Lección 2. El campo de las cargas en reposo: campo electrostático.

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1 Lección 2. El campo de las cagas en eposo: campo electostático. 41. Sea el campo vectoial E = x x 2 + y u y 2 x + x 2 + y u 2 y. Puede tatase de un campo electostático? Cuánto vale el flujo de E a tavés de una supeficie cúbica de lado 1 m si el cento del cubo está en el punto (3,3,3) m? 42. Dos esfeas de adios a y b están cagadas con cagas Q y q espectivamente y sepaadas una distancia c. Analiza y esponde en los supuestos siguientes: (a) Sean las esfeas conductoas. Cómo seá la distibución de caga?: unifome?, supeficial? (b) Sean las esfeas no conductoas con una distibución supeficial de caga unifome. Calcula el campo eléctico en todo el espacio. (c) Cuál es la dificultad, si la hay, de calcula el campo eléctico en todo el espacio paa el supuesto (a)? 43. Sea un conducto esféico macizo en equilibio electostático cagado con una caga Q y en su inteio dos agujeos de foma abitaia. (a) Cómo seá la distibución de la caga Q? (b) Si ponemos una caga adicional q en el inteio de uno de los agujeos, cómo se distibuiá ahoa la caga? (c) Si manteniendo la configuación anteio se apoxima po el exteio una caga q 2 hasta una distancia d de la esfea, cómo cambiaán, si lo hace, las distibuciones de caga? 44. Sea un conducto esféico macizo en equilibio electostático cagado con una caga Q, en cuyo inteio hay dos agujeos de foma abitaia. (a) Cómo seá la distibución de caga σ? (b) Si ponemos una caga puntual q dento de uno de los agujeos, cómo seán las distibuciones de caga? (c) Si se aceca una caga q 2 a una distancia d de la supeficie de la esfea, cómo se modifican, cualitativamente, las distibuciones de caga, si lo hacen? 45. Sea un conducto esféico macizo con dos agujeos de foma abitaia en su inteio. En los agujeos hay sendas cagas puntuales +q y q. En equilibio electostático, se pide: (a) El campo eléctico en el conducto. (b) El campo eléctico en el exteio del conducto. 46. Dos supeficies conductoas concénticas de adios a y b (a < b) se cagan a potenciales V a y V b, espectivamente. Se pide: (a) Repesenta el potencial electostático φ() paa 0 <. Repesenta el campo eléctico E() paa 0 <. 47. En una esfea de adio a tenemos una caga Q distibuida de modo que cea un campo eléctico adial de intensidad E = k 2ε 0, 0 < < a, siendo k una constante. Supone que tanto dento como fuea de la esfea la constante dieléctica es la del vacío. (a) Cuál es la densidad de caga con que está distibuida la caga Q? (b) Cuánto vale el campo eléctico en la egión extena a la esfea ( > a)? 7

2 48. A pati de la expesión del campo electostático en el vacío de una distibución volumética de caga, enconta la divegencia y el otacional de dicho campo, explicando bevemente su significado físico. 49. Una esfea de adio a está cagada con una densidad constante ρ > 0. Supongamos que se ealiza un agujeo de anchua infinitesimal a lo lago del diámeto y se sitúa una caga negativa en el inicio de ese agujeo, es deci en la supeficie de la esfea. Qué tipo de movimiento descibiía la caga puntual? 50. El potencial Coulombiano de apantallamiento en un medio conducto se puede expesa po φ() = q e /λ. 4πε 0 Calcula el campo eléctico y la densidad de caga coespondientes. 51. Tenemos un hilo ectilíneo e indefinido cagado unifomemente con una densidad lineal de caga λ constante. Coaxialmente con este hilo existe un tubo cilíndico conducto indefinido de adios a y b (a < b). El conjunto está inmeso en el vacío. Calcula el campo eléctico en cualquie punto del espacio. 52. (a) Calcula el campo electostático en un punto cualquiea inteio de una distibución de caga con simetía esféica y densidad ρ constante. (b) Detemina los valoes de E y E en función de. Razona la espuesta. 53. Dos esfeas conductoas concénticas, aisladas, de adios a y 2a, se cagan con cagas Q y 2Q espectivamente. Obtene el potencial de las esfeas conductoas y comenta el esultado. Cuál seía el nuevo potencial de las esfeas si se conectan con un hilo conducto? 54. Halla el potencial de una línea de caga de longitud 2l y caga total q en el plano que cota el hilo po la mitad. Halla el campo eléctico. Obtene el potencial y el campo en el límite l. 55. Un hilo semiinfinito está situado en la pate negativa del eje z, desde z = 0 a z, tiene densidad de caga λ constante. (a) Halla E en un punto (0, 0, z) del eje z positivo. (b) Halla e en cualquie punto (x, 0, 0) sobe el eje x positivo. 56. Hay una caga Q en el oigen. (a) Calcula el flujo de E a tavés de un cubo centado en el oigen y alineado según los ejes catesianos. Evalua las integales de supeficie diectamente y compoba que el esultado concueda con el teoema de Gauss. (b) Calcula el flujo de E a tavés de un cubo con un vétice en el oigen y con el esto del cubo en el octante con x, y, z > 0. Evalua la integal de supeficie diectamente. Po qué no concueda el esultado con el teoema de Gauss? 57. Una caga +q está situada en el punto (0, 0, z 0 ). (a) Cuál es el campo eléctico E() geneado? (b) Integando explícitamente el campo sobe una esfea de adio R > z 0 demosta que E da = q/ε 0. 8

3 58. Sean dos placas gandes paalelas idénticas con densidades de caga +σ y σ, espectivamente, sepaadas una distancia d. (a) Detemina el campo ente las placas, lejos de los extemos. (b) Detemina la fueza po unidad de longitud en cada placa, despeciando los efectos de bode (de los extemos). Ayuda: una placa no ejece fueza sobe sí misma. 59. Sobe dos coonas esféicas de adios a y b (b > a) se han distibuido unifomemente cagas +Q y Q, espectivamente. Halla el campo E en la egión ente a y b, a < < b. Cómo cambia el campo si la placa exteio se descaga? 60. (a) Considea la función potencial C, siendo C un vecto constante. Cuál es el campo eléctico E? Cuál es el potencial V () coespondiente aun campo eléctico unifome de intensidad E 0 y diección u z? 61. Consideemos el campo E = (2x 2 2xy 2y 2 )u x + ( x 2 4xy + y 2 )u y. Es iotacional? Si es así, calcula la función potencial. Calcula también la E. 62. Enconta las esticciones sobe C 1 y C 2 paa que la función V (, θ) = C 1 cos 2 θ + C 2 3 sea el potencial en una egión libe de caga. 63. Sean 3 esfeas cagadas huecas, concénticas, de adios R, 2R y 3R y cagas +Q, Q y +Q, espectivamente. (a) Detemina el campo eléctico en los puntos a, b, c y d, situados a lo lago de la diección adial en los puntos 0, 5R, 1, 5R, 2, 5R y 3, 5R con oigen en el cento de las esfeas. (b) Detemina la azón E d /E b. 64. Sea un hilo indefinido de adio R cagado con densidad unifome ρ 0, con un agujeo esféico en el cento. Halla el campo y el potencial en todo el espacio. 65. El hilo vetical de la figua tiene una densidad lineal de caga λ 1 = 30 µc/m, mientas que la densidad del hilo hoizontal semiinfinito es λ 2 = 0, 2 mc/m. Calcula el campo en los puntos P 1 y P 2 de la figua, a 50 cm del extemo del hilo semiinfinito. 66. Halla el campo eléctico a una altua z sobe el cento de una placa cuadada de lado a con una densidad unifome de caga σ. Compoba el esultado a pati de los casos límites a y a Si el campo eléctico en una egión del espacio viene dado po E() = Au + B sin θ cos φu φ donde A y B son constantes, cuál es la densidad de caga?, 9

4 68. Supongamos el campo eléctico E(x, y, z) dado po E x = ax, E y = 0, E z = 0, donde a es una constante. Cuál es la densidad de caga? Cómo se tiene en cuenta que el campo apunta en una diección deteminada cuando la densidad de caga es unifome? 69. Enconta la caga total y el campo eléctico en cualquie punto del espacio, coespondiente a una línea cagada de densidad { bzδ(x)δ(y) z (a, a) ρ(x, y, z) = 0 en el esto situada en el eje z ente a y a. Halla el potencial electostático. 70. Enconta el campo eléctico a lo lago del eje de un anillo cagado de adio a situado sobe el plano xy, cuando la densidad de caga del anillo vaía sinusoidalmente como Halla el potencial electostático. ρ = λ 0 (1 + sin φ)δ( a)δ(z). 71. Halla el campo eléctico a lo lago del eje de un disco cicula de adio a con una distibución de caga ρ = b 2 δ(z) cuando a y 0 en el esto del espacio. Halla el potencial electostático. 72. Halla el campo eléctico poducido po una distibución esféica de caga de valo ρ 0 e k. Halla el potencial electostático. 73. Dada la distibución esféica de caga ( ρ = ρ 0 1 ) 2 a paa < a y 0 paa a, halla el campo eléctico y el potencial que poduce. 74. Aplicamos una caga Q a un disco de ebonita de adio a fotándolo mientas gia. De esta manea la densidad de caga es popocional a la distancia adial desde el cento del disco. Halla el campo eléctico sobe el eje del disco. 75. Halla el campo eléctico debido a cada uno de los potenciales: (a) V = e x sinh y sin z 1 (b) V = [x 2 + y 2 + z 2 ] 3/2 (c) V = ρe z cos φ sin θ cos φ (d) V = 2 10

5 76. Halla el potencial a que da luga cada uno de los siguientes campos elécticos: (a) E = 2xyu x + x 2 u y u z (b) E = e z (sin φu ρ + cos φu φ ρ sin φu z ) (c) E = sin θ u + ln cos θu θ 77. En un dispositivo de unión pn, ésta está situada x = 0 como muesta la figua. El potencial en el dispositivo viene dado po [ ] x V0 φ(x) = 1 +, x2 + a 2 2 donde a es la anchua de la egión de la unión y V 0 es la difeencia de potencial total. (a) Halla el campo eléctico y la densidad de caga de volumen ρ V. (b) Dibuja la vaiación de φ, E y ρ V en función de x. (c) Cuál es la caga neta del dispositivo? Tipo p Tipo n I X Región de la unión 11