1.2 CONJUNTOS DEFINIDOS MEDIANTE FUNCIONES
|
|
- Juan Manuel Aguirre Acosta
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 1.. Conjuntos definidos mediante funciones 1. CONJUNTOS DEFINIDOS MEDIANTE FUNCIONES A lo largo de este texto se verá la necesidad de diferenciar dos eventos: dada una función, encontrar los diferentes conjuntos que ella pueda definir y, dado un conjunto de puntos, encontrar, por lo menos, una función que lo defina. En esta sección se presentará la formalización conceptual de estos dos eventos. Para comenzar se introduce un caso ilustrativo con funciones reales de variable real que le ayudarán al lector a comprender los conceptos. La función f ( x) 1 = x es una función { x R ; -1 x 1} y cuyo rango es { y R ; 0 y 1} R R, cuyo dominio es. El gráfico de f es media circunferencia, arriba del eje x, con centro en el origen y radio 1. Como se puede ver, a partir de la función se han definido tres conjuntos distintos cada uno de los cuales tiene una representación pictórica diferente, esto es, el que está dado por el gráfico de la función, el que está dado por el dominio y el que está dado por el rango. Ahora, se puede seguir el camino inverso para obtener una función a partir de un conjunto de puntos, digamos por ejemplo, la media circunferencia descrita arriba. Existen tres diferentes funciones que lo pueden definir; estas son: R R : f ( x) = 1 x R R : g( t) = (cos t, sent), 0 t π R R : x + y = 1, y 0 A estas las llamaremos, en su orden, la función explícita, la función paramétrica y la función implícita. Estos conceptos se extienden a las funciones vectoriales en las cuales su manejo adecuado es de vital importancia en todo el cálculo vectorial. 1
2 Capítulo 1: Funciones Vectoriales Dada una función vectorial F: R n R m X F(X) = (f 1,..., f m )(X) n en donde X = ( x1, x, x,..., x n ) R y Y = F( X ) = ( y1, y, y,..., y m ) R En general, F puede definir tres clases de conjuntos de alguna de las siguientes formas: m Un conjunto está definido Explícitamente, mediante la función F, como el conjunto S E dado por: n m S E = {(X,Y) R R / X Dom(F) Y = F(X) Rango(F)} n+ m {( 1,,,...,, 1,,,..., ) R / ( ) ( )} S = x x x x y y y y X Dom F Y Rango F E n m El gráfico de la función F es S E, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados (X,F(X)). El gráfico de la función está incluido en el espacio R n+m. Cuando n + m el gráfico de la función se puede representar mediante un dibujo *. Un caso particular de especial importancia son los campos escalares del tipo f: R R (x,y) z = f(x,y) cuando f define explícitamente una superficie en R, dada por: S E = {(x,y,z) R / (x,y) Dom(f) z = f(x,y) Rango(f) } Un conjunto está definido Paramétricamente, mediante la función F, como el conjunto S p dado por: S P = {F(X) = (f 1,..., f m )(X) R m / F(X) Rango(F)} S P es la imagen (conjunto imagen) en R m de la función F, así el conjunto S P está incluido en R m. Una función vectorial de variable real ilustra un caso especial de estos conjuntos: * En el formalismo matemático el gráfico de F no se puede entender como el dibujo (representación pictórica) porque no es lo mismo un conjunto que el dibujo del conjunto. 1
3 1.. Conjuntos definidos mediante funciones F: [a,b] R R m t F(t) = (f 1,..., f m )(t) S P = { F(t) = (f 1,..., f m )(t) R m / F(t) Rango (F) m } S P determina una trayectoria (o camino) en R m mediante un parámetro o un grado de libertad: t. y se dice que F está definida Si se considera una función del tipo: F: R R m (u,v) F(u,v) = (f 1,..., f m )(u,v) S P = { F(u,v) = (f 1,..., f m )(u,v) R m / F(u,v) Rango (F) m } S P determina una superficie en R m. En este caso, F está definida mediante dos parámetros o grados de libertad: u, v. Un conjunto está definido Implícitamente, mediante la función F, como el conjunto S I dado por: S I = { X Dom(F) / F(X) = C, con C Rango(F) n > m } La función F define, para un parámetro C, el conjunto S I El conjunto S I está incluido en R n. La ecuación F(X) = C define una familia de conjuntos de nivel para F y cada valor particular de C determina un único conjunto de dicha familia. Un campo escalar f: R R determina implícitamente una curva en R (curvas de nivel) definida por: S I = { (x,y) Dom(f) / f(x,y) = c } 14
4 Capítulo 1: Funciones Vectoriales y un campo escalar f: R R (n ) determina implícitamente una superficie en R (superficies de nivel) definida por: S I = { (x,y,z) R / f(x,y,z) = c } Tanto las curvas de nivel como las superficies de nivel tienen importantes aplicaciones prácticas en diversos campos como el meteorológico, el topográfico y el estudio de la física. Por ejemplo, un mapa del estado del tiempo muestra curvas de nivel de temperatura y de presión barométrica. La meteorología usa también superficies de presión barométrica constante llamadas superficies isobáricas. Un mapa del relieve de un terreno está formado por las curvas de nivel a diferentes alturas y el campo gravitacional de la tierra consta de un conjunto de esferas concéntricas que son superficies equipotenciales alrededor de la tierra en las cuales la fuerza de gravedad es constante en todos los puntos de la esfera. A manera de resumen lo anterior queda así: Conjunto S E S E = { (X,Y) R n+m / X Dom(F) Y = F(X) Rango(F) } R n+ m F: R n R m X F(X) = (f 1,..., f m )(X) Conjunto S P S P = { F(X) = (f 1,..., f m )(X) R m / F(X) Rango(F) } R m Conjunto S I S I = { X Dom(F) / F(X) = C, con C n Rango(F) n > m } R, También es de utilidad poder hacer el trabajo al revés, es decir, encontrar una función que defina un conjunto dado explícitamente, paramétricamente o implícitamente. Para un conjunto dado una función puede ser más adecuada que otra dependiendo de lo que se pretenda hacer con el conjunto. Un conjunto S esta definido mediante una función: 15
5 1.. Conjuntos definidos mediante funciones n m a) Explícitamente: Si existe una función F : R R tal que S es el gráfico de la función F, es decir, S = S E n m b) Paramétricamente: Si existe una función F : R R tal que S es el conjunto imagen de la función, o sea, S = S. n m c) Implícitamente: Si existe una función F : R R tal que S sea un conjunto de nivel de la función, o S = S. I P Así por ejemplo conjunto de puntos como línea o superficies podrían ser definidos por funciones de la siguiente forma: Conjunto Función que define el conjunto de puntos de puntos Explícitamente Paramétricamente Implícitamente Línea en R f : R R F : R R x f ( x) = y t F( t) = ( f ( t), f ( t)) 1 f :RR R R R ( x, y) f ( x, y) tal que para algún k Rango( f ), f ( x, y) = k Línea en R No se usa F : R R t F( t) = ( f ( t), f ( t), f ( t)) 1 F :R R R ( ) ( x, y, z) F( x, y, z) = f ( x, y, z), f ( x, y, z) Tal que para algún 1 F ( x, y, z) = ( c, c ) 1 ( c, c ) Rango( F ), 1 Si existe una función f Superficie f : R R en R ( x, y) f ( x, y) = z F : R R ( u, v) F( u, v) = ( f ( u, v), f ( u, v), f ( u, v)) = ( x, y, z) 1 f : R R ( x, y, z) F( x, y, z) Donde el conjunto S es un conjunto de nivel de f 16
6 Capítulo 1: Funciones Vectoriales Ejemplo 1.8 En este ejemplo se muestra cómo una función vectorial puede definir tres conjuntos en diferentes espacios, en sus formas explícita, paramétrica e implícita. Sea la función F: R R (u,v) F(u,v) = ( ucos(v), usen(v), u )=(x,y,z), Dom(F) = R F define explícitamente un conjunto S E como: S E = { ((u,v), F(u,v)) R R / ((u,v) Dom(F) F(u,v) Rango(F) } = { (u,v,x,y,z) R 5 / x = ucos(v) y = usen(v) z = u } Este conjunto no tiene representación pictórica dado que está en R 5 F define paramétricamente un conjunto S P dado como: S P = { (x,y,z) R / (x,y,z) = ( ucos(v), usen(v), u ) De ahí se obtiene que x = ucos(v); y = usen(v); z = u Eliminando los parámetros u, v: x + y = u Cos (v) + u Sen (v) = u = z x + y = z es la ecuación de un cono en R (figura #) Y finalmente: S P = { (x,y,z) R / z = x + y } Fig. 1.1 Cono circunferencial recto Y la geometría dice que S P es la representación de una superficie cónica circunferencial recta con vértice en el origen (ver figura 0.1.) Implícitamente: S I = { (x,y) R / F(x,y) = (c 1, c, c ) } = { (x,y) R / xcos(y) = c 1 xsen(y) = c x = c } 17
7 1.. Conjuntos definidos mediante funciones Es decir que S I es la solución en R del sistema de ecuaciones y incógnitas dado por: xcos(y) = c 1 ; xsen(y) = c ; x = c La solución de este sistema puede ser el conjunto vacío, un punto en el plano xy (si c 0 y ( c ) = ( c ) + ( c ) ) o el eje y (si c 1 = c = c = 0). 1 Ejemplo 1.9. En este ejemplo se muestra cómo un conjunto se puede definir mediante tres funciones diferentes, en sus formas explícita, paramétrica e implícita. Sea el conjunto de puntos definido por: {(,, ) R / 0} S = x y z z = a x + b y con a b lo cual corresponde a un paraboloide elíptico con vértice en el origen (ver figura ---) Las funciones que lo definen de las tres formas son: Explícitamente: se puede definir mediante la función f: R R (x,y) f(x,y) = a x + b y Se puede verificar que el Corresponde al S definido arriba. S E de esta función Y la representación del conjunto es: S E = { (x,y,z) R / z = f(x,y) = a x + b y } Fig. 1.. Paraboloide elíptico Paramétricamente: se puede hacer una parametrización así: Sean x = x, y = y, z = a x + b y. La función que define al paraboloide elíptico es: 18
8 Capítulo 1: Funciones Vectoriales F 1 : R R (x,y) F 1 (x,y) = (x, y, a x + b y ) Observe que S P = { (x,y,z) R / (x,y,z) = F 1 (x,y) = (x, y, a x + b y ) }= S P = { (x,y,z) R / z= a x + b y } SP = S El mismo conjunto de puntos se puede describir mediante otra función si se usa una parametrización diferente: F : R R Note que (u,v) F (u,v) = (a 1 ucos(v), b 1 usen(v), u ) SP comprueba a continuación: = S ya S P define el paraboloide elíptico en cuestión como se S P = { (x,y,z) R / (x,y,z) = F (u,v) = (a 1 ucos(v), b 1 usen(v), u ) } S P = { (x,y,z) R / (x,y,z) = (a 1 ucos(v), b 1 usen(v), u ) } x = -1 a ucos v ( ) Como y = -1 b usen v ( ) z = u ax = ucos( v) by = usen( v) z = u a x = u Cos ( v) b y = u Sen ( v) z = u a x = zcos ( v) b y = zsen ( v) a x + b y = z Cos v + sen v S P = { (x,y,z) R / ( ) ( ) a x + b y = z z = a x + b y }= S SP = S Implícitamente: Partiendo de la ecuación original se deduce que: z a x b y = 0 Con lo que se puede definir la función: g: R R 19
9 1.. Conjuntos definidos mediante funciones (x,y,z) g(x,y,z) = z a x b y Y la representación del conjunto es: S I = { (x,y,z) R / g(x,y,z) = 0 = z a x b y } Ejemplo 1.10 El siguiente ejemplo muestra conjuntos de nivel para funciones más generales. Sea la función F definida por: F : R R ( x, y, z) F( x, y, z) = 6x 4y + 9 z, Su conjunto implícito para el valor C = (144, ) esta descrito por I {(,, ) / (,, ) ( )} S = x y z R F x y z = C Rango F remplazando, x z SI = x y z x y + z + = 4 16 (,, ) R / 6 4 9, (144, ) x z SI = x y z x y + z = + = 4 16 (,, ) R / x z SI 6 x 4 y 9 = ( x, y, z) R / + z = x z + = 4 16 S I x y z x z = + = + = ( x, y, z) R / 1 Es el corte de un hiperboloide de un manto con un cilindro elíptico S I y x z = = + = ( x, y, z) R / 1 0
10 Capítulo 1: Funciones Vectoriales x z SI = x y z y = + = 8 (,, ) R / 6 1 x z x z SI = ( x, y, z) R / + = 1 y = 6 + = 1 y = Dos elipses de R ubicadas en los planos y = ± 6 (ver figura 1.) Figura 1. 1
Superficies paramétricas
SESIÓN 7 7.1 Introducción En este curso ya se han estudiando superficies S que corresponden a gráficos de funciones de dos variables con dos tipos de representaciones: Representación explícita de S, cuando
Más detallesIntegración sobre superficies
Problemas propuestos con solución Integración sobre superficies IABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Parametrizaciones 1 2. Área de una superficie
Más detallesFUNCIONES Y SUPERFICIES
FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com FUNCIONES Y SUPERFICIES Sergio Stive Solano Sabié 1 Octubre de 2012 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com
Más detallesTEMA 5: DERIVADAS PARCIALES
Matemáticas. Curso 2011/2012 Graos en ADE e Consultoría. Universidade de Vigo. En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza)
Más detallesAcademia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos
Más detallesUNPSJB - Facultad Ciencias Naturales - Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 2014 CONICAS
Asignatura: Matemática 1 Ciclo Lectivo: 014 CONICAS La superficie que se muestra en la figura se llama doble cono circular recto, o simplemente cono. Es la superficie tridimensional generada por una recta
Más detallesApuntes de dibujo de curvas
Apuntes de dibujo de curvas El objetivo de estas notas es dar unas nociones básicas sobre dibujo de curvas definidas por medio de ecuaciones cartesianas explícitas o paramétricas y polares: 1. Curvas en
Más detallesDepto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso:
Depto. de Matemáticas Guía Teórico-Practico Unidad : Secciones Cónicas Tema: Ecuación de la circunferencia Nombre: Curso: CIRCUNFERENCIA Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
CAPÍTULO II. CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES SECCIONES 1. Dominios y curvas de nivel. 2. Cálculo de ites. 3. Continuidad. 55 1. DOMINIOS Y CURVAS DE NIVEL. Muchos problemas geométricos y físicos
Más detallesUnidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas
Unidad III: Curvas en R2 y ecuaciones paramétricas 2.1 Ecuación paramétrica de la línea recta. La recta constituye una parte fundamental de las matemáticas. Existen numerosas formas de representar una
Más detallesSecciones cónicas. Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros. Secciones Cónicas. Aplicaciones de las cónicas
Secciones cónicas Tema 02: Cónicas, cuádricas, construcción de conos y cilindros Juan Ignacio Del Valle Gamboa Sede de Guanacaste Universidad de Costa Rica Ciclo I - 2014 Las secciones cónicas toman su
Más detallesNo es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano.
FUNCIONES GRAFICAS No es otra cosa, que la representación de los resultados de una función sobre el plano carteciano. INTÉRVALOS Un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números
Más detallesSuperficies Curvas. Guía de clase elaborada por Ing. Guillermo Verger
Superficies Curvas Guía de clase elaborada por Ing. Guillermo Verger www.ingverger.com.ar Superficie cilíndrica Es aquella generada por una recta llamada generatriz que se mueve en el espacio manteniendose
Más detallesLA CIRCUNFERENCIA. x y r. (x h) (y k) r. d(p; 0) x y r. d(p; C) (x h) (y k) r. Definición. Ecuación de la circunferencia. Geometría Analítica 3
Definición LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia a la sección cónica generada al cortar un cono recto con un plano perpendicular al eje del cono. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los
Más detallesGuía n 0: Herramientas de Física y Matemáticas
Guía n 0: Herramientas de Física y Matemáticas Problema Dadas dos partículas en el espacio ubicadas en los puntos de coordenadas p = (0,5, 2) y p 2 = (2,3,). Hallar el vector posición de la partícula respecto
Más detallesProyecto. Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas. Geometría Analítica. Isidro Huesca Zavaleta
Geometría Analítica Tema 6 sesión 2: Generación de Rectas, Circunferencias y Curvas Isidro Huesca Zavaleta La Integración de dos Ciencias La Geometría Analítica nació de la integración de dos ciencias
Más detallesINECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.
Más detallesDERIVADAS. Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto.
DERIVADAS Tema: La derivada como pendiente de una curva Para hallar la pendiente de una curva en algún punto hacemos uso de la recta tangente de una curva en un punto. La pendiente de la curva en el punto
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesCompetencia específica. Conceptos básicos. Función. f : X Y
Funcio nes inplícit as FUNCI ONES Cncept os iniciale s Sucesio nes Grafica ción Operaci ones Clasific ación Competencia específica Comprender el concepto de función real e identificar los tipos de funciones,
Más detallesUnidad II. 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.
Unidad II Funciones 2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. Función En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio)
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autoras: Margarita Ospina Pulido Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Rafael Ballestas Rojano Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2015 Universidad
Más detallesVELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE.
VELOCIDAD Y ACELERACION. RECTA TANGENTE. 3. Describir la trayectoria y determinar la velocidad y aceleración del movimiento descrito por las curvas siguientes: (a) r (t) = i 4t 2 j + 3t 2 k. (b) r (t)
Más detallesFunciones de dos variables. Gráficas y superficies.
Univ. de Alcalá de Henares Ingeniería de Telecomunicación Cálculo. Segundo parcial. Curso 2004-2005 Funciones de dos variables. Gráficas y superficies. Puede ser conveniente la visualización en pantalla
Más detalles1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:
1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =
Más detallesSUPERFICIES CUÁDRICAS
SUPERFICIES CUÁDRICAS Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuádricas. Una superficie cuádrica en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma Ax + By + Cz + Dx +
Más detallesANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 2015
ANALISIS MATEMATICO II Grupo Ciencias 05 Práctica : Geometría Analítica: Vectores, Rectas y Planos A. Vectores Hasta el 9 de marzo. Sean v = (0,, ) y w = (,, 4) dos vectores de IR 3. (a) Obtener el coseno
Más detallesAnálisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1
.5. Coloquio 1/08/03. Análisis II - Primer Parcial Coloquio- Tema 1 1. Hallar a de manera que sea máximo el flujo de campo F (x,y,z)= (x,y,z) a través del borde ( con tapas!) del cilindro elíptico descripto
Más detallesCONCEPTOS PRELIMINARES
CONCEPTOS PRELIMINARES Matemáticas II En R un conjunto abierto es la unión de intervalos abiertos. Tanto el concepto de conjunto abierto como de intervalo abierto se generaliza en el plano y en el espacio.
Más detallesColegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)
Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de
Más detallesALGEBRA Y GEOMETRÍA I DPTO. DE MATEMÁTICA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA F.C.E.I.A U.N.R
ALGEBRA Y GEOMETRÍA I DPTO. DE MATEMÁTICA ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA F.C.E.I.A U.N.R SUPERFICIES ING. RICARDO F. SAGRISTÁ -2006- SUPERFICIES.- 1.- Ecuaciones de superficies. Ya hemos estudiado la superficie
Más detallesFunciones de varias variables.
Funciones de varias variables. Definición. Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x), f :D Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y dependía
Más detallesSUPERFICIES. También construiremos el plano tangente, usando una parametrización o una
SUPERFICIES El objetivo de este tema es el estudio de superficies regulares en el espacio. Definiremos de forma rigurosa lo que es una superficie, veremos formas de expresar una superficie, esencialmente
Más detalles3. La circunferencia.
UNIDAD 8: RESOLVAMOS CON GEOMETRÍA ANALITICA. 3. La circunferencia. Objetivos conceptuales. Definir el concepto de circunferencia. Objetivos procedimentales. Calular el radio, el centro, algunos puntos
Más detallesEn este curso nos centraremos en un nuevo concepto de curva la cual estará descrita por una o mas ecuaciones denominadas ecuaciones paramétricas.
Unidad I - Curvas en R ecuaciones paramétricas.. Ecuaciones paramétricas En cursos anteriores se ha considerado a una curva como una sucesión de pares ordenados ubicados en un plano rectangular provenientes
Más detallesFunciones de varias variables
Tema 5 Funciones de varias variables Supongamos que tenemos una placa rectangular R y determinamos la temperatura T en cada uno de sus puntos. Fijado un sistema de referencia, T es una función que depende
Más detalles4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES INDICE 4 4.1. Definición de una función de dos variables...2 4.2. Gráfica de una función de dos variables..2 4.3. Curvas y superficies de nivel....3 4.4. Límites y continuidad....6
Más detalles( ), está dada por: g ( x) = log 2 ( x),x > 0. # % 3x log 2 ( 5), x 1 & + -, . log 2. log 2 ( x 3
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE NIVELACIÓN 05 S SEGUNDA EVALUACIÓN DE MATEMÁTICAS PARA INGENIERÍAS Y EDUCACIÓN
Más detalles2 Deniciones y soluciones
Deniciones y soluciones Sabemos que la derivada de una función y(x) es otra función y (x) que se determina aplicando una regla adecuada. Por ejemplo, la derivada de y = e 3x es dx = 6xe3x. Si en la última
Más detallesEjercicios Resueltos de Cálculo III.
Ejercicios Resueltos de Cálculo III. 1.- Considere y. a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección. b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas. Como
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A
IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide
Más detallesLa variable independiente x es aquella cuyo valor se fija previamente. La variable dependiente y es aquella cuyo valor se deduce a partir de x.
Bloque 8. FUNCIONES. (En el libro Temas 10, 11 y 12, páginas 179, 197 y 211) 1. Definiciones: función, variables, ecuación, tabla y gráfica. 2. Características o propiedades de una función: 2.1. Dominio
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA LA CIRCUNFERENCIA
LA CIRCUNFERENCIA CONTENIDO. Ecuación común de la circunferencia Ejemplos. Ecuación general de la circunferencia. Análisis de la ecuación. Ejercicios Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia aplicaciones
Más detalles1. El teorema de la función implícita para dos y tres variables.
GRADO DE INGENIERÍA AEROESPACIAL. CURSO. Lección. Aplicaciones de la derivación parcial.. El teorema de la función implícita para dos tres variables. Una ecuación con dos incógnitas. Sea f :( x, ) U f(
Más detallesSESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la
Más detallesFunciones de Varias Variables
Funciones de Varias Variables 1. Funciones de dos Variables Sea Ω un subconjunto del plano x, y, esto es Ω R 2. Una función real f de dosvariablesesunareglaqueasociaacadaparordenado (x,y) Ω unúniconúmeroreal
Más detalles1. Definición y representaciones gráficas
Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Exactas ANÁLISIS MATEMÁTICO II (CiBEx - Física Médica) 2014 Segundo Semestre GUÍA Nro. 3: FUNCIONES ESCALARES DE VARIAS VARIABLES 1. Definición y representaciones
Más detallesEl espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : 8. 1(x 1, x 2,, x n ) = (x 1, x 2,, x n )
El espacio n Consideremos el conjunto de todas las n adas ordenadas de números reales, denotado por n : n = {(x 1,x,, x n ) / x 1,x,, x n } A cada uno de los números reales x 1,x,, x n que conforman la
Más detallesCapitulo V: Relaciones
Capitulo V: Relaciones Relaciones Binarias: Consideremos dos conjuntos A B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B o relación entre elementos de A B a todo subconjunto R del producto cartesiano
Más detalles2.2 Rectas en el plano
2.2 Al igual que ocurre con el punto, en geometría intrínseca, el concepto de recta no tiene definición, sino que constituye otro de sus conceptos iniciales, indefinibles. Desde luego se trata de un conjunto
Más detallesIntroducción La Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola. Conicas. Hermes Pantoja Carhuavilca
Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica I Contenido 1 Introducción 2 La Circunferencia 3 Parábola 4 Elipse 5 Hiperbola Objetivos Se persigue que el estudiante:
Más detalles1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)
1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta
Más detalles1. Funciones de varias variables
Análisis Matemático II. Curso 2008/2009. Diplomatura en Estadística/Ing. Téc. en Inf. de Gestión. Universidad de Jaén TEMA 2: CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1. Funciones de varias variables
Más detallesDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina la distancia entre pares de puntos. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son dos puntos dados. Halla la pendiente de una recta. COMUNICACIÓN
Más detallesCónicas y Cuádricas con Surfer
Cónicas y Cuádricas con Surfer Daniel Alejandro Grimaldi 29/08/2016-2do Cuatrimestre de 2016 Denición: Se conoce como cuádrica a la supercie en R n que representa los ceros de un polinomio de grado 2 con
Más detallesESTÁTICA 3 3 VECTORES
ESTÁTICA Sesión 3 3 VECTORES 3.1. Componentes en dos dimensiones 3.1.1. Operación con vectores por sus componentes 3.1.2. Vectores de posición por sus componentes 3.2. Componentes en tres dimensiones 3.2.1.
Más detallesCapítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados
Capítulo 3 Soluciones de ejercicios seleccionados Sección 3.1.4 1. Dom a = [ 1, 1]. Dom b = R. Dom c = (, 4). Dom d = ( 1, ). Dom e = R ( 1, 3] y Dom f = R {, }. 5x 4 x < 1, (x 1)(3x ) x < 1,. (f + g)(x)
Más detallesOtras Funciones Relevantes
PreUnAB Clase # 14 Septiembre 2014 Función Cuadrática o de Segundo Grado Definición de la función cuadrática La función cuadrática tiene la forma general: f(x) = ax 2 + bx + c Dominio y recorrido de la
Más detallesCompleta esta parábola y señala sus elementos y sus propiedades. 1 X. El dominio de la función es todos los números reales:.
Representa la función que relaciona el área de un triángulo rectángulo isósceles la longitud del cateto. a) Cuál es la variable dependiente? b) la variable independiente? = a) La variable independiente
Más detallesEspacio afín. 1. Rectas en el espacio. Piensa y calcula. Aplica la teoría
6 Espacio afín 1. Rectas en el espacio Piensa y calcula Calcula las coordenadas de un vector que tenga la dirección de la recta que pasa por los puntos A2, 1, 5 y B3, 1, 4 AB 1, 2, 1 Aplica la teoría 1.
Más detallesContenido 1. Integrales Dobles 2. Integrales Triples
Integración Contenido 1. Integrales Dobles 2 1.1. Integrales iteradas............................. 2 1.2. Regiones en R 2.............................. 3 1.3. Volumen..................................
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna
IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular
Más detallesTarea 1 - Vectorial 201420
Tarea - Vectorial 040. Part :. - 3... Hacer parametrización de la curva de intersección del cilindro x + y = 6 y el plano x + z = 5. Encontrar las coordenadas de los puntos de la curva donde la curvatura
Más detallesINTEGRALES TRIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(x, y, z) dzdydx, dibujar la región de integración y escribir
INTEGALES TIPLES. 46. Dada la integral la integral de todas las formas posibles. f(,, ) ddd, dibujar la región de integración escribir Teniendo en cuenta la gráfica adjunta, si D 1, D 2 D 3 son las proecciones
Más detallesFunciones de varias variables reales
Capítulo 6 Funciones de varias variables reales 6.1. Introducción En muchas situaciones habituales aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V =
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesVolumen de Sólidos de Revolución
60 CAPÍTULO 4 Volumen de Sólidos de Revolución 6 Volumen de sólidos de revolución Cuando una región del plano de coordenadas gira alrededor de una recta l, se genera un cuerpo geométrico denominado sólido
Más detallesLÍMITES Y CONTINUIDAD (asíntotas) Tema 6. Matemáticas Aplicadas CS I 1
LÍMITES Y CONTINUIDAD (asíntotas) Tema 6 Matemáticas Aplicadas CS I 1 FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Tema * 1º BCS Matemáticas Aplicadas CS I 2 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA LA FUNCIÓN DE
Más detalles7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
7.FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 7.1 CONCEPTOS PREVIOS Dados dos conjuntos A={ 1,, 3,...} y B={y 1, y, y 3,...}, el par ordenado ( m, y n ) indica que el elemento m del conjunto A está relacionado con el
Más detallesTEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA. A partir de esta ecuación podemos hallar el centro y el radio sin más que deshacer los cambios:
TEMA 7: CÓNICAS CIRCUNFERENCIA Se define la circunferencia como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia se le llama radio de la circunferencia.
Más detallesProblemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables
Problemario de Cálculo Diferencial de Varias Variables 1 María José Arroyo Shirley Bromberg Patricia Saavedra Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa ÍNDICE 1 Geometría
Más detallesIntegral definida. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de linealidad)
Integral definida Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b] R, la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b. bb
Más detallesCOORDENADAS CURVILINEAS
CAPITULO V CALCULO II COORDENADAS CURVILINEAS Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio geométrico respecto de un
Más detallesMYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME)
MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) 2014-2015 Fecha 19/05/2015 APUNTES DE GEOMETRÍA 2º ESO 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
Más detallesBLOQUE 1. LOS NÚMEROS
BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números
Más detallesEn la notación C(3) se indica el valor de la cuenta para 3 kilowatts-hora: C(3) = 60 (3) = 1.253
Eje temático: Álgebra y funciones Contenidos: Operatoria con expresiones algebraicas Nivel: 2 Medio Funciones 1. Funciones En la vida diaria encontramos situaciones en las que aparecen valores que varían
Más detallesIES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre
IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que
Más detallesSobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa
Sobre funciones reales de variable real. Composición de funciones. Función inversa Cuando en matemáticas hablamos de funciones pocas veces nos paramos a pensar en la definición rigurosa de función real
Más detalles95 EJERCICIOS de RECTAS
9 EJERCICIOS de RECTAS Forma paramétrica: 1. Dado el punto A(,3) y el vector director ur = (1, ), se pide: a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que determinan. b) Obtener otros tres puntos
Más detallesVectores y rectas. 4º curso de E.S.O., opción B. Modelo de examen (ficticio)
demattematicaswordpresscom Vectores y rectas º curso de ESO, opción B Modelo de examen (ficticio) Sean los vectores u = (,5) y v = (, ) a) Analiza si tienen la misma dirección No tienen la misma dirección
Más detallesSESIÓN 10 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS
SESIÓN 0 DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS I. CONTENIDOS:. Derivadas de funciones trigonométricas directas. Ejercicios resueltos. Estrategias Centradas en el Aprendizaje: Ejercicios propuestos
Más detallesGuía de Ejercicios Funciones. Debes copiar cada enunciado en tu cuaderno y realizar el desarrollo, indica la respuesta correcta en la guía 2-1-
Colegio Raimapu Departamento de Matemática Guía de Ejercicios Funciones Nombre del Estudiante: IV Medio Debes copiar cada enunciado en tu cuaderno realizar el desarrollo, indica la respuesta correcta en
Más detallesGeometría Analítica Agosto 2016
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman
Más detallesEJERCICIO. Dadas las rectas y
EJERCICIO Dadas las rectas x4 y1 z y z 8 r : y s: x1 1 3 se pide: a) Comprueba que las rectas r y s se cruzan. b) Determina la ecuación de la perpendicular común. c) Calcula la distancia entre ambas. Perpendicular
Más detallesMATEMATICA APLICADA A LA ARQUITECTURA: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS PLANAS CON MATHEMATICA
MATEMATICA APLICADA A LA ARQUITECTURA: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CURVAS PLANAS CON MATHEMATICA AUTORÍA CARMEN MARIA REINOSO MAROTO TEMÁTICA ARQUITECTURA, MATEMATICAS ETAPA FORMACIÓN PROFESIONAL GRADO SUPERIOR
Más detallesGEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO
CAPÍTULO I. GEOMETRÍA DEL ESPACIO EUCLÍDEO SECCIONES 1. Vectores. Operaciones con vectores. 2. Rectas y planos en R 3. 3. Curvas y superficies en R 3. 4. Nociones de topología métrica. 1 1. VECTORES. OPERACIONES
Más detallesMatemáticas 2 Agosto 2015
Laboratorio # 1 Línea recta I.-Determina la ecuación de la recta que satisface las siguientes condiciones y exprésala en la forma general. Pasa por el punto (1,5) y tiene pendiente 2 Pasa por y Pendiente
Más detalles3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.
3 Curvas alabeadas. Solución de los ejercicios propuestos.. Se considera el conjunto C = {(x, y, z R 3 : x y + z = x 3 y + z = }. Encontrar los puntos singulares de la curva C. Solución: Llamemos f (x,
Más detallesy cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
Más detalles4 Integrales de línea y de superficie
a t e a PROBLEMA DE ÁLULO II t i c a s 1 o Ings. Industrial y de Telecomunicación URO 2009 2010 4 Integrales de línea y de superficie 4.1 Integrales sobre curvas y campos conservativos. Problema 4.1 Integra
Más detallesFUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se denota por : A B A
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.
Más detallesCapítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES
Capítulo VI DESIGUALDADES E INECUACIONES 6.1 DEFINICIONES: a. Desigualdad: Se denomina desigualdad a toda expresión que describe la relación entre al menos elementos escritos en términos matemáticos, y
Más detallesEcuaciones del plano. Cajón de Ciencias
Ecuaciones del plano Cajón de Ciencias Un plano tiene sus propias ecuaciones que lo definen, al igual que ocurría con la recta. Algunas de ellas son bastante parecidas, y de hecho verás que el plano tiene
Más detallesPAU Madrid. Matemáticas II. Año Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos.
PAU Madrid. Matemáticas II. Año 22. Examen modelo. Opción A. Ejercicio 1. Valor: 2 puntos. Se considera una varilla AB de longitud 1. El extremo A de esta varilla recorre completamente la circunferencia
Más detallesPráctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones
Práctica 5 Cálculo integral y sus aplicaciones 5.1.- Integración con Mathematica o Integrales indefinidas e integrales definidas Mathematica nos permite calcular integrales mediante la instrucciones: Integrate[expresión
Más detallesÁngulos complementarios Un par de ángulos son complementarios si la suma resultante de sus medidas es.
Materia: Matemática de Séptimo Tema: Ángulos y pares de ángulos Objetivos de aprendizaje Entender e identificar ángulos complementarios. Entender e identificar ángulos suplementarios. Entender y utilizar
Más detallesEJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS ) Se dan los siguientes puntos por sus coordenadas: A(3, 0), B(, 0), C(0, ) y sea P un punto variable sobre el eje. i) Hallar la ecuación de la recta (AC) y de la recta (r) perpendicular
Más detalles1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES
Capítulo 1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES 1.1 INTRODUCCIÓN Este libro trata del álgebra lineal. Al buscar la palabra lineal en el diccionario se encuentra, entre otras definiciones, la siguiente:
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detalles