Optimització amb restriccions d igualtat. Multiplicadors de Lagrange

Transcripción

1 Capítol 7 Optimització amb restriccions d igualtat Multiplicadors de Lagrange La realitat ens imposa models amb restriccions Per exemple, la producció d una empresa està condicionada, entre d altres factors, per la quantitat de matèria prima que té l empresa o per el temps que es pot invertir en la producció d un producte Això ens dóna peu a estudiar la optimització de funcions amb restriccions d igualtat 71 Introducció i formalització del problema Volem solucionar problemes de l estil: a) Trobeu nombres tal que el seu producte sigui màxim i la seva suma sigui 36 La primera cosa que farem es escriure formalment el nostre problema Denotem x,y el parell de nombres que estem buscant El nostre problema es pot escriure com: { max xy sa x + y = 36 que es llegeix com maximitzar la funció xy condicionada (o subjecte a) x + y = 36 Aquest problema presenta una condició d igualtat Ens adonem també que el nostre problema presenta funcions de dues variables: f(x, y) = xy i g(x, y) = x + y Però no cal encara treballar en el marc de les funcions de varies variables Aquest primer problema es pot solucionar per substitució De la relació x + y = 36 obtenim y = 36 x i això ho substituïm a la funció f(x, y) obtenint la següent funció d uan variable h = 36x x Així el nostre problema s ha transformat en max 36x x i aquest és un problema de fàcil solució: h = 36 x = 0 x = 18 i com h = < 0 hem obtingut el màxim buscat de h La solució definitiva buscada són els valors x = 18 i y = 18

2 66 Optimització amb restriccions d igualtat Multiplicadors de Lagrange b) Una variant del problema anterior: trobeu nombres tal que el seu producte sigui màxim i pertanyin a la circumferència unitat El nostre problema es tradueix en: { max xy sa x + y = 1 En aquest cas no podem fer com a l anterior problema Si intentem el mètode de substitució obtenim: y = ± 1 x i aleshores no podem continuar per aquest camí perquè no hem obtingut una funció Però podem buscar les solucions via corbes de nivell El nostre problema es transforma en resoldre el sistema { x + y = 1 xy = k més la següent condició geomètrica: imposar que la intersecció entre la corba x + y = 1 i la corba de nivell xy = k per un cert k R (que es determinarà durant el procés) doni només un punt No és res més que una condició de tangència Així, per substitució: i llavors fent el canvi t = x trobem: y = k x x + k x = 1 x4 x + k = 0 t t + k = 0 t = 1 ± 1 4k Ara, el fet d imposar la condició geomètrica és equivalent a imposar que el discriminant de la solució sigui zero, és a dir, 1 4k = 0 d on obtenim que k = ± 1 Així, finalment, trobem quatre solucions: x = 1 y = 1 x = 1 y = 1 x = 1 y = 1 x = 1 y = 1 Cal adonar-se que el que estem fent és maximitzar una funció continua sobre un conjunt compacte utilitzant el mètode de les corbes de nivell com a via de resolució Així pel teorema de Weierstrass tenim màxims i mínims globals De les 4 solucions anteriors es fàcil discernir que { x = 1 y = 1 x = 1 y = 1 són les solucions que estàvem buscant Aquelles que ens reporten que el producte és màxim c) Una última variant del problema anterior: trobeu nombres tal que el triple del producte del primer pel segon sigui màxim i pertanyin a la circumferència de radi El nostre problema es tradueix en: { max x 3 y sa x + y = 4

3 71 Introducció i formalització del problema 67 Però en aquest cas intentar resoldre aquest nou problema de la manera anterior no resulta fructífer Ens trobem amb un problema pitjor: Caldria resoldre una equació de vuitè grau! y = k x 3 x + k x = 4 x8 x 6 + k = 0 Aquest exemple ens permet començar a pensar que tenim necessitat d algun resultat matemàtic que ens permeti resoldre l anterior d una manera més senzilla d) Si el problema anterior no fos suficient per buscar algun resultat (teorema) que ens ajudi, el següent exemple ja resulta la falca definitiva: opt sa x { + y x + y z x + y + z = 1 x y + z = 0 Com resolem aquest problema? I per resoldre no entenem una forma de resolució barroera sino elegant I fixeu-vos que aquí podem entrar a parlar del teorema de la funció implícita e) Un altre tipus de problema (completament diferent a l anterior) el proporciona el següent enunciat Considerem una petita empresa que fabrica només dos productes Denotem A i B les quantitats que es volen fabricar d aquests productes L economista encarregat del departament de finances coneix que la funció de benefici net que relaciona els dos productes és: 3A + B en les unitats monetàries del país D altra banda, les restriccions temporals de les fabriques venen representades per la següent relació: A + 3B 1 Quines quantitats són les que proporcionen el benefici òptim a l empresa? El problema matemàtic a resoldre és: { opt 3A + B sa A + 3B 1 amb A, B 0 Aquest problema es resolt d un manera ja coneguda Sabríeu resoldre l? També existeix un resultat que permet solucionar situacions com aquesta en general Observació El mètode que utilitzarem per solucionar problemes del tipus dels quatre primers serà el Teorema de Lagrange L altre problema, que surt del temari d aquest curs, té la seva resposta via un altre teorema: el Teorema de Kuhn-Tucker Tenim l objectiu d arribar a explicar el teorema que dóna nom a la secció següent i que ja em citat a l observació anterior Cal primer formalitzar el nostre problema

4 68 Optimització amb restriccions d igualtat Multiplicadors de Lagrange La situació en la qual ens trobem és la següent Tenim una funció que volem optimitzar (recordem que això significa que estem buscant el màxim o el mínim) Aquesta funció f : R n R l anomenem funció objectiu i tenim un conjunt de restriccions que formen el conjunt sobre el que busquem la solució: g i (x 1,, x n ) = c i i {1,, n} conjunt que anomenem conjunt factible i denotem sovint amb la lletra F Assumim que la funcions f i g i i són de classe C 1 (R n ) Exemple En el problema anteriorment presentat: { opt xy sa x + y = 1 tenim que les funcions f i g són f(x, y) = xy i g(x, y) = x + y El conjunt factible és la circumferència unitat: F = {(x, y) R x + y = 1} Observació Si les restriccions defineixen un conjunt factible F compacte, podem aplicar aleshores el Teorema de Weierstrass; cosa que ens assegura l existència de màxims i mínims globals Però cal saber abans què significa tenir un màxim o un mínim en un conjunt factible Definició Sigui f : A R R Sigui F A definit per les restriccions g i (x 1,, x n ) = c i i {1,, n} Diem que x 0 F és un màxim local de f restringit a F si ɛ > 0 tal que f f(x 0 ) x 0 B(x 0, ɛ) F Diem que x 0 F és un mínim local de f restringit a F si ɛ > 0 tal que f f(x 0 ) x 0 B(x 0, ɛ) F Diem que x 0 F és un màxim global de f restringit a F si f f(x 0 ) x 0 F Diem que x 0 F és un mínim global de f restringit a F si Una última definició ens cal f f(x 0 ) x 0 F Definició Sigui F un conjunt factible definit per un conjunt de m equacions de la forma: g 1 (x 1,, x n ) = c 1 g m (x 1,, x n ) = c m on cada funció g i (x 1,, x n ) és de classe C 1 en un obert Diem que x 0 F és un punt regular si els vectors gradients de les funcions que defineixen les restriccions són linealment independents Si són linealment dependents, aleshores diem que el punt és irregular

5 7 Teorema de Lagrange 69 Observació En el cas que tinguem una única restricció, la condició de punt regular equival a dir que g( x 0 ) 0 En el cas de tenir més d una restricció, es construeix una matriu a partir dels vectors i s estudia el rang d aquesta matriu Exemple En l exemple anterior, si busquem punts irregulars resulta que no en tenim Això és així ja que, tot i que existeix un punt que anulla el vector gradient: g(x, y) = (x, y) que és el (0, 0), aquest no pertany al conjunt factible perquè g(0, 0) = Teorema de Lagrange 71 Cas funció de dues variables amb una restricció Primer considerem una versió del nostre teorema només per funcions f : R R i quan només tenim una restricció És a dir, el problema que volem resoldre és: { Opt f(x, y) sa g(x, y) = c Un punt (x 0, y 0 ) solució d aquest problema compleix que la corba de nivell de la funció que conté aquest punt per un cert valor k és tangent a la restricció En altres paraules, els vectors tangents de les funcions f(x, y) i g(x, y) són proporcionals en el punt (x 0, y 0 ): ( x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 )) = λ( x (x 0, y 0 ), y (x 0, y 0 )) per un cert λ Això equivalentment es tradueix com: { x (x 0, y 0 ) = y (x 0, y 0 ) = λ λ x (x 0, y 0 ) y (x 0, y 0 ) i escrit d una manera més natural: { x (x 0, y 0 ) λ x (x 0, y 0 ) = 0 y (x 0, y 0 ) λ y (x 0, y 0 ) = 0 Així que el punt (x 0, y 0 ) ha de complir les equacions anteriors a més de: g(x 0, y 0 ) = c Una manera d elegant d escriure aquestes tres condicions és la següent Definim la funció lagrangiana com: L = f(x, y) λ(g(x, y) λ)

6 70 Optimització amb restriccions d igualtat Multiplicadors de Lagrange Els punts crítics d aquesta funció compleixen: L(x,y,λ) x = x (x 0, y 0 ) λ x (x 0, y 0 ) = 0 L(x,y,λ) y = y (x 0, y 0 ) λ y (x 0, y 0 ) = 0 L(x,y,λ) λ = (g(x 0, y 0 ) c) = 0 Per tant, els punts solució del nostre problema són punts crítics de L D això se n diu el mètode de Lagrange El valor λ 0 que trobem associat a (x 0, y 0 ) solució del nostre problema s anomena multiplicador de Lagrange Tot es resumeix en el següent teorema Teorema Siguin f(x, y) i g(x, y) funcions de classe C 1 sobre un obert de R Suposem que (x 0, y 0 ) és un òptim local de la funció f(x, y) amb la restricció g(x, y) = c Aleshores si g(x 0, y 0 ) (0, 0) existeix un únic λ 0 R de manera que L té un punt crític a (x 0, y 0, λ 0 ) Observació Els punts que no compleixen el teorema, ja sigui perquè les funcions no són de classe C 1 en aquests punts o bé perquè no són punts regulars, esdevenen automàticament candidats a solució del nostre problema Això és així perquè el teorema és incapaç de dir-nos què passa amb aquests punts Exemple Volem trobar els candidats a òptim local de la funció f(x, y) = xy + 1 amb la restricció x + y = 1 És a dir, tenim el problema: { Opt xy + 1 sa x + y = 1 És ben cert que per a trobar la solució d aquest problema volem utilitzar el teorema de Lagrange Així doncs, la primera cosa que volem fer és veure si es compleix les condicions del teorema Tenim: { f(x, y) = xy + 1 g(x, y) = x + y Aquest parell de funcions són polinomis i per tant són de classe C 1 (R ) D altra banda, podem afirmar que no hi ha punts irregulars en el nostre conjunt factible: F = {(x, y) R x + y = 1} En efecte, si calculem el gradient de la funció g(x, y) obtenim: g(x, y) = (x, y) Així doncs, l únic que anulla el gradient és el punt (0, 0) i aquest no pertany al conjunt F Això vol dir que es compleixen les condicions del teorema de Lagrange i que, per tant, el podem aplicar i que totes les soluciones del nostre problema es trobaran a través de l aplicació del teorema Construïm la funció de Lagrange: L = xy + 1 λ(x + y 1) Per buscar els punts crítics de la funció lagrangiana cal calcular les derivades parcials i igualar-les a zero: L x = y λx = 0 L y = x λy = 0 L λ = (x + y 1) = 0

7 7 Teorema de Lagrange 71 Al resoldre el sistema obtenim quatre punts: (x 1, y 1 ) = ( 1, 1 ), ambλ 1 = 1 (x, y ) = ( 1, 1 ), ambλ = 1 (x 3, y 3 ) = ( 1 1, ), ambλ 1 = 1 (x 4, y 4 ) = ( 1, 1 ), ambλ 1 = 1 No sabem què són aquests punts Però resulta que estem en una situació favorable per a saber què és cada punt La funció objectiu és continua (de fet, ja hem argumentat que és de classe C 1 ) I el conjunt factible és compacte com ja hem argumentat al llarg de diversos exemples Què vol dir això? Que és compleixen les condicions del teorema de Weierstrass i que per tant, han d existir màxims i mínims globals De fet, almenys un de cada Així algun dels punts anteriors ha de ser un màxim global i algun ha de ser el mínim global Podem trobar-los utilitzant la funció objectiu per avaluar els punts i comparar els resultats Si fem això, obtenim: { f(x1, y 1 ) = f(x, y ) = 3 per tant, (x 1, y 1 ) i (x, y ) són màxims absoluts f(x 3, y 3 ) = f(x 4, y 4 ) = 1 per tant, (x 3, y 3 ) i (x 4, y 4 ) són mínims absoluts Com va succeir al tema anterior, en què es presentava un tractament de l optimització sense restriccions, un cop tenim els candidats a resoldre el problema cal discernir si realment són òptims o no És ben cert, que no sempre serem tan afortunats com a l exemple anterior Observació En la situació del teorema de Lagrange si, a més a més, tenim f, g C (D) aleshores podem definir la matriu hessiana ampliada com: 0 x y HA = L L x y x L x y x y L y Teorema En al situació de l observació anterior, si (x 0, y 0, λ 0 ) és un punt crític de la funció lagrangiana del nostre problema, aleshores: i Si HA(x 0, y 0, λ 0 ) > 0, aleshores (x 0, y 0 ) és un màxim local restringit a F ii Si HA(x 0, y 0, λ 0 ) < 0, aleshores (x 0, y 0 ) és un mínim local restringit a F Aquest resultat només en dóna informació sobre extrems locals El següent resultat ens permet assegurar globalitat Teorema Suposem que f, g : D R R són de classe C 1 (D) on D obert i convex I a més que aquestes funcions provenen d un problema d optimització: { opt f(x, y) sa g(x, y) = c Sigui (x 0, y 0, λ 0 ) punt crític de la funció lagrangiana L associada al problema anterior Aleshores: i Si la funció L és cóncava, aleshores (x 0, y 0 ) és un màxim global restringit a F ii Si la funció L és convexa, aleshores (x 0, y 0 ) és un mínim global restringit a F

8 7 Optimització amb restriccions d igualtat Multiplicadors de Lagrange 7 cas general Ara ja podem considerar la versió per a funcions: amb múltiples restriccions El nostre problema és aleshores: f : D R n R opt f(x 1,, x n ) g 1 (x 1,, x n ) = c 1 sa g m (x 1,, x n ) = c m on m < n I la funció de Lagrange associada al nostre problema és: L(x 1,, x n, λ 1,, λ m ) = f(x 1,, x n ) λ 1 (g 1 (x 1,, x n ) c 1 ) (g m (x 1,, x n ) c m ) Teorema (Lagrange) Siguin f, g i : R n R funcions de classe C 1 sobre un obert de R n Suposem que (x 1,, x n) és un òptim local del problema on m < n Aleshores si opt f(x 1,, x n ) g 1 (x 1,, x n ) = c 1 sa g m (x 1,, x n ) = c m (x 1,, x n) és un punt regular existeix un únic (λ 1,, λ m) R m de manera que L(x 1,, x n, λ 1,, λ m ) té un punt crític a (x 1,, x n, λ 1,, λ m) Notació Considerem la notació abreviada següent: (x, λ) = (x 1,, x n, λ 1,, λ m ) Observació Tanmateix el teorema de Lagrange no ens diu què és el punt No sabem si és un màxim local restringit al conjunt factible o bé un mínim local restringit al conjunt factible Necessitem un criteri Per tal, la primera cosa en ens cal un concepte Si f, g i C, aleshores podem definir els r com: r (x, λ) = on r = m + 1,, n m 1 x r m 1 1 x r x r m m x r L L x x 1 1 x r L x r L

9 73 Interpretació econòmica dels multiplicadors de lagrange 73 Teorema En al situació de l observació anterior, si (x, λ ) és un punt crític de la funció lagrangiana del nostre problema, aleshores: i Si ( 1) m r (x, λ ) > 0 r = m + 1,, n, aleshores x és un mínim local restringit a F ii Si ( 1) r r (x, λ ) > 0 r = m + 1,, n, aleshores x és un màxim local restringit a F Aquest resultat només en dóna informació sobre extrems locals El següent resultat ens permet assegurar globalitat Teorema Suposem que f, g i : D R R són de classe C 1 (D) on D obert i convex I a més que aquestes funcions provenen d un problema d optimització general amb restriccions Sigui (x, λ ) punt crític de la funció lagrangiana L associada al problema d optimització Aleshores: i Si la funció L és cóncava, aleshores (x ) és un màxim global restringit a F ii Si la funció L és convexa, aleshores x és un mínim global restringit a F 73 Interpretació econòmica dels multiplicadors de lagrange Tornem a centrar-nos en el cas de dues variables i una restricció Tenim: { Opt f(x, y) sa g(x, y) = c Via el teorema de Lagrange (sempre i quan es donin les condicions) trobem una solució de la forma (x, y ) Una observació natural és si el valor de c de la restricció varia, també ho farà el valor de la solució del problema Denotem aquesta solució com (x (c), y (c)) La pregunta és: podem dir alguna cosa sobre el comportament de f al canviar el valor de c? Respondre això és equivalent a considerar f(x (c), y (c)) i estudiar la derivada d aquesta funció (que ja només depèn de c) respecte de c Així per la regla de la cadena: c (x (c), y (c)) = x (x (c), y (c)) x c (x (c), y (c)) + y (x (c), y (c)) y c (x (c), y (c)) i donat que: i com: x (x (c), y (c)) x c (x (c), y (c)) + y (x (c), y (c)) y c (x (c), y (c)) = dc { x (x (c), y (c)) = λ(c) x (x (c), y (c)) y (x (c), y (c)) = λ(c) y (x (c), y (c)) ens resulta: c (x (c), y (c)) = λ(c)dc D on obtenim que el multiplicador de Lagrange, λ(c), és la taxa de variació de la funció f respecte c i per tant, el seu signe ens diu si hi ha un augment o una disminució