Bienestar y Equilibrio General: ejercicio modelo 2x2x2

Transcripción

1 Bienestar y Equilibrio General ejercicio modelo xx Gustavo Torrens a asignación socialmente óptima Max x A ; x B ; y A ; y B ; X ; Y ; X ; Y W = (U A ) = (U B ) = sa U A = (x A ) = (y A ) = U B = (x B ) = (y B ) = x A + x B = X = ( X ) =3 ( X ) =3 y A + y B = Y = ( Y ) =3 ( Y ) =3 X + Y = X + Y = Incorporando las funciones de utilidad en la función objetivo puede plantearse la siguiente función lagrangiana $ = (x A ) =4 (y A ) =4 (x B ) =4 (y B ) =4 + + (X ) =3 ( X ) =3 x A x B + + (Y ) =3 ( Y ) =3 y A y B X Y + 4 X Y

2 as condiones de primer orden de este problema son las siguientes = =4(x A ) 3=4 (y A ) =4 (x B ) =4 (y B ) A = 0 () = =4(x A ) =4 (y A ) 3=4 (x B ) =4 (y B ) A = 0 () = =4(x A ) =4 (y A ) =4 (x B ) 3=4 (y B ) B = 0 (3) = =4(x A ) =4 (y A ) =4 (x B ) =4 (y B ) B = 0 X = X = Y = =3 X X X X Y Y Y =3 3 = 0 (5) =3 4 = 0 (6) =3 3 = 0 (7) =3 4 = 0 (8) = Y Y = ( X ) =3 ( X ) x A x B = 0 (9) = ( Y ) =3 ( Y ) y A y B = 0 (0) 3 X Y = 0 () 4 X Y = 0 () A continuación vamos a reunir algunas de las expresiones anteriores, lo cual nos va a permitir hacer dos cosas. Primero, interpretar las condiciones que caracterizan al óptimo y segundo eliminar los multiplicadores de agrange del sistema de ecuaciones que forman las condiciones de primer orden. De las expresiones () y () se tiene y A x A = De las expresiones (3) y (4) se tiene y B x B =

3 El lado izquierdo de las dos expresiones anteriores es la relación marginal de sustitución entre el bien Y y el bien X para el consumir A y B respectivamente. Por lo tanto, el óptimo social es e ciente en el consumo, ya que RMS A Y;X = y A x A = = y B x B = RMS B Y;X (3) De las expresiones (6) y (5) se tiene X X = 4 3 De las expresiones (8) y (7) se tiene = Y Y = 4 3 El lado izquierdo de las dos expresiones anteriores es la relación marginal de sustitución técnica entre el factor capital y el factor trabajo para las industrias X e Y respectivamente. Por lo tanto, el óptimo social es e ciente en la producción, ya que T MST X ; = X X = 4 3 = = Y Y = T MST Y ; (4) De las expresiones (5) y (7) se tiene Y Y =3 X X =3 = El lado izquierdo de la expresión anterior es la tasa marginal de transformación entre el bien Y y el bien X. Por lo tanto, el óptimo social es e ciente en el mix producción-consumo, ya que T MT Y;X = Y Y =3 X X =3 = = y i x i = RMS i Y;X; i = A; B (5) as tres condiciones anteriores ((3), (4) y (5)) nos indican que el óptimo social genera una asignación de recursos e ciente en el sentido de Pareto. Vale decir, en el óptimo social no es posible realizar ninguna reasiganación de recursos (bienes o factores) que no empeore a ningún individuo y mejore a por lo menos una persona. 3

4 Adicionalmente, el óptimo social garantiza la justicia social o una distribución del bienestar socialmente óptima de acuerdo con la función de bienestar considerada. De las expresiones () y (3) se tiene x A = x B El lado izquierdo de esta expresión indica el incremento de bienestar social cuando el individuo A obtiene una unidad adicional del bien X, mientras que el lado derecho representa el incremento de bienestar social generado por una unidad más del bien X suministrada al individuo B. Es decir, el óptimo social garantiza la equidad social, justicia social A = x A = x A A as 4 expresiones anteriores ((3), (4), (5) y (6)) caracterizan el óptimo social. Asimismo, estas expresiones junto con las restricciones (9) a () del problema de optimización pueden emplearse para resolver el sistema de ecuaciones y así hallar la asigación de recursos socialmente óptima. Matemáticamente, si utilizamos (9) y (6) se tiene ( X ) =3 ( X ) =3 = x A Si empleamos (0), (3) y (6) se tiene ( Y ) =3 ( Y ) =3 = y A Si dividimos las dos expresiones anteriores miembro a mienbro se tiene ( Y ) =3 ( Y ) =3 ( X ) =3 ( X ) = y A =3 x A Finalmente, empleando (5) obtenemos Despejando, obtenemos ( Y ) =3 ( Y ) =3 ( X ) =3 ( X ) =3 = y A x A = Utilizando () deducimos Y = X =3 Y Y =3 X X X = =3 ; Y = =3 (7) 4

5 Empleando (4) es fácil deducir que Y = = X Por lo tanto, utilizando () tenemos X = =3 ; Y = =3 (8) Incorporando los valores de solución de X, Y, X y Y calcularse los valores de solución de x A, x B ; y A e y B. Es decir pueden x A = x B = ( ) =3 ( ) =3 3 3p ; (9) y A = y B = ( ) =3 ( ) =3 3 3p (0) Hemos calculado la asignación de recursos que maximiza el bienestar social. Ahora nos concentraremos en el equilibrio. Equilibrio Walrasiano as rmas Comencemos resolviendo el problema de las rmas. as rmas del sector X resuelven el siguiente problema de optimización Max X = ( X ) =3 ( X ) =3 w X r X X ; X as condiciones de primer orden de este problema vienen dadas por X X = w = 0 X X X X = r = 0 X X En forma análoga las rmas de la industria Y resuelven el siguiente problema de optimización Max Y ; Y X = ( Y ) =3 ( Y ) =3 w Y r Y as condiciones de primer orden de este problema son Y Y = w = 0 Y Y Y Y = r = 0 Y Y 5

6 Como las funciones de producción en ambas industrias son de rendimientos constantes de escala, el producto se agota realizando los pagos a los factores de producción acorde con su productividad marginal. Por lo tanto los bene cios son cero para cualquier vector de precios. os consumidores os consumidores maximizan su utilidad sujeto a su restricción presupuestaria, teniendo en cuenta que el ingreso lo obtienen del alquiler del servicio de los factores de producción del cual son dueños. Matemáticamente, Max x i ;y i U i = (x i ) = (y i ) = sa x i + y i = w i + r i ; i = A; B as condiciones de segundo orden de estos problemas de optimización conducen a las siguientes demandas marshallianas x A = = wa + r A (5) y A = = wa + r A (6) x B = = wb + r B (7) y A = = wb + r B (8) El Equilibrio Finalmente, debemos considerar que los mercados de bienes y los dos mercados de factores deben estar en equilibrio. Por lo tanto tenemos que incorporar 4 condiciones de equilibrio x A + x B = ( X ) =3 ( X ) =3 (9) y A + y B = ( Y ) =3 ( Y ) =3 (30) X + Y = = A + B (3) X + Y = = A + B (3) Para hallar la asignación de recursos y el vector de precios de equilibrio se debe resolver el sistema de ecuaciones formados por las expresiones () a (3). Recordemos que las ecuaciones no son funcionalmente independientes (la ley de Walras establece que si todos los mercados menos uno están en equilirbrio, el restante también debe estar en equilibrio). 6

7 Por tal motivo resolveremos para todas las cantidades y solamente para precios relativos, es decir para la relación de intercambio de cualquier par de bienes o factores. Tomemos la ecuación de equilibrio para el mercado del bien X (la expresión (9)) e incorporemos las demandas walrasianas del mismo bien de ambos consumidores (las expresiones (5) y (7)); con lo que obtenemos = wa + r A + = wb + r B = x A + x B = ( X ) =3 ( X ) =3 por () y emple- Reemplazando en esta expresión w r por (), ando (3) y (3) tenemos =3 X + =6X = X X Tomemos ahora la ecuación de equilibrio para el mercado del bien Y (la expresión (30)) e incorporemos las demandas walrasianas del mismo bien de ambos consumidores (las expresiones (6) y (8)); con lo que obtenemos = wa + r A + = wb + r B = y A + y B = ( Y ) =3 ( Y ) =3 por (4) y emple- Reemplazando en esta expresión w ando (3) y (3) tenemos por (3), r =6( X ) + =3( X ) = ( X )( X ) Reuniendo las dos expersiones que hemos hallado podemos obtener ( X ) e = =3 ; ( Y ) e = =3 ; (33) ( X ) e = =3 ; ( Y ) e = =3 (34) Podemos observar que las cantidades de factores de equilibrio empleadas en cada una de las industrias no dependen de la distribución de la propiedad de los factores. Esto no es un resultado general, sino una consequencia particular de las formas funcionales de las funciones de utilidad del ejercicio. En particular, observemos que cambios en la distribución del ingreso no modi can la demanda de ninguno de los bienes, ya que lo que deja de demandar el individuo que perdió ingreso se ve exactamente compensado por el aumento de demanda de quien ganó ingreso. Reiteramos que este hecho no es general, sino que es producto de la especial especi cación del ejercicio funciones de uitlidad Cobb Douglas con coe cientes iguales para ambos individuos. 7

8 Incorporando los valores de solución (33) y (34) en la expresiones (3) y (4) obtenemos e w = =3 =3 (35) e r = =3 =3 (36) Finamente, incorporando los valores de solución (33) y (34) en () y (3) podemos hallar el precio relativo restante e px = Utilizando estos precios relativos de equilibrio y las demandas marshallianas (5) a (8) podemos hallar (x A ) e = = wa + r A = (37) p " X =3 =3 = = =3 A + =3 A (x B ) e = = wb + r B = (38) p " X =3 =3 = = =3 B + =3 B (y A ) e = = wa + r A = (39) p " Y = = =3 =3 A + =3 =3 A (y B ) e = = wb + r B = (40) p " Y = = =3 =3 B + =3 =3 B 3 Solución del ejercicio Sabemos que el individuo B sólo tiene =3 del total de la dotación de trabajo y deseamos conocer qué parte de la dotación de capital debemos darle para que el equilibrio walrasiano genere una asignación de recursos exactamente igual al óptimo social. 8

9 Datos B = =3, A = =3. Conocemos además el óptimo social y hemos hallado el equilibrio walrasiano para cualquier distribución de la propiedad de los factores de la producción. Solución En el óptimo social las cantidades consumidas de ambos bienes por ambos individuos debe ser exactamente iguales. Por lo tanto, si deseamos que el equilibrio walrasiano conduzca a esta asignación debemos calcular para qué distribución de los factores de la producción se iguala (5) con 7). Haciendo esto obtenemos " (x A ) e = = =3 " = = =3 =3 A + =3 =3 B + =3 =3 A = =3 B = (x B ) e Incorporando en esta expresión los datos del problema y despejando B obtenemos B = =3 4 Teoremas Fundamentales de la Economía del Bienestar Primer Teorema Podemos emplear las expresiones () a (3) para mostrar que el equilibrio walrasiano genera una asignación de recursos que es e ciente en el sentido de Pareto. De las expresiones (5), (6), (38) y (40) tenemos que RMS A Y;X = y A x A = = y B x B = RMS B Y;X (4) Por lo tanto, el equilibrio walrasiano garantiza un óptimo de Pareto en el consumo. De las expresiones (), (), (3) y (4) tenemos que T MST X ; = X X = w r = = Y Y = T MST Y ; (4) o que implica que el equilibrio walrasiano produce un óptimo de Pareto en la producción. Dividiendo las expresiones () y (3) tenemos que T MT Y;X = Y Y =3 X X =3 = 9 (43)

10 Esto implica que el equilibrio walrasiano también garantiza un mix producción-consumo e ciente en el sentido de Pareto. as tres condiones anteriores ((4), (4) y (43)) reunidas implican que el equilibrio walrasiano es un óptimo de Pareto. Esta relación se concoce como el primer teorema fundamental de la economía del bienestar. Segundo Teorema También podemos observar que cualquier asignación de recursos que constituya un óptimo de Pareto puede generarse como un equilibrio walrasiano. En el ejercicio, por ejemplo, calculamos una distribución de la propiedad de factores de la producción que hizo posible que el óptimo social, que es un óptimo de Pareto, pueda lograrse como un equilibrio walrasiano. Vemos también que para lograr esto debemos distribuir poder adquisitivo entre los individuos de forma de que cada individuo pueda tener en equilibrio un poder adquisitivo tal que desee comprar la cesta de bienes correspondiente al óptimo social. Además, vemos que esta modi cación del ingreso de las personas debe ser realizado de forma tal que no se modi quen las condiciones de óptimalidad que hacen que el equilibrio walrasiano garantice una asiganción e ciente en el sentido de Pareto. En nuestro ejercicio hacemos esto modi cando la propiedad de los factores de producción. Esta segunda relación entre equilibrio y óptimo consituye el núcleo del Segundo Teorema Fundamental de la Economía del Bienestar. 0