ERRORES. Identificar las causas de errores en las medidas. Expresar matemáticamente el error de una medida cm cm cm 4 12.

Transcripción

1 ERRORES OBJETIVOS Identificar las causas de errores en las medidas.. lasificar los errores según sus causas. Expresar matemáticamente el error de una medida. Determinar el error del resultado de una operación matemática en la cual se emplean medidas con errores. MARO TEÓRIO Todas las medidas están sujetas a un margen de error producido por diversos factores, por lo que no existe una medida exacta. Por ejemplo, al medir la longitud de un borrador un grupo de estudiantes obtuvo los valores siguientes: Medida Medida (L) cm 1.7 cm cm cm Observe que si tomamos 1.8 cm como valor intermedio, la diferencia de este número con los restantes es 0.1 cm. Por tanto la medida de la longitud del borrador está afectada por una incertidumbre o error de 0.1 cm. De estas cuatro medidas ninguna es incorrecta. Podemos expresar el valor de la longitud como ( ) cm, lo cual significa que nuestra medida (L) está ubicada en el rango 1.7 cm L 1.9 cm. El valor 0.1 se denomina error absoluto y se expresa en las mismas unidades que la medida. El cociente obtenido al dividir el error absoluto entre la medida se denomina error relativo y, si el resultado se multiplica por 100, error relativo porcentual. El error relativo y el error relativo porcentual no tienen unidades. Error relativo = = 0.008

2 Error relativo porcentual = x 100 = 0.8 % Según los factores que provocan el error o incertidumbre de una medida, los errores pueden clasificarse en: 1. Errores Sistemáticos Son los que afectan una medida siempre en el mismo sentido, es decir, afectan todas las medidas en la misma proporción. Son provocados por desperfectos en la construcción o calibración de un instrumento o por usarlo bajo condiciones diferentes de aquellas para las cuales se ha construido. Por ejemplo, un voltímetro que mide siempre 0.1 V menos o un barómetro que se usa a 30º en lugar de 5º, que es la temperatura para la cual se calibró. Los errores sistemáticos pueden detectarse y corregirse siempre que se realice una nueva medida.. Errores Accidentales Provienen del mal manejo del instrumento de medida, las lecturas incorrectas de las escalas e índices, así como de condiciones fluctuantes de la corriente eléctrica, la humedad, la temperatura, etc., que afectan el funcionamiento de los equipos. Aquí se incluyen también los errores debidos a la naturaleza del objeto a medir. Por ejemplo, al medir la longitud del borrador una causa del error es su borde irregular. 3. Errores Burdos Son los provocados por interferencias del medio ambiente (vibraciones, ruido, etc.) que se suman a los efectos que se quieren medir. Otras veces son producidos por el desconocimiento de lo que se está haciendo o calculando, o del instrumento que se maneja. Apreciación de un Instrumento La apreciación de un instrumento es el valor correspondiente al intervalo entre dos marcas de su escala. En los instrumentos de medida que emplearemos en el laboratorio el error de la medida coincide con la apreciación del instrumento. Por ejemplo, en las reglas que usted encontrará en el laboratorio, su apreciación es de 0.1 cm, que coincide con el error o incertidumbre de las medidas que se realizan con ellas. No debe confundirse la apreciación del instrumento con la estimación de la lectura, que es el valor más pequeño que se puede leer o estimar con ayuda de una escala, aunque éste no esté marcado en la misma. Ejemplo:

3 Determine la apreciación de los instrumentos cuyas escalas aparecen en los dibujos y realice las lecturas de las medidas indicadas. cm a) Figura 1.1 Valor de un intervalo de la escala Apreciación = = 1 cm Número de subdivisiones del intervalo 10 = 0.1 cm Lectura: (.4 0.1) cm b) Figura 1. Apreciación = 10 dm = dm 5 Lectura: (1 ) dm c) Figura 1.3 Apreciación = (100 ml/10) = 10 ml Lectura: (16 1) x 10 1 ml

4 d) Figura 1.4 Apreciación = 1V = 0. V 5 Lectura: (4.0 0.) V Esta lectura no es 4, sino 4.0. Este cero indica que el instrumento permite leer hasta la décima y que, en este caso, hay cero décimas. e) Fig cm Apreciación = 1.0 cm Estimación de la lectura= 5 = 0.cm 0. cm = 0.1cm Lectura: ( ) cm Esta lectura no es 4.8, sino 4.7, porque se puede subdividir el espacio comprendido entre las marcas en dos partes, por lo cual el error corresponde a la estimación de la lectura del instrumento. Exacto o preciso? La exactitud es la cercanía o coincidencia de una medida con su valor aceptado llamado patrón o estándar. La precisión indica la concordancia entre las medidas que han sido realizadas de la misma forma. La exactitud supone la comparación con un valor verdadero o teórico, mientras que la precisión supone la repetición del mismo valor, aunque éste no coincida con el valor patrón. lases de Errores o Incertidumbres Atendiendo al Tipo de Medida a) Mediciones con incertidumbres tipo A uando al realizar varias veces una medida, los valores obtenidos difieren en una cantidad no mayor que la apreciación del instrumento, tenemos una incertidumbre de tipo A.

5 b) Medidas con incertidumbres tipo B uando las diferencias entre las medidas de un mismo evento o magnitud son mayores que la apreciación del instrumento o la estimación de la lectura, tenemos una incertidumbre del tipo B. En este caso, el valor medido debe reportarse como el promedio de las medidas y su error como la desviación media de las medidas. Por ejemplo, cuando se mide varias veces el tiempo que tarda en caer un objeto usando un cronómetro, hay una incertidumbre que sobrepasa la apreciación del cronómetro, porque es muy difícil echar a correr el cronómetro justo en el instante en que se suelta el objeto y detenerlo justo cuando el objeto toca el suelo. Ejemplo: Tiempo (t) de 10 vueltas, en segundos Desviación t - t en s = = = = = = 0.4 Total = 1.39 s Total = s Promedio t = = s.04 s Promedio t = = 0.34 s 6 Luego el tiempo de diez vueltas es ( ) s. La incertidumbre se redondea siempre a una cifra significativa. Note que al redondear la desviación media a 0.3 obtenemos un error que es del orden de la décima, por eso se redondea el promedio (t ) también hasta la décima. Al realizar las operaciones para hallar la incertidumbre, debe emplearse más de una cifra significativa en los resultados intermedios. En nuestros cálculos se emplearán cifras significativas cuando calculemos las desviaciones, por eso se ha empleado el valor promedio como con un dígito más, de modo que las desviaciones tengan todas dos cifras significativas. 6 álculo del Error en las Operaciones Matemáticas Fundamentales uando se realizan operaciones con medidas, los errores de éstas se acumulan. De manera que el resultado siempre es menos preciso que las medidas individuales.

6 Sean (M M) y (N N) dos medidas donde M y N son sus incertidumbres correspondientes. Emplee las siguientes reglas para calcular el error absoluto en las operaciones matemáticas fundamentales: Suma y Resta Se suman o se restan las medidas y el error absoluto resultante es la suma de los errores absolutos de las medidas en ambos casos. Ejemplos: (M M) + (N N) = (M + N) ( M + N) (M M) - (N N) = (M - N) ( M + N) a) ( ) cm + ( cm) + ( ) cm = ( ) cm b) ( ) m - ( ) m = (4 1) m Recuerde que el redondeo final se realiza en función de la magnitud del error absoluto del resultado, el cual tiene una sola cifra significativa. Multiplicación El error absoluto del resultado se obtiene sumando los errores relativos de cada medida y multiplicando este resultado por el producto de las medidas. (M M) (N N) = MN MN Ej. Resuelva el siguiente producto: (6. 0.) m x (4. 0.1) m 6. m x 4. m = 6.04 m M M N N Error = 6 (( 0. ) + 5. (0.1 )) = 6 ( ) = El resultado del producto es (6 1) m

7 Potenciación Para hallar el error absoluto en la potenciación, se determina la potencia y se multiplica por el producto del exponente y el error relativo de la medida. (M M) x = M x M x M x M Ejemplo: alcule el área (A) de un cuadrado de ( ) cm de lado. (A A) = [(3.7 ± 0.1)cm] A = (3.7) = cm A = 5.6 x 10 ( x ( ))= 5.6 x 10 ( x 0.004) = 4.7 cm A A = (56 5) cm División El error absoluto de la división se obtiene multiplicando el cociente de las medidas por la suma de los errores relativos de cada medida. M M N N = M N ± [(M N ) (( M M ) + ( N N ))] Type equation here. Ejemplo: Determine la densidad de una pieza metálica cuya masa (m) es ( ) g y su volumen es ( ) cm 3 d = m = 1.6 g =.060 g V 8.3 cm 3 cm 3 d = m V (( m m ) + ( V V 0.1 )) = (1.6 ) (( ) (0.7)) = ( ) =.6 (0.089) = 0.3 (d d) = (.6 0.) g/cm 3

8 Importante: Recuerde que la última cifra de la cantidad medida o calculada ocupa el lugar de la cifra significativa de la incertidumbre. Ejemplos: Resultados Valores a reportar A A A A (3. 0.1) x (785 5) x 10 1 ó ( ) x forma: Para una expresión general A = Mx N y L z el error absoluto se obtiene de la siguiente ΔA = M x N y L z (x M M + y N N + z L L ) Ejemplos: Determine la expresión del error absoluto para las ecuaciones siguientes: 1. A = B 3 L A = ( B 3 ) ( B L B L L ). A B pero 1/ A B A = B ½ ( B B ) = B(½ 1) ( B ) = B( ½) ( B ) = ( B B ½ ) = B B B B B 3. A D, pero A D B

9 D B B B B A luego, D B B A 4. A = ( 3 B) + L A B B B L L L A B B B L L A B Haga (B + ) = u A = 1/ u u u u u A 1 1/ A = ( u½ u ) ( u ) = u(½ 1) ( u ) = u( ½) ( u ) = u u u = B +, porque u es una suma; sustituyendo, A = B + (A+B) 6. A B D 3 4 E Observe que A es una resta de dos términos. Haga u = ( 3 + B). omo u u 1 A = ( u1/ D ) - (4πE ) E E E D D u u D u A 4 1 1/

10 Pero u 3 3 B u 3 B Sustituyendo u y u por su expresión tenemos: A 3 D B 3 B D 3 8 EE ( B) D MATERIALES Y EQUIPOS Péndulo simple ronómetro digital PROEDIMIENTO Mida 6 veces el tiempo de 5 oscilaciones de un péndulo simple usando un cronómetro. Sabiendo que el período es el tiempo de una oscilación y que la frecuencia es el inverso del período, calcule el período y la frecuencia de este péndulo.

11 Ejercicios 1. Realice las lecturas de las medidas indicadas en las figuras:

12 . Determine el período de un péndulo, si la tabla siguiente contiene el tiempo de cinco oscilaciones para seis experimentos. Experimento Tiempo (s) Determine el volumen de un cubo de ( ) cm de arista.

13 4. Halle la expresión del cálculo de la incertidumbre de las siguientes áreas y volúmenes. Figura Área o volumen Expresión del error Triángulo A = bh/ A Rectángulo A = bh A Trapecio A = B b h A írculo A= r A ilindro V = r h V Esfera V = d 3 6 V

14 Paralelepípedo V = bal V 5. Halle la expresión de la incertidumbre para las fórmulas siguientes, si a, b y c son medidas. a. A = a b c b. A = 3a + b + c c. A = a b c d. A = (a ) (b ) + c

15 e. A = ( (a b)) + c f. A = (a b)3 c g. A = ( a b ) + 3( c) 6. Si a = ( ) b = (4. 0.1) c = ( ) alcule el valor de (A ± ΔA) en los seis casos del problema anterior. Incluya todos los cálculos.

16 7. Escriba correctamente las siguientes cantidades:

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