Lugo l rct tgt l curv l puto s L L Itrscció d l rct co l curv p p ± dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
10 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Hllr l cució d l rct tgt l curv qu s prpdiculr l rct. / / rct Coo s prpdiculr l rct / / [ ] Sust l c Pto R Hllr l cució d l rct tgt u cució d l rct orl l / 8 curv qu s prpdiculr l rct 8 8 / t 8 rct 8 / [] 8 8 / 8 8 p 8 [ ] / R N 8 R dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 7
11 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Clculr l cució d l rct tgt u cució d l rct orl l curv qu s prll l rct. Rct R RN t Pto E qué puto l l práol 7 s prll l rct? 7 7 rct 7 7 Sust. M R ct pto prlls dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 7
12 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. Dtri los putos l curv dod l rct orl s prll l rct d l cució dtri l cució d l rct tgt dichos putos. // L pr L pr p Si p Si v rct rct
13 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. Dtri l o los putos dod l gráic d l rlció ti tgts prlls l rct. si co d d d d d d d d rct rct rct l s prll l ; - l puto p R p R p p to to
14 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 E qué puto d l curv? l tgt s prpdiculr l rct ± * L rct ; rct Sust l c* 8 Sust. ± ± ± ± 8 Pto 8 8 /8 Pto 8 8 ± dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 7
15 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 8 Dtri l cució d l tgt l curv cu pdit s ` Dl curv Dtri l cució d l tgt l orl l curv sido qu l orl s d pdit. 7. pr L L N
16 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Dtri si l rct tgt l curv l puto - s u d ls orls l curv. d d 8 d 8 d d. 8. d lugo l rct tgt l curv s L ; L d d d d L L d d Lugo L L qu l producto d sus pdits s -. Por lo tto L s orl l curv dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 7
17 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Clcul l pdit d l rct Tgt l curv Ovlos d Cssii l puto ' ' ' Tg 8 Tg Tg Tg 8 Tg cudo 8 Tg Tg Tg Dtri ls cucios d l rct tgt l rct orl l curv l puto. S z plicr l Lz L L z' z ' z w' ' ' S w Lw L L w' w ' ' Sustituir ' PtoTg ' ' ' dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 77
18 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic L Tg L N Tg Dtri ls cucios d l rct Tgt d l rct orl l curv s l orig. P L L N s ' Tg Tg ' s cos s cos ' ' cos s dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 78
19 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. Dtri l cució d l rct Tgt l curv cos l puto. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ' ' ' ' ' ' ' ' cos s s PtoTg s s s s s Tg
20 l l / / l / / / / l INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Hllr l cució d l rct orl l curv l qu s prll l rct. l N N l rct pro st s prll l LN N rct l l / / / / / Ecotrr u cució pr cd u d ls rcts qu ps por l puto -- so tgts l curv. M 8 8 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 8
21 S igul co l curv dd INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic ± ± 8 / 8 ± 8 Ahor clculos ls pdits ls rcts ± 7 Dustr qu l curv o ti tgts horizotls. Rprst u prsió grl pr ls pdits d tods ls rcts tgts l curv. Si supoos l istci d tgts horizotls drí cuplirs qu / / L curv o ti tgts horizotls. / R dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 8
22 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 8 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 8 Ecutr los putos dl círculo pr los qu l pdit d l rct tgt vl -. ± Sustitudo l cució Pto Pto
23 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Clculr l cució d l rct tgt l práol p l puto d su gráic P. p p p p l puto p p p p p M p p p p p Pro l práol l Pto s p p p Ec. R ct Tg. p p p Dtri l cució d l rct tgt l curv. p L l l l l l l l l l l. l puto Clculr l cució d l rct tgt u lips puto d su gráic P. / / Ecució d l rct tgt Pto l dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 8
24 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 8 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. / / / / / / / / / / Pro; l P l lips s Etocs Ecució d l rct Tg l lips. Dtri ls cucios d l tgt orl l curv k l puto. k k. 8. k k k L k k k L k k p sust l N N Ecutr l scis l orig d l rct tgt l curv l puto P l puto L scis l orig sigiic qu / / / pr
25 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 8 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. Dustr qu igu rct pud sr tgt l curv dos putos dirts. Supoos qu ist u rct tgt l curv dos putos dirts P P s d dostrr qu. Pr P. ; Ec pro Pr P. Ec Ls cucios d ls tgts d l curv so stischs por os putos. Nigu rct Tg l curv lo s dos putos dirts culquir rct Tg solo lo s u puto. Hllr l cució d l práol C qu s tgt l rct pto l.. t c c c práol l d pto Sust rct l D pto l curv l gt s rct l Coo rct
26 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Dtri los vlors d ls costts c l cució d l curv c si ést ps por dás l rct 8 s tgt ll - -. c D Coo l rct dd s tgt l curv Ec Sist c d cucios c c Ec rct c c Ec 7 Dtrir los putos d l curv qu l tgt s horizotl. L tgt s horizotl si ± 8 ± 8 Si tocs 7 Si tocs Los putos so 7 8 Dtri tl qu l rct s tgt l curv l puto 8 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
27 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 87 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. ;. Lugo curv l puto l Sustituir Sust rct Dtri tl qu ls curvs c tg u rct tgt coú l puto - c ii i Lugo Ls drivds d sr iguls l puto - prtc ls curvs c 7 7 c c si c c c si c c
28 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Dtrir u puto P l curv d cució tl qu l rct tgt l curv dicho puto or co los js coorddos u triágulo l prir cudrt d ár / co >. i p ; p L si Si ár dl triágulo ; si P 7 ± 8 7 Si ; P Usdo drivd ustr qu u lí circurci d ctro h k rdio r h k r l rct tgt l puto co h k. Solució k S L l rct qu u co h k tocs L h k. h.- Si k tocs ls rcts tgts l puto k so prpdiculrs l j. Pro k prtc l circurci tocs h k k r r h ; h r Lugo r h h-r so prpdiculrs l rct L k tgt l circurci..- Si k d h k r h k d d h d h d k d k Lugo l rct tgt l circurci l puto s h k h k Es prpdiculr L. k h dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 88
29 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 8 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. Dtri l vlor d l costt C l cució l c sido qu l rct tgt dich curv ti pdit. Drivdo l cució d l curv s oti sustitudo d curdo l iorció suiistrd qud Cu solució s. Hcido hor ls corrspodits sustitucios d los vlors d l cució dd. C Dtri los vlors d ls costts l cució si l curv ti tgts horizotls.. ; ± ± sust sust horizotls Tg pro os vlors crc d stido pus tdríos.
30 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic Dtri los vlors d ls costts l cució s cos sido qu l rct s tgt ll. Al vlur l cució dd qud. Drivdo usdo l hcho d qu l tgt ti pdit cro s ti cos s. Rsolvos hor l sist. Dtri los vlors d ls costts l cució si l rct orl stá dd por. Sustitudo ls coordds dl puto d tgci l cució d l curv otos 8 8. D l cució d ls orl s dsprd qu l pdit d l tgt s. Drivdo iplícitt l cució d l curv dd usdo ls coordds dl citdo puto. Rsolvido l sist corrspodit ls dos cucios otids rsult. Dtri los vlors d c l cució c usdo los hchos d qu l rct s tgt ll l puto l curv ps por l -. rct ptotg Ec Sustituir los putos ddos l curv. c Ec c Ec Dlscucios. c c c ' coo ' c Ec dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
31 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic D ls cucios c Dls cucios c. c 8 c 8 c Ec 8 c 8 c c c 7 Dtri los vlors d ls costts c d si l curv c d ps por los putos ; dás l rct s tgt ll l puto -. Sustituir los putos l Pto Pto curv dd c d 8 c d c d c d Drivr ' c d l rct dd uscos l pdit Sustituir l drivd c l curv s Tg rct tocs c c sustituir l Pto l curv DlEc DlEc DlsEc Ec c d d Sust l Ec Ec Ec Ec. Ec dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
32 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 8 Dtri l vlor d l costt l cució d l curv sido qu l rct s tgt ll l puto d scis. ' ' ' pro rct l D
33 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. L rct s tgt l puto l curv d cució. Dtri los vlors d ls costts. ' ' ' ' curv l d vlor l p l sust P Sust rct l D 7 Ecotrr l vlor d l curv. Sido qu l rct tgt l curv s prll l rct posil Vlor d c rct / ± ± 7. Ecotrr l vlor d l curv ; pr qu l rct tgt s horizotl. ; d Vlors
34 Sust l Ec INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 Dtri l vlor d l costt C l cució l c sido qu l rct tgt dich curv l puto d scis ti pdit. ' L c Clculr l ' ' pro ' L L L L L c L c L c c 7 Dtri l vlor d l costt c l cució cs cos si s s qu tod rct tgt l gráic d s d pdit. ' C cos s C cos s C cos s s C cos s C C Tg Pro cos Tgθ C 7 Dtri l vlor d l costt K l cució l l k Si l rct tgt dich curv ti pdit.. ' L ' L L ' L ' ' [ ] [ L ] L L ' Coo 8 L L L L L L L 8 L 8 L L k L L 8 k L L k k dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
35 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 7 L rct s tgt l curv s cos l puto. Dtri los vlors d ls costts. ' cos s rct horizotl cos s cos s cos s Sust l curv s cos 7 Hllr ls cucios d ls tgts qu s prlls l rct / / 8 8 Sustitudo l cució ± Sustitudo ± Pto Pto Pto 8 Pto dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
36 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic 77 Hllr los putos d ls tgts horizotls vrticls d 7 / Tgts Horizotls Los putos d itrscció d l rct Tg. 7 co l curv dd so los putos d ± ± Pto Pto Tgts vrticls. Hcos l doidor igul cro pr l prir drivd ± 7 8 ± ± P 7 P dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co.
37 Cátdr Mtátic II Espcilidds Mcáic - Quíic.Clcul l vlor d K l cució s tgt ll. 8 Κ sido qu l rct ' 8 rct 8 Sust l rct P sust 8 Κ Κ Por vor los lctors spro su vlios colorció l rvisió d los isos hcr llgr ls sugrcis corrccios csris ls dirccios lctróics pulicds. Grcis. Dáso Rojs Octur 7 dsorojs8@gil.co dsorojs8@glo.co jold@hoo.co. 7
61.1 6.1. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.2. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.3. SERIES ALTERNANTES 6.4. SERIES DE POTENCIAS
Cp. 6 Sris 6. 6.. SERIES NUMÉRICAS INFINITAS 6.. SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS 6.. SERIES ATERNANTES 6.. SERIES DE POTENCIAS Objtivo: S prtd qu l studit: Dtrmi covrgci o divrgci d sris. Empl sris pr rsolvr
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