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Martín Duarte Díaz
hace 6 años
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1 MATRICES Una matriz es un arreglo rectangular de números. Los números en el arreglo se llaman elementos de la matriz. Ejemplo 1. Algunos ejemplos de matrices ( + ( ) ( + ( ) El tamaño o el orden de una matriz se describe en términos del número de filas (líneas horizontales) y de columnas (líneas verticales). Por ejemplo, la primera matriz del ejemplo 1 tiene tres filas y una columna, de modo que su orden es. Las demás matrices del ejemplo 1 son de orden,,,. Una matriz con una sola columna se denomina matriz columna o vector columna y una matriz con una sola fila se denomina matriz fila o vector fila. Para denotar matrices se utilizaran letras mayúsculas. En general una matriz A de orden se puede escribir como el elemento que aparece en la fila columna de se puede expresar por. Si en una matriz el número de filas es exactamente igual al número de columnas, nos referimos a ella como matriz cuadrada. Si el número de filas y de columnas es, diremos que la matriz es de orden o, simplemente orden. Notación Una matriz A de orden se abrevia frecuentemente como o bien cuando no haga falta recalcar el tamaño o el orden de la matriz. IGUALDAD Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y si sus correspondientes elementos son iguales. Definición Si y entonces si y solamente si para cada y cada 1

2 Ejemplo 2 De la definición anterior tenemos que ( * ( ) pero ( + ( + puesto que los correspondientes elementos de la fila 1 no son iguales. También ( + puesto que las matrices no tienen el mismo orden. OPERACIONES CON MATRICES Sabemos que dado un par de números reales pueden sumarse, restarse y multiplicarse. En matrices, sin embargo, dos matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse solamente en ciertas condiciones. Suma de Matrices Solamente pueden sumarse matrices que tienen el mismo orden. Si A y B son ambas matrices de orden su suma es una matriz de orden formada al sumar los correspondientes elementos en cada matriz Definición Si y entonces su suma es Ejemplo 3 Para y su suma es ( * Se deduce directamente de las propiedades de los números reales y de la definición de suma de matrices, que en el conjunto de matrices de orden se satisfacen las propiedades asociativas y conmutativas Se denomina matriz nula y se la denota por O, a la matriz que tiene todos sus elementos iguales a cero. 2

3 Ejemplo 4 Las siguientes son matrices nulas ( + ( + Ejercicio Probar que si A es cualquier matriz y O tiene el mismo orden que A, se cumple que Multiplicación de una matriz por un escalar Definición Si y es cualquier escalar, entonces el producto escalar de por es. Es decir, el producto escalar de una matriz por un número real es una matriz donde cada elemento es igual producto del número real por el elemento correspondiente de la matriz dada. Ejemplo 4 Si entonces ( ) Se denomina matriz opuesta de a Utilizamos la matriz opuesta para definir la resta de dos matrices y de orden, como sigue ( ) podemos observar que, para restar de, necesitamos restar los elementos de de los correspondientes elementos de. Ejercicio Probar que si A es una matriz de cualquier orden, se cumple que Multiplicación de matrices Para encontrar el producto de dos matrices y, necesitamos que el número de columnas de sea igual al número de filas de. Suponga que y. Para encontrar el elemento en el producto, consideramos solo la fila i de la matriz A y la columna j de la matriz B. Multiplicar entre si los elementos correspondientes de la fila y de la columna mencionada y luego sumar los productos resultantes, como sigue: 3

4 De aquí se deduce que el orden de la matriz producto es, se determina por Ejemplo 5 Si y ( + encontrar ( + ( * En este ejemplo podemos observar que no es posible realizar filas de es tres y el número de columnas de es dos., puesto que el número de Ejemplo 6 Si encuentre y y ( * ( * Observemos que a pesar que los productos y están definidos, tenemos que. En otras palabras, el producto de matrices no es, en general, conmutativo. Sin embargo, el producto entre matrices satisface las siguientes propiedades Asociativa Distributiva Siempre de que estos productos y sumas estén definidos. Si bien las operaciones entre matrices son similares a las operaciones entre números reales, observamos que las propiedades de estas operaciones no se conservan, por ejemplo el 4

5 producto de matrices no siempre es conmutativo, otra de las diferencias que podemos señalar son las dadas en el siguiente ejercicio. Ejercicio Dar ejemplos de matrices y tales que a) aunque y. b) y sin embargo Matriz Identidad El conjunto de todas las matrices cuadradas de un orden dado n tiene una identidad multiplicativa esto es, hay una matriz única de orden tal que para cualquier matriz de orden. Decimos que es la matriz identidad de orden o simplemente, la matriz identidad. La matriz identidad se define como sigue { Es decir cada elemento sobre la diagonal principal es 1 y todos los otros elementos son 0. Por ejemplo y ( + Son matrices identidad de segundo y tercer orden, respectivamente. Ejemplo 7 Verificar que Es la identidad multiplicativa para el conjunto de matrices de. Solución Debemos probar que ( * ( * MATRICES INVERSAS Dada una matriz cuadrada de orden Existe una matriz cuadrada de orden, tal que,? y de existir la matriz es única?. 5

6 Solamente para ciertas clases de matrices cuadradas podremos afirmar que existe tal matriz y es única. Definición Si es una matriz cuadrada y si se puede encontrar una matriz del mismo orden, tal que,, entonces se dice que es invertible y se denomina inverso multiplicativo o simplemente inversa de Ejemplo 8 Si y entonces y Por tanto B es la inversa de A y A es la inversa de B. Ejemplo 9 La matriz ( + No es invertible. Ya que no se puede encontrar una matriz del mismo orden, tal que, Si consideramos cualquier matriz de orden 3 ( + Al realizar el producto, obtendremos una matriz de orden 3, en la que todos los elementos de la tercera columna son nulos Definición Una matriz que tiene un inverso multiplicativo se dice, no singular. En caso contrario singular. Observación: Las matrices y del ejemplo 8 son no singulares. La matriz del ejemplo 9 es singular. Teorema Si A es invertible, entonces su inversa es única. Demostración Supongamos que y son matrices inversas de. 6

7 Por ser inversa de, se cumple que. Multiplicando ambos miembros de esta igualdad a la izquierda por se obtiene Luego. Si es invertible, entonces su inversa se denota por, luego COMO ENCONTRAR LA INVERSA Vamos a dar un método para encontrar la inversa de una matriz no singular, basado en las operaciones elementales entre filas. La secuencia de operaciones elementales entre filas que transforman una matriz de orden en la identidad multiplicativa es, la misma secuencia de operaciones elementales entre filas que transforma en. Consideremos la matriz formada por los elementos de y de como sigue: ( ) Le aplicamos una secuencia de operaciones entre filas hasta que la transformamos en la matriz (, Luego la inversa de es (, Ejemplo 10 Encontrar para Comenzamos formando la matriz ( ) 7

8 Apliquemos operaciones elementales entre filas para, transformar la matriz de la izquierda en. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Concluimos que la matriz a la derecha de la línea es. Puede verificarse que (, (, Ejemplo 11 Encontrar, si ( + Formamos Aplicamos las operaciones elementales ( + ( + ( + ( + ( + ( ) (, 8

9 ) ) ( Luego ( ( + Se puede verificar que Teorema Si A y B son matrices invertibles, entonces a. b. es invertible c. Demostración Probemos que Si probamos esto demostraremos que es invertible y que es. de manera similar se prueba que: c. Sabemos que Por otra parte Luego y son inversa de, como la inversa de una matriz es única, resulta que Sistemas de ecuaciones: uso de matrices inversas FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL Usando la multiplicación y la igualdad de matrices, podemos escribir un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas,,,, 9

10 como la ecuación matricial (, (, En otras palabras, podemos escribirlo como donde, y SOLUCION MATRICIAL Si existe, podemos resolver multiplicando a ambos lados de la ecuación por Ejemplo 12 Use la matriz inversa para resolver el sistema { Solución Primero escribimos el sistema dado en forma matricial La matriz es inversible y su inversa es luego Por tanto y, es la solución del sistema. 10

11 Ejemplo 13 Use la matriz inversa para resolver el sistema { Solución El sistema dado puede escribirse como ( + ( + Calculando la inversa de la matriz de los coeficientes, se obtiene luego ( + ( + ( + ( + La solución del sistema está dada por, y. 11

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