Introducción a las medidas de dispersión.

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1 UNIDAD 8: INTERPRETEMOS LA VARIABILIDAD DE LA INFORMACION. Itroducció a las medidas de dispersió. Como su ombre lo idica, las medidas de dispersió so parámetros que os idica qué ta dispersos está los datos. Cuato más dispersos esté, mayor será el valor de la medida. Cosideremos las series siguietes. a. 10, 10, 10, 10. b. 2, 5, 6, 7,,. c. 1, 7. 8, 14, 20 E la serie a, la dispersió es cero; y la serie c es la más dispersa. De hecho, para la serie a la desviació típica, que es ua medida de dispersió, es CERO. Las medidas de dispersió tiee su importacia. El caso siguiete ilustrará esta importacia. Se tiee 2 empresas. La empresa A paga u salario promedio de $265; mietras que la empresa B paga u salario promedio de $240. A juzgar por la media aritmética (el promedio), podría afirmarse que los empleados de la empresa A está mejor ecoómicamete. Pero No es cierto que los de A está mejor que los de B. Aalicemos los salarios de cada empleado por empresa. Salarios de los empleados de la empresa A Salarios de los empleados de la empresa B Podemos observar que e la empresa A hay salarios muy bajos: el más bajo es $173. E cambio e la empresa B, el salario más bajo es de $210. Defiitivamete que e B se tiee los mejores salarios idividuales. Lo que ocurre es que e A, los salarios so más heterogéeos; es decir, está más dispersos. E cambio e B, los salarios so más homogéeos; es decir, meos dispersos. E coclusió: la media aritmética o es el parámetro adecuado para estimar el bieestar ecoómico de los empleados. E cambio, el grado de dispersió de los salarios sí os aproxima de mejor maera al estado ecoómico idividual de cada empleado. 6 Amplitud y desviació media. Tato la amplitud como la desviació media so medidas de dispersió.

2 6.1 Amplitud: defiició y cálculo. Etre las medidas de dispersió, la amplitud o rago es la más elemetal y fácil de calcular. Defiició. La amplitud o rago es la diferecia etre el mayor valor y el meor de u grupo de datos. De la defiició, se ve que su cálculo es secillo. Para el caso de 15, 20, 10, 30, 40, 25; la amplitud A es: A = = 30. Ocurre que 2 valores extremos (uo muy grade y uo muy pequeño) coduce a estimacioes erróeas. 6.2 Desviació media: defiició y cálculo. Defiició. La desviació media, DM, es el promedio del valor absoluto de las desviacioes de cada dato respecto de la media. La desviació media se calcula co la fórmula: DM = I x i I Cuato mayor es la desviació media, mayor es la desviació de los datos. Ejemplo. Calcular la desviació media e los casos siguietes: 1. 10, 15, 12,, , 4, 15, 7, 3. Solució. 10, 15, 12,, 14. Calculemos para esta serie. = ( )/5 = 60/5 = 12. Calculemos la sumatoria de las desviacioes de cada valor respecto de la media. I x i I = I12 10I + I12 15I + I12 12I + I12 I + I12 14I = I2I + I 3I + I0I + I3I + I 2I = = 10 Por lo tato: DM = I x i I = 10/5 = 2. 12, 4, 15, 7, 3. Para esta serie = 8.2 Y DM = ( )/5 = 4.24 Podemos observar que la DM es mayor que e el caso aterior. Es el resultado lógico, ya que los datos está más dispersos. Actividad 4. E cada caso, calcular la amplitud y la desviació media. Compare las DM. 1. 5, 5, 5, 5, 5, 5, , 5, 2, 4, 2, 5, 3, 6, 5, , 5, 3, 7,, 4, 7, 3, 8,, 10, 7, 5, 8.

3 4. 10, 15, 5, 10, 20, 25, , 8, 4, 20, 10, 15, 25, 6, 4, 15, Variaza. Si e la desviació media se trabaja co los cuadrados de las desviacioes, se obtiee la variaza. 7.1 Defiició y otació. Defiició y otació. La variaza, deotada σ 2, es la media aritmética de los cuadrados de las desviacioes de los datos co respecto a su media. La variaza puede ser poblacioal o muestral. La poblacioal se calcula así: σ 2 = ( x i ) 2 La muestral se calcula así: σ 2 = ( x i ) 2-1 No olvidemos que el cuadrado de u úmero es SIEMPRE positivo. Ejemplo. Calcular la variaza para los grupos de datos del ejemplo aterior. Solució. Cosideraremos datos poblacioales e ambos casos. 10, 15, 12,, 14. Para esta serie = ( )/5 = 60/5 = 12. ( x i ) 2 = (12 10) 2 + (12 15) 2 + (12 12) 2 + (12 ) 2 + (12 14) 2 ( x i ) 2 = (2) 2 + (-3) 2 + (0) 2 + (3) 2 + (-2) 2 = = 26 Por lo tato: σ 2 = ( x i ) 2 = 26/5 = 5.2 [Si fuese datos muestrales, tedríamos: σ 2 = 26/(5-1) = 26/4 = 6.5] 12, 4, 15, 7, 3. Para esta serie = 8.2

4 ( x i ) 2 = (-3.8) 2 + (4.2) 2 + (-6.8) 2 + (1.2) 2 + (5.2) 2 = = Por lo tato: σ 2 = 106.8/5 = [Si fuese datos muestrales, tedríamos: σ 2 = /(5-1) = ] Podemos observar que la variaza es mayor que e el caso aterior. Es el resultado lógico, ya que los datos está más dispersos. Actividad 5. E cada caso (datos poblacioales), calcular la variaza. 1. 2, 4, 6, 8, 10 σ 2 = 2. 4, 6, 8, 10, 12 σ 2 = 3. 6, 8, 10, 12, 14. σ 2 = 4. 8, 10, 12, 14, 16. σ 2 = 5. 11,, 15, 17, 1 σ 2 = 6. 2, 4, 6, 8, 10 σ 2 = 7. 2, 5, 8, 11, 14 σ 2 = 8. 2, 6, 10, 14, 18 σ 2 =. 2, 7, 12, 17, 22 σ 2 = 10. 2, 4, 6, 8, 10 σ 2 = 11. 2, 4, 6, 8, 10, 12 σ 2 = 12. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 σ 2 =. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 σ 2 = 14. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 σ 2 = 15. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 σ 2 = discusió 3. Discuta las respuestas obteidas e cada uo de los 3 grupos ateriores. discusió 4. Discuta y trate de llegar a la respuesta e cada caso.

5 1. Se toma 10 térmios cosecutivos de la serie f() = 3 + 1; tambié 10 térmios cosecutivos de la serie f() = E qué caso la variaza es mayor? 2. Se toma 10 térmios cosecutivos de la serie f() = 2 + 1; posteriormete se toma 12 de la misma serie. E qué caso la variaza es mayor? 3. Se toma 10 térmios cosecutivos de la serie f() = 2 + 1; tambié 10 térmios cosecutivos de la serie f() = E qué caso la variaza es mayor? Cálculo de la variaza para datos agrupados. Cuado se tiee datos agrupados, la fórmula σ 2 = ( x i ) 2 Se covierte e σ 2 = f i ( X i ) 2 frecuecias. para datos agrupados sólo e Y se covierte e σ 2 = f i ( Pm i ) 2 frecuecias. para datos agrupados e clases y Recordemos que: 1. para datos agrupados e frecuecias = fi X i 2. para datos agrupados e clases y frecuecias = fi Pm i Ejemplo. Calcular la variaza para los datos de la tabla. Datos f Solució. Los datos está agrupados e frecuecias. Calculemos. Recordemos que es la suma de las frecuecias. Para uestro caso = = 21. = fi X i = (2x5 + 4x10 + 8x15 + 3x20 + 4x25)/21 = ( )/21 = 330/21 = σ 2 = f i ( X i ) 2 = [2( ) 2 + 4( ) 2 + 8( ) 2 + 3( ) 2 + 4( ) 2 ]/21

6 = = [2(10.71) 2 + 4(5.71) 2 + 8(0.71) 2 + 3(-4.2) 2 + 4(-.2) 2 ]/21 = [2(114.7) + 4(32.6) + 8(0.5) + 3(18.4) + 4(86.3)]/21 = [ ]/21 = 764.2/21 = Ejemplo. Calcular la variaza para los datos de la tabla. Putos Corredores (f) Pm Solució. Los datos está agrupados e clases y frecuecias. Para este caso, la fórmula a utilizar es: σ 2 = f i ( Pm i ) 2 El total de datos es = = 64. La media aritmética es = fi Pm i (17x7 + 7x11 + 3x x1 + 15x23)/64 = Agreguemos a la tabla las columas de Pm, Pm i, ( Pm i ) 2 y fi( Pm i ) 2 Putos Corredores (f) Pm Pm i ( Pm i ) 2 fi(

7 Pm i ) Suma = 64 Suma = σ 2 = 2482/64 = Actividad 6. Calcular la variaza e cada caso. Datos F Datos F σ 2 = σ 2 = 3 Datos F σ 2 = 4 σ 2 = Clases frecuecia σ 2 = Clases

8 frecuecia Desviació típica. Defiició. la desviació típica, llamada tambié desviació estádar, es la raíz cuadrada de la variaza. Por lo aterior, se tiee que la desviació típica se calcula de la siguiete maera: σ = ( X i ) 2 Para datos o agrupados. σ = f i ( Pm i ) 2 Para datos agrupados e clases y frecuecias. Ejemplo. Calcular la desviació típica para la serie 5, 10, 15, 20, 25. Solució. 5, 10, 15, 20, 25. Para esta serie = 15 y = 5 Calculemos ( X i ) 2 ( X i ) 2 = (15 5) 2 + (15 10) 2 + (15 15) 2 + (15 20) 2 + (15 25) 2 = (10) 2 + (5) 2 + (0) 2 + (-5) 2 + (-10) 2 = = 250 Dividamos la sumatoria etre : 250/5 = 50. Por lo tato σ = 50 = 7.07 Ejemplo. Calcular la desviació típica para los datos de la tabla. Putos Corredores (f) Pm Pm i ( Pm i ) 2 fi( Pm i )

9 Suma = 64 Suma = Los datos está agrupados e clases y frecuecias. Los cálculos ecesarios ya está hechos. Por lo tato: σ = f i ( Pm i ) 2 = 2482/64 = = 6.23 Actividad 7. Calcular la desviació típica e los casos siguietes. 1. 2, 4, 6, 8, 10 σ = 2. 4, 6, 8, 10, 12 σ = 3. 6, 8, 10, 12, 14. σ = 4. 8, 10, 12, 14, 16. σ = 5. 11,, 15, 17, 1 σ = 6. 2, 4, 6, 8, 10 σ = 7. 2, 5, 8, 11, 14 σ = 8. 2, 6, 10, 14, 18 σ =. 2, 7, 12, 17, 22 σ = 10. 2, 4, 6, 8, 10 σ = 11. 2, 4, 6, 8, 10, 12 σ = 12. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 σ =. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 σ = 14. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 σ = 15. 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 σ =

10 Actividad 8. Calcular la desviació típica e los casos siguietes. 1. Clases frecuecia Clases frecuecia Propiedades de la desviació típica. Propiedad 1. La desviació típica uca es egativa. Propiedad 2. La desviació típica de u dato costate es cero. Propiedad 3. Si la desviació típica de u grupo de datos es D, al multiplicar cada dato por K obtedremos ua desviació típica igual a KD. Propiedad 4. La desviació típica de u grupo de datos o varía si a cada dato se le suma ua costate. Esta propiedad aparece e las primeras cico series de la actividad 7. Comprobemos la propiedad 3. Para 2, 4, 6; la desviació típica es 1.63 Multipliquemos cada valor por 2, obteemos: 4, 8, 12. Para estos datos, la desviació típica es: 3.26 Pero 3.26 = 2(1.63) Comprobemos la propiedad 4. Para 2, 4, 6; la desviació típica es 1.63 Sumémosle 5 a cada dato. Obteemos: 7,, 11. Para estos datos, la desviació típica es 1.63 No varía. 10. Coeficiete de variabilidad. El coeficiete de variabilidad, CV, es el cociete de la desviació típica etre la media. CV = σ/

11 Puede verse que su cálculo es secillo, pero requiere calcular ates la desviació típica. Para el caso de la serie 2, 4, 6; el coeficiete de variabilidad es: CV = 1.63/4 = 0.4. Solucioes. Actividad 1. Resolver los casos siguietes. 1. = a. = b. = 10.0 c d. = 5.06 Pm f Pmf discusió 1. C Pm f Pmf K = 7. Aquí se platea la ecuació ( k)/5 =. Al resolver la ecuació, se obtiee que k = K = 5 y m = 40 Aquí se debe platear las siguietes ecuacioes: (10 + 3k m)/5 = 23 y (20 + k m + 15)/5 = 18. al resolver el sistema, se llega a que K = 5 y m = m = 6. La ecuació que se debe platear es: (10 + 3m )/(5 + m ) = K = 20 De acuerdo co la propiedad 4, si al sumar 10 a cada valor la media es 35; sigifica que para los datos origiales la media es = 25. Sabiedo esto se platea la ecuació: ( k + 50)/5 = 25. De aquí resulta que k = = = 120 La media iicial es 500/5 = 100. Se agrega 20 libras. Segú la propiedad 4, la media fial es = = 35. Para 200 la media es 200/5 = 40. Pero a lo recibido hay que restarle 5 libras a cada uo. Resulta que la media real es 40 5 = = 16 años. Aquí se platea la ecuació de media de medias.. 15 persoas. discusió P P Al decil 5 5. NO Actividad 2.

12 1. a. Cuartil 3: 41 Decil 6: 30 Percetil 75: 41. b. Cuartil 3: Decil 6: 37 Percetil 75: a. Cuartil 2: 112 Decil 5: 112 Decil 8: 178 Percetil 80: 178 Percetil 0: 200. b. Cuartil 2: 4 Decil 5: 4 Decil 8: Percetil 80: Percetil 0: Mediaa: Cuartil 2: Decil 5: Decil 6: 23 Decil 8: 34 Percetil 60: 23 Percetil 80: 34 Percetil 85: Actividad 3. Calcular las escalas percetilar y decilar para los grupos de datos siguietes: 1. Dato.f.fa.faa E. Per. E. Dec cero Dato.f.fa.faa E. Per. E. Dci cero Actividad A = 0 DM = 0 2. A = 4 DM = A = 8 DM = A = 20 DM = A = 23 DM = 6.6 Actividad 5. Del 1 al 6, σ 2 = σ 2 = σ 2 = 32. σ 2 = σ 2 = σ 2 = σ 2 = 16. σ 2 = σ 2 = σ 2 = 33.

13 . f(x) = X + 5 discusió 3. E el primer grupo es bueo otar que al o variar el úmero de datos y la diferecia etre uo y el aterior, la variaza o cambia. E el segudo grupo debe otarse que al aumetar la diferecia etre u dato y el aterior e cada serie, auque el úmero de datos permaezca costate, la variaza aumeta de ua serie a la otra. E el tercer grupo debe otarse que, auque la diferecia etre u dato y el aterior es igual para todas las series, la variaza aumeta al aumetar el úmero de datos. discusió E qué caso la variaza es mayor? E ambos casos es la misma: igual úmero de datos y la misma diferecia etre uo y el aterior. 2. E el segudo caso, pues se aumetó el úmero de datos. 3. E el segudo caso. Auque o se aumetó el úmero de datos, la diferecia etre u dato y el aterior es mayor e el segudo caso: 3 es mayor que 2. Actividad

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