Problemas de Matemáticas (2016/2017). 1. Preliminares.

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1 Problemas de Matemáticas (6/7.. Prelimiares... Comprobar visualmete co diagramas de Ve las siguietes igualdades etre cojutos: a A B = (A B (B A (A B b A (B C = (A B (A C.. Sea f : L L la fució defiida e el alfabeto latio L por f = {(a,b,(b,c,...,(y,z,(z,a} y sea g : P L la que asiga a cada miembro de u grupo de persoas la iicial de su primer apellido. Es f iyectiva o suprayectiva?, lo es g si P = {habitates de Madrid}?, y si es P mi grupo de Matemáticas? Es g iyectiva para algú P? Hallar f ( f (z y f ( g(lector..3. Sea p q la implicació: Si u cuadrilátero tiee las diagoales iguales etoces el cuadrilátero es u rectágulo. Decidir si so ciertas p q, q p, (o p (o q y (o q (o p..4. Demostrar por iducció sobre la fórmula:.5. Hallar el mcd y el mcm de 995 y 99. k 3 = 4 (+. k=.6. Escribir e la forma más simplificada posible: a , b ( 3, c ( 3, d ( 3, e ( 4 9 3/, f ( 9 4 3/, g 8 / /6 9 3/5 4 7/5, h ( 3!, i ( 3, j ( (3 8 3, k (!!, l! ( 3!(..7. Calcular: a , b , c / + /4 + /8 + /4, d / + /4 + / Si a = 3 y a + =a + 3 5, calcular a 4, a 8 y la suma S=a 4 +a 5 + +a 8. Se puede ecotrar 5 eteros e progresió aritmética cuya suma sea la misma S? Y si so 4 los eteros?.9. Calcular ( ( + ( + + ( + para =,3,4,5 y 6, y deducir de la fórmula del biomio el valor de la suma para cualquier. Cuáto vale ( ( ( + + ( (?.. Hallar todos los úmeros reales que cumple cada igualdad: a ++ =, b 4 =, c =, d =, e =, f =, g =, h =... Ecotrar todos los reales para los que: b 3 < 5 c 5π 4π d 4 7 = 4 e f 3 + > g < h i 3 3 > 9 j k < l < a +.. Determiar si cada afirmació es cierta o falsa (probarlas o dar u cotraejemplo: a <y >y,,y ; b <y 3 <y 3,,y ; c <<y 3 < +y+y <3y ; d 5 < < < 8 ; e < 5 < 5 ; f < 5 < 5 ; g co + < ; h co = ; i co = ; j Precisar si los siguietes subcojutos de R tiee supremo, ífimo, máimo, míimo y si so abiertos o cerrados : a { : >} {7} ; b { Q : 4} ; c {( + : N} ; d { 7 : N} ; e φ. I

2 .4. Determiar el domiio de las siguietes fucioes: a f (= arcta 3 b g( = arc se(log c h( = + 5 d k(= Sea f ( = +, g( =. Hallar el domiio de f g, g f y f f. Hallar im f e im g. Comprobar que f es iyectiva e todo su domiio y calcular f idicado su domiio..6. Si f (= +, hallar todos los úmeros reales que cumple f ( 3. Es f iyectiva?.7. Si f y g so crecietes, lo es f + g? Y f g? Y f g?.8. Determiar si f + g y f g so ecesariamete pares o impares e los cuatro casos obteidos al tomar f par o impar y g par o impar..9. Epresar los siguietes águlos e radiaes: 5 o, 8 o, o, 5 o, 7 o. Y estos águlos, que está e radiaes, e grados: π 9, 7π, 7π 6, 3π. Usado Pitágoras deducir el valor de cos π 6, cos π 4 y cos π 3... Si desde cierta distacia u edificio se ve bajo u águlo π 3, y alejádose m se vé bajo u águlo π 6, cuáles so la altura del edificio y la distacia que a la que estaba e la primera posició?.. a Epresar se y cos e fució de cos. b Epresar se y cos e fució de ta. c Probar que ta = se +cos. d Calcular ta π 8, se π y cos π... Hallar (si calculadora los siguietes valores (e el caso de que eista: a 5 /3 b e 3log4 log5 c log 64 d ch(log3 e log(log(log f [sh( ] π g cos( 3π 3 h se π 8 i se 7π j [cos 3π 4 ]/4 k ta 5π 4 l arcta(ta 5π 4 m arcse(arccos cos(arcta7.3. Hallar todos los úmeros reales tales que: a 8 = b log(+ = log, c log(4 3 3 d cos 5cos = e ta =cos f cos = se g cos 4 se 4 = h + 4se = tata i ta <.4. a Epresar mediate idetidades trigoométricas se 3 y cos 3 e fució de se y cos. b Si seα = 3 5 y α es del tercer cuadrate, hallar cos3α y precisar e qué cuadrate está 3α..5. Escribir cos 5 e fució de cos y se 5 e fució de se. Ecotrar a partir de estas epresioes algú poliomio que deba aular el cos π 5, hallar sus raíces y probar que: cos π 5 = Escribir el complejo z= i 5 3+i e la forma re iθ y hallar z 5 y escribirlo e la forma a+bi..7. Calcular: i + 3 +i, ( 3 + i, ( i +i 5, 4 6e iπ/3, ( 3i i+4, e 3 i +i..8. Hallar los úmeros complejos z tales que z 4 = 64 y escribir el poliomio P( = como producto de poliomios de segudo grado co coeficietes reales..9. Determiar si las siguietes igualdades so ciertas para todo z complejo: Re(z = z + z, Re(z w = Re(z Re(w, z = z, z = z..3. Resolver las ecuacioes: z =, z 4 6z + =, z + iz + =, e z =. II

3 Problemas de Matemáticas (6/7.. Sucesioes, límites y cotiuidad e R... Sea a a = ( + +, b b = 7 y c c = 3cos. Hallar u N a partir del cual sus térmios difiera del límite e meos de ε =, ε =. y ε =.... Probar a partir de la defiició de límite que: {a } covergete { a }, {a } covergetes. Es cierta la implicació iversa e alguo de los dos casos?.3. Calcular el límite de las sucesioes que sea covergetes: m a 3 3 b c e ( f ( ( g ( ( i +5se ( 4 se(9/ p + j 5+( + 3 cos π + se ( + +( + q ( +4 d [ +4 ] h ( 4 k cos th l log(e ñ ecosπ log o e cos se +log r ( + s Hallar el límite L de la sucesió a = Probar que a es creciete. Hallar razoadamete u N tal que a L < si N..5. Precisar para qué valores de a,b > coverge las sucesioes: a a = +a b b a +log b c a +3 +b d ( a +b / e ( a + b.6. Utilizado úicamete las defiicioes probar que: a f (= es cotiua e = b lím = c lím = se.7. Sea f ( ua fució tal que f ( 4 para todo R. Es ecesariamete cotiua e =? Y e =? Probarlo o dar u cotraejemplo..8. a Hallar ua f que o sea cotiua e igú puto, pero tal que f ( sea cotiua. b Eiste algua fució que sea cotiua e todo R meos e u úico puto? c Eiste algua que sea cotiua e u úico puto de R y discotiua e todos los demás? d Escribir, si eiste, ua f defiida e todo R tal que la sucesió { f ( } o tieda a f (..9. Hallar (si eiste los siguietes límites: (+ a +se lím (+5 ; b lím ; c lím + +5 f lím + ; g lím ; h lím ; ; d lím ; e lím ; i lím arcta(log ; k lím +log arcse ; l lím se ; m lím ; lím 3+/ ; ñ lím p lím log( ; q lím ( se ; r lím e / se π j lím arcta(log ; 3+/ ; o lím 3+ / ; se se ; s lím ; t lím se ; u lím 3... Sea f : [,] R cotiua y tal que im f [,]. Probar que etoces eiste algú [,] tal que f ( = [a se le llama puto fijo de f ]. III

4 Problemas de Matemáticas (6/7. 3. Derivadas e R. 3.. Hallar el domiio de las siguietes fucioes y el valor de su derivada e el puto que se idica: a f (= log [ π 4arcta( ], =3 /4 ; b g(=arcta [ log( ], =. 3.. Sea f (= arcta ( 3cos. a] Precisar los R que cumple i f (= π 3 ii f (= 7π 3. b] Hallar f ( 5π Hallar la primera y seguda derivadas de las fucioes siguietes idicado su domiio: a f (= 3 se, f (= ; b g(=log, g(= ; c h(= 7/3 ; d k(= Determiar el domiio de la fució y hallar los que aula su derivada seguda: a f ( = , b g( = secos, c h( =, d k( = cos + 4 cos. { 3.5. Sea f ( = si < a + b si >. Hallar a y b para que eista f ( y f ( Sea f ( = log. a] Determiar su domiio. b] Hallar su recta tagete e = Sea g(=se ( log, g(=. Determiar si es cotiua y derivable e =. Hallar todos los úmeros reales tales que g (= Sea f ( = arcta ( log si, f (=. a] Estudiar si es cotiua y derivable e =. b] Hallar la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e = Determiar para qué putos de la gráfica de f (= e la recta tagete pasa por el orige. 3.. Hallar la ecuació de la recta tagete a las siguietes curvas e el puto que se idica: a +4y = e (, 3 b y + y + y 3 = 6 e (,. 3.. Hallar, si eiste, u c (, e el que la recta tagete a f ( = arcta que ue (, y (, π 4. sea paralela a la recta 3.. Estudiar la derivabilidad y hallar (si eiste los valores etremos e los itervalos idicados: a f ( = 9 /3 e [ 8,64] b g( = se+ e [ π, π ] 6 c h(= 3 3 e [,] d k( = ( +9 + ( 8 +6 e R 3.3. Sea g( = e +e /, g(=. a Precisar si es cotiua y derivable e =. b Es g iyectiva e [,? Lo es e todo su domiio? 3.4. Sea f (=+cos. Hallar, si eiste, el valor míimo de f e el itervalo [,]. Probar que eiste f, fució iversa de f para [, ], y hallar la derivada ( f ( Sea g(=3e e. a] Calcular lím g( y lím g(. b] Determiar los que aula g y g. c] Precisar cuátas veces se aula g e su domiio Determiar cuátas veces se aula estas fucioes e los itervalos que se idica: a f (= e se 3se e [ π,π] b g(=log + + e [,] 3.7. Discutir, segú los valores de la costate a, cuátas solucioes reales tiee la ecuació e = a. IV

5 3.8. Sea f ( = e. a] Esquematizar su gráfica a partir de la de e. b] Hallar todos los úmeros reales que satisface f (>. c] Hallar su recta tagete e = Dibujar la gráfica de f (= log(+ a partir de la de log. Hallar los tales que f (<. 3.. Sea g(= ( log, g(=. Determiar si es cotiua y derivable e =. Estudiar su crecimieto y hallar sus putos de ifleió. Dibujar su gráfica. 3.. Sea g(= e 3. a] Hallar su domiio y los límites cuado y. b] Ecotrar sus +4 valores etremos e [,3]. c] Se aula g e el itervalo [,]? d] Esbozar su gráfica. 3.. Sea g(= log ( a Determiar su domiio y asítotas. b Hallar sus valores etremos e [3,6]. c Precisar cuátas veces se aula g e su domiio a Probar que P(= 3 + tiee sólo raíz real y dar u itervalo [,+] al que perteezca. b Sea g( = 3+. Hallar su domiio, asítotas, estudiar 3 g y dibujar aproimadamete la gráfica. + Hallar (si eiste el valor míimo de g e el itervalo [,] Sea f ( = 4 3. a Probar que el deomiador se aula ua úica vez e el itervalo [,]. + 4 b Estudiar el crecimieto de f. c Hallar sus valores etremos e [,]. d Dibujar su gráfica Sea h(=4arcta+. a] Hallar sus asítotas. b] Ecotrar el valor míimo de h e [ 3 /,3 /]. c] Probar que h se aula ua úica vez y que h se aula e (,. d] Dibujar la gráfica de h Sea f ( = ( +e 3. Hallar lím f ( y lím f (. Probar que f se aula e u puto del itervalo (, y que o lo hace más veces e su domiio. Estudiar cuátas solucioes tiee f (= Dibujar las gráficas de las fucioes: a 4+5 b c cos ( + π 4 d arcta(3 3 e ( e f e cos g 3 4+ log h log ( Dibujar las curvas: a + y + 4y = b 4 y 8 = c y + y = 3 d y = 3.9. Determiar el área míima de todos los triágulos del primer cuadrate cuyos catetos so los ejes y cuya hipoteusa pasa por el puto (,. Eiste el triágulo de área máima? 3.3. Sea las rectas que pasa por el puto (,4 y que corta los ejes coordeados e putos (a, y (,b co a,b>. Para cuál de ellas la suma a+b es la meor? 3.3. Hallar el puto de la recta tagete a +y =4 e el puto (, 3 más cercao al puto (, Hallar los putos de la curva 3y = + 4 situados a mayor y meor distacia del orige Ecotrar el puto de la gráfica de f ( = arcta( para el que es míima la suma de sus distacias a ambos ejes Hallar el área máima que puede teer u rectágulo que tega dos lados sobre los semiejes, y positvos y el vértice opuesto sobre la gráfica de P(= U adador está e el puto A del borde de u estaque circular de 5 m de radio y desea ir al puto diametralmete opuesto B, adado hasta algú puto P del borde y adado luego por el arco PB del borde. Si ada 5 m por miuto y camia m por miuto, a qué puto P se debe dirigir para miimizar el tiempo de su recorrido? [Ayuda: si O es el cetro del círculo, qué relació se da etre los águlos PAB y POB?]. V

6 Problemas de Matemáticas (6/7. 4. Series, Taylor y límites idetermiados. 4.. Sea la sucesió {a } defiida por a + = + 3+ a, co a =. Probar que tiee límite y calcularlo. Determiar la covergecia de a. 4.. Determiar si las siguietes series so covergetes o divergetes: a e e f (! b 3+cos c ( ( π e d [ e e ] g +( +3 i (+ j k (l m ( ( ñ se 3 +cos 3 h ( +4 5 l (l ( 4 ( o [ ] Determiar para que úmeros reales c coverge las siguietes series: a ( c b (+!c3 (! c (!c (3! d (c e c + e + f [ ccos ] 4.4. Precisar todos los a para los que coverge a ( a y hallar su suma para a=. = 4.5. Determiar para qué a R coverge a. Precisar para qué valores de a su suma es 3. = 4.6. Probar que.844 ( (+!.847 (sumar 3 y 4 térmios de la serie. Cuátos térmios = habría que sumar para estimar la suma co error meor que 5? 4.7. Razoar si so ciertas las afirmacioes: a] ( 4 + > 9 5 ; b] arcta = = 3 < Estudiar si coverge putual y uiformemete e el itervalo que se idica: f ( = + e [,] ; g ( = + e [,] ; h ( = e e i (,], ii [, Estudiar para qué coverge, y si lo hace uiformemete e el itervalo que se idica: a arcta( 5 e R b cos 3 e R c e [ 7,7] d (5 ( +6 e [5,6]. 4.. i Calcular los valores máimo y míimo de f ( = e e [,. ii Determiar si coverge uiformemete e [, la sucesió f ( y la serie f (. 4.. Determiar todos los valores de para los que coverge las series: a 7 + b ( c d ( e ( ( f +log g + h ( 3+ i j 9 log(+ 4.. Precisar si coverge la serie ( arcta 4.3. Sea f (=. = para: a =, b =, c =e. Determiar para qué R coverge la serie aterior. Coverge para los mismos la serie de f? Qué fució es f? 4.4. Determiar para qué valores de coverge 3 y hallar su suma para esos valores. = VI

7 4.5. Escribir el poliomio P( = ordeado e potecias de ( Utilizado poliomios de Taylor determiar co u error meor que 3 el valor de: a cos b e c log 3 d log 4 3 e log 4.7. Determiar para qué coverge la serie + +3 y precisar si coverge para =sh Hallar los 3 primeros térmios o ulos del desarrollo de Taylor de f ( = (+ 3 /5 e =. Aproimar por u racioal f ( co error meor que Precisar el valor de la suma de las siguietes series: a + + ( b = 3 ( 4 = ( +! c + d =! = + [ + + ] 4.. Hallar los 3 primeros térmios o ulos del desarrollo e serie de Taylor e = de: a cos 3 5 b 3 e shch f cos c log(+ + d ( + g arcse h cos(se 4.. Hallar el coeficiete de 4 e el desarrollo de Taylor de f (= arcta( + y deducir el valor de f (4 (. 4.. Sea g(= e, g(=. Hallar, si eiste, g ( Calcular los siguietes límites idetermiados cuado tiede al a idicado: a = : a cos 4 b ta arcta 3 c e e se 3 d (cos 3/. a = + : e talog. a = : f log g +log / h. a = : i e +se e +cos j ta k [ +3 3] Discutir segú los valores de a el valor del límite cuado de la fucioes: a f (= secos+arctaa 3 b g(= e+ a log( Hallar el real b tal que f ( = [ e b4 cosb ] tiede hacia si y hacia si Hallar los límites cuado y cuado de: a + arcta se b arcta (e log(+ 3 c + e 3 +se 3 d ( +cos arcta 4.7. Determiar (si eiste los límites cuado: i ; ii ; iii de: a f (= se 3 arcta b g(= (+ /3 arcta sh 4 c h(= arcta(se log(+ 3 d k(= e3 se ] 4.8. Hallar el límite de las sucesioes: a a = [+, b b = arcta arcta Sea f ( = log +3, f (=. Hallar f ( y f (. Dibujar su gráfica. Hallar lím { f ( f (} Sea f ( = e, f (=. Hallar f (. Determiar los límites lím el crecimieto y decrecimieto de f. Hallar la derivada f ( (. ± f ( y la im f. Estudiar VII

8 Problemas de Matemáticas (6/7. 5. Itegració e R. 5.. Sea f ( =, [, ; f (=, [, ; f (=, [,3], y sea F(= f. Determiar los [, 3] para los que F es cotiua y derivable. Hallar F(3. Hallar F(. 5.. Sea F( = se arctat +t 4 dt. Hallar F( 3π y F ( 3π Si H(= +3t 3 dt, calcular H ( Sea F(= te t4 dt. Hallar F(, F ( y (F F (. Es F( mayor o meor que F(? 5.5. Posee fució iversa la fució f defiida para todo por f ( = 3 dt logt? 5.6. Sea f ( = e 4arctat dt. Hallar la ecuació de la recta tagete a la gráfica de f e =. Probar que f posee iversa e todo R y calcular ( f ( Sea H( = 4 t dt + t. a] Hallar H ( y H(. b] Hallar el valor míimo de H e [,] Sea H( = e 3s ds. Probar que < H( < 8. Hallar la ecuació de la tagete a su gráfica e =. Precisar los e los que H alcaza sus valores etremos e el itervalo [,] Determiar e qué del itervalo que se idica alcaza su máimo y su míimo las fucioes: ta t a F(= 3 dt e [ π +t 4, π ] 3 b G(= t [ e t ] e t4 dt e [,] c H( = cos(setdt e [,4] d K(= dt e [,6] 36+t3 5.. Estudiar crecimieto y decrecimieto, y precisar cuátas veces se aula la fució e el itervalo: a F( = 5.. Hallar las siguietes primitivas: e t dt e 4 e [, b K( = 3 e s +s ds e [,]. a + +9 d b + +9 d c ( +3 d d log d e (log 3 d f 4 + d g d 4 3 h d i d j arcta d k 3 e d l 3 e d m d +e +e ta d ñ secosd o d cos p sed 5+4cos q d 3se +cos t arcsed u +5 d v 3 d w Calcular, si eiste: e i a 3 π/ π/ 3 d + 3 b se 5 d f + d j e / d d log 4 c logd g log3 k r 4cos d s 4cos d d e / e d d arcta( d h d l π/ π/6 d ( 3 d cos cos d cos d 3se cos VIII

9 5.3. Calcular la itegral 3 se d. Decidir si esta itegral es mayor o meor que a] Hallar I = π/3 se e cos d. b] Probar, si utilizar el resultado de a], que I Calcular la itegral log3 9 e e + 3 d. Probar que esta itegral es mayor que Hallar los valores máimo y míimo de g( = 5 9 e [,4]. Probar que 8 5 < 4 g(d <. Hallar la itegral y, usado desarrollos de Taylor, comprobar las desigualdades ateriores Sea f ( = Hallar los tales que f (= y tales que f (=. Dibujar su gráfica. Hallar el área de la regió acotada por los ejes y la gráfica Sea g( = Hallar la primitiva G( que cumple G( =. Probar que g( > si 3 + [,] y que eiste u úico c (, tal que G(c= a] Hallar ua primitiva de f ( = b] Si G(= f (tdt, hallar G ( y G(. c] Estudiar si coverge f e f. 5.. Sea f ( = log ( + 4. a] Hallar ua primitiva de f. b] Estudiar la covergecia de f. 5.. Sea f (=. a] Calcular 9 4 f. b] Precisar si coverge f. 5.. Sea f (= a] Hallar 4 f (d. b] Precisar si coverge 5 f (d Probar que 3 3 e 6/ d es covergete y que su valor es meor que a] Hallar los primeros térmios o ulos de la serie de Taylor de f (= e log(+ e =. b] Precisar si coverge la itegral impropia e log(+ d Sea f ( = ( e. a] Dibujar aproimadamete su gráfica. b] Hallar el área de la regió limitada por los ejes y la gráfica de f. c] Decidir si coverge la itegral f Sea f (=arcta 4, f (=. a] Hallar, si eiste, f ( y f (. b] Hallar ua primitiva de f. c] Estudiar si coverge la itegral impropia f (d Sea F(= s 3 e s ds. a] Hallar los e los que F alcaza sus valores etremos e [,] y probar que su valor máimo es meor que 7. b] Estudiar si F tiee cota superior e [,. c] Precisar cuátas veces se aula F e [, ] Sea g(= e y G(= + g(tdt. a] Hallar G ( y estudiar dóde crece y decrece G. b] Probar que para todo se cumple G( e /4. c] Estudiar si coverge g a] Hallar, si eiste, los para los que F(= b] Probar que <F( <. s s 3 + ds toma sus valores etremos e [, Sea h(= (+4( + y H(= / h. a] Calcular H H( (. b] Determiar lím c] Precisar cuátos ceros tiee H e el itervalo [,4 ]. H( y lím. IX

10 5.3. Estudiar la covergecia de las siguietes itegrales impropias. Hallar su valor si se puede: a d ( + e ( i + d b d f log d d c π/ cos 3 + se d j log se d g ( cos d d h log( + 3/ d +/ k arcta arcta d l cos d e 5.3. Discutir segú los valores de a R la covergecia de las itegrales: e a a d b [ 3 + se] a d c Calcular lím set dt 3, utilizado L Hôpital y desarrollos de Taylor. log(+e a + d Probar que cos d 6 : a] acotado el itegrado, b] utilizado desarrollos de Taylor Sea f ( = cos. Estudiar si es derivable e =. Hallar, si eiste, los valores máimo y míimo de f e el itervalo [ 4,]. Calcular 4 4 f. Probar que 7 f Sea F( = t et3 dt, co [,. i Hallar los del itervalo e los que F alcaza sus valores máimo y míimo. ii Probar que F( > Sea f ( = arcta. Calcular ua primitiva de f y hallar el área de la regió ecerrada etre su gráfica y las rectas y= y = Calcular el área ecerrada etre las gráficas de g(= y f (= e [,] Calcular el área de la regió acotada etre las curvas y =, y = e y = Hallar el área de la regió ecerrada etre la gráfica de f (= 49 y su recta tagete e = Hallar el área de la regió ecerrada etre la curva y = 3 y la recta tagete a la curva e el puto de abscisa = a > Hallar el área de la regió acotada ecerrada por la gráfica de f ( = log(+ y la recta y= Calcular el área de la meor de las dos regioes acotadas por las curvas + y = y = y Calcular el área de ua de las regioes compredidas etre la gráfica de f ( = se y esta misma gráfica trasladada horizotalmete ua distacia π 3 hacia la derecha Sea la regió del cuarto cuadrate limitada por la gráfica de f ( = e a ( a > y el eje. Probar que la recta tagete a f ( e = divide dicha regió e dos partes de igual área. d X