< La recta y = -4/5 es una asíntota horizontal en +4. < La misma recta es también asíntota en -4. < y asíntota y = -4/5 = -0,8

Transcripción

1 Ramas infinitas de una curva. Asíntotas horizontales Ejemplo 1. Analizar si la curva tiene o no asíntotas horizontales Análisis del comportamiento de la función en +4 : x 6 +4 < La recta y = -4/5 es una asíntota horizontal en +4 Rama infinita cuando x 6-4 < La misma recta es también asíntota en -4 Posición de la curva respecto a la asíntota x 6 +4 p.e. x = 1000 < y curva F(1000) = 4003/ = -0,8009 < y asíntota y = -4/5 = -0,8 x 6-4 p.e. x = < y curva F(-1000) = -3997/5002 = --0,799 < y asíntota y = -4/5 = -0,8 Ejemplo 2. Tiene la curva asíntotas horizontales? C Análisis del comportamiento de la curva en ± 4 < Puede tener : asíntota oblicua o una rama parabólica < Asíntota oblicua o una rama parabólica Matemática Aplicada a las CC.SS II. Funciones

2 Ramas infinitas de una curva. Asíntotas verticales Ejemplo 1. Analizar si la curva tiene o no asíntotas horizontales Las asíntotas verticales las puede tener en los puntos en los que no está definida la función : D = R - { 0, 3 } 6x -2x 2 = 0, x = 0, x = 3 Estudio del comportamiento de la función alrededor de x=0 < x 6 0 \ x = 0,01 F(0,01) = 11'96 / 0'0599 = 200 x 6 0 \ Y F(x) 6 \4 < x 6 0 S x = - 0,01 F(-0,01) = 12'04 / -0'0602 = -200 x 6 0 S Y F(x) 6 S4 Análisis de la función cuando x 6 3 Podríamos calcular el límite pero con ayuda de la calculadora : < x 6 3 \ x = 3,001 F(3,001) = -0,004 / -0'006 = 0,66644 x 6 3 \ Y F(x) 6 0, < x 6 3 S x = 2,999 F(2,999) = 0,004 / 0,00598 = 0,66688 x 6 3 S Y F(x) 6 0, = 2/3 La única asíntota vertical que tiene la curva es la recta x = 0 Ejemplo 2. Tiene asíntotas verticales? El dominio de la función es : x-5 > 0, x > 5, ( 5,+4 ). Estudiamos la función cuando x x x = 5,01 F(5,01) = -460,5 x = 5,0001 F(5,0001) = -921 < La recta x=5 es una asíntota vertical Matemática Aplicada a las CC.SS II. Funciones

3 Ramas infinitas. Asíntotas oblicuas / ramas parabólicas La condición necesaria para que la curva pueda tener una asíntota oblicua es que â ä Ð La curva tiene una asíntota oblícua en +4 : la recta y=mx+n La función tiene en +4 una rama parabólica en dirección al eje OX. La función tiene en +4 una rama parabólica en dirección al eje OY. Ejemplo. Tiene asíntotas oblicuas? Puede tener asíntotas oblicuas?. Análisis de la función cuando x 6 ± 4 Cuál es el comportamiento de la función en +4? < Para estas funciones racionales, los límites en +4 y en -4, coinciden : la recta es también asíntota en -4 Comportamiento de la curva respecto a la asíntota. x 6 +4 p.e. x = 1000 < y curva F(1000) = 2997,007 < y asíntota y = = 2997 x 6-4 p.e. x = < y curva F(-1000) = -3003,008 < y asíntota y = = Matemática Aplicada a las CC.SS II. Funciones

4 Propiedades de la curva : y = x 3-3x 2 + 2x Dominio D F = ú Cont. /Der. Por ser una función polinómica Es continua y derivable en todo su dominio Corte con los ejes Eje OX x 3-3x 2 + 2x = 0 ' x.( x 2-3x + 2) = 0 ' x = 0 ó x 2-3x + 2 =0 P(?,0) Corta al eje de abcisas en los puntos P(0,0), Q(2,0), R(1,0) Eje OY P(0,?) Corta al eje de ordenadas en el punto P(0,0) Simetrías Función par F(x) = x 3-3x 2 + 2x No F(-x) = F(x) F(-x) = ( -x ) 3-3( -x ) ( -x ) = -x 3-3x 2-2x Función impar F(-x) = -F(x) No son opuestas. No es una función impar Extremos Posibles extremos F'(x) = 3x 2-6x + 2 = 0 F'(x) = 0 Signo de F''(x) F''(x) = 6x - 6 Cóncava/Convexa cóncava Mínimo convexa Máximo Mínimo m( 1'6, -0'38 ). Máximo M( 0'4, 0'38 ) Inflexiones Posibles inflexiones F''(x) = 6x - 6 = 0, x=1 F''(x) = 0 Valor de F'''(x) F'''(x) = 6, F'''(1) 0 Inflexión R(1,0) Crecimiento Decrecimiento Concavidad Convexidad ü ú ú ü máximo inflexión mínimo» creciente º» decreciente º» creciente º» cóncava º» convexa º Ramas infinitas No tiene asíntotas Ramas parabólicas en dirección OY Matemática Aplicada a las CC.SS. II. Funciones

5 Dominio D F = ú - { -1, +1} Cont. / Deriv. Por ser cociente de polinomios Es continua y derivable en todo su dominio Corte con los ejes Eje OX y = 0 ' x 3 = 0 ' x = 0 Corta al eje de abcisas en P(0,0) P(?,0) Eje OY x = 0 ' y = 0 Corta al eje de ordenadas en el punto P(0,0) P(0,?) Simetrías Función par F(x) = ( x 3 ) / ( x 2-1 ) No son iguales. No es simétrica F(-x) = F(x) F(-x) = ( - x 3 ) / ( x 2-1 ) Función impar F(-x) = -F(x) Sí son opuestas. La curva es simétrica respecto P(0,0) Extremos Posibles extremos : puntos de tangente horizontal F'(x) = 0 Signo de F''(x) Cóncava./Convexa ' No es un extremo inflexión? ' cóncava mínimo ' convexa máximo Mínimo m( 1'7, 2'6 ). Máximo M( -1'7, -2'6 ) Inflexiones Posibles inflexiones F''(x) = 0 El único punto que puede ser inflexión es P(0,0) Matemática Aplicada a las CC.SS II. Funciones

6 Creciente Decreciente Cóncava Convexa? F'(-½) S? F'(½) S ü ú ú ú ú ü Máximo discont. inflexión discont. mínimo» crec. º» decrec. º» decreciente º» decrec. º» crec. º» convexa º» cóncava º» convexa º» cóncava º Asínt. horizontales x Rama parabólica o asíntota oblicua x 6-4 Rama parabólica o asíntota oblicua Falta analizar la posición de la curva respecto a la asintota Asínt. oblícuas x m=1, n = 0 ' asíntota : y = x Falta el estudio de la posición de la curva respecto de la asíntota. x 6 S 4 Tiene la misma asíntota en +4 y -4 : asíntota y=x Asínt. verticales x 6-1 / x 6 +1 Posibles a.v. x = -1 x = 1 x = 1 x = 1 es a.v. x 6 1 \ p.e. x = 1'01 F( 1'01 ) = 51'25 F(x) 6 +4 x 6 1 S p.e. x = 0'99 F( 0'99 ) = -48'75 F(x) 6-4 Por ser la curva simétrica respecto alorigen, la recta x=-1 también va a ser una asñintota vertical. El comportamiento respecto a la asíntota x=-1 puede deducirse por la simetría de la curva ( también mirando la tabla de arriba). Matemática Aplicada a las CC.SS. II. Funciones

7 De la gráfica de F' a las propiedades y la gráfica aproximada de la función F F es una función de la que conocemos la gráfica de su función derivada F'. La gráfica siguiente no es la gráfica de la función F, es la gráfica de la función derivada: F' De la función F : Máximos / Mínimos / Creciente / Decreciente Sabemos que los extremos de la función F los tiene en aquellos puntos en los que F'(x) = 0 ( los posibles extremos los tiene en x=0 y en x=2 ). Además, el que la función sea creciente o decreciente depende del signo de F'. Así : Intervalos ( - 4, 0 ) x = 0 ( 0, 2 ) x = 2 ( 2, + 4 ) signo de F' negativa 0 positiva 0 negativa Crece / Decrece DECRECE MÍNIMO CRECIENTE MÁXIMO DECRECIENTE De la función F : Puntos de inflexión / Concavidad / Convexidad Los puntos de inflexión de F se hallan entre los puntos en los que F''(x) = 0. Pero eso significa que ( F' )'(x) = 0, es decir, los puntos de inflexión se hallan entre los puntos que anulan la función F', en los puntos en los que la gráfica de F' tiene tangente horizontal : la función F tiene una posible inflexión en x = 1. Además, recordemos que la función F es cóncava cuando F''(x) > 0, es decir, cuando ( F' )' (x) > 0 : cuando F' sea creciente. De la misma manera, F va a ser convexa en los intervalos en los que F' sea decreciente. Intervalos ( - 4, 1 ) x = 1 ( 1, + 4 ) estudio de F' F' es creciente : ( F')'(x) > 0 0 F' es decreciente : ( F')'(x) < 0 curvatura de F CÓNCAVA ( u ) INFLEXIÓN CONVEXA ( n ) Una aproximación a la gráfica de la función F Con la información que hemos obtenido de la función F podemos, de una manera aproximada, esbozar su gráfica: Matemática Aplicada a las CC.SS II.Funciones

8 De la gráfica de F' a las propiedades y la gráfica aproximada de la función F F es una función de la que conocemos la gráfica de su función derivada F'. La gráfica siguiente no es la gráfica de la función F, es la gráfica de la función derivada: F' De la función F : Máximos / Mínimos / Creciente / Decreciente De la función F : Puntos de inflexión / Concavidad / Convexidad Una aproximación a la gráfica de la función F : Matemática Aplicada a las CC.SS II.Funciones