TEMA 1: NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD

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1 TEMA 1: NÚMEROS NATURALES Y DIVISIBILIDAD 1.1 Nº NATURALES:.- Cifra: símbolo que se utiliza para construir o componer un número. Nuestro sistema de numeración tiene 10 cifras: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9..- Número: es valor que adquiere o la cantidad que expresan un conjunto ordenado de cifras. Ej: 34, 4567, etc..- Sistema de numeración: nuestro sistema de numeración tiene dos características fundamentales ( 2 adjetivos): a) decimal: porque por cada 10 unidades de un orden se completa 1 unidad de orden superior ( por cada 10 decenas tenemos 1 centena); también porque se construye a partir de 10 cifras. b) Posicional: porque el valor de la cifra dentro de un número depende de la posición que ocupe. Ej: en el número 1234 la cifra 1 tiene como valor 1 unidad de millar o 1000 unidades, mientras que en el número 17 esa misma cifra tiene como valor 1 decena o 10 unidades..- Operaciones básicas: SUMA (ADICIÓN) RESTA (SUSTRACCIÓN) 23 Sumando 23 Minuendo Sumando 14 Sustraendo 37 Suma / Total 9 Diferencia MULTIPLICACIÓN DIVISIÓN Dividendo(D) Divisor (d) 34 Factor x2 Factor Cociente (c) 0 68 Producto Resto (r) D= d x c + r Propiedad fundamental de la división.- Propiedades de los números naturales: a) conmutativa: el orden de los factores o los sumandos no altera el producto o la suma (sólo para x y +) 23 x 14 = 14 x = b) asociativa: da igual en el orden en que realices varias sumas o multiplicaciones, el resultado no varía. (solo x y +) 2 x (3 x 4) = (2 x 3) x (4 + 5) = (3 + 4) + 5

2 c) Distributiva de la multiplicación respecto a la suma: si un número esta multiplicando a una suma da igual hacer primero la suma y luego multiplicar que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar. 12 x (5 + 6) = 12 x x 6 En sentido contrario estaríamos hablando de sacar factor común, convertimos en una multiplicación una serie de sumas que tienen un factor común en todas ellas. 3x 2 + 5x2 2x6 = 2x( ).- Operaciones combinadas: seguiremos los siguientes pasos para resolver una combinación de operaciones básicas 1º.- JERARQUÍA DE OPERACIONES: orden establecido para la realización de operaciones combinadas con números naturales. (hay que establecer un orden a la hora de realizar operaciones combinadas para que todos lleguemos al mismo resultado.) + imp [( )] x / : - imp + / - izq dcha 2º.- ENTRE IGUAL E IGUAL TIENE QUE APARECER TODO (no somos magos para hacer aparecer y desaparecer cosas). 3º.- Y TODO EN EL MISMO ORDEN, EN LA MISMA POSICIÓN. Ej: 33 : : 5 ( : 3) + 7 = 33 : : 5 ( ) + 7 = 33 : : = = = 7 PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA: 1.- LECTURA COMPRENSIVA 2.- EXTRACCIÓN DE DATOS 3.-PLANTEAMIENTO DE OPERACIONES (PLANIFICAR) 4.- RESOLUCIÓN DE OPERACIONES 5.- RESPUESTA (a lo que se pregunta) 6.- COMPROBACIÓN (lógica y matemática)

3 IDEAS PRÁCTICAS PARA APLICAR:.- Cálculo mental: Multiplicación por 10, 100, 1000 añadir tantos ceros como tenga al final del número. División entre 10, 100, 1000 quitar tantos ceros como tenga el divisor..- Ceros a la izquierda no tienen valor, por lo que no es necesario escribirlos..- Para problemas: multiplicación: a tanto el kilo / litro ; cada uno ;... aquellos problemas en los que se va de grupos pequeños a un total expresiones relacionadas con la división: repartir, agrupar, dividir, organizar en..., aquellos problemas en los que parte de un total y se hacen grupos. expresiones relacionadas con la suma: añadir, incrementar, aumentar,... expresiones relacionadas con la resta: disminuir, quitar, reducir,...; la diferencia entre; 1.2 DIVISIBILIDAD MÚLTIPLOS DE UN NÚMERO: Todos aquellos números que se obtienen como resultado de multiplicar dicho número por los números naturales. Propiedades:.-El múltiplos de un nº son infinitos..- Cualquier número es múltiplo de 1..- Un nº siempre es múltiplo de si mismo..- Los múltiplos de un nº siempre son iguales o mayores que él..- Si un nº es múltiplo de otro y éste lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero. Obtención: los múltiplos se obtienen multiplicando por los nºs naturales DIVISORES (FACTORES) DE UN NÚMERO: Son todos aquellos nºs que al dividir al primero la división es exacta ( el resto es 0). Propiedades:.- Los divisores de un nº son un grupo finito de nºs..- El 1 siempre es divisor de cualquier nº..- El propio nº siempre es divisor de si mismo..- Los divisores de un número siempre son iguales o menores que él..- Si un nº es divisor de otro y este de un tercero, el primero lo será del tercero. Obtención: 1.- Dividimos ordenadamente entre los números naturales menores que él, empezando por el 1, hasta que el cociente obtenido sea igual o menor que el divisor. 2.- Tanto los divisores como los cocientes obtenidos en las divisiones exactas son los divisores o factores del nº y se escriben ordenadamente. RELACIÓN DIVISOR-MÚLTIPLO: cuando un nº es múltiplo de otro, éste es divisor del primero. EJ: 6 ES MÚLTIPLO DE 3 Y 3 ES DIVISOR DE 6

4 CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: Son reglas que nos ayudan a saber cuando un nº es divisor de otro y/o cuando un nº es divisible por otro..- Criterio de divisibilidad del 2: un nº es divisible entre 2 cuando termina en 0 o cifra par..- Criterio de divisibilidad del 3: un nº es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3..- Criterio de divisibilidad del 4: un nº es divisible entre 4 si lo es el nº formado por sus dos últimas cifras o si acaba en Criterio de divisibilidad del 5: un nº es divisible entre 5 si acaba en 0 o 5..- Criterio de divisibilidad del 6: un nº es divisible entre 6 si lo es por 2 y por 3..- Criterio de divisibilidad del 7: un nº es divisible entre 7 si la diferencia entre las cifras del número excepto la de las unidades y el doble de las unidades es 0, 7 o múltiplo de 7. Si el resultado es de 3 cifras se repite el proceso con dicho resultado..- Criterio de divisibilidad del 9: un nº es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9..- Criterio de divisibilidad del 10: un nº es divisible por 10 si termina en 0..- Criterio de divisibilidad del 11: un nº es divisible por 11 si al sumar por separado sus cifras que ocupan lugares pares y las que ocupan lugares impares y restar los resultados la diferencia da 0 o múltiplo de Criterio de divisibilidad del 25: un nº es divisible por 25 si termina en 00, 25, 50 o Criterio de divisibilidad del 100: un nº es divisible por 100 si termina en 00. Relaciones entre criterios:.- Si un nº no es divisible por 2 tampoco lo es por 4 ni por 10.- Si un nº no es divisible por 5 tampoco lo es por 10, ni por 25 ni por Si un nº no es divisible por 100 tampoco lo es por 10 y viceversa..- Si un nº no es divisible por 3 tampoco lo es por 9. NÚMERO PRIMO: todo aquel nº que únicamente tiene como divisores el mismo y la unidad. Lista de nº primos entre 1 y 100: (1,) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. NÚMERO COMPUESTO: Todo aquel nº que tiene más de dos divisores. FACTORIZACIÓN de un número: es expresarlo como un producto de factores. 12 = = = = FACTORIZACIÓN EN FACTORES PRIMOS: Es expresarlo como producto de nºs primos. 12 = Cómo se factoriza en factores primos: 1.- Se realizan divisiones exactas sucesivas en las que los divisores son nºs primos hasta llegar a un cociente igual a 1 (DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL). 2.- Se expresa como producto de los factores por los que se ha ido dividiendo. (FACTORIZACIÓN)

5 (Es muy práctico empezar a dividir por el nº primo más pequeño posible, continuar con él hasta que no se posible y pasar al siguiente). Descomposición 90 2 Factorización = TRUCO: cuando el número termina en ceros, los podemos eliminar sacando como factores 2 y 5 elevados al mismo número de ceros que tiene, continuando la factorización con el numero sin los ceros = = MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.): ES EL MAYOR DE LOS DIVISORES COMUNES DE DOS O MÁS NºS. Obtención: 1.- Realizamos la descomposición factorial y la factorización de los nºs. 2.- El MCD será igual al producto de los factores primos comunes (que están en las factorizaciones de todos los nºs) elevados al menor exponente. Si varios nºs tienen como MCD el 1, se dice que dichos nºs son PRIMOS ENTRE SI ( porque no tienen ningún factor en común) Problemas sobre MCD (como reconocerlos): utilizarán expresiones clave como repartir/trocear/agrupar/dividir en trozos/grupos/clases/bolsas lo más grandes posible. Esto nos debe llevar a pensar en cantidades más pequeñas, pero a la vez lo más grande que se puedan, y, por lo tanto, en el MCD MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm): ES EL MENOR DE LOS MÚLTIPLOS COMUNES DE DOS O MÁS NºS. Obtención: 1.- Realizamos la descomposición factorial y la factorización de los nºs 2.- El mcm será igual al producto de los factores primos comunes y no comunes (todos los que aparecen en las factorizaciones, sin repetir los que lo hacen varias veces)elevados al mayor exponente. Problemas sobre mcm (como reconocerlos): nos llevarán a pensar en cantidades más amplias de las de partida, pero a la vez lo más pequeñas posibles (mcm). Expresión típica: cuando volverán a coincidir. Copyright: Javier Madrigal. Septiembre 2012.