TEMA 4: PROBLEMAS RESUELTOS DE DEFORMACIÓN ANGULAR

Transcripción

1 Problemas eformación ngular T : PROLS RSULTOS ORÓN NGULR.. plicando el método de la deformación angular obtener el diagrama de momentos flectores y dibujar aproximadamente la deformada de la estructura de la figura, donde P KN, KN/m, Lm, hm y am. l módulo de elasticidad del material es GPa y el momento de inercia para todas las barras z x cm. P a h H h G L L l grado de desplazabilidad de esta estructura es m x Son necesarios como mínimo dos apoyos deslizantes para inmovilizar todos los nudos. Podrían situarse, por ejemplo, como indica la siguiente figura, donde se muestra también la numeración de las barras ue se va a utilizar H G

2 Teoría de structuras TS ilbao La barra en voladizo de longitud a m en cuyo extremo está aplicada la carga puntual P es isostática y se puede resolver de manera sencilla al margen de la aplicación del método, por lo ue al comienzo del análisis se pueden sustituir dicha barra y el efecto de la carga P por un momento de sentido horario aplicado en de valor P.a P.a Quitando el apoyo del nudo y desplazándolo una cantidad hacia la derecha, el resto de los nudos de la estructura uedarían situados de la siguiente manera: - - H G Quitando el apoyo del nudo y desplazándolo una cantidad hacia la derecha, el resto de los nudos de la estructura uedarían situados esta vez de la siguiente manera: H G

3 Problemas eformación ngular la vista de las figuras anteriores, los desplazamientos transversales totales de todas las barras, ue se incluirán posteriormente en las ecuaciones de momentos, se pueden resumir de esta manera: δ δ δ - δ 7 δ δ - δ 6 δ 8 n dichas ecuaciones también se necesitarán los valores de los momentos de empotramiento perfecto de las barras ue soportan alguna carga, en este caso la barra : Nm, L Nm, L ji ij µ µ La estructura está formada por 8 barras, así ue se tendrán 6 ecuaciones de momentos (dos por cada barra): H G GH G H HG ) (, ) (, ) ( ) ( µ ij µ ji

4 Teoría de structuras TS ilbao H H H H n estas ecuaciones el módulo de elasticidad y el momento de inercia de las vigas deben introducirse en unidades del sistema internacional: x 9 Pa; x - m. omo la estructura consta de 8 nudos habrá ue plantear las 8 ecuaciones de euilibrio en los mismos (teniendo en cuenta ue en los empotramientos dicha condición se sustituye por la condición de giro nulo): H P G H HG Para obtener las dos ecuaciones restantes, se realizan dos cortes horizontales a la estructura planteando el euilibrio de fuerzas horizontales. l primer corte y la correspondiente ecuación de euilibrio son: V V H P V V

5 Problemas eformación ngular Para deducir los cortantes de las barras habrá ue considerar el euilibrio de las mismas, considerando la influencia tanto de las cargas exteriores aplicadas (como es el caso de la barra ), como de los momentos en sus extremos (ambas barras). arra : V L/ () ) ortante por momentos (horario): V ( ) L ) ortante por cargas (horario): V, N arra : ) ortante por momentos (horario): V () La primera ecuación de corte ueda por tanto:, l segundo corte a la estructura y la correspondiente ecuación de euilibrio de fuerzas horizontales son los siguientes: P H V V V HG

6 Teoría de structuras TS ilbao V V H V HG L HG GH 9 on esta última ecuación se completa el sistema de ecuaciones lineales ue permite resolver el problema. n este caso se tienen ecuaciones con incógnitas (8 ángulos girados en los nudos y desplazamientos). Resolviendo dicho sistema se obtiene el valor de estas incógnitas, y sustituyendo estos valores en las ecuaciones del método se obtienen también los momenbtos en los extremos de las barras, resultando ser (unidades del sistema internacional): rad,8. - m. 6 N.m -,. - rad 6,6. - m. 96 N.m -,7. - rad 697 N.m rad 78 N.m -,. - rad GH 68 N.m -,. - rad HG N.m G rad 968 N.m H -6,98. - rad 99 N.m 788 N.m 7 N.m -67 N.m -8 N.m H -676 N.m H - N.m -99 N.m -67 N.m Según el convenio de signos utilizado, los momentos positivos serán antihorarios, y los ángulos positivos también (lo ue significa ue en este caso todos los giros serán horarios). n cuanto a los dos desplazamientos, han sido planteados hacia la derecha por lo ue al salir positivos serán en realidad hacia la derecha. Para obtener los diagramas de momentos de cada barra, se deben superponer los debidos a las cargas aplicadas en ella y los originados por los momentos hiperestáticos en los extremos. La única barra ue tiene carga aplicada entre sus nudos extremos es la barra. Su diagrama de momentos será: L /8,7 KN.m 6,9,9,9

7 Problemas eformación ngular Para las restantes barras, ue no tienen ninguna carga aplicada entre sus nudos, sólo hay ue situar los momentos resultantes en sus extremos orientados según su sentido horario o antihorario, y unir estos valores con una recta al ser el diagrama lineal Por ejemplo, para la barra se tendría: 9,6 9,6,7,7 Haciendo lo mismo para las restantes barras se obtienen el diagrama de momentos para toda la estructura, resultando el indicado en la siguiente figura (los diagramas están dibujados hacia el lado de la barra donde se produciría la tracción). Se añade, finalmente, un dibujo aproximado de la deformada. 67, ,,9 9,6 6, 8,,,7 6,7,,,6 6,9 6 7

8 Teoría de structuras TS ilbao.. La estructura de la figura está sometida a una carga puntual de KN y a una carga uniformemente repartida de KN/m, aplicadas tal como se indica. l apoyo empotrado sufre un asentamiento vertical de cm. a) Plantear todas las ecuaciones precisas para su resolución aplicando el método de la deformación angular. b) Representar el diagrama de momentos de la barra debidamente acotado (de la resolución de las ecuaciones del apartado anterior se obtienen, entre otros, los siguientes valores: 9, KN.m, en sentido antihorario, y 6,6 KN.m, en sentido horario). Todas las barras son del mismo material de módulo de elasticidad Pa.) y de inercia constante a lo largo de la directriz, de valor x - m. Las longitudes representadas en la figura están en metros. º KN KN/m º a) Planteamiento de las ecuaciones Se trata de una estructura con un grado de desplazabilidad: m x, al ue hay ue añadir otro más debido al asentamiento conocido de cm. La figura siguiente muestra la numeración de las barras utilizada y un conjunto posible de apoyos deslizantes con los ue se consigue la inmovilización de todos los nudos de la estructura. Las longitudes de las tres barras, necesarias para las ecuaciones del método, se obtienen mediante sencillas consideraciones geométricas: 8

9 Problemas eformación ngular L / cos,77 m L / cos,77 m L tg 7,88 m Quitando el apoyo del nudo, los nudos de la estructura uedarían desplazados de la siguiente manera: - º º la vista del triángulo isósceles de la derecha, la relación entre desplazamientos es la siguiente: cos,7 n la figura siguiente se indica el desplazamiento ue experimentan todos los nudos de la estructura al uitar el apoyo del nudo y permitir a este nudo un asentamiento de valor cm. n el nuevo triángulo isósceles ue se forma en se deducen las relaciones siguientes: 6 δ cm δ cos,7 δ,6 cm 9

10 Teoría de structuras TS ilbao δ 6 - δ º 6 º δ Para cada una de las barras, y teniendo en cuenta el convenio de signos, el desplazamiento transversal total será: δ δ δ,7 6,6 Para formular las ecuaciones del método se necesitan los valores de los momentos de empotramiento perfecto de las barras ue soportan alguna carga, en este caso las barras y : µ ij µ ji µ µ ij ji L L, 77, 77 Nm, 77 Nm P µ ij µ a ji b µ µ ij ji P a b L P a L, 88 7, 88 b, 88 7, 88 6, Nm 6, 68 Nm La estructura está formada por tres barras, así ue se tendrán 6 ecuaciones de momentos (dos por cada barra):, 77, 77 ( 7,, 77 )

11 Problemas eformación ngular ( 7,, 77, 77, 77 (, 6 ), 77, 77 (, 6 ), 77, 77 ( ) 6, 7, 88 7, 88 ( ) 6, 68 7, 88 7, 88 onde x 9 Pa e x - m. Puesto ue la estructura consta de nudos, de la consideración del euilibrio o del giro de cada uno de ellos surgirá una ecuación adicional: Para obtener la ecuación ue falta, se realiza un corte por las barras y y se plantea el euilibrio de momentos. Los datos geométricos ue se necesitarán son: ) o º O m sen O O cos 8,66 m O O 8,66,88,78 m Una vez dado el corte, se plantea el euilibrio de momentos respecto del punto O para evitar ue intervengan los esfuerzos axiales de las barras y :

12 Teoría de structuras TS ilbao O O V V V O V,78 Para el cálculo de los cortantes se aísla la barra correspondiente: arra : V L/ ) ortante por momentos (horario): V, 77 ( ) ( ) L, 77 ) ortante por cargas (horario): V, 89 N arra : V Pb/L a b P ) ortante por momentos (horario): V () 7,88

13 Problemas eformación ngular ( ) P b ) ortante por cargas (horario): V 6, N L 7, 88 e esta forma la ecuación de euilibrio de momentos respecto a O ueda expresada únicamente en función de las incógnitas del problema:, 89 6,, 78, 77 7, 88 a) iagrama de momentos de la barra Teniendo en cuenta los momentos en los extremos de la barra, obtenidos mediante resolución del sistema de ecuaciones, el diagrama de momentos hiperestáticos de la barra es: 9, 9, 6,6 6,6 ebido a la carga P habrá ue superponer al diagrama de momentos anterior el correspondiente a dicha carga: () P () P a b L,88 7,88 8, KN m Sumando algebraicamente ambos diagramas se obtienen dos tramos lineales con un momento total en el punto intermedio de:

14 Teoría de structuras TS ilbao 9, 6,6 6,6 8,,7 KNm 7,88 y por consiguiente, el diagrama final de momentos de la barra es: 9, 9, KN,7 6,6 6,6

15 Problemas eformación ngular.. eterminar, por el método de la deformación angular, los diagramas de momentos flectores y esfuerzos cortantes para la viga de la figura, dibujándolos debidamente acotados, cuando el apoyo intermedio experimenta un asentamiento vertical descendente de cm. alcular también la tensión máxima de flexión. aracterísticas mecánicas y geométricas de la viga: GPa x - m L m anto de la viga cm L L Si el apoyo desciende cm. el grado de desplazabilidad de la estructura sería, de valor conocido: δ cm - La estructura tiene dos barras, así ue se tendrán ecuaciones de momentos:

16 Teoría de structuras TS ilbao e la consideración de los nudos se deducen las ecuaciones siguientes: Se tienen ya las ecuaciones con incógnitas. Resolviendo: -, 86, rad. (horario), rad. (antihorario) 67, KN.m (antihorario), KN.m (antihorario) -,6 KN.m (horario) Para dibujar los diagramas de momentos, al no haber cargas aplicadas en ninguna barra, sólo habrá ue unir con una línea recta los momentos obtenidos en los extremos (respetando el sentido obtenido). 67 V V V V V V 67 KN 6

17 Problemas eformación ngular V V, KN KN.m. 67 KN, σ z max max xx max y 67 6,7 Pa 7

18 Teoría de structuras TS ilbao.. La estructura de la figura, cuyas dimensiones y cargas aplicadas se indican, tiene un apoyo empotrado en y otro articulado en. Todas las barras son del mismo material, de módulo de elasticidad, y tienen la misma sección transversal, con momento de inercia de valor constante en toda su longitud. Plantear las ecuaciones necesarias para resolver la estructura por el método de la deformación angular. P l grado de desplazabilidad de esta estructura es de : m x 8

19 Problemas eformación ngular Quitando el apoyo en y dando un desplazamiento a este nudo, el resto de nudos uedaría de la siguiente manera: Quitando el apoyo en y dando un desplazamiento (componente vertical descendente ) a este nudo, el resto de nudos se desplazaría como indica la figura: Por semejanza de triángulos, es posible expresar los desplazamientos de todos los nudos en función de uno sólo, en este caso : 6 Para las ecuaciones de los momentos será necesario obtener los momentos de empotramiento perfecto de la barra sometida a la carga : 9

20 Teoría de structuras TS ilbao L L ji ij µ µ Las 8 ecuaciones de momentos ( barras) uedan de la siguiente manera: ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) ( ) ( µ ij µ ji

21 Problemas eformación ngular e la consideración de los cinco nudos se formulan las siguientes ecuaciones: altan dos ecuaciones ue se obtienen realizando sendos cortes a la estructura. l primero de ellos se muestra a continuación: P V V X V V P Para el cálculo de los cortantes se aísla la barra correspondiente: arra : V L/ ) ortante por momentos (horario): ) ortante por cargas (horario): V ( V ) () L

22 Teoría de structuras TS ilbao arra : ) ortante por momentos (horario): La primera ecuación de corte ueda: V P l segundo y último corte se muestra en la figura siguiente: O P V V Tomando momentos respecto al punto O, los axiles de las barras no aparecen y se tendría la segunda ecuación de corte: o V V P omo las barras y no tienen cargas aplicadas, la ecuación ueda finalmente de esta forma: P 9 P Obteniendo con esta última ecuación el sistema de 7 ecuaciones con 7 incógnitas.