Métodos de muestreo de variables con distribuciones continuas Dr. Ing. JORGE E. NÚÑEZ MC LEOD

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1 Métodos de muestreo de variables con distribuciones continuas Dr. Ing. JORGE E. NÚÑEZ MC LEOD 1. MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA (Simulación Montecarlo) Se desean obtener muestras aleatorias de una variable que tiene comportamiento estocástico. Para ello se recurre a su función de densidad acumulada, generando n números aleatorios r y obteniendo, de la gráfica o de la tabla construida a este efecto, x i = F -1 (ri). El proceso puede verse en la Fig. 1. Consultar: Investigación de Operaciones, Taha, 9na Edición, pp Investigación de Operaciones, Hillier-Lieberman, 9na Edición, pp Figura 1. Método de la transformada inversa A continuación ejemplificaremos la importancia del tamaño de muestra para la reconstrucción del comportamiento estadístico de la variable original. En la Figura 2 se puede observar el proceso completo en forma simplificada. Se tiene como dato la curva de distribución de frecuencias de la variable x. Se construye la función de densidad acumulada y sobre esta se procede al muestreo. En el caso mostrado y por razones didácticas sólo se grafica la obtención de 7 observaciones muestrales. Finalmente se analizan las observaciones muestrales para determinar el valor de frecuencia de cada valor de x y se reconstruye la función de distribución de frecuencias de la variable estudiada. Si esta curva coincide razonablemente con la original es una clara indicación que el muestreo ha sido el adecuado. Mientras que si difiere de la curva original indica que el nivel del muestreo es bajo.

2 Fig. 2. Proceso de muestreo y reconstrucción de la función de distribución de frecuencias Al comparar las Figuras 3 a 6 se puede observar como la reconstrucción del comportamiento estadístico de la variable original se vuelve mejor a medida que la cantidad de muestras empleadas aumenta. Fig. 3. Funciones de Densidad de Probabilidad y Distribución Acumulada de la variable original. Fig. 4. Funciones de Densidad de Probabilidad y Distribución Acumulada reconstruidas con 100 muestras.

3 Fig. 5. Funciones de Densidad de Probabilidad y Distribución Acumulada reconstruidas con muestras. Fig. 6. Funciones de Densidad de Probabilidad y Distribución Acumulada reconstruidas con muestras. 2. MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA ESTRATIFICADA Debido a que el método anterior requiere un elevado número de muestras para lograr un correcto muestreo de la función de densidad acumulada se desarrolló el muestreo estratificado. El método de muestreo estratificado consiste en dividir el eje de ordenadas en segmentos equiprobables, continuos y disjuntos. La cantidad de estratos es igual al número de muestras deseadas. A continuación se genera un número aleatorio por cada estrato en orden desde el primero al último y se obtiene la observación aleatoria como en el método de la transformada inversa. El procedimiento se puede observar en la Fig. 7.

4 Figura 7. Muestreo por el Método de la Transformada Inversa Estratificada 3. MÉTODO DEL HIPERCUBO LATINO Definición estadística: La técnica de muestreo por Hipercubo Latino consiste en seleccionar los valores iniciales para la ejecución de un modelo en computadora, estratificando el rango de cada uno de los datos de entrada del modelo, y garantizando que se seleccionen valores iniciales de cada rango de datos de entrada del modelo. Es un método de muestreo estratificado sin reemplazo (muestreo con memoria). Es un método para obtener observaciones muestrales cuando se trabaja con 2 o más variables. Por simplicidad se explica el procedimiento para una variable; pero debe ser realizado independientemente para cada variable y el conjunto conforma una muestra de n muestras. 1. Se segmenta la distribución de probabilidad acumulada F(x) en n intervalos (donde n es el número de iteraciones a realizar). 2. Se genera un número aleatorio que corresponderá a un determinado segmento de F(x). 3. Se genera un segundo número aleatorio para determinar el punto preciso del muestreo dentro de ese intervalo F(x). 4. Se calcula el valor de x correspondiente a la Función Inversa G (F(x)). 5. Se repite el proceso en la segunda iteración, pero descartando el segmento ya muestreado. 6. Se repite el proceso hasta completar el número de iteraciones de la muestra.

5 Fig 8. Muestreo de una variable para el Método del Hipercubo Latino Ejemplo: se tienen 3 variables discretas en el rango de 1 a 7 y se requiere generar 7 muestras. Gráficamente la tabla obtenida realizando el procedimiento anterior para cada variables es la Tabla 1. Tabla 1. Muestras generadas para el conjunto de 3 variables discretas A continuación se debe verificar que las muestras no estén correlacionadas entre si o que lo estén en el valor deseado. La Fig. 9 muestra gráficamente y numéricamente la correlación entre las variables. Fig. 9 Correlación entre variables