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- José Manuel Naranjo Macías
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1 Tabla d contnido Página Sstitción n cacions difrncials Ecación d Brnolli Ecación d Ricatti 7 Otras sstitcions 0 Rsmn 4 Bibliografía rcomndada 4 No 4 Atovalación formativa 5
2 Copright 999 FUNDACION UNIVERSITARIA SAN MARTIN Facltad d Ingniría d Sistmas. Sistma d Ecación Abirta a Distancia. Santa F d Bogotá, D.C. Prohibida la rprocción total o parcial sin atorización por scrito dl Prsidnt d la Fndación. La rdacción d st fascíclo stvo a cargo d JAIME PRECIADO LOPEZ Sd Santa F d Bogotá, D.C. Disño instrccional orintación a cargo d MARIANA BAQUERO DE PARRA Disño gráfico diagramación a cargo d SANTIAGO BECERRA SAENZ ORLANDO DIAZ CARDENAS Imprso n: GRAFICAS SAN MARTIN Call A No Tls.: Santa F d Bogotá, D.C.
3 Sstitción n cacions difrncials En st fascíclo vrmos cómo al ralizar na sstitción apropiada sobr na cación difrncial s posibl q sta última s convirta n na cación d algno d los tipos q hmos stdiado por tanto sabrmos cómo rsolvrla. Las cacions más famosas para dsarrollar por sstitción son las conocidas como d Brnolli d Ricatti. Vamos a aprndr a rconocrlas a rsolvrlas. Al trminar l stdio dl prsnt fascíclo, l stdiant: Idntifica disting cacions difrncials d Brnolli Ricatti. Rslv corrctamnt na cación d Brnolli. Rslv corrctamnt na cación d Ricatti. Raliza sstitcions apropiadas para rcir cacions difrncials a los tipos conocidos. Rslv cacions difrncials mplando sstitción. Ecación d Brnolli Si n s n númro ral, la cación difrncial d n P( ) f ( ) () s llamada Ecación d Brnolli. Para n 0 n la sstitción n convirt la cación difrncial () n na cación linal, vamos: Si n ntoncs: ( n) n d
4 d dond: d n ( n) Si sstitimos n términos d n la cación () obtnmos: ( n) P( ) ( n) f ( ) () Jacob Brnolli (45 705): matmático sizo, mastro d Gillam d L Hopital. Es claro q () tin la forma d na cación difrncial linal por tanto podmos rsolvrla. Vamos na aplicación d Brnolli. Ejmplo Rsolvamos la cación cación como: d d, podmos rscribir sta La cación () corrspond a na cación d Brnolli, con n, mplando la sstitción ( ) () s convirt n: () () s na cación linal, l factor d intgración s: ln Mltiplicando por l factor intgrant rcindo la cación podmos scribir () como: d () 4
5 intgrando () tnmos: c con c constant arbitraria, dspjando tnmos: como c la solción la podmos scribir por: c Ejmplo Rsolvamos la cación: Sjta a la condición d 4 () cando. Podmos scribir () como: 4 () Esta s na cación d Brnolli, con n 4, si hacmos la sstitción 4 () s convirt n: 9 () Para la cación difrncial linal () l factor d intgración s: ln Mltiplicando () por l factor d intgración scribindo l lado izqirdo como drivada obtnmos: 5
6 Intgrando (4): d dond d (4) 5 9 c 5 c Si rmplazamos por La condición inicial la solción gnral s: 9 5 c cando rmplazar c n (5) obtnmos la solción (5) nos llva a q c 49 5, al 0. a. Rslv la cación d Brnolli dada.. d. ' d d 4. d ' b. Rslv la cación difrncial dada, sjta a la condición inicial q s indica. 5
7 d, ( 0) 4 Ecación d Ricatti Una cación no linal d P( ) Q( ) R( ) () s llamada cación d Ricatti. Si s conoc na solción particlar d la cación () podmos a partir d constrir na solción d tal forma q sa la solción d (). Es fácil ncontrar si rsolvmos la cación linal: dw Q( ), R( ) w R( ) (*) s dcir, si ncontramos w hacmos lgo. w Jacobo Francisco Ricatti (7 754): filósofo matmático italiano. En st fascíclo omitimos la dmostración dl procdiminto q llva a la solción dada para la cación d Ricatti. Si stás intrsado pds ncontrar las sgrncias para dicho dsarrollo n la bibliografía rcomndada. A continación dsarrollamos algnos jmplos d cacions d Ricatti. Ejmplo Rsolvamos la cación d 0 () 7
8 Sabindo q s na solción particlar. Podmos rscribir la cación () como d () () corrspond a na cación d Ricatti con: P ( ), Q( ), R( ) podmos rsolvr () si ncontramos la solción (*) con stos valors s dcir dw dw ( )( ) w w () s na cación linal, calclmos l factor d intgración () Si mltiplicamos los mimbros d () por l factor d intgración lo scribimos como drivadas obtnmos: intgrando d dond Si hacmos w w d w obtnmos w c c 8
9 así, la solción gnral s c c Ejmplo Rsolvamos la cación d Ricatti d sc (tan ) 0, con tan. Rconocmos a P ( ) sc, Q( ) tan, R( ) dw rmplazando n la cación Q( ), R( ) w R( ) tnmos d dond: dw (tan ) w tan () dw (tan ) w Hallmos l factor d intgración: tan ln(s c ) sc Mltiplicando () por l factor d intgración scribindo como drivada obtnmos: 9
10 intgrando: dspjando w d w sc sc wsc ln sc tan w ln sc tan c sc c Hacindo w obtnmos: sc ln sc tan c por tanto la solción gnral s: tan sc ln sc tan c 0. Rslv las cacions d Ricatti q sign: d d 4, d,.,.. Otras sstitcions Hmos visto cómo na sstitción apropiada pd convrtir na cación difrncial n otra más fácil d rsolvr por los procdimintos co- 0
11 nocidos; podmos intntar calqir sstitción para bscar la solción d na cación, la sstitción apropiada a vcs salta a la vista, pro n algnas otras s db probar hasta obtnr la adcada. A continación vrmos algnos jmplos dond na sstitción convirt la cación dada n na sncilla d rsolvr. Ejmplo Rsolvamos la cación: d ln () Dspés d obsrvarla, rant n bn rato, s nos ocrr intntar la sstitción o s qivalnt d la fnción logaritmo natral tnmos: al drivar rspcto a d dond ln al aplicar las propidads ln( ) ln( ) si sstitimos n () obtnmos: q corrspond a: d d ln
12 ln () La cación () s linal, calclmos l factor d intgración: si mltiplicamos () por l factor d intgración la scribimos como drivada obtnmos: intgrando: d ln ln ln c Si sstitimos obtnmos la solción gnral: ln c Ejmplo Rsolvamos la cación: 4 ' () Si hacmos sstitción o s qivalnt podrmos rcir la cación (); si drivamos rspcto a nstra sstitción obtnmos: qivalnt a: 4 d d
13 Si sstitimos n () obtnmos: d dond 9 () La cación difrncial () s pd dsarrollar por sparación d variabls, vamos, () s qivalnt a: 9 Intgrando tnmos: 9ln c Rmplazando tnmos la solción: 9ln c 0. Rslv la cación difrncial dada sando na sstitción apropiada:. d 0 d 5. ' ' ( ) sn. d 0. ' 0 4. csc lntan
14 . 7. d sn ' ' cos ( ' ) ' ( ' ) Sgrncia: Sa ' En st fascíclo hmos trabajado dos nvos tipos d cacions difrncials, las cacions d Brnolli Ricatti, hmos visto cómo a través d na sstitción simpl apropiada éstas mchas otras cacions pdn llvars a na d las formas a conocidas por nosotros (por sparación, actas, linals), las cals podmos rsolvr d manra fácil rápida. Rainvill, Earl D. otros. Ecacions Difrncials. Méico: Ed. Prntic Hall, octava dición, 997, cap. Zill, Dnnis G. Ecacions Difrncials con Aplicacions d Modlado. Méico: Ed. Intrnacional Thomson Editors, sta dición. 000, cap., sccions..7. En l próimo fascíclo trabajarmos algnas aplicacions d las cacions difrncials para rsolvr problmas rals intrsants; harmos aplicacions para mzcla d sstancias, circitos léctricos otras sitacions físicas. 4
15 Atovalaciónformativa Ecacions difrncials - Fascíclo No. 0 Nombr Apllidos Fcha Cidad Smstr Rslv las cacions difrncials sigints: d d, '' '., ( ) 0.. 5
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Tabla d contnido Página Ecuacions actas linals Ecuacions difrncials actas Torma 4 Solución d una cuación difrncial acta Ecuacions linals 1 Solución d una cuación linal 1 Rsumn 19 Bibliografía rcomndada
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Tabla d contnido Página Ecuacions d ordn suprior Ecuacions homogénas d sgundo ordn con coficints constants Caso. Raícs rals distintas 6 Caso. Raícs compljas conjugadas 6 Caso. Raícs rals iguals 7 Rsumn
= 1n. + c. x dy. x x. + 2r. y y. Rojas Huachin Miryan. Homogéneas y Reducibles a Homogéneas
Ecacions difrncials Ejrcicios d Ecacions Difrncials Homogénas Rdcibls a Homogénas. arsolvr: ' r b Drminar para q valors d r in solcions d la forma la cación ''' '' ' 0 Solción a Hacmos l cambio: ' ' Rmplaando
I, al tener una ecuación. diferencial de segundo orden de la forma (1)
.6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9.6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn
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Tabla d contnido Página Ecuacions difrncials no hoogénas Solución d una cuación difrncial no hoogéna con coficints constants Método d variación d arátros Rsun Bibliografía rcondada 4 No 4 Autovaluación
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a Dtrminar la intgral dfinida f ( ). g ( ) d, bosqjar l ára rprsntada por b la crva y las rctas a y b, con rspcto l j, aplicando l método d intgración por parts d cada no d los sigints problmas: Ejmplo
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