TEMA 11.-DERIVADAS INTRODUCCIÓN

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1 TEMA.- Derivds - Mtemátics I TEMA.-DERIVADAS INTRODUCCIÓN A prtir del concepto de límite, introduciremos un concepto nuevo, el de derivd, que es undmentl en el desrrollo del nálisis mtemático L derivción permite resolver problems como: encontrr l ecución de l rect tngente un curv en uno de sus puntos o llr los puntos en los que un unción lcnz los máimos y mínimos reltivos. El cálculo de derivds está unido dos grndes mtemáticos: Newton y Leibniz. El primero nció en 64. En su primer ño en Cmbridge, estudió ls obrs de Euclides, Descrtes, Kepler, Vikte y Wllis. A prtir de 663, sistió ls clses de Brrow y se milirizó con ls obrs de Glileo, Fermt y otros. En 665, ce sus primeros descubrimientos sobre ls series ininits y comienz pensr en l velocidd del cmbio o luión de mgnitudes que vrín, tles como longitudes, áres, distncis, etc. En 666 tuvo que permnecer en su cs porque el Trinity College estuvo cerrdo cus de l peste que solb Inglterr en quell époc. De quel período son sus principles descubrimientos: El teorem binomil, el cálculo, l ley de grvitción universl y l nturlez de los colores. En 669, Brrow consigue que nombren Newton como sucesor suyo en l cátedr de mtemátics. Allí permneció st 696, en que es nombrdo goberndor de l Cs de l Moned Británic. Hlley, migo de Newton, ue preguntrle en ciert ocsión si sbí qué tryectori seguirí un plnet lrededor del Sol, en el supuesto de que l únic uerz que inluyese uese un uerz que disminuyer en relción con el cudrdo de l distnci l Sol. L respuest de Newton ue instntáne: un tryectori elíptic. Fue Hlley quien nimó Newton publicr sus cálculos y el resultdo ue l obr más inluyente y revolucionri que y precido jmás: Pilosopie nturlis principi mtemátic. En ell Newton rzon cómo es ísicmente el sistem solr y estblece ls leyes de l dinámic. n embrgo ni Hlley ni Wllis pudieron cerle publicr sus estudios sobre el cálculo, st que el lemán Leibniz en 684 publicó en l revist cientíic Act Eruditorum, un procedimiento pr clculr tngentes un curv culquier. Aunque Newton llegó más lejos con el cálculo que Leibniz, éste inventó un notción muy superior l usd por Newton. Mientrs Newton escribí l derivd de y como y', y l de como ', Leibniz usb dy/d y d/dy Algunos de los descubrimientos de Newton n ido mejorándose, completándose e incluso n sido superdos por otrs teorís cientíics. n embrgo, l potenci de los descubrimientos relizdos es tn uerte que nos permite resolver problems de l índole más divers tles como determinr un velocidd, l energí de un máquin, el coste de un producto pr obtener un beneicio máimo, etc. Grcis l cálculo de derivds, podemos resolver culquier problem en el que intervengn dos mgnitudes y quermos determinr el vlor de un de ells pr que l otr lcnce un vlor máimo o mínimo. I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric

2 TEMA.- Derivds - Mtemátics I I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric.- TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA Llmmos Ts de vrición de un unción en el intervlo [,b] y lo representremos por TVA[,b] l vlor b -. Ejemplo: Clculr l TVA en [ 3,5] de TVA = Llmmos Ts de vrición medi de un unción en el intervlo [,b] y lo representremos por TVM[,b] l vlor : L TVM tmbién recibe el nombre de cociente incrementl Ejemplo: En el cso nterior TVM en [ 3,5] de TVM = L ts de vrición puede ser positiv, negtiv o nul: Geométricmente nos d un primer ide de l rpidez con que crece o decrece l unción en un determindo intervlo. Llmmos Ts de vrición instntáne de un unción en el punto y lo representremos por TVI[] l vlor : Ejemplo: Clcul l TVI de = : b b

3 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO L ts de vrición instntáne de un unción en un punto es lo que, mtemáticmente entendemos como derivd de es unción en dico punto L derivd de un unción en un punto =, que representmos por, si eiste es el vlor del límite : es un número rel, l unción es derivble en =, no es un número rel, el límite no eiste y l unción no es derivble en =, Ejemplo: Clcul l derivd de = en el punto = : ; luego Ejemplo: Clcul l derivd de = + en el punto = 3 : ; luego FUNCIÓN DERIVADA un unción es derivble en su dominio es posible deinir un nuev unción que socie cd número rel del dominio l derivd en ese punto. Est unción sí deinid se llm unción derivd o, simplemente, derivd. Ejemplo_: Clcul l derivd de = ; luego Ejemplo_: Clcul l derivd de = + ; luego I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 3

4 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.4- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA A continución representmos l posición de l rect AP cundo el incremento de l vrible tiende. Observmos que medid que se ce ms pequeño los punto P,P,P 3.. se proimn l punto A y ls rects secntes AP,AP,AP 3... tienen l rect tngente t. Ls rects AP,AP,AP 3 que psn por el punto A quedn determinds por su pendiente. Es pendiente es l ts de vrición medi Por tnto l pendiente de l rect tngente l unción en el punto A es: m L pendiente de l rect tngente en = coincide con l derivd en = Ecución de l rect tngente: Ecución de l rect norml: y = - y = [-/ ] - I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 4

5 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.5 CÁLCULO DE DERIVADAS Y REGLAS DE DERIVACIÓN.-Derivd de un constnte: y = k, entonces =..-Derivd de un unción potencil: y = n, entonces = n n-. y = [] n, entonces = n [] n- 3.-Derivd del producto de un número por un unción: y = k, entonces = k 4.-Derivd del producto de unciones : y = g, entonces = g + g 5.-Derivd del cociente: y g g g g 6.-Derivd de un ríz cudrd: y y 7.-Derivd de un ríz enésim: n y n n n y n n n n 8.-Derivd de l unción logrítmic de bse : y log log e y log log e 9.-Derivd de l unción neperino: y Ln y Ln.-Derivd de l unción eponencil de bse e: y e e y e e.-derivd de l unción eponencil de bse : y Ln y Ln.- Derivd de ls unciones trigonométrics: y = sen, entonces = cos y = cos, entonces = -sen y = sen [], entonces = cos [] y = cos [], entonces = - sen [] I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 5

6 TEMA.- Derivds - Mtemátics I y = tg, entonces = + tg = y = tg [], entonces = [ + tg []] = cos cos [] 3.- Derivd de ls unciones inverss de ls trigonométrics: y = rccos = - - y rccos - y rcsen y rcsen y rctg y rctg 4.-Regl de l cden:aplicble tods ls órmuls y g g g 5.-Derivd de un unción elevd otr unción: y g g g Ln g 6.-Derivción logrítmic: y Ln y Ln y y Ejemplo : órmul y 3 Ln y Ln 3 Ln 3 3 Ln 3 y Ejemplo : órmul 5 y Ln y Ln Ln y Ln Ln I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 6

7 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.6 DERIVACIÓN Y MONOTONÍA En un determindo intervlo un unción puede ser creciente ts de vrición positiv, decreciente ts de vrición negtiv o constnte ts de vrición nul. Del mismo modo ocurre con l ts de vrición medi y l ts de vrición instntáne que mtemáticmente es l derivd. Por tnto: es creciente es decreciente ` > pendiente de l rect tngente positiv ` < pendiente de l rect tngente negtiv present un máimo o un mínimo ` = pendiente de l rect tngente cero, rect orizontl. Por tnto pr clculr los máimos, mínimos e intervlos de crecimiento y decrecimiento llmos l derivd e igulmos cero, estudindo ls ríces y el signo de `. Ejemplo: Clculr los máimos, mínimos e intervlos de monotoní de Solución : = -4 < - = - - < < = > ` Creciente M decreciente m Creciente.7 DERIVACIÓN Y CURVATURA Es evidente que unque dos unciones sen crecientes en un intervlo [,b], este crecimiento puede mniestrse de tres orms dierentes: crece siempre igul b crece cd vez ms depris c crece cd vez ms despcio de igul orm podemos considerr el decrecimiento Este dierente comportmiento se crcteriz por l curvtur. Vemos que ocurre en cd cso I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 7

8 TEMA.- Derivds - Mtemátics I L ts de vrición medi es siempre constnte. L curv no gir ni ci l izquierd ni ci l derec. L unción se dice que es linel y no tiene curvtur b L ts de vrición medi v creciendo. L curv v girndo ci l izquierd, es decir, el sentido de giro es positivo +. L unción se dice que es CONVEXA. c L ts de vrición medi v decreciendo. L curv v girndo ci l derec, es decir, el sentido de giro es negtivo -. l unción se dice que es CÓNCAVA. Del mismo modo que deinimos l unción derivd de como, podemos deinir l unción derivd de l derivd primer como y se lee unción derivd segund de, nálogmente derivd tercer, curt, etc. Ejemplo: = , entonces = ; = ; = 6 es linel en [,b] es constnte entonces = es conve en [,b] es creciente entonces > es cóncv en [,b] es decreciente entonces < Un unción tiene un punto de inleión en = si l unción cmbi de curvtur en dico punto un unción tiene un punto de inleión en = = I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 8

9 TEMA.- Derivds - Mtemátics I > < Punto de inleión cóncvo-conveo > Punto de inleión conveo-cóncvo < Es importnte destcr que el teorem recíproco no es cierto: Se = 4, en este cso =, luego =. > > Y l unción no tiene un punto de inleión en =, pues l izquierd y l derec de = ocurre que >. Ejemplo: Hllr los puntos de inleión de ls siguientes unciones: = 3 4 b g = 4 6 c = 4 Asocirls ls gráics siguientes: I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 9

10 TEMA.- Derivds - Mtemátics I En el prtdo.6 vimos que si un unción tiene un máimo o un mínimo en un punto =, entonces =. El teorem recíproco no es cierto: Vemos l unción = 3. En este cso =3 y ocurre que = > > Cómo se discrimin si un punto es máimo o mínimo? Criterio : Usndo solmente l derivd primer < = > < = > mínimo máimo Criterio : Usndo l derivd primer y l derivd segund Máimo Mínimo = y < = y > IMPORTANTE : =, se debe utilizr el criterio primero I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric

11 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.8 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD L derivbilidd de un unción supone un progreso en relción con l simple continuidd de un unción; se trt de un unción más restrictiv, y que eisten unciones continus que no son derivbles. Es decir: es derivble en = entonces es continu en = Es importnte destcr que el teorem recíproco no es cierto, unque si un unción NO es continu en = entonces NO es derivble en =. Ejemplo: = m = - m = En =, ls derivds lterles son distint, l unción no es derivble Culquier unción no será derivble en lo que llmmos punto nguloso cmbio brusco de pendiente. Ejemplo: y= +3 y= - 4 Continu en todo R Continu en todo R NO es derivble en = 3 NO es derivble en = - y en = I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric

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