Factorización de rango completo y aplicaciones

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1 XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matemática Aplicada Ciudad Real, septiembre 2009 (pp. 1 8) Factorización de rango completo y aplicaciones R. Cantó 1, B. Ricarte 1, A.M. Urbano 1 1 Institut de Matemàtica Multidisciplinar, Universidad Politécnica de Valencia, E Valencia. s: rcanto@mat.upv.es, bearibe@mat.upv.es, amurbano@mat.upv.es. Palabras clave: forma de Jordan. Factorización de rango completo, factorización de Cholesky, factorización thin QR, Resumen En este trabajo se estudian algunas aplicaciones de la factorización de rango completo tales como la factorización de Cholesky de una matriz simétrica no invertible, la factorización thin QR de matrices rectangulares y el cálculo de valores y vectores propios de una matriz singular. 1. Introducción Dada una matriz A R n m con rank(a) = r, una factorización de la forma A = F G, donde F R n r, G R r m y rank(f ) = rank(g) = r, se conoce como descomposición de rango completo de la matriz A. Notar que, si A = F G es una factorización de rango completo, entonces cualquier otra factorización de este tipo puede obtenerse de la forma A = (F M 1 )(MG) donde M R r r es una matriz invertible. Si exigimos que la matriz G esté en forma escalonada reducida superior unitaria entonces la factorización obtenida es única. Utilizando la descomposición de rango completo de una matriz, extendemos algunos resultados conocidos para matrices invertibles o con rango completo por columnas a matrices rectangulares que no tienen rango completo. Concretamente, obtenemos la factorización de Cholesky de rango completo de matrices singulares A A, cuya aplicación a matrices totalmente positivas (P) o estrictamente totalmente positivas (SP) permite afirmar que el factor triangular inferior de Cholesky es P o SP. Por otra parte, es conocido que la factorización QR es, entre otras cosas, un camino alternativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales, ya que por ser Q ortogonal resolver el sistema Ax = b es equivalente a resolver el sistema Rx = Q b, el cual es mucho más sencillo por ser R triangular superior. Cuando la matriz A es rectangular con rango completo por columnas Golub y Van oan [4, eorema 5.2.2] definen el concepto de 1

2 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano thin QR factorization y prueban que es única. Esta nueva factorización permite reducir el tamaño de las matrices Q y R, y, como consecuencia, reducir el tamaño del sistema a resolver. Nosotros vamos a extender dicho concepto a matrices rectangulares pero sin rango máximo por columnas. a aplicación a matrices P y SP permite asegurar que la matriz R de esta factorización es P o SP. Dada una matriz cuadrada singular podemos, a partir del eorema de Flanders [3], obtener sus valores propios, vectores propios y forma de Jordan, reduciendo el orden de la matriz mediante factorizaciones de rango completo. 2. Factorización de Cholesky oda matriz simétrica, definida positiva A R n n admite una única factorización de Cholesky A =, donde R n n es triangular inferior con diagonal principal positiva. Si A es semidefinida positiva existe una matriz de permutación P tal que P A admite factorización de Cholesky y, en este caso, es fácil comprobar que en general dicha descomposición no es única. Cuando la matriz semidefinida positiva A tiene rango igual a r y la forma escalonada superior unitaria de sus r primeras filas linealmente independientes puede obtenerse sin intercambio de filas aplicando [1, heorem 1] se deduce que A tiene una única factorización de Cholesky, que puede obtenerse aplicando el método de quasi-gauss [1]. Cuando la matriz A es rectangular se obtiene la factorización de Cholesky de A A. Si A tiene rango completo por columnas, entonces A A es simétrica definida positiva, en otro caso es simétrica semidefinida positiva y, como indica el siguiente resultado, tiene una única factorización de Cholesky de rango completo. eorema 1 Sea A R n m una matriz tal que rank(a) = r. Entonces, A A admite una única factorización de Cholesky de rango completo A A =, donde R m r es una matriz en forma escalonada inferior, con entradas principales positivas y rango completo por columnas. Nota 1 El eorema 1 nos permite afirmar que la factorización de Cholesky de rango completo de A A puede obtenerse aplicando el algoritmo de quasi-gauss sin intercambio de filas. En general, no sucede lo mismo cuando se intenta aplicar el algoritmo de quasi- Neville. Nota 2 Cuando la matriz A R n m con rango r es P, entonces A A también es P y en este caso se verifica 1. El factor triangular inferior A de la factorización de Cholesky de rango completo de A A es P [2]. 2. Como el índice de la matriz A A es igual a 1, la inversa de grupo y la inversa de Drazin coinciden. En este caso dicha inversa viene dada por la matriz simétrica con rango r siguiente: (A A) D = A ( A (A A) A ) 1 A = A ( A A ) 2 A donde A es el factor triangular inferior de Cholesky. Como A es P entonces, ( A A ) 2 es P -matriz y por tanto, la inversa de Drazin es P0 -matriz. 2

3 Factorización de rango completo y aplicaciones 3. Factorización hin QR de matrices rectangulares Dada una matriz A R n m con rango completo por columnas Golub y Van oan [4] definen la factorización thin QR de A como la única factorización de la forma A = Q 1 R 1 donde Q 1 R n m tiene columnas ortonormales y R 1 R m m es triangular superior con las entradas de la diagonal principal positivas. En [4, heorem ] prueban que esta factorización es única y, además, R 1 = donde es el factor triangular inferior de la factorización de Cholesky de A A. Usando la factorización de rango completo el siguiente teorema extiende la factorización thin QR a matrices rectangulares sin rango completo. eorema 2 Sea A R n m una matriz tal que rank(a) = r. Entonces, existe una matriz Q 1 R n r con columnas ortonormales y una matriz escalonada superior R 1 R r m con la entrada principal de cada fila positiva, tal que A = Q 1 R 1. Además, R1 es el factor escalonado inferior de Cholesky de A A. Demostración: Aplicando el algoritmo de quasi-gauss [1] a la matriz A obtenemos la factorización de rango completo A = F U, donde F R n r tiene rango completo por columnas y U R r m es una matriz escalonada reducida superior unitaria con rango completo por filas. Como F R n r tiene rango completo por columnas admite una única factorización thin QR, F = Q 1F R 1F donde Q 1F R n r tiene columnas ortonormales y R 1F R r r es triangular superior con entradas diagonales positivas. Por tanto, A = F U = Q 1F R 1F U = Q 1F (R 1F U) = Q 1 R 1 donde Q 1 = Q 1F R n r y R 1 = R 1F U R r m está en forma escalonada superior con la entrada principal en cada fila positiva. Además, como A A = (Q 1 R 1 ) (Q 1 R 1 ) = R1 R 1, tenemos que R 1 = es el factor escalonado superior de Cholesky de A A. Nota 3 Observar que la matriz de rango completo R 1 es única y como consecuencia se deduce que Q 1 es también única. Esta factorización se conoce como factorización thin QR de una matriz A R n m con rank(a) = r. Nota 4 Si A es P, teniendo en cuenta la Nota 2 podemos asegurar que R 1 es también P. Cuando A es totalmente no positiva se obtiene un resultado análogo por ser A A P. 4. Forma de Jordan Sea A R n n una matriz con rank(a) = r < n, y sea A = F U una factorización de rango completo tal que F R n r, U R r n y rank(f ) = rank(u) = r. A partir del eorema de Flanders [3] tenemos el siguiente resultado, Proposición 1 Sea A R n n una matriz tal que rank(a) = r < n y sea A = F U una factorización de rango completo tal que F R n r, U R r n, ambas con rango r. Consideremos la matriz A 2 = UF R r r. Entonces, A y A 2 tienen los mismos divisores elementales asociados a los valores propios no nulos. Además, si s 1 s 2 s p (s 1 s 2 s p) son los tamaños de los bloques de Jordan asociados al valor propio cero en A (A 2 ), entonces s i s i = 1 para todo i. 3

4 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano Nota 5 Como rank(a 2 ) = rank(a 2 ), si A 2 es singular podemos volver a aplicar la Proposición 1 y obtener la matriz A 3 tal que rank(a 3 ) = rank(a 2 2 ) = rank(a3 ). Por tanto, dada una matriz A R n n que verifica rank(a) = r > rank(a 2 ) = r 2 > > rank(a w ) = r w = rank(a j ), j > w aplicando la Proposition 1 w-veces obtenemos una sucesión de matrices A 2, A 3,..., A w, A w+1 tales que rank(a i ) = rank(a i ) = r i, i = 2, 3,..., w +1 con A w+1 invertible. A partir de la estructura de Jordan de esta última matriz obtenemos la estructura de Jordan de la matriz A asociada a los valores propios no nulos. Además, teniendo en cuenta los rangos de las matrices A 2, A 3,..., A w, A w+1 obtenemos la estructura de Jordan de A asociada al valor propio nulo. Ejemplo 1 Consideremos la matriz A R 8 8 con rank(a) = A = Esta matriz admite la siguiente factorización de rango completo A = = F U. a matriz A 2 = UF tiene rank(a 2 ) = rank(a 2 ) = 4 y puede ser factorizada de la forma A 2 = UF = = F A 2 U A a matriz A 3 = U A2 F A2 con rank(a 3 ) = rank(a 2 2 ) = rank(a3 ) = 3 puede factorizarse de la forma A 3 = U A2 F A2 = = F A3 U A

5 Finalmente A 4 = U A3 F A3 = Factorización de rango completo y aplicaciones a matriz A 4 es invertible siendo sus valores propios λ 1 = 12 y λ 2 = 8 con multiplicidades algebraicas m(λ 1 ) = 1 y m(λ 2 ) = 2. Aplicando la Proposición 1 tenemos que los valores propios de A son λ 1 = 12, λ 2 = 8 y λ 3 = 0, con multiplicidades algebraicas m(λ 1 ) = 1, m(λ 2 ) = 2 y m(λ 3 ) = 5. Como rank(a) = 6, rank(a 2 ) = rank(a 2 ) = 4, rank(a 3 ) = rank(a 3 ) = 3 y rank(a 4 ) = rank(a 4 ) = 3, tenemos que dim(ker(a)) = 2, dim(ker(a 2 )) = 4 y dim(ker(a 3 )) = 5. Por tanto, los tamaños de los bloques de Jordan asociados al valor propio λ 3 = 0 son 3 y 2, siendo su estructura de Jordan J A = diag (J 3 (0), J 2 (0), J 1 (12), J 2 (8)). Conocidos los valores propios de la matriz A vamos a ver ahora cómo obtener las cadenas de Jordan asociadas a dichos valores propios. Supongamos que s 1 s 2... s p 1 son los tamaños de los bloques de Jordan asociados al valor propio cero. Consideremos la factorización de rango completo A = F U y la matriz A 2 = UF R r r. Distinguiremos dos casos: (a) rank(a 2 ) = rank(a) = r En este caso la matriz A 2 es invertible y A no tiene vectores propios generalizados asociados con el valor propio λ = 0. os vectores propios de A asociados a dicho valor propio son las soluciones no nulas del sistema U x = 0. Con las soluciones obtenidas podemos formar las columnas de la matriz V, de manera que AV = O R n (n r). Para los valores propios no nulos se verifica el siguiente resultado, Proposición 2 Si {v r, v r 1,..., v 2, v 1 } es una cadena de Jordan de la matriz A 2 asociada al valor propio no nulo λ, entonces {F v r, F v r 1,..., F v 2, F v 1 } es una cadena de Jordan de A asociada al mismo valor propio. Demostración: Por la Proposición 1 la estructura de Jordan de A 2 y A asociada a los valores propios no nulos es la misma. Como {v r, v r 1,..., v 2, v 1 } es una cadena de Jordan de A 2 asociada al valor propio λ tenemos Multiplicando por F A 2 v j = (UF )v j = v j 1 + λv j, j = r, r 1,..., 2, A 2 v 1 = (UF )v 1 = λv 1. F A 2 v j = F (UF )v j = (F U)(F v j ) = F v j 1 + λ(f v j ), j = r, r 1,..., 2, F A 2 v 1 = F (UF )v 1 = (F U)(F v 1 ) = λ(f v 1 ). Puesto que F tiene rango completo por columnas los vectores F v j, j = 1, 2,..., r, son linealmente independientes. Por tanto, {F v r, F v r 1,..., F v 2, F v 1 } es una cadena de Jordan de A asociada al valor propio λ. Si las columnas de Q R r r son los vectores y vectores propios generalizados de A 2 entonces las columnas de la matriz F Q R n r son los correspondientes vectores y vectores propios generalizados de A asociados a los valores propios no nulos, esto es A 2 = QJ t Q 1 UF = QJ t Q 1 UF Q = QJ t (F U)(F Q) = (F Q)J t A(F Q) = (F Q)J t 5

6 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano Con V y F Q construimos la matriz S = [V F Q] R n n. Dicha matriz verifica que S 1 AS = J A. (b) rank(a 2 ) < rank(a) = r En este caso hay vectores propios y vectores propios generalizados asociados al valor propio λ = 0. Supongamos que A 2 tiene q bloques de Jordan de tamaño s 1 1 s 2 1 s q 1 1 asociados a dicho valor propio. Por la Proposición 1 A tiene al menos q bloques de Jordan de tamaño s 1 s 2 s q 2 asociados al mismo valor propio. El siguiente resultado proporciona la relación que existe entre dichas cadenas de Jordan. Proposición 3 Sea v isi 1, v i si 2,..., v i 2, v i1 una cadena de Jordan de A 2 de longitud s i 1 asociada al valor propio nulo. Entonces, existe un vector no nulo v isi tal que {v isi, F v isi 1, F v isi 2,..., F v i 2, F v i1 } es una cadena de Jordan de A de longitud s i asociada al valor propio nulo. Demostración: Como v isi 1, v i si 2,..., v i 2, v i1 es una cadena de Jordan de A 2 asociada al valor propio nulo tenemos que Por tanto { A2 v ij = v ij 1, j = s i 1, s i 2,..., 3, 2, A 2 v i1 = 0. A 2 v ij = UF v ij = v ij 1 = (F U)(F v ij ) = F v ij 1, j = s i 1, s i 2,..., 2, A 2 v i1 = UF v i1 = 0 = (F U)(F v i1 ) = 0. Como F tiene rango completo por columnas y v ij 0 entonces, F v ij 0 para j = s i 1, s i 2,..., 2, 1. Como consecuencia {F v isi 1, F v i si 2,..., F v i 2, F v i1 } es una cadena de Jordan de A, de longitud s i 1 asociada al valor propio cero. Para extender esta cadena a una cadena de Jordan de longitud s i necesitamos un vector x 0, x ker(a s i ) pero x ker(a s i 1 ), esto es x ker(a s i ) ker(a s i 1 ) y tal que Ax = F v isi 1. De nuevo, como F tiene rango completo por columnas tenemos que Ax = F Ux = F v isi 1 = F (Ux v isi 1 ) = 0 = Ux = v i si 1. Dicho sistema tiene solución ya que U tiene rango completo por filas. Supongamos que x = v isi una solución, esto es Uv isi = v isi 1. Obviamente v i si ker(a s i ) ker(a s i 1 ), ya que en otro caso A s i 1 v isi = 0 = (F U)(F U) (F U)(F U)v isi = 0 = F A s i 2 2 Uv isi = 0 = F A s i 2 2 v isi 1 = 0 = A s i 2 2 v isi 1 = 0, lo cual es absurdo puesto que v isi 1 ker(as i 1 2 ) ker(a s i 2 2 ). Por tanto, el conjunto de vectores {v isi, F v, F v isi 1 i,..., F v si 2 i 2, F v i1 } es una cadena de Jordan de A de longitud s i asociada al valor propio λ = 0. 6

7 Factorización de rango completo y aplicaciones El siguiente diagrama describe el resultado del teorema anterior: ker(a s i ) ker(a si 1 ) v isi ker(a s i 1 2 ) ker(a s i 2 2 ) v isi 1 ker(a si 1 ) ker(a si 2 ) F v isi 1 ker(a s i 2 2 ) ker(a s i 3 2 ) v isi 2 ker(a si 2 ) ker(a si 3 ) F v isi 2. = ker(a 2 2 ) ker(a 2) v i2 ker(a 2 ) ker(a) F v i2 ker(a 2 ) v i1 ker(a) F v i1 Por tanto, todas las cadenas de Jordan de A 2 asociadas al valor propio cero pueden ser extendidas a cadenas de Jordan de A asociadas al mismo valor propio. Si p = q, esto es, si el número de cadenas de Jordan asociadas al valor propio cero de las matrices A 2 y A es el mismo, aplicando la Proposición 3 a cada cadena de A 2 obtenemos la correspondiente cadena de Jordan de A. Si p > q, además de esas cadenas de Jordan, necesitamos p q vectores propios más, los cuales son las soluciones no nulas del sistema Ux = 0 linealmente independientes con los q vectores propios {F v 11, F v 21,..., F v q1 } obtenidos. Para los valores propios no nulos procedemos como en el caso anterior. Ejemplo 2 Consideremos la matriz A R 8 8 del ejemplo 1. Sabemos que A tiene dos bloques de Jordan de tamaño 3 y 2 asociados al valor propio λ 3 = 0, un bloque de Jordan de tamaño 1 asociado a λ 1 = 12 y un bloque de Jordan de tamaño 2 asociado a λ 2 = 8. Para obtener los vectores propios asociados a los valores propios no nulos empezamos con la matriz A Para λ 1 = 12 tenemos E A4 (12) = Env{t = (0, 1, 1)} E A3 (12) = Env{F A3 t} E A2 (12) = Env{F A2 F A3 t} E A (12) = Env{F F A2 F A3 t} Por tanto, simplificando tenemos que E A (12) = Env{(0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1)}. 2. Para λ 2 = 8 la matriz A 4 tiene la siguiente cadena de Jordan de longitud 2, ker((8i A 4 ) 2 ) ker(8i A 4 ) r 2 = (1, 1, 1) ker(8i A 4 ) r 1 = (0, 2, 2) a correspondiente cadena de Jordan de A asociada con dicho valor propio es ker((8i A) 2 ) ker(8i A) F F A2 F A3 r 2 ker(8i A) F F A2 F A3 r 1 simplificando tenemos (2, 7, 2, 7, 2, 7, 2, 7) ker((8i A) 2 ) ker(8i A) y (0, 8, 0, 8, 0, 8, 0, 8) ker(8i A).. 7

8 R. Cantó, B. Ricarte, A.M. Urbano Para obtener las cadenas de Jordan asociadas al valor propio nulo hemos de tener en cuenta que asociadas a dicho valor propio A 3 tiene sólo una cadena de Jordan de longitud 1, A 2 tiene dos cadenas de Jordan de longitudes 2 y 1, y A tiene dos cadenas de Jordan de longitudes 3 y 2. Por la Proposición 3 tenemos y para A ker(a 2 2 ) ker(a 2) r 2 ker(a 3 ) z 1 ker(a 2 ) r 1 = F A2 z 1 s 1 ker(a 3 ) ker(a 2 ) v 3 ker(a 2 ) ker(a) v 2 = F r 2 u 2 ker(a) v 1 = F r 1 u 1 = F s 1 Primero, resolviendo el sistema A 3 x = 0 obtenemos que z 1 = (1, 0, 0, 1) y aplicando la Proposición 3 r 1 = F A2 z 1 = (0, 0, 0, 4, 0, 4) y v 1 = F r 1 = (8, 0, 8, 0, 8, 0, 8, 0) De nuevo por la Proposición 3 sabemos que el vector r 2 es una solución del sistema U A2 x = z 1. Por tanto, r 2 = (2, 0, 1, 1, 1, 1) v 2 = F r 2 = (2, 0, 2, 4, 2, 4, 2, 0) El vector propio s 1 es una solución no nula del sistema U A2 x = 0, de manera que los vectores {s 1, r 1 } sean linealmente independientes. omando s 1 = (1, 0, 1, 0, 0, 0) u 1 = F s 1 = (0, 2, 0, 2, 0, 2, 0, 2) Finalmente, los vectores v 3 y u 2 son soluciones de los sistemas Agradecimientos U A x = r 2 v 3 = x = (3, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 1) U A x = s 1 u 2 = x = (2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1) rabajo financiado por el proyecto DGI MM y por el proyecto de incentivación de la investigación de la Universidad Politécnica de Valencia. Referencias [1] R. Cantó, B. Ricarte and A. M. Urbano, Full rank factorization and Flanders theorem, Sometido. [2] R. Cantó, B. Ricarte and A. M. Urbano, Characterization of rectangular P and SP matrices, Sometido. [3] H. Flanders, Elementary divisors of AB and BA, Proceedings of the American Mathematical Society, 2, 6 (1951), [4] J. H. Golub and C. F. Van oan, Matrix Computations, he Johns Hopkins University Press,