Algunas Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Algunas Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales"

Aurora Vázquez Saavedra
hace 6 años
Vistas:

1 Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Aplicada Álgebra Lineal Prof. Norma Guzmán Algunas Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales 1. Modelo Insumo-Producto de Leontief: Suponga un sistema económico que tiene n industrias. Existen dos tipos de demanda en cada industria: 1. Demanda Externa. Ejm: si el sistema es un país, la demanda externa puede provenir de otro país. 2. Demanda que hace una industria a otra en el mismo sistema. Ejm: La industria automotriz demanda parte de la producción de la industria del acero. Notación: ei: Demanda externa ejercida sobre la industria i, con i=1,,n. aij: Demanda interna que la j-ésima industria ejerce sobre la i-ésima industria. i=1,,n; j=1,,n. (Número de unidades de producción de la industria i que se necesitan para producir una unidad de la industria j) xi: Producción de la industria i. Suponga que la producción de cada industria es igual a su demanda (no hay sobreproducción). La demanda total es igual a la suma de las demandas internas y externas. Al igualar la demanda total a la producción de cada industria se llega al siguiente sistema de ecuaciones: a11x1 + a12 x a1nxn + e1 = x1 a21x1 + a22 x a2nxn + e2 = x an1x1 + an2 x annxn + en = xn Reescribiendo el sistema se obtiene: (1 a11)x1 a12 x2... a1nxn = e1 a21x1 + (1 a22)x2... a2nxn = e an1x1 an2 x2...+ (1 ann)xn = en

2 Ejemplo: Un pequeño pueblo tiene tres industrias primarias: una mina, un ferrocarril y una planta de energía eléctrica. Para producir un dólar de cobre, la mina gasta 0.20 dólares de cobre, 0.10 de transporte y 0.20 de energía eléctrica. Para proporcionar 1 dólar de transporte, el ferrocarril requiere 0.10 dólares de cobre, 0.10 de transporte y 0.40 de energía eléctrica. Para producir un dólar de energía eléctrica, la planta destina 0.20 dólares de cobre, 0.20 de transporte y 0.30 de energía eléctrica. Suponga que durante el año hay una demanda externa de 1.2 millones de dólares de cobre, 0.8 millones de dólares por transporte y 1.5 millones de dólares por concepto de energía eléctrica. Cuánto debe producir cada industria para satisfacer las demandas? Variables: C: Producción en dólares de cobre. T: Producción en dólares de transporte. E: Producción en dólares de energía eléctrica. Ecuaciones: C = 0.2C + 0.1T + 0.2E T = 0.1C + 0.1T + 0.4E E = 0.2C + 0.2T + 0.3E Reordenando: 0.8C 0.1T 0.2E = C + 0.9T 0.4E = C 0.2T + 0.7E = Solución: C = dólares en cobre T = dólares en transporte E = dólares en energía eléctrica

3 2. Circuitos Eléctricos: Se presentarán a continuación las leyes básicas del análisis de los circuitos eléctricos y luego se emplearán para analizar circuitos eléctricos formados por baterías, resistencias y cables. Batería: Fuente de corriente directa (o voltaje) en el circuito. Resistencia: Dispositivo que reduce la corriente en un circuito y convierte la energía eléctrica en energía térmica. Cable: Conductor que permite el libre flujo de corriente eléctrica. Circuito Eléctrico sencillo: Conexión cerrada de baterías, resistencias y cables. Cuando los circuitos se representan mediante diagramas, las baterías, las resistencias y los cables se denotan como sigue: + - Baterías Resistencias Cables Las cantidades físicas utilizadas al analizar los circuitos eléctricos son la corriente, la resistencia y la diferencia de potencial en una batería. La diferencia de potencial eléctrico se denota E y se mide en voltios (V). La corriente se denota I y se mide en amperios (A). La resistencia se denota R y se mide en ohms (Ω). Estas unidades se relacionan mediante la ecuación: Un voltio = (un Amperio) x (un ohm) La diferencia de potencial eléctrico de una batería se considera positiva si se mide de la terminal negativa ( ) a la positiva (+) y negativa si se mide de la terminal positiva (+) a la negativa ( ). La diferencia de potencial eléctrico en una resistencia (denotada V) depende de la corriente que fluye por ella y la resistencia que en efecto ofrece, y está dada por la ley de Ohm: V = ± IR El signo negativo ( ) se usa cuando la diferencia se mide en la resistencia en la dirección del flujo de corriente, y se utiliza el positivo (+) cuando la diferencia se mide en la resistencia en la dirección opuesta al flujo de corriente. Todos los circuitos eléctricos constan de ciclos de voltaje y nodos de corriente.

4 Ciclo de Voltaje: Conexión cerrada dentro del circuito. Nodo de Corriente: Punto donde se encuentran tres o más segmentos de cable. Las leyes físicas que gobiernan el flujo de corriente en un circuito eléctrico son la conservación de la energía y la conservación de la carga. Conservación de la energía (Ley de voltaje de Kirchhoff): En torno de cualquier ciclo de voltaje, la diferencia total de potencial eléctrico es igual a cero. [1] Conservación de la carga (Ley de corriente de Kirchhoff): En cualquier nodo de corriente, el flujo de todas las corrientes que van hacia el nodo es igual al flujo de todas las corrientes que salen del nodo. [2] Con todas estas ideas y los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver algunos problemas relacionados con los circuitos eléctricos, los cuales posean el siguiente formato: En un circuito con baterías, resistencias y cables, determinar todos los valores desconocidos de la diferencia de potencial eléctrico en las baterías, la resistencia que oponen las resistencias y la corriente que fluye por los cables, dados suficientes valores conocidos de las mismas cantidades. Ejemplo: Determinar las corrientes que fluyen por cada segmento del siguiente circuito: b c R 3=20Ω d I 1 R 1=5Ω I 2 I 3 ± E 2=120V E 1=40V ± R 2=10Ω + E 3=80V a f R 4=30Ω e Variables: Ij: Corriente que fluye por el segmento j; con j=1, 2, 3.

5 Ecuaciones: Nodos de corriente: c y f. (Aplicación de la Ley de la conservación de la carga [2]) c: I1 + I2 = I3 (a) f: I3 = I1 + I2 Ciclos de voltaje: (Aplicación de la Ley de la conservación de la energía [1]) 1) a b c f a: 40 5I I2 = 0 I1 2I2 = 16 (b) 2) c d e f c: 20I I3 10I = 0 I2 + 5I3 = 20 (c) 3) a b c d e f a: 40 5I1 20I I3 = 0 I1 + 10I3 = 24 (d) Solución: Resolviendo el sistema con las ecuaciones a, b, c y d, nos queda: I1 = 3.5 A I2 = 6.25 A I3 = 2.75 A El valor negativo de I1 indica que su verdadera dirección es opuesta a la asignada en la figura.

6 3. Método Algebraico para el balanceo de ecuaciones químicas: Este método requiere construir un sistema de ecuaciones de varias variables y resolverlo. Sin embargo, cuando se entiende bien como resolver el sistema de ecuaciones resulta en un ahorro de tiempo en ecuaciones más o menos complicadas. Se entenderá el método con un ejemplo. Se desea balancear la siguiente ecuación: H 2SO4 + Al(OH)3 Al2 (SO4 )3 + H2O Lo primero que se hace es sustituir los coeficientes estequiométricos de la ecuación química balanceada por variables (hasta este momento desconocidas). La ecuación quedaría de la siguiente forma: a H 2SO4 + bal(oh)3 c Al2 (SO4 )3 + dh2o La letras a, b, c y d son los coeficientes estequiométricos de la ecuación química balanceada. Se construirá una ecuación por cada uno de los elementos en la reacción. Las ecuaciones se construyen multiplicando la variable por el número de átomos de ese elemento en específico en cada uno de los compuestos. Hidrógeno: H: 2a + 3b = 2d Vemos que en el ácido sulfúrico hay 2 H por lo tanto, a se multiplica por 2. En el Al(OH)3 hay 3 H por eso queda 3b, en el Al2 (SO4 )3 no hay H por lo tanto sería 0c y no se coloca. En el caso de agua sería 2d porque tiene 2H. Azufre: S: a = 3c Oxigeno: O: 4a + 3b = 12c + d Aluminio: Al: b = 2c

7 El sistema queda con 4 ecuaciones y 4 incógnitas. 2a + 3b 2d = 0 a 3c = 0 4a + 3b 4c d = 0 b 2c = 0 Este sistema homogéneo posee infinitas soluciones (soluciones no triviales) Usualmente las ecuaciones químicas se balancean utilizando números enteros y se asignan los enteros mas pequeños posibles que satisfacen las ecuaciones. Aplicando esto en el ejemplo, queda que: a = 3; b = 2; c = 1 y d = 6. Sustituyendo los valores de las variables en la ecuación química original, resulta: 3 H 2SO4 + 2Al(OH)3 Al2 (SO4 )3 + 6H2O Inspeccionando la ecuación química tenemos a cada lado: 12H, 3S, 18O y 2Al, por lo tanto la ecuación está balanceada. Fuente: Grossman, S. Álgebra Lineal. 5ta Edición Mc Graw Hill. Kolman, B. Álgebra Lineal con aplicaciones y Matlab. 6ta Edición Prentice Hall.

Documentos relacionados

UNIVERSIDAD DON BOSCO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS LABORATORIO DE FÍSICA ASIGNATURA: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

UNIVERSIDAD DON BOSCO DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS LABORATORIO DE FÍSICA ASIGNATURA: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO I. OBJETIVOS LABORATORIO 7: REGLAS DE KIRCHHOFF Comprobar experimentalmente que en un