La teoría cuántica moderna;

Transcripción

1 V. La teoría cuántica moderna; Schröedinger el átomo de hidrógeno Alejandro Solano Peralta La teoría cuántica moderna; MECÁNICA ONDULATORIA DE SCHRÖEDINGER 1

2 de Broglie la dualidad onda partícula En 194 Louis De Broglie sugirió que la materia (electrones protones neutrones átomos moléculas en general a todas las partículas materiales) tiene una naturalea dual. E = h (Planck 19) E = mc (Einstein 195) h mc Confirmada eperimentalmente por: Sir George Pajet Thomson & A. Reid utiliando una delgada lamina de metal Clinton J. Davisson & Lester Germer al difractar un ha de electrones sobre Ni (cristal) se les premio concediéndoles el premio Nobel de Física en 197 h p Heisenberg el Principio de incertidumbre En 197 Werner Karl Heisenberg* establece el principio deincertidumbre : Es imposible determinar tanto posición momento de un electrón simultáneamente. Si una cantidad es conocida entonces la determinación de la otra cantidad será imposible. DP D h DE Dt h / 4p Werner Heisenberg *Ganador del premio Nóbel en física 193 por la creación de la mecánica cuántica

3 Mecanica cuántica Paul Adrien Maurice Dirac Mecánica ondulatoria de Schrödinger; en 196 Schrödinger trata de describir el comportamiento del electrón en términos de ecuaciones diferenciales similares a las que gobiernan el movimiento ondulatorio (de ahí que se le conoca como teoría ondulatoria de la materia) Mecánica matricial propuesto por W. Heisemberg en 195 formaliado por Ma Born Pascual Jordan en 196 donde se emplean matrices para representar las variables de un sistema Postulados del modelo de Schroedinger 1. Para cada sistema de N partículas eiste una función la cual es una función matemática que depende de las coordenadas de las N partículas del tiempo que contiene toda la información acerca del sistema. A esta función se le suele denominar función de estado (función de onda) del sistema () t) 1 1 N N N 3

4 Postulados del modelo de Schroedinger. Para cada observable físico ( p E L) eiste un operador lineal hermitiano que aplicado a la función de onda me da el valor de la propiedad por la función de onda es decir la medición de este observable resulta ser un miembro del conjunto de valores propios del operador. Ĥ() E() (Ecuación de valores propios) Operador Función Observable (cte) qué es un operador matemático Postulados del modelo de Schroedinger 3. Si en el instante t se realia una medición para localiar la partícula asociada entonces la probabilidad P(t) d de encontrar a la partícula en una coordenada entre + d es igual a es decir P( t)d *( t) ( t)d 1 en este caso se dice que la función está normaliada. 4

5 Plausibilidad de la ecuación de Schroedinger Schrödinger t rata de describir el comportamiento del electrón en términos de ecuaciones diferenciales similares a las que gobiernan el movimiento ondulatorio. Entonces es posible describ ir una función que describa su comportamiento Tal como la función que describe la propagación de una onda sinusoidal: Moviendose a una velocidad; t) Asen π υt v λ Ecuacion gral. de onda 1 v t Ecuacion gral. del movimiento ondulatorio Plausibilidad de la ecuación de Schroedinger Cuál es esa función? Esta función debe ser consistente con: = h / mv (de Broglie) E = h (Planck) E Total = E k + V (Clásica) Donde; E k =1/ mv 5

6 Plausibilidad de la ecuación de Schroedinger Cuál es esa función? Esta función debe ser consistente con: = h / mv (de Broglie) E = h (Planck) E Total = E k + V (Clásica) Debe cumplir ciertos requisitos matemáticos como lo son: Ser finita Continua Una función que cumpla Univaluada estas condiciones se Cuadrado integrable dice está bien Ser lineal condicionada Plausibilidad de la ecuación de Schrödinger Una partícula libre moviéndose en el eje m t) V( t) t) i t fue propuesta por Schrodinger por ello se le conoce como Ecuación de Schroedinger ( t) () (t) Pero considerando únicamente la posición de la partícula d m d ) V() ) E() t) Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo 6

7 Plausibilidad de la ecuación de Schrödinger Una forma simplificada de escribir la ecuación de Schroedinger es por medio de un operador. d m d ) V() Así si se define el operador Hamiltoniano d Ĥ m d ) E() V() entonces la ecuación queda simplificada de la siguiente manera: Ĥ() E() Tarea 9 El operador Â=(d/d 3) es aplicable a las siguentes funciones; f () = e f () = e cos Son propias del operador? Si es así indicar el valor propio Aplique el operador / sobre las funciones; (t) = e -t (t) = sen(-t) Alguna de ellas es propia del operador? 7

8 Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en una caja de potencial d m d d ψ d ) f d ) ) E() me ψ() d m () f() = A sen (m) f() = B cos (m) ψ() A sen V = a V = V = a a m) B cos m) Condiciones a la frontera; = ; () = = a; (a) = nπ sen a sen(m) ; n + Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en una caja de potencial d m d d m d ) E() V = a V = V = a a nπ nπ Asen EAsen a a nπ ) Asen ; n a + 8

9 Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en una caja de potencial nπ ) Asen a Y cuanto vale A? P()d () d *() ()d 1 a np A sen a A a V = a V = V = a d 1 1/ a Postulado 3; condicion de normaliación Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en una caja de potencial ψ() a 1/ sen nπ a ; n + V = a V = V = a a () n = / a () / a nodo n = ()=

10 () Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en una caja de potencial () () n = / a V = a V = V = a a ψ() a 1/ sen nπ a Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en una caja de potencial E(h /8ma) V = a V = V = a a 16 9 n = 4 n = 3 E h n 8m a ; n n = n = 1 Diagrama de niveles de energía 1

11 Tarea 1 Calcule la probabilidad de que una partícula este en el intervalo ( a/4) cuando se encuentre en el primer estado cuántico. cuál seria la probabilidad de encontrar a la partícula en el punto =a/ para n =1 Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en un cubo de potencial m m ψ ) E ψ( ) E tot = E + E + E ψ ) E E E ) ψ( ) Por ser una función lineal ψ ) ψ ) me ψ() ψ ) me me ψ() ψ() 11

12 Cuál es la forma de la función de onda? Partícula en un cubo de potencial E tot = E + E + E E E h n 8m a h n n n 8m a b c n n n + total Cuál es la forma de la función de onda? El átomo de hidrógeno m e V Ze V ) cte r ) ) E( ) en 1 4 π ε Ze 1

13 Átomo de Hidrógeno Hˆ ( ) E( ) Ze V ) cte r en 1 4 π ε Ze ) r ) V r) 1 4p Ze r Átomo de Hidrógeno Hˆ ( ) E( ) ) r ) Tarea 11; Buscar la conversión de coordenadas cartesianas () a coordenadas polares (r) 13

14 14 Ecuación de Schroedinger (195) ) ) ) ) t t V t t t i m ; Nabla cuadrado; operador laplaciano ) (esféricas sin 1 sin sin 1 1 (cartesianas) r r r r r r Átomo de Hidrógeno ) ( ) ( ˆ E H ) ) r ) ) ) ( E V m e ) ) ) ) (r E r V r m e

15 Formulación moderna de la ec. De Schroedinger d pˆ Ĥ dt m t) i t) t) V rˆ t) t) i; es la unidad imaginaria ħ; constante de planck generaliada Ĥ; es el operador Hamiltoniano dependiente del tiempo p; Es el impulso (observable) r; Es la posición (observable) Erwin Schrödinger (196) «An Undulator Theor of the Mechanics of Atoms and Molecules» Phs. Rev Átomo de Hidrógeno Hˆ ( r ) E( r ) m e ) V r) r ) E(r ) nlm 1 r r r r ) R r) ) ) nl lm m r r 1 sen r 1 sen sen Numero cuántico Valor n Principal Descripción l 1... n-1 Aimutal o de forma m l -l -l l-1 +l Magnético Todos los numero cuánticos son números enteros sus valores no pueden elegirse al aar 15

16 E (ev) Átomo de Hidrógeno - Energía 4 Z mee 1 E n 4p ) Z Diagrama de los niveles de energía del átomo de hidrógeno (Z=1) del ion He + (Z=) Átomo de Hidrógeno - función de onda () Las funciones de onda del hidrógeno reciben también el nombre de orbitales atómicos simboliados como: nl así mismo la notación que se usa para designar el momento angular es: Valor de l Símbolo Definición s eacto (sharp) 1 p principal d difuso 3 f fundamental 4 g... 5 h... Así un orbital 1s es la función de onda 1 con n = 1 l = m = 16

17 Átomo de Hidrógeno función de onda () Epresiones matemáticas de las funciones de onda normaliadas para el átomo de hidrógeno Números cuánticos n l m 1 1 1s s 1 1 p Función de onda Simbología Eigen-función p 3/ 1 Z Zr / a 1 e a p 3/ 1 Z Z r Zr / a e 4 a a p 1 4 3/ 1 Zr / a Z p a Zr e a cos 3/ 1 Z Zr Zr / a i 1 1 e sen e 8 p a a Átomo de Hidrógeno función de onda () Tarea 1; Graficar en hojas de papel polar las funciones de onda ( nl ) para los orbitales 1s p 3d 17

18 Átomo de Hidrógeno función de onda () Función de onda radial Orbital r ma (a ) nodos 1s 1 a s Orbitales s Orbitales p Átomo de Hidrógeno función de onda () Funciones de densidad radial de probabilidad radial para el orbital 1s orbital 1s Calcular la probabilidad de encontrar al electrón en una esfera de radio r espesor dr. V = 4πr 3 /3 R (r)dv = 4πr R (r)dr que se denomina función de probabilidad radial (o función de distribución radial). 18

19 Átomo de Hidrógeno función de onda () Funciones de densidad radial de probabilidad radial orbital 1s orbitales s p Probabilidad de encontrar al electrón (3er. Postulado del modelo mecánico cuántico) No se puede saber dónde está el electrón en un momento dado pero sí cuál sería la probabilidad de encontrarlo en algún lugar El orbital es una abstracción matemática que se puede relacionar con la región en la cual es más probable encontrar el electrón esta región puede tener forma. Postulado por Ma Born en 193 Diagrama de contorno P() = 9% REEMPE; región de espacio energética de manifestación probabilística electrónica 19

20 Dependencia radial de los orbitales hidrogenoides.8. p p sin ddr dr 4pr R r)dr (condición de Born) Dependencia angular de los orbitales hidrogenoides

21 Átomo de Hidrógeno - Energía 4 Z mee 1 E n 4p ) Diagrama de niveles de energía para el átomo de hidrógeno (Z=1) Ocupación de los orbitales E. C. Stoner (194) encontro las ocupaciones de: Ocupación de e- subcapa s 6 p 1 d 14 f A. Lande B) ) g L g = factor de Lande o giromagnético B = magneton de Bohr B eh 4pm e 1

22 Bibliografía L O S A L A M O S N A T I O N A L L A B O R A T O R Y Operated b the Universit of California for the US Department of Energ environmentalchemistr.com; información