Deterministic Finite Automata And Regular Languages

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1 Deterministic Finite Automata And Regular Languages 1

2 Deterministic Finite Automaton (DFA) Input Tape String Output Finite Automaton Accept or Reject Costa Busch - LSU 2

3 Transition Graph a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 initial state state transition accepting state Costa Busch - LSU 3

4 Alphaet Σ = { a, } a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 For every state, there is a transition for every symol in the alphaet Costa Busch - LSU 4

5 head a a Initial Configuration Input Tape Input String a, q 0 q 5 a a a a a, q1 q2 q3 q4 Initial state Costa Busch - LSU 5

6 Scanning the Input a a a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 6

7 a a a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 7

8 a a a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 8

9 Input finished a a a, q 5 a, a a a a accept q0 q1 q2 q3 q4 Last state determines the outcome Costa Busch - LSU 9

10 A Rejection Case a a Input String a, q 0 q 5 a a a a a, q1 q2 q3 q4 Costa Busch - LSU 10

11 a a a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 11

12 a a a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 12

13 Input finished a a a a a, q 5 q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 reject a, Last state determines the outcome Costa Busch - LSU 13

14 Another Rejection Case Tape is empty (λ) Input Finished (no symol read) a, q 0 q 5 a a a a a, q1 q2 q3 q4 reject Costa Busch - LSU 14

15 This automaton accepts only one string Language Accepted: L = { aa} a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 15

16 To accept a string: all the input string is scanned and the last state is accepting To reject a string: all the input string is scanned and the last state is non-accepting Costa Busch - LSU 16

17 Another Example { λ, a aa} L =, a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Accept state Accept Accept state state Costa Busch - LSU 17

18 Empty Tape (λ) Input Finished a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 accept Costa Busch - LSU 18

19 Another Example a a, a, q0 q1 q2 Accept state trap state Costa Busch - LSU 19

20 a a Input String a a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 20

21 a a a a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 21

22 a a a a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 22

23 Input finished a a a accept a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 23

24 A rejection case a Input String a a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 24

25 a a a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 25

26 a a a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 26

27 Input finished a a a, a, q0 q1 q2 reject Costa Busch - LSU 27

28 Language Accepted: L = { a : n 0} n a a, a, q0 q1 q2 Costa Busch - LSU 28

29 Another Example Alphaet: Σ = {1} Language Accepted: 1 q0 q1 1 EVEN = = { x : x Σ * and x { λ, 11, 1111, , } is even} Costa Busch - LSU 29

30 Formal Definition Deterministic Finite Automaton (DFA) ( Q Σ δ q F) M =,,,, 0 Q Σ : set of states : input alphaet λ Σ δ q 0 F : transition function : initial state : set of accepting states Costa Busch - LSU 30

31 Set of States Q Example Q = { q, q q q q q } 0 1, 2, 3, 4, 5 a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 31

32 Input Alphaet Σ λ Σ :the input alphaet never contains λ Example Σ = { a,} a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 32

33 Initial State q0 Example a, q 0 q 5 a a a a a, q1 q2 q3 q4 Costa Busch - LSU 33

34 Set of Accepting States F Q Example F = { } q 4 a, a a a a q0 q1 q2 q3 q 5 a, q 4 Costa Busch - LSU 34

35 Transition Function δ : Q Σ Q δ( q, x ) = q ʹ q x qʹ Descries the result of a transition from state q with symol x Costa Busch - LSU 35

36 Example: δ ( q ) 0, a = q 1 a, q 5 a a a q a q0 1 a, q2 q3 q4 Costa Busch - LSU 36

37 δ ( q ) 0, = q 5 a, q 0 q 5 a a a a a, q1 q2 q3 q4 Costa Busch - LSU 37

38 δ ( q ) 2, = q 3 a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 38

39 Transition Tale for δ states δ a q q 0 q 1 q 2 q 3 q 4 q 5 symols q1 5 q5 q2 q q5 3 q q4 5 q 5 q 5 q 5 q 5 a, q 5 a a a a a, q0 q1 q2 q3 q4 Costa Busch - LSU 39

40 Extended Transition Function δ * : Q Σ * Q * δ ( q, w ) = q ʹ Descries the resulting state after scanning string w from state q Costa Busch - LSU 40

41 Example: δ * ( q, a ) = q 0 2 a, q 5 a a a q a q0 q1 2 a, q3 q4 Costa Busch - LSU 41

42 δ * ( q, aaa ) = q 0 5 a, q 0 q 5 a a a a a, q1 q2 q3 q4 Costa Busch - LSU 42

43 δ * ( q, a ) = q 1 4 a, a a q 5 a, q a 0 q 1 q 2 q a 3 q4 Costa Busch - LSU 43

44 Special case: for any state q δ *( q,λ) = q Costa Busch - LSU 44

45 In general: * δ ( q, w ) = qʹ implies that there is a walk of transitions q σ1 σ 2 w = σ σ σ 1 2 k σ k qʹ states may e repeated q w qʹ Costa Busch - LSU 45

46 Language Accepted y DFA Language accepted y DFA : it is denoted as M L( M ) all the strings accepted y and contains M We also say that M recognizes L( M ) Costa Busch - LSU 46

47 For a DFA ( Q Σ δ q F) M =,,,, 0 M Language accepted y : L { } w q w F ( M ) = Σ * δ *(, ) : 0 q0 w qʹ qʹ F Costa Busch - LSU 47

48 M Language rejected y : L { } w q w F ( M) = Σ * δ *(, ) : 0 q0 w qʹ qʹ F Costa Busch - LSU 48

49 More DFA Examples Σ = { a, } a, a, q 0 q 0 L( M) = { } Empty language L( M) = Σ All strings * Costa Busch - LSU 49

50 Σ = { a, } a, q0 a, q 0 L( M) = { λ} Language of the empty string Costa Busch - LSU 50

51 Σ = { a, } L ( M ) = { all strings with prefix a } a, q a 0 1 q q2 a accept q 3 a, Costa Busch - LSU 51

52 L ( M) = { all inary strings containing sustring 001 } ,1 λ Costa Busch - LSU 52

53 L ( M) = { all inary strings without sustring 001 } 1 1 λ , 1 Costa Busch - LSU 53

54 L { { } * } awa :, ( M) = w a a q a 0 q2 q3 a q 4 a, Costa Busch - LSU 54

55 Definition: A language M L Regular Languages is regular if there is a DFA that accepts it ( L ( M) = L ) The languages accepted y all DFAs form the family of regular languages Costa Busch - LSU 55

56 Example regular languages: { aa } { λ,a,aa} { a n : n 0} { : {, } * } awa w a { all strings in {a,}* with prefix } a { all inary strings without sustring 001} { x : x { } {λ} {1} * and x is even} { a, * } There exist DFAs that accept these languages (see previous slides). Costa Busch - LSU 56

57 There exist languages which are not Regular: L= { a n n : n 0} ADDITION = { x + y = z : x = 1 n, y = 1 m,z = 1 k, n + m = k } There are no DFAs that accept these languages (we will prove this in a later class) Costa Busch - LSU 57

58 Properties of Regular Languages

59 For regular languages we will prove that: L1 and L2 Union: Concatenation: Star: Reversal: Complement: L1 L 2 L 1 L 2 L 1 * R L 1 L 1 Are regular Languages Intersection: L 1 L 2 Costa Busch - LSU 59

60 We say: Regular languages are closed under Union: Concatenation: Star: Reversal: Complement: Intersection: L1 L 2 L 1 L 2 L 1 * R L 1 L 1 L 1 L 2 Costa Busch - LSU 60

61 A useful transformation: use one accept state NFA a a 2 accept states Equivalent NFA a a 1 accept state λ λ Costa Busch - LSU 61

62 NFA In General Equivalent NFA λ λ λ Single accepting state Costa Busch - LSU 62

63 Extreme case NFA without accepting state Add an accepting state without transitions Costa Busch - LSU 63

64 Take two languages Regular language L 1 Regular language L 2 L ( M 1 ) = L1 L ( M 2 ) = L2 NFA M 1 NFA M 2 Single accepting state Single accepting state Costa Busch - LSU 64

65 Example n 0 n L1 = { a } a M 1 M 2 L = 2 { a} a Costa Busch - LSU 65

66 NFA for L1 L 2 Union M 1 λ λ M 2 Costa Busch - LSU 66

67 NFA for Example n L1 L2 = { a } { a} n L1 = { a } a λ λ L 2 = { a} a Costa Busch - LSU 67

68 Concatenation NFA for L 1 L2 M1 M 2 λ Costa Busch - LSU 68

69 Example NFA for n L1 L2 = { a }{ a} = { a a} n n L1 = { a } a λ L 2 = { a} a Costa Busch - LSU 69

70 NFA for L 1 * Star Operation λ w = w w w w i 1 L 1 2 k λ M 1 λ λ L 1 * λ Costa Busch - LSU 70

71 Example NFA for L1 * = { a } * n λ λ n L1 = { a } a λ λ Costa Busch - LSU 71

72 Reverse NFA for R L 1 L 1 M 1 ʹ M 1 1. Reverse all transitions 2. Make initial state accepting state and vice versa Costa Busch - LSU 72

73 Example n L1 = { a } a M 1 ʹ M 1 R 1 L = { a n } a Costa Busch - LSU 73

74 Complement L1 M 1 L 1 ʹ M 1 1. Take the DFA that accepts L1 2. Make accepting states non-final, and vice-versa Costa Busch - LSU 74

75 Example a a, M 1 n L1 = { a } a, n L1 = { a, }* { a } a a, M 1 a, ʹ Costa Busch - LSU 75

76 Intersection L1 regular L2 regular We show L1 L2 regular Costa Busch - LSU 76

77 L1 L = L L DeMorgan s Law: L1, L 2 L1, L 2 L1 L 2 L1 L 2 L1 L 2 regular regular regular regular regular Costa Busch - LSU 77

78 Example n L1 = { a } L 2 = { a, a} regular regular L 1 L2 = { a} regular Costa Busch - LSU 78

79 Another Proof for Intersection Closure Machine M 1 Machine M 2 DFA for L 1 DFA for L2 Construct a new DFA M that accepts L1 L2 M simulates in parallel M1 and M 2 Costa Busch - LSU 79

80 States in M q i, p j State in M1 State in M 2 Costa Busch - LSU 80

81 DFA M DFA M 2 1 q a 1 q2 transition p a 1 p2 transition DFA M q 1, p 1 a q 2, p 2 New transition Costa Busch - LSU 81

82 DFA M1 DFA M 2 q 0 initial state p 0 initial state DFA M q 0, p 0 New initial state Costa Busch - LSU 82

83 DFA M DFA M 2 1 q i p j p k accept state q i, p j DFA M accept states q i, p k New accept states Both constituents must e accepting states Costa Busch - LSU 83

84 Example: n 0 n L1 = { a } L = 2 m 0 { a m } a M 1 M 2 q0 q 1 p0 p 1 q 2 a, p 2 a, a, a a Costa Busch - LSU 84

85 Automaton for intersection L = n m { a } { a } = { a} a, q 0, p 0 a q 0, p 1 q 1, p 1 a q 2, p 2 q 1, p 2 a q 0, p 2 q 2, p 1 a a a, Costa Busch - LSU 85

86 M simulates in parallel M1 and M 2 M accepts string w M 1 if and only if: accepts string w and M 2 accepts string w L( M ) = L( M1) L( M2) Costa Busch - LSU 86

87 Regular Expressions

88 Regular expressions Regular Expressions descrie regular languages Example: ( a + c)* descries the language { a, c} * = { λ, a, c, aa, ac, ca,... } Costa Busch - LSU 88

89 Recursive Definition Primitive regular expressions:, λ, α Given regular expressions r 1 and r 2 r 1 + r 2 r r 1 * r 1 ( r ) 1 2 Are regular expressions Costa Busch - LSU 89

90 Examples A regular expression: ( a + c) * ( c + ) Not a regular expression: ( a + + ) Costa Busch - LSU 90

91 Languages of Regular Expressions L( r) : language of regular expression r Example L (( a + c)* ) = { λ, a, c, aa, ac, ca,... } Costa Busch - LSU 91

92 Definition For primitive regular expressions: L ( ) = L ( λ) = { λ} L( a) = { a} Costa Busch - LSU 92

93 Definition (continued) For regular expressions r1 and r 2 L ( + ) = ( ) ( ) r1 r2 L r1 L r2 ( ) ( ) ( ) L = r1 r2 L r1 L r2 L ( r *) ( ( ) 1 = L r1 )* (( )) ( ) L = r1 L r 1 Costa Busch - LSU 93

94 Example Regular expression: ( a + ) a * L (( a + ) a *) = L (( a + ) ) L( a* ) ( a ) L( a* ) = L + = = = = ( L( a) L( ) )( L( a) )* ({ a} { } ) { } ( a )* { a, }{ λ, a, aa, aaa,... } { a, aa, aaa,...,, a, aa,... } Costa Busch - LSU 94

95 Example Regular expression r = ( a + ) *( a + ) ( r) { a,, aa, a, a,,... } L = Costa Busch - LSU 95

96 Example Regular expression r = ( aa) *( ) * L ( r) 2n 2m = { a : n, m 0} Costa Busch - LSU 96

97 Example Regular expression r = ( 0 + 1)*00 (0 + 1) * L (r) = { all strings containing sustring 00 } Costa Busch - LSU 97

98 Example Regular expression r = ( 1+ 01)*(0 + λ) L (r) = { all strings without sustring 00 } Costa Busch - LSU 98

99 Equivalent Regular Expressions Definition: Regular expressions are equivalent if r1 and r 2 L ( r1 ) = L( r2 ) Costa Busch - LSU 99

100 Example L = { all strings without sustring 00 } r1 = (1 + 01)*(0 + λ) r2 = (1*011*)*(0 + λ ) + 1*(0 + λ) L r ) = L( r ) = ( 1 2 L r1 and r 2 are equivalent regular expressions Costa Busch - LSU 100

101 Regular Expressions and Regular Languages

102 Theorem Languages Generated y Regular Expressions = Regular Languages Costa Busch - LSU 102

103 Proof: Languages Generated y Regular Expressions Regular Languages Languages Generated y Regular Expressions Regular Languages Costa Busch - LSU 103

104 Proof - Part 1 Languages Generated y Regular Expressions Regular Languages For any regular expression r the language L(r) is regular Proof y induction on the size of r Costa Busch - LSU 104

105 Induction Basis Primitive Regular Expressions:, λ, α Corresponding NFAs L( M1) = = L( ) L ( M2) = { λ} = L( λ) regular languages a L ( M3) = { a} = L( a) Costa Busch - LSU 105

106 Inductive Hypothesis Suppose r r 2 that for regular expressions 1 and, L ( r 1 ) and ) are regular languages L( r 2 Costa Busch - LSU 106

107 Inductive Step We will prove: L ( r + r ) 1 2 L L ( r r ) 1 ( r *) 1 2 Are regular Languages L (( r )) 1 Costa Busch - LSU 107

108 Costa Busch - LSU 108 By definition of regular expressions: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * r L r L r L r L r L r L r r L r L r L r r L = = = = +

109 By inductive hypothesis we know: L ( r 1 ) and L( r 2 ) are regular languages We also know: Regular languages are closed under: Union Concatenation Star L L ( r ) L( r ) 1 ( r ) L( r ) 1 ( L( r ))* Costa Busch - LSU 109

110 Therefore: L ( r + r ) = L( r ) L( r ) L ( r r ) = L( r ) L( r ) Are regular languages L ( r ) ( ( ) 1 * = L r1 )* L (( r )) = L( r ) is trivially a regular language 1 1 (y induction hypothesis) End of Proof-Part 1 Costa Busch - LSU 110

111 Using the regular closure of these operations, we can construct recursively the NFA that accepts L ( M) = L( r) M L ( M1 ) = L( r1 ) r = r r 1 + Example: 2 L ( M) = L( r) λ L ( M2 ) = L( r2 ) λ Costa Busch - LSU 111

112 Proof - Part 2 Languages Generated y Regular Expressions Regular Languages For any regular language a regular expression r L with there is L ( r) = L We will convert an NFA that accepts to a regular expression L Costa Busch - LSU 112

113 Since NFA L M is regular, there is a that accepts it L ( M ) = L Take it with a single accept state Costa Busch - LSU 113

114 From M construct the equivalent Generalized Transition Graph in which transition laels are regular expressions Example: M Corresponding Generalized transition graph a c a c a, a + Costa Busch - LSU 114

115 Another Example: a q0 1 q a, q2 Transition laels are regular expressions a q0 1 q a + q2 Costa Busch - LSU 115

116 Reducing the states: a q0 1 q a + q2 Transition laels are regular expressions *a *( a + ) q0 q2 Costa Busch - LSU 116

117 Resulting Regular Expression: *a *( a + ) q0 q2 r = ( * a) * *( a + ) * L ( r) = L( M ) = L Costa Busch - LSU 117

118 Removing a state: In General e d c qi q q j a ae* d ce*d ce* qi q ae* Costa Busch - LSU 118 j

119 By repeating the process until two states are left, the resulting graph is Initial graph r 1 Resulting graph r 3 r 4 q0 r 2 q f The resulting regular expression: r = r1 * r2 ( r4 + r3r 1* r 2 )* L ( r) = L( M ) = L End of Proof-Part 2 Costa Busch - LSU 119

120 Standard Representations of Regular Languages Regular Languages DFAs NFAs Regular Expressions Costa Busch - LSU 120

121 When we say: We are given a Regular Language L We mean: Language L representation is in a standard (DFA, NFA, or Regular Expression) Costa Busch - LSU 121

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