UNIDAD: GEOMETRÍA ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS

Transcripción

1 u r s o : Matemática Material N 11 GUÍ TÓRIO PRÁTI Nº 9 UNI: GOMTRÍ ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS LSIFIIÓN LOS ÁNGULOS URO SU MI Ángulo nulo : s aquel que mide 0. Ángulo agudo : s aquel que mide más de 0 y menos de 90. Ángulo recto : s aquel que mide 90. Ángulo obtuso : s aquel que mide más de 90 y menos de 180. Ángulo etendido : s aquel que mide 180. Ángulo completo : s aquel que mide 360. JMPLOS 1. Si es un ángulo agudo, entonces el ángulo O de la figura 1 es ) agudo ) recto ) obtuso ) etendido ) completo fig uál de las siguientes opciones es siempre verdadera? ) La suma de un ángulo agudo con un obtuso resulta etendido ) La mitad de un obtuso es un ángulo recto ) La suma de un ángulo obtuso con uno etendido resulta completo ) La suma de dos ángulos rectos con un etendido resulta completo ) La suma de dos ángulos agudos resulta un recto 3. n la figura 2, = 3 y δ = 2, entonces 2δ = ) 120 ) 60 ) 45 ) 30 ) 15 δ fig. 2

2 LSIFIIÓN LOS ÁNGULOS SGÚN SU POSIIÓN Ángulos consecutivos : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común. O y consecutivos Ángulos adyacentes o : par lineal Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común y los otros dos lados sobre una misma recta. O y adyacentes Ángulos opuestos por el : Son aquellos que tienen el vértice en común y que los lados de vértice uno son las prolongaciones de los lados del otro. OSRVIONS y opuestos por el vértice, isectriz de un ángulo : s el rayo que divide al ángulo, en dos ángulos de igual medida (congruentes). Rectas perpendiculares : Son dos rectas que al cortarse forman un ángulo recto. L 2 L 1 L 1 L 2 JMPLOS 1. n la figura 1, si + = 250º y + λ = 270º, entonces λ = ) 110º ) 90º ) 70º fig. 1 ) 50º λ ) 30º 2. n la figura 2, se cumple que = δ y = λ. ntonces, λ + 5δ = ) 180 ) 360 ) 720 ) 1080 ) ninguna de las anteriores δ λ fig. 2 2

3 LSIFIIÓN LOS ÁNGULOS URO L SUM SUS MIS Ángulos complementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 90. Si y son complementarios, es el complemento de y es el complemento de. l complemento de un ángulo es 90. Ángulos suplementarios : Son dos ángulos cuyas medidas suman 180. Si y son suplementarios, es el suplemento de y es el suplemento de. l suplemento de un ángulo es 180 JMPLOS 1. l complemento de un ángulo es igual al doble de dicho ángulo. uánto mide? ) 60 ) 45 ) 30 ) 20 ) l suplemento de un ángulo 3 es 60. uánto mide? ) 120 ) 90 ) 60 ) 40 ) Si y 5 son ángulos suplementarios, entonces en función de 5 es ) 90 5 ) 5 90 ) ) )

4 PRS ÁNGULOS FORMOS POR OS RTS PRLLS ORTS POR UN TRNSVRSL ÁNGULOS LTRNOS: L 1 // L 2 T LTRNOS XTRNOS 1 con 7 2 con 8 LTRNOS INTRNOS 3 con 5 4 con L 1 Los ángulos alternos entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS ORRSPONINTS L 2 1 con 5 2 con 6 3 con 7 4 con 8 Los ángulos correspondientes entre paralelas tienen la misma medida. ÁNGULOS OLTRLS OLTRLS XTRNOS 1 con 8 2 con 7 OLTRLS INTRNOS 4 con 5 3 con 6 Los ángulos colaterales entre paralelas suman 180. JMPLOS 1. n la figura 1 //. ntonces, la clasificación de corresponde a un ángulo ) agudo ) recto ) obtuso ) etendido fig. 1 ) completo n la figura 2, //. uánto mide? ) 15 ) 20 ) 25 ) 30 ) fig. 2 4

5 ÁNGULOS N TRIÁNGULOS TORMS La suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a = 180º La suma de las medidas de los ángulos eteriores es igual a = 360º La medida de cada ángulo eterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él. = + = + = + JMPLOS 1. n el triángulo de la figura 1, el valor del ángulo es ) 19 ) 23 ) 29 ) 58 ) 116 fig n el GHI de la figura 2, el valor de es ) 45 ) 75 ) 135 ) 150 ) 210 G I H fig l valor de en el F de la figura 3 con G, es ) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70 F fig. 3 4 G 5

6 LSIFIIÓN LOS TRIÁNGULOS Según sus lados scaleno: Tiene sus tres lados de distinta medida. Isósceles: Tiene sólo dos lados de igual medida. quilátero: Tiene sus tres lados de igual medida. Según sus ángulos cutángulo: Tiene sus tres ángulos agudos. Rectángulo: Tiene un ángulo recto. Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso. JMPLO 1. La clasificación del triángulo de la figura 1, es ) escaleno y acutángulo ) escaleno y rectángulo ) isósceles y acutángulo ) isósceles y obtusángulo ) isósceles y rectángulo 4 30º fig n la figura 2, equilátero y rectángulo isósceles, cuál es la medida del? ) 45º ) 60º ) 75º ) 105º ) 135º fig. 2 6

7 JRIIOS 1. Sea un ángulo. Si el triple de es un ángulo agudo, entonces puede tomar el(los) valor(es): I) = 28 II) = 14 III) = 31 ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo I y III ) Sólo I y II ) I, II y III 2. uál es la medida del en la figura 1? ) 110º ) 75º ) 65º ) 60º ) 55º 100º 150º fig n la figura 2, L 1 // L 2, el valor de es ) 60º ) 70º ) 80º ) 100º ) 120º 100º L 1 L 2 fig n el de la figura 3, =. uál es la medida del? ) 30º ) 60º ) 75º ) 80º ) 150º fig º 7

8 5. Si es la mitad de en la figura 4, entonces el = ) 30º ) 45º ) 60º ) 75º ) 85º fig n la figura 5, L es una recta, + y = 120º, z + v = 90º y = v. uál es el valor de? ) 15º ) 75º ) 100º ) 105º ) 150º L y w v z fig n la figura 6, L 1 // L 2, L 3 // L 4 y + = 50. ntonces, el suplemento de es ) 25 ) 50 ) 90 fig. 6 ) 130 L 4 ) 155 L 3 L 2 L 1 8. n la figura 7, + = δ y = 2, cuánto mide el? ) 60º ) 90º δ fig. 7 ) 45º ) 30º ) 120º 8

9 9. n la figura 8, si el triángulo es rectángulo en y + = 120º, entonces + = ) 90º ) 120º ) 140º ) 150º ) 160º fig n la figura 9, // L, cuál es el valor de +? ) 105º 50º ) 120º ) 130º L ) 150º fig. 9 ) 175º 11. Si el triángulo de la figura 10, es rectángulo en, entonces el complemento del mide ) 22 ) 36 ) 44 ) 46 ) fig l valor de en el F de la figura 11, con G, es ) 20º ) 30º ) 80º ) 100º ) 120º F fig º 5 G 9

10 13. n el triángulo de la figura 12, se traza la transversal, cuánto mide el ángulo? ) 63 ) 70 ) 117 ) 103 ) Ninguna de las anteriores 54º fig n la figura 13, =. ntonces, el mide ) 80 ) 100 ) 110 fig. 13 ) 120 ) n la figura 14, L es recta y = 54º. ntonces, cuál(es) de las epresiones siguientes es(son) igual(es) al triple de? I) + II) 2 III) ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo II y III ) I, II y III L fig uánto mide el en el MNL de la figura 15? ) 60º ) 40º ) 30º ) 20º ) 10º L fig M 120º O N 10

11 17. e acuerdo a la información suministrada en la figura 16, cuál es la medida del? ) 110 ) 120 ) 150 ) 160 ) 170 T R fig. 16 P Q 40 S 18. n la figura 17, = 2, = 2, = 40º y δ = 70º. uánto mide el? ) 40º ) 60º ) 70º ) 130º ) 140º δ fig n el triángulo de la figura 18, y son bisectrices de los ángulos y respectivamente. ntonces, el ángulo mide ) 146º ) 158º ) 168º ) 68º ) 36º fig n el de la figura 19, si M es punto medio de y M = M = 30º, entonces el mide ) 120º ) 100º ) 90º ) 80º ) 60º fig. 19 M 11

12 21. n el triángulo de la figura 20, rectángulo en, y es bisectriz del. Si F = 57º, entonces la medida del es ) 24º ) 26º ) 28º ) 34º ) 57º F fig Si el triple del complemento de ( 30 ) es igual al suplemento de ( 40 ), entonces mide ) 25 ) 70º ) 80 ) 100 ) n la figura 21, L 1, L 2, L 3 y L 4 son rectas tales que L 3 // L 4 y L 3 es bisectriz del ángulo obtuso formado por L 1 y L 2. l valor de es ) 20 ) 30 ) 60 ) 70 ) L 3 L 4 fig. 21 L 1 L n un triángulo, uno de sus ángulos interiores mide 20º más que el otro, pero 35º menos que el tercero. uál es el complemento del menor? ) 25º ) 35º ) 55º ) 65º ) 75º 12

13 25. n el triángulo de la figura 22, el ángulo es igual a ) 2 + ) 2 ) + ) 2 ) fig n la figura 23, //. Se puede determinar que es bisectriz del si: (1) rectángulo en. (2) = 45º ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola fig. 23 ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional 27. n el PQR de la figura 24, S es punto medio de PQ. Se puede determinar que el PQR es isósceles si: (1) RS PQ R (2) ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional P S 55º fig. 24 Q 28. n la figura 25, L 1 // L 2 si: (1) + = 180º L fig. 25 (2) + = + ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional L 1 L 2 13

14 29. n la figura 26, se puede determinar la medida del si: (1) // (2) 7 = 2 ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional fig l de la figura 27 es rectángulo si: (1) = (2) F = 135 ; y son bisectrices. ) (1) por sí sola ) (2) por sí sola ) mbas juntas, (1) y (2) ) ada una por sí sola, (1) ó (2) ) Se requiere información adicional F fig. 27 RSPUSTS jemplos Págs LVS PÁGIN SIM11 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 14