Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

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1 Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es una epresión de la forma a b c donde a, b c son los coeficientes (números) e son las incógnitas. Gráficamente una ecuación lineal representa una recta en el plano. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas será de la forma: a b c a b c Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es encontrar los valores de las incógnitas e que verifican las dos ecuaciones a la vez. Puede suceder que haa una única solución (las rectas se cortan en un punto), que haa infinitas soluciones (las rectas coinciden) o que no haa solución (las rectas son paralelas). Para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas eisten tres métodos: método de sustitución, método de igualación método de reducción. Método de Sustitución ) Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones (la que sea más fácil). ) Se sustitue la epresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación de primer grado con una sola incógnita. ) Se resuelve la ecuación se obtiene el valor de una de las incógnitas. Este valor se sustitue en la ecuación despejada al principio para obtener el valor de la otra incógnita. ) Los dos valores obtenidos constituen la solución del sistema. ) Comprobamos los resultados sustituendo los valores de e en las dos ecuaciones para ver si se cumplen. ) Se puede despejar la en la primera ecuación o la en la segunda, a que en los dos casos son las que tienen el coeficiente más sencillo. Despejamos la en la primera ecuación ) Se sustitue en la segunda ecuación el valor de la por la epresión anterior. ( ) ) Se resuelve la ecuación obtenida ) Se sustitue en la ecuación ) Solución () I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

2 6) Comprobamos el resultado sustituendo los valores de e en el sistema de ecuaciones lineales. Método de Igualación ) Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones. ) Se igualan las dos epresiones resultantes, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita. ) Se resuelve la ecuación se obtiene el valor de una de las incógnitas. ) El valor obtenido se sustitue en cualquiera de las dos epresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita. ) Los dos valores obtenidos constituen la solución del sistema. 6) Se comprueba el resultado sustituendo los valores de e en las dos ecuaciones para ver si se cumplen. ) Se despeja en las dos ecuaciones ) Se igualan las dos epresiones resultantes ) Se resuelve la ecuación obtenida. 7 ( ) ) Se sustitue en la ecuación ) Solución () 6) Se comprueba la solución (comprobación efectuada en el método anterior). Método de Reducción Para aplicar este método ha que recordar que, si multiplicamos todos los términos de una ecuación lineal con dos incógnitas por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra ecuación lineal equivalente a la dada que tiene las mismas soluciones. Esto quiere decir que, por ejemplo, las ecuaciones, 6 tienen las mismas soluciones (la segunda ecuación es igual a la primera multiplicada por dos la tercera ecuación es igual a la primera multiplicada por ). ) Se elige la incógnita más apropiada para eliminarla. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

3 ) Se multiplica una o las dos ecuaciones por un número o números tales que la incógnita que queremos eliminar aparezca en las dos ecuaciones con el mismo coeficiente pero cambiado de signo. ) Se suman los términos semejantes en las dos ecuaciones con lo que desaparecerá una de las incógnitas. ) Se resuelve la ecuación resultante se obtiene el valor de la incógnita. ) Se sustitue este valor en una de las ecuaciones iniciales se calcula la otra incógnita. 6) Se comprueba el resultado sustituendo los valores de e en las dos ecuaciones para ver si se cumplen. ) Si queremos eliminar la tenemos que multiplicar la primera ecuación por para que al sumarla con la segunda se anule. Si queremos eliminar la entonces tenemos que multiplicar la segunda ecuación por para que al sumarla con la primera se anule. Escogemos, por ejemplo, eliminar la. ) Se multiplica la primera ecuación por. ) Se suman las dos ecuaciones ) Se resuelve la ecuación resultante ) Se sustitue este valor en la primera ecuación se despeja la. Solución: 6) Se comprueba la solución (es el mismo sistema del apartado anterior). I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

4 Problemas resueltos 7 6 Método de sustitución: Se despeja en la primera ecuación se sustitue en la segunda. 7 (7 ) La solución es 7 ( ) Método de reducción: Se multiplica la primera ecuación por 6 se suman las dos ecuaciones Se sustitue en la primera ecuación se despeja la. La solución es 6( ) 7 Vamos a resolver este sistema primero por el método de sustitución después por el método de reducción, para ver las dificultades de cálculo tanto en uno como en otro método. Método de igualación: Se despeja en las dos ecuaciones se igualan los resultados I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

5 7 ( ) ( ) Se sustitue en la primera ecuación con la despejada. La solución es ( ) 7 ( ) Método de reducción: Para eliminar multiplicamos la primera ecuación por 7 la segunda por. De esta manera, al sumar las dos ecuaciones desaparece la incógnita. 7 ( ) 7 ( ) (7 ) ( ) Se sustitue 6 6 en la primera ecuación, por ejemplo. La solución es, que a se ha comprobado anteriormente 0 8 Método de sustitución. Se despeja la en la segunda ecuación se sustitue en la primera Se sustitue en la segunda ecuación La solución es I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

6 0 Podemos eliminar los denominadores de la primera ecuación multiplicando todos sus términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores. 6 6 m.c.m.(,) Método de sustitución: Despejamos en la segunda ecuación la sustituimos en la primera. 6 0 (0 ) Se sustitue en la segunda ecuación (por ser la más sencilla). La solución es Podemos eliminar los denominadores de las dos ecuaciones multiplicando todos sus términos por el mínimo común múltiplo de los denominadores. m.c.m.(, ) m.c.m.(, ) 7 0 Método de reducción: Al sumar las dos ecuaciones se elimina la. 0 Se sustitue la en la primera ecuación se despeja la. 7 7 m.c.m.(, ) 00 7 I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez

7 00 La solución es Para evitar tener que operar con decimales, podemos multiplicar las dos ecuaciones por 0 resolver el sistema equivalente Método de reducción: Multiplicamos la segunda ecuación por Sustituendo este valor en la primera de las dos ecuaciones reducidas tenemos: La solución es. 8 0 ( ) El primer paso es quitar los paréntesis los denominadores Método de sustitución: Despejamos en la primera ecuación la sustituimos en la segunda. ( ) I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

8 Sustituimos este valor en la primera ecuación: La solución es. ( ) ( ) ( ) El primer paso es quitar los paréntesis los denominadores. 6 6( ) Método de reducción: Multiplicamos la primera ecuación por 8 la segunda por para eliminar la ( ) ( 8 ) 7 Sustituendo este valor en la primera de las dos ecuaciones reducidas tenemos: La solución es. ( ) ( ) ( ) ( ) 0 I.E.S. Historiador Chabás -8- Juan Bragado Rodríguez

9 El primer paso es quitar los denominadores, para lo cual multiplicamos en cruz ) ( Simplificando la primera ecuación por la segunda por tenemos: 0 Método de sustitución: Despejamos en la segunda ecuación la sustituimos en la primera. 0 0 ) ( Sustituimos este valor en la segunda ecuación: La solución es. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

10 I.E.S. Historiador Chabás -0- Juan Bragado Rodríguez Problemas propuestos con soluciones 7 d) ) ( c) 7 6 b) 6 a) 7 g) f) ) ( e) k) j) i) h) 7 o) 0 n) 0 m) 8 0 l) r) 0 6 q) p) 7 t) s) Soluciones 8 f ) 6 e) 60 d) 7 c) 6 b) ) a 8 k) j) i) h) 7 ) g p) 00 o) 6 n) 0 m) 6 ) l t) s) r) ) q

11 Resolución de problemas Para la resolución de problemas mediante sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es conveniente realizar los siguientes pasos: Si es un problema de tipo geométrico conviene hacer un dibujo que se adapte al enunciado del problema. Elección de las incógnitas: Como incógnitas se eligen las cantidades desconocidas las otras se relacionan con ellas según el enunciado del problema. Planteamiento de las ecuaciones: Consiste en epresar mediante dos ecuaciones la relación eistente entre los datos del problemas la incógnitas. Resolución del sistema: Consiste en resolver el sistema de ecuaciones que hemos obtenido, es decir, encontrar el valor de las incógnitas. Una vez resuelto el sistema ha que comprobar que las soluciones cumplen las condiciones del problema. Un hotel tiene habitaciones dobles sencillas. En total ha 0 habitaciones 87 camas. Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? Elección de las incógnitas: Al número de habitaciones sencillas le llamamos al número de habitaciones dobles. Planteamiento de las ecuaciones: En las habitaciones sencillas ha una cama en las habitaciones dobles camas, por tanto: 0 87 Resolución del sistema: 7, es decir, habitaciones sencillas 7 dobles. Problemas resueltos ) Encuentra dos números sabiendo que la mitad de su suma es 8 el doble de su diferencia 6. Sean e los números que buscamos. Tenemos que resolver el siguiente sistema: 8 ( ) Despejamos la en la segunda ecuación la sustituimos en la primera Sustituimos este valor en la segunda ecuación: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

12 Los números son (7 8) (8) ) Un ejercicio realizado en clase consta de 6 cuestiones. El profesor suma puntos por cada respuesta correcta resta puntos por cada cuestión no contestada o mal contestada. Si un alumno ha obtenido puntos en el ejercicio, cuántas cuestiones ha contestado correctamente? Sea el número de respuestas correctas e las no contestadas o mal contestadas. 6 Despejamos en la primera ecuación la sustituimos en la segunda. 6 (6 ) 80 6 Si 6 0, es decir, el alumno ha contestado bien a 0 cuestiones, no ha contestado o ha contestado mal a ) Halla dos números naturales tales que su suma sea 0 al dividir el maor entre el menor se obtenga de cociente de resto. Sean e los dos números naturales. Teniendo en cuenta la regla de la división que dice que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto podemos platear el sistema de la siguiente manera: ) Hace tres años la edad de Juan era el doble que la de su hermana Julia. Dentro de 7 años, la edad de Juan será / de la que entonces tenga Julia. Qué edad tienen actualmente cada uno de los hermanos? Sean la edad actual de Juan e la edad actual de Julia. ( ) 6 7 ( 7) 8 7 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

13 Sustituendo en la segunda ecuación obtenemos. 6 ( ) Sustituendo este valor de en la primera ecuación obtenemos. 8. La edad de Juan son años la de Julia 8 años. (8 ) 7 (8 7) ) Raquel ha pagado 7 por una camiseta un pantalón que costaban 70 entre los dos. Si en la camiseta han hecho un 8 % de descuento en el pantalón un % cuál es el precio original de cada artículo? Sean el precio de la camiseta e el precio del pantalón originalmente (antes del descuento). Si en la camiseta han hecho un 8 % de descuento quiere decir que le han cobrado un 8 % de su valor original en el caso del pantalón un 78 % Para no operar con números decimales multiplicamos todos los términos de la segunda ecuación por 00. Despejamos en la primera ecuación sustituimos su valor en la segunda (70 ) El precio original de la camiseta es de 8 el del pantalón ) Un comerciante compró juegos de un tipo juegos de otro pagando por ellos 0. Con la venta de los primeros ganó un % con los segundos perdió un % de tal manera que recibió 70 de ganancia sobre el precio de compra. Calcula el precio de compra de cada tipo de juego. Sean e los dos tipos de juegos. Si con la venta del primero ganó un % quiere decir que lo vendió al % mientras que el segundo lo vendió a un % de lo que le costó Multiplicamos todos los términos de la segunda ecuación por 00. I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

14 Utilizando el método de reducción multiplicamos la primera ecuación por la sumamos a la segunda Sustituendo en la primera ecuación obtenemos la ) Hallar dos números tales que si les agregamos 7 unidades los resultados están en la relación a, pero si les restamos cinco unidades, la razón de estas diferencias es /. Sean e los números pedidos Simplificando por Simplificando por 0 8) La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, si a dicho número le restamos 7 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. Cuál es ese número? Sea la cifra de las unidades e la cifra de las decenas. Recuerda que todo número de dos cifras se puede descomponer en suma: 0 0 El número de dos cifras se escribe: 0 El número de dos cifras se escribe: 0 Según el enunciado se tienen estas dos ecuaciones: I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

15 ) Hace años la edad de María era el doble que la de su hermana Marta. Dentro de 7 años será / de la que entonces tenga Marta. Calcula la edad actual de cada una. Sea la edad actual de María e la edad actual de Marta. Según el enunciado: ( ) 6 7 ( 7) 8 La edad actual de María es de años la de Marta de 8 años. 8 (8 ) 7 (8 7) ) A las de la mañana sale un coche del punto A con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde sale una moto del punto A en persecución del coche anterior con una velocidad de 0 km/h. A qué distancia del punto A le alcanza? Sabemos que en un movimiento rectilíneo uniforma se verifica que: Espacio recorrido velocidad tiempo e v t El espacio que recorre el coche que sale a las de la mañana es: e 80t El espacio que recorre la moto que sale a las de la mañana es: e 0(t ), a que cuando la moto alcance al coche, los dos habrán recorrido el mismo espacio pero la moto habrá tardado dos horas menos. e 80t Tenemos el sistema de ecuaciones: e 0(t ) 0 Resolviendo el sistema por igualación: 80 t 0t 0 0t 0 t 6 h 0 La moto alcanza al coche a una distancia de A de e km el encuentro se produce a las h. ) Dos ciudades A B distan entre sí 60 km. A las de la tarde sale un coche de la ciudad A a la ciudad B con una velocidad media de 70 km/h. A la misma hora sale un camión de la ciudad B hacia A con una velocidad de 0 km/h. A qué hora se encuentran los coches? A qué distancia de las ciudades A B se encuentran los vehículos? Sea la distancia recorrida por el coche que sale de la ciudad A. La distancia recorrida por el coche que sale de la ciudad B será 60. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones: 70t 70t 60 70t 60 0t 0t 60 t h 60 0t 60 0t 0 I.E.S. Historiador Chabás -- Juan Bragado Rodríguez

16 Tardan en encontrarse horas, por tanto si salieron a las de la tarde se encuentran a las 8 de la tarde. 70 0km La distancia a la que se encuentran los vehículos es: 0 0km ) Un automóvil tarda dos horas en recorrer la distancia entre dos ciudades. Si su velocidad hubiera sido superior en 0 km/h habría tardado una hora cuarto. Cuál es la distancia entre las dos ciudades? Sea la distancia entre las dos ciudades. Una hora cuarto es h h h h. Podemos plantear el siguiente sistema de ecuaciones: v (v 0) v v 7 v v v 7 v 0 km / h 0'7 La distancia entre las dos ciudades es de 0 00km. 0 (0 0) ) Hemos mezclado aceite de oliva de el litro con aceite de girasol de el litro para obtener 0 l de mezcla a 08 el litro. Calcula la cantidad de aceite de oliva de girasol que hemos mezclado. Sea la cantidad de aceite de oliva e la cantidad de aceite de girasol que mezclamos (0 ) 7 litros Hemos mezclado litros de aceite de girasol con 6 litros de aceite de oliva ) Si en un depósito que contiene agua a 0 ºC añadimos agua a º obtenemos 0 litros a 6 ºC. Cuántos litros había en el depósito cuántos hemos añadido? Sea los litros de agua que había en el depósito e los que hemos añadido. I.E.S. Historiador Chabás -6- Juan Bragado Rodríguez

17 Había 0 litros de agua a 0 ºC hemos añadido 60 litros a ºC ) Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 6 cm. que su base es el triple de su altura? Sea la base del rectángulo e la altura cm 8 6cm ) Un comerciante compra un pañuelo una bufanda por 0 los vende por. Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del pañuelo ganó el 0 por 00 en la venta de la bufanda ganó el por 00? Sea lo que cuesta el pañuelo e lo que cuesta la bufanda. 0 0 (0 ) El pañuelo costó 0 la bufanda I.E.S. Historiador Chabás -7- Juan Bragado Rodríguez

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