Trabajo No 1. Teoría de Portafolios

Transcripción

1 Trabajo No 1. Teoría de Portafolios Norman Giraldo Gómez EIO - Universidad Nacional de Colombia ndgirald@unalmed.edu.co Marzo, Introducción Este trabajo consiste de un punto asignado de los cuatro siguientes. La asignación de los puntos está en una Tabla al final del tema. 2. Problemas 1. En los últimos años se ha difundido la hipótesis del desacoplamiento de los mercados emergentes. La idea es que los mercados bursátiles de las economías emergentes, por ejemplo, Lationamérica, han experimentado un crecimiento lo suficientemente fuerte como para prosperar por sí solos, sin tomar en cuenta el consumo en los EUA. En la semana negra del 6 de octubre de 2008 ( 1 ) las bolsas en EUA cayeron más de 20 %. Este colapso de los mercados en EUA en 2008, la crisis sub-prime, es una oportunidad para preguntarse hasta qué punto el mercado colombiano está desacoplado del mercado en EUA. Para investigar el efecto de esta crisis en el mercado colombiano se escoge un grupo de acciones y se conforma un portafolio hasta una fecha anterior a 6 de octubre 2008, y luego se examina el mismo portafolio hasta una fecha posterior a 6/10/2009. En ambos casos se calculan los rendimientos medios y la volatilidad. Se aplican pruebas 1 market crash 1

2 estadísticas estándar para chequear si los rendimientos medios y las volatilidades, en ambos períodos, son iguales. a) Lea el archivo Acciones Escoja las acciones bogota, exito, colinver, mineros, isa, promigas. Forme el subconjunto de precios para estas acciones entre las fechas 07/01/2003 y 03/06/2008. Grafique los precios de estas acciones en este período usando plot.ts. b) Calcule los rendimientos medios y las volatilidades diarias, indicadas por u, σ2, y las correspondientes anuales, para las seis acciones. c) Conforme con estas acciones un portafolio en 07/01/2003 con porcentajes w j = 1/6, j=1, 2,..., 6, es decir, un portafolio con porcentajes iguales para cada acción. Invierta 200 mill en 07/01/2003 es este portafolio. Calcule cuántas unidades de cada acción se compraron en 07/01/2003. Grafique el valor del portafolio entre 07/01/2003 y 03/06/2008. d) Genere un vector con los rendimientos diarios de este portafolio. Calcule el rendimiento medio diario y la volatilidad diaria de este portafolio. e) Repita los pasos c), d) y f), pero considerando los precios a partir de 03/06/2008 y hasta la fecha 24/07/2009 (fecha final en el archivo). f ) Encuentre si existen diferencias significativas en los rendimientos diarios medios de ambos portafolios y en sus volatilidades, utilizando: 1) una prueba t-student para la diferencia de medias, asumiendo varianzas desiguales, 2) una prueba F para igualdad de varianzas. De acuerdo con los resultados de estas pruebas concluya si exite evidencia del efecto de la crisis sub-prime en el mercado colombiano. g) Incluya un comentario acerca de la validez general de este resultado. 2. Considere los datos de valor de la unidad de fondos de inversión (mutual funds) en USD en el archivo: FondosMutuos txt, con los fondos: prlax, prmsx, temix, fltmx, fpacx, habdx, vbmfx, ( 2 ). Es cierto que al convertir el valor de la unidad de USD a COLP aumenta la volatilidad de la misma por efecto de la volatilidad de la tasa de cambio?. Desarrolle los puntos siguientes para obtener una respuesta parcial a esta pregunta. 2 Estas son las siglas que usa yahoo.finance.com. En el sitio se pueden consultar con GET QUOTES 2

3 a) Lea el archivo FondosMutuos txt. La última columna trm contiene el valor de la tasa representativa del mercado, es decir el valor en COLP de 1 USD. Lea estos datos en un objeto data.frame, indicado por la letra D. b) Genere otro data.frame D1 con las columnas 2:9 de D. Genere la trm con la columna 8 de D1. Y luego extraiga de D1 las columnas 1 a 7 y colóquelas en un objeto D2. D1 = na.omit(d[,2:9]) trm = D1[,8] D2 = D1[,1:7] c) Con D2 calcule los rendimientos para estos 7 fondos. Luego calcule los rendimientos medios, la matriz de varianzas y covarianzas y la matriz de correlaciones. Reporte estos resultados. Re = diff(log(as.matrix(d2)),1,1) robustcov = assetsmeancov(re, "shrink") u = colmeans(re) S = robustcov$sigma (sigma = sqrt(diag(s)*360)) (cov2cor(s)) d) Multiplique las 7 columnas de D2 por la trm, para obtener los valores en COLP. Coloque los resultados en un objeto D3. Obtenga los rendimientos, rendimientos medios, varianzas, covarianza y correlaciones. Reporte. D3 = D2*trm Red = diff(log(as.matrix(d3)),1,1) robustcov2 = assetsmeancov(red, "shrink") u2 = colmeans(red) S2 = robustcov2$sigma (sigma = sqrt(diag(s2)*360)) (cov2cor(s2)) e) Compare las varianzas de los rendimientos de los 7 fondos en USD con las varianzas de los fondos en COLP. Use la prueba de hipótesis F para igualdad de varianzas con hipótesis nula H o : σ1 2 = σ2 2 versus H 1 : σ1 2 = σ2, 2 con base en la estimación del cociente σ1/σ

4 La prueba var.test de R produce un invervalo de confianza de 95 % para este cociente. y = rbind(re,red) n1 = nrow(re) n2 = nrow(red) Indice = rep(c(1,2),c(n1,n2)) prueba.var = mat.or.vec(7,2) for(j in 1:7){ prueba.var[j,] = var.test(y[,j]~indice)$conf.int } (prueba.var) Si 1 está en este intervalo no rechaza la hipótesis de igualdad. Si no está, se rechaza. Si ambos extremos son menores de 1 se concluye que hay evidencia de σ 2 1 <σ2 2.Si ambos extremos son mayores de 1 se concluye la desigualdad contraria. Reporte el resultado y concluya: hay evidencia que invertir en fondos en USD aumenta la volatilidad?. La conclusión no debe ser general porque se basa en una muestra de solamente 7 fondos. 3. Considere las acciones del archivo Acciones En este problema se pide formar dos portafolios: uno con 6 acciones durante las fechas 28/11/2007 hasta 24/07/2009 y otro con las mismas 6 acciones pero añadiendo la acción de Ecopetrol, que empezó a cotizarse en la bolsa de 28/11/2007. La pregunta es: si se invierten 100 millones en ambos portafolios, y en el segundo se inverte el 20 % en la acción de Ecopetrol, aumenta significativamente el rendimiento medio? y la volatilidad?. a) Lea el archivo Acciones Considere las acciones bogota, exito, colinver, mineros, isa, promigas del grupo de acciones , en las columnas 3,5,6,7,9,11. Forme el subconjunto de precios para estas acciones entre las fechas 28/11/2007 hasta 24/07/2009. Grafique la evolución de los precios de estas acciones en este período usando plot.ts. library(fassets) archivo = "Acciones txt" 4

5 D = read.table(archivo, header = TRUE, stringsasfactors = FALSE) Ie = which(d$fecha == "28/11/2007") n = nrow(d) D2 = na.omit(d[ie:n,c(1,3,5,6,7,9,11)]) fechas = D2$fechas D2 = D2[,2:7] b) Calcule las volatilidades diarias, correlaciones y rendimientos medios diarios, para las seis acciones. R2 = diff(log(as.matrix(d2)),1,1) robustcov = assetsmeancov(r2, "shrink") S2 = robustcov$sigma (sigma2 = diag(s2)) (cov2cor(s2)) (u2 = colmeans(r2)) c) Conforme con estas acciones un portafolio en 28/11/2007 con porcentajes w2 proporcionales a la tasa media de rendimiento efectiva anual. En caso de tasa negativa colocar cerol. Invierta $100 millones en este portafolio. Grafique la evolución del valor de este portafolio. w2 = exp(360*(u2 + sigma2/2))-1 w2 = ifelse(w2 > 0, w2,0) (w2 = w2/sum(w2)) C = 100e+06 (N2 = floor(c*w2/as.matrix(d2[1,]))) P2 = as.matrix(d2)%*%t(n2) Note: en w2 están los porcentajes, en N2 están el número de unidades compradas de cada acción, en P2 está el valor del portafolio diario. d) Genere un vector con los rendimientos diarios de este portafolio. Calcule el rendimiento medio diario y la volatilidad diaria de este portafolio. e) Repita los pasos a) - d), pero considerando un nuevo portafolio con 20 % invertido en ecopetrol y el resto con los porcentajes dados en w2, pero multiplicados por 80 %. Es decir, w3 =(0.2, 0.8 w2). Calcule los rendimientos de este portafolio. 5

6 f ) Encuentre si existen diferencias significativas en los rendimientos diarios medios de ambos portafolios y en sus volatilidades, utilizando: 1) una prueba t-student para diferencia de medias, asumiendo varianzas desiguales, 2) una prueba F para igualdad de varianzas. De acuerdo con los resultados de estas pruebas concluya si exite evidencia del efecto de incluír ecopetrol en el portafolio. g) Incluya un comentario acerca de la validez general de este resultado. 4. En Jara et al [2], pag. 229, se afirma: El límite de inversión de 20 % en activos emitidos por entidades del exterior impuesto por la Superintendencia Financiera ( a las Administradoras de Fondos de Pensiones y Cesantías) es el más estricto de todos. En aras de la eficiencia, las AFP deberían invertir los ahorros individuales de sus afiliados en activos externos al máximo permitido. Esta conclusión no es sorprendente, pues es de esperar que la correlación de activos externos con activos locales sea menor que aquélla entre activos netamente locales. El poder de la diversificación favorece la inversión en activos decorrelacionados. Se trata de verificar esta afirmación tomando un portafolio de acciones de la BVC y compararlo con otro portafolio con las mismas acciones más una inversión en un fondo mutuo de EUA. Nótese que la Reforma Financiera permitirá la inversión en fondos en el exterior. 03/06/2008 y hasta la fecha 24/07/2009 (fecha final en el archivo). a) Lea el archivo FondosMutuos txt en un objeto dataframe, indicado por la letra Dd. La última columna, la trm, contiene el valor en pesos de 1 dólar, es decir, la tasa representativa del mercado. Y lea el archivo Acciones txt en un objeto data.frame, indicado por la letra Dp. b) Genere otro dataframe Dpd con las columnas 3,5,6,7,9,11 de Dp y las columnas prlax, prmsx de Dd, multiplicadas por la columna trm. Use las instrucciones: Dd.trm = Dd[,c("prlax","prmsx")]*Dd$trm Dpd = data.frame(fechas = Dp$fechas,Dp[,c(3,5,6,7,9,11)],Dd.trm) fechas = Dp$fechas Dpd = as.matrix(na.omit(dpd)) Note que la última instrucción primero depura los datos faltantes con na.omit y luego convierte el objeto dataframe en un objeto matriz. 6

7 c) Con Dpd calcule los rendimientos para estos 8 activos (6 acciones de la BVC y 2 fondos en USA en pesos). Luego calcule los rendimientos medios, la matriz de varianzas y covarianzas y la matriz de correlaciones. Reporte estos resultados. R = diff(log(dpd),1,1) robustcov = assetsmeancov(r, "shrink") S = robustcov$sigma (sigma2 = diag(s)) (u = colmeans(r)) (cov2cor(s)) d) Forme un portafolio w =(w 1,w 2,...,w 8 ) con base en el cociente = (rendimiento medio)/riesgo = u/σ. Reporte w y la gráfica de los precios del portafolio. w = sqrt(360)*u/sqrt(sigma2) (w1 = w/sum(w)) P = Dpd%*%w1 plot(fecha,p, panel.first = grid(), type= l, ylab="precio portafolio pesos + usd") e) Calcule y reporte la volatilidad y rendimientos anuales de este portafolio. Y la tasa de rendimiento efectiva media anual t.e.a. Use: rp1 = R%*%w vol.p = var(rp1) ren.p = mean(rp1) (360*ren.p) (v.a = sqrt(vol.p*360)) (t.e.a = exp(360*(ren.p + vol.p/2))-1) f ) Note que los rendimientos están en el vector rp1. Calcule un portafolio solamente con las acciones de la BVC. Forme los pesos tomando los primeros 6 valores del vector w que calculo arriba. Y calcule los rendimientos de este nuevo portafolio en un vector rp2. Reporte la volatilidad y rendimientos anuales de este portafolio. Y la tasa de rendimiento efectiva media anual t.e.a. 7

8 (w2 = w[1:6]/sum(w[1:6])) P2 = as.matrix(dpd[,1:6])%*%w2 rp2 = R[,1:6]%*%w2 vol.p2 = var(rp2) ren.p2 = mean(rp2) (360*ren.p2) (v.a = sqrt(vol.p2*360)) (t.e.a = exp(360*(ren.p2 + vol.p2/2))-1) plot(fecha,p2, xaxt="n",panel.first = grid(),type= l,ylab="precio") g) Realice una prueba de hipótesis para igualdad de rendimientos e igualdad de volatilidades (varianzas). Use n1 = nrow(rp1) n2 = nrow(rp2) y = c(rp1,rp2) Indice = rep(c(1,2),c(n1,n2)) (var.test(y~indice)) (t.test(y~indice, var.equal = FALSE)) 3. Presentación y Valor del trabajo Usar el Formato Microsoft Word para presentación de artículos Revista: Ingeniería y Ciencia que se encuentra en la página web ndgirald en el vínculo Documentos. Los resultados no deben presentarse copiados directamente del R sino que deben editarse. No incluír el programa en R ni los datos. No empastar. Favor no excederse en el número de páginas. El valor de este trabajo es 33 %. La fecha de entrega se fijará en clase. Referencias [1] Ruppert, D. (2004). Statistics and Finance: An Introduction. Springer Verlag. New York. 8

9 Asignación de Puntos Grupo No Puntos Grupo No Puntos [2] Jara, D., Gómez, C. y Pardo, A. (2005) Análisis de eficiencia de los portafolios pensionales obligatorios en Colombia Revista Ensayos sobre Política Económica Banco de la República, No 49,