TEMA 1 Parte I Vibraciones libres y amortiguadas

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1 TEMA 1 Parte I Vibraciones libres y aortiguadas

2 1.1. Introducción: grados de libertad y agnitudes características VIBRACIÓN MECÁNICA: Oscilación repetida en torno a una posición de equilibrio - Vibraciones convenientes: péndulo para regular un reloj, cuerda pulsada de una guitarra - Vibraciones inconvenientes: vibraciones en estructuras a causa de terreotos, del viento, circulación de vehículos, áquinas Introducción: grados de libertad y...

3 1) Fuerza adicional: desplazaiento equilibrio ) Fuerza recuperadora: vuelta a posición equilibrio 3) Posición equilibrio: velocidad no nula SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD Introducción: grados de libertad y...

4 GRADO DE LIBERTAD: Variables necesarias y suficientes para especificar la posición de un sistea ecánico EJEMPLOS: - disco que se ueve en el plano: tres grados de libertad desplazaiento x, y ángulo de rotación alrededor CM - sólido rígido: seis grados de libertad tres traslaciones eleentales tres rotaciones, seis coordenadas - sistea con un grado de libertad sistea siple: otor de autoóvil: ángulo de giro del cigüeñal Introducción: grados de libertad y...

5 OSCILACIONES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS O ALEATORIAS: Oscilación periódica: Periodo (T, τ): tiepo para que se repita el oviiento Frecuencia (f, ν): núero de oscilaciones por segundo Aplitud (A): desplazaiento áxio Introducción: grados de libertad y...

6 CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS: VIBRACIONES LIBRES: fuerzas gravitatorias o fuerzas elásticas 1) NO AMORTIGUADAS: - fuerzas de rozaiento (resistencia del aire, viscosidad...) son despreciables - se repiten indefinidaente ) AMORTIGUADAS: - fuerzas de rozaiento no despreciables - tienden a desaparecer VIBRACIONES FORZADAS: - copensación de pérdida de energía de la oscilación aortiguada - fuerzas externas Introducción: grados de libertad y...

7 Diseño y construcción de puentes y edificios: FENÓMENO DE LA RESONANCIA: - Edificación: oscilador con un conjunto de frecuencias naturales (rigidez, asa y detalles de la construcción) - Oscilación forzada: fuerza debida a sacudidas del terreno en terreoto FRECUENCIA ONDAS SÍSMICAS FRECUENCIA NATURAL EDIFICIO Introducción: grados de libertad y...

8 1.. Vibraciones libres no aortiguadas FUERZA RECUPERADORA: - proporcional al desplazaiento: kx - dirigida hacia posición de equilibrio - oviiento periódico: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE - odelo de partida para vibraciones en aplicaciones técnicas 1.. Vibraciones libres no aortiguadas

9 MODELO MECÁNICO: - reposo: posición de equilibrio - desplazaiento X : V F kx FX ax d x d x d x kx k x 1.. Vibraciones libres no aortiguadas

10 d x + ω x ω k FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIÓN Soluciones de la ecuación diferencial lineal hoogénea de segundo orden: c x ( t) A cos( ωt α) : x( t) Asen( ωt α) A aplitud o desplazaiento áxio α : ángulo o constante de fase 1.. Vibraciones libres no aortiguadas

11 x( t) A cos( ωt α) T f π ω ω π v dx Aωsen( ωt α ) a dv Aω cos( ω t α ) ω x 1.. Vibraciones libres no aortiguadas

12 ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE: x( t) A cos( ωt α) ENERGÍA POTENCIAL: E P 1 1 kx ka cos ( ωt α ) ENERGÍA CINÉTICA: E C 1 1 dx 1 v ω ( ω A sen t α) 1.. Vibraciones libres no aortiguadas

13 ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE: 1 ) ( 1 ) ( cos 1 A t sen A t ka E E E C P ω α ω ω α ω + + Energía cinética y potencial en función del tiepo: 1.. Vibraciones libres no aortiguadas

14 MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS: E T E C + E P cte de T d( E + C E P ) EJEMPLO: d 1 kx 1 + x& + kxx& x&&& x ( kx + x &&) x& x & + kx k & x& + x 1.. Vibraciones libres no aortiguadas

15 1.3. Vibraciones libres aortiguadas - VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS: idealización pérdidas de energía por rozaiento pequeñas intervalos de tiepo cortos - FUERZAS RESISTIVAS: proporcional a la velocidad y en sentido opuesto F r λv Oscilación en un fluido: aire, agua Vibraciones libres aortiguadas

16 Modelo ecánico: FX ax d x dx kx λv kx λ d x dx + λ + kx d x d x dx + γ + ω x γ λ ω k Vibraciones libres aortiguadas

17 d x dx + γ + ω x Teoría ecuaciones diferenciales: x( t) De λt D, λ: ecuación diferencial y condiciones iniciales λ + γλ + ω λ 1, γ ± γ ω γ ± i ω γ γ ± iω ω ω γ k λ Vibraciones libres aortiguadas

18 λ γ ± iω λ1t λt x( t) D1e + De 1 γt iωt iωt, x( t) e ( D ) 1e + De D 1, D : condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad e i ω t cosωt + isenωt Tres tipos de coportaiento según : ω ω γ Vibraciones libres aortiguadas

19 1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS: ω f γ ω ω γ f La solución física debe ser siepre real: D 1 Ae iα D iα Ae γt iωt x( t) e ( D1e + De iωt ) e γt ( Ae iα e iωt + Ae iα e iωt ) γt x( t) Ae cos( ωt α) Vibraciones libres aortiguadas

20 1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS: γt x( t) Ae cos( ωt α) AMPLITUD: Ae γt FRECUENCIA: ω ω γ Vibraciones libres aortiguadas

21 1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS: No tiene periodo en el sentido definido para las vibraciones libres: T π ω f ω π Magnitudes constantes, aunque no lo es la aplitud Vibraciones libres aortiguadas

22 ) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS: ω γ ω El sistea no oscila: x( t) ( B + Ct) e γt B,C: condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad - aortiguaiento crítico: enor aortiguaiento para no oscilación - vuelta a la posición de equilibrio siguiendo curva exponencial - no se puede redefinir periodo y frecuencia Vibraciones libres aortiguadas

23 ) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS: ξ γ ω Ejeplo en el que este aortiguaiento es interesante: aortiguadores de los coches Vibraciones libres aortiguadas

24 3) SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS: ω p γ ω ω γ p Medio altaente viscoso: s λ γ ω 4 k x( t) st st ( Ae + Be ) e γt A, B: condiciones iniciales de desplazaiento y velocidad - vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar - no es posible redefinir periodo y frecuencia Vibraciones libres aortiguadas

25 Ejeplos de oviiento subaortiguado, sobreaortiguado y críticaente aortiguado: Vibraciones libres aortiguadas

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