TEMA 11.-DERIVADAS INTRODUCCIÓN

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "TEMA 11.-DERIVADAS INTRODUCCIÓN"

Transcripción

1 TEMA.- Derivds - Mtemátics I TEMA.-DERIVADAS INTRODUCCIÓN A prtir del concepto de límite, introduciremos un concepto nuevo, el de derivd, que es undmentl en el desrrollo del nálisis mtemático L derivción permite resolver problems como: encontrr l ecución de l rect tngente un curv en uno de sus puntos o llr los puntos en los que un unción lcnz los máimos y mínimos reltivos. El cálculo de derivds está unido dos grndes mtemáticos: Newton y Leibniz. El primero nció en 64. En su primer ño en Cmbridge, estudió ls obrs de Euclides, Descrtes, Kepler, Vikte y Wllis. A prtir de 663, sistió ls clses de Brrow y se milirizó con ls obrs de Glileo, Fermt y otros. En 665, ce sus primeros descubrimientos sobre ls series ininits y comienz pensr en l velocidd del cmbio o luión de mgnitudes que vrín, tles como longitudes, áres, distncis, etc. En 666 tuvo que permnecer en su cs porque el Trinity College estuvo cerrdo cus de l peste que solb Inglterr en quell époc. De quel período son sus principles descubrimientos: El teorem binomil, el cálculo, l ley de grvitción universl y l nturlez de los colores. En 669, Brrow consigue que nombren Newton como sucesor suyo en l cátedr de mtemátics. Allí permneció st 696, en que es nombrdo goberndor de l Cs de l Moned Británic. Hlley, migo de Newton, ue preguntrle en ciert ocsión si sbí qué tryectori seguirí un plnet lrededor del Sol, en el supuesto de que l únic uerz que inluyese uese un uerz que disminuyer en relción con el cudrdo de l distnci l Sol. L respuest de Newton ue instntáne: un tryectori elíptic. Fue Hlley quien nimó Newton publicr sus cálculos y el resultdo ue l obr más inluyente y revolucionri que y precido jmás: Pilosopie nturlis principi mtemátic. En ell Newton rzon cómo es ísicmente el sistem solr y estblece ls leyes de l dinámic. n embrgo ni Hlley ni Wllis pudieron cerle publicr sus estudios sobre el cálculo, st que el lemán Leibniz en 684 publicó en l revist cientíic Act Eruditorum, un procedimiento pr clculr tngentes un curv culquier. Aunque Newton llegó más lejos con el cálculo que Leibniz, éste inventó un notción muy superior l usd por Newton. Mientrs Newton escribí l derivd de y como y', y l de como ', Leibniz usb dy/d y d/dy Algunos de los descubrimientos de Newton n ido mejorándose, completándose e incluso n sido superdos por otrs teorís cientíics. n embrgo, l potenci de los descubrimientos relizdos es tn uerte que nos permite resolver problems de l índole más divers tles como determinr un velocidd, l energí de un máquin, el coste de un producto pr obtener un beneicio máimo, etc. Grcis l cálculo de derivds, podemos resolver culquier problem en el que intervengn dos mgnitudes y quermos determinr el vlor de un de ells pr que l otr lcnce un vlor máimo o mínimo. I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric

2 TEMA.- Derivds - Mtemátics I I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric.- TASA DE VARIACIÓN MEDIA E INSTANTÁNEA Llmmos Ts de vrición de un unción en el intervlo [,b] y lo representremos por TVA[,b] l vlor b -. Ejemplo: Clculr l TVA en [ 3,5] de TVA = Llmmos Ts de vrición medi de un unción en el intervlo [,b] y lo representremos por TVM[,b] l vlor : L TVM tmbién recibe el nombre de cociente incrementl Ejemplo: En el cso nterior TVM en [ 3,5] de TVM = L ts de vrición puede ser positiv, negtiv o nul: Geométricmente nos d un primer ide de l rpidez con que crece o decrece l unción en un determindo intervlo. Llmmos Ts de vrición instntáne de un unción en el punto y lo representremos por TVI[] l vlor : Ejemplo: Clcul l TVI de = : b b

3 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.- CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO L ts de vrición instntáne de un unción en un punto es lo que, mtemáticmente entendemos como derivd de es unción en dico punto L derivd de un unción en un punto =, que representmos por, si eiste es el vlor del límite : es un número rel, l unción es derivble en =, no es un número rel, el límite no eiste y l unción no es derivble en =, Ejemplo: Clcul l derivd de = en el punto = : ; luego Ejemplo: Clcul l derivd de = + en el punto = 3 : ; luego FUNCIÓN DERIVADA un unción es derivble en su dominio es posible deinir un nuev unción que socie cd número rel del dominio l derivd en ese punto. Est unción sí deinid se llm unción derivd o, simplemente, derivd. Ejemplo_: Clcul l derivd de = ; luego Ejemplo_: Clcul l derivd de = + ; luego I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 3

4 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.4- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA A continución representmos l posición de l rect AP cundo el incremento de l vrible tiende. Observmos que medid que se ce ms pequeño los punto P,P,P 3.. se proimn l punto A y ls rects secntes AP,AP,AP 3... tienen l rect tngente t. Ls rects AP,AP,AP 3 que psn por el punto A quedn determinds por su pendiente. Es pendiente es l ts de vrición medi Por tnto l pendiente de l rect tngente l unción en el punto A es: m L pendiente de l rect tngente en = coincide con l derivd en = Ecución de l rect tngente: Ecución de l rect norml: y = - y = [-/ ] - I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 4

5 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.5 CÁLCULO DE DERIVADAS Y REGLAS DE DERIVACIÓN.-Derivd de un constnte: y = k, entonces =..-Derivd de un unción potencil: y = n, entonces = n n-. y = [] n, entonces = n [] n- 3.-Derivd del producto de un número por un unción: y = k, entonces = k 4.-Derivd del producto de unciones : y = g, entonces = g + g 5.-Derivd del cociente: y g g g g 6.-Derivd de un ríz cudrd: y y 7.-Derivd de un ríz enésim: n y n n n y n n n n 8.-Derivd de l unción logrítmic de bse : y log log e y log log e 9.-Derivd de l unción neperino: y Ln y Ln.-Derivd de l unción eponencil de bse e: y e e y e e.-derivd de l unción eponencil de bse : y Ln y Ln.- Derivd de ls unciones trigonométrics: y = sen, entonces = cos y = cos, entonces = -sen y = sen [], entonces = cos [] y = cos [], entonces = - sen [] I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 5

6 TEMA.- Derivds - Mtemátics I y = tg, entonces = + tg = y = tg [], entonces = [ + tg []] = cos cos [] 3.- Derivd de ls unciones inverss de ls trigonométrics: y = rccos = - - y rccos - y rcsen y rcsen y rctg y rctg 4.-Regl de l cden:aplicble tods ls órmuls y g g g 5.-Derivd de un unción elevd otr unción: y g g g Ln g 6.-Derivción logrítmic: y Ln y Ln y y Ejemplo : órmul y 3 Ln y Ln 3 Ln 3 3 Ln 3 y Ejemplo : órmul 5 y Ln y Ln Ln y Ln Ln I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 6

7 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.6 DERIVACIÓN Y MONOTONÍA En un determindo intervlo un unción puede ser creciente ts de vrición positiv, decreciente ts de vrición negtiv o constnte ts de vrición nul. Del mismo modo ocurre con l ts de vrición medi y l ts de vrición instntáne que mtemáticmente es l derivd. Por tnto: es creciente es decreciente ` > pendiente de l rect tngente positiv ` < pendiente de l rect tngente negtiv present un máimo o un mínimo ` = pendiente de l rect tngente cero, rect orizontl. Por tnto pr clculr los máimos, mínimos e intervlos de crecimiento y decrecimiento llmos l derivd e igulmos cero, estudindo ls ríces y el signo de `. Ejemplo: Clculr los máimos, mínimos e intervlos de monotoní de Solución : = -4 < - = - - < < = > ` Creciente M decreciente m Creciente.7 DERIVACIÓN Y CURVATURA Es evidente que unque dos unciones sen crecientes en un intervlo [,b], este crecimiento puede mniestrse de tres orms dierentes: crece siempre igul b crece cd vez ms depris c crece cd vez ms despcio de igul orm podemos considerr el decrecimiento Este dierente comportmiento se crcteriz por l curvtur. Vemos que ocurre en cd cso I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 7

8 TEMA.- Derivds - Mtemátics I L ts de vrición medi es siempre constnte. L curv no gir ni ci l izquierd ni ci l derec. L unción se dice que es linel y no tiene curvtur b L ts de vrición medi v creciendo. L curv v girndo ci l izquierd, es decir, el sentido de giro es positivo +. L unción se dice que es CONVEXA. c L ts de vrición medi v decreciendo. L curv v girndo ci l derec, es decir, el sentido de giro es negtivo -. l unción se dice que es CÓNCAVA. Del mismo modo que deinimos l unción derivd de como, podemos deinir l unción derivd de l derivd primer como y se lee unción derivd segund de, nálogmente derivd tercer, curt, etc. Ejemplo: = , entonces = ; = ; = 6 es linel en [,b] es constnte entonces = es conve en [,b] es creciente entonces > es cóncv en [,b] es decreciente entonces < Un unción tiene un punto de inleión en = si l unción cmbi de curvtur en dico punto un unción tiene un punto de inleión en = = I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 8

9 TEMA.- Derivds - Mtemátics I > < Punto de inleión cóncvo-conveo > Punto de inleión conveo-cóncvo < Es importnte destcr que el teorem recíproco no es cierto: Se = 4, en este cso =, luego =. > > Y l unción no tiene un punto de inleión en =, pues l izquierd y l derec de = ocurre que >. Ejemplo: Hllr los puntos de inleión de ls siguientes unciones: = 3 4 b g = 4 6 c = 4 Asocirls ls gráics siguientes: I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric 9

10 TEMA.- Derivds - Mtemátics I En el prtdo.6 vimos que si un unción tiene un máimo o un mínimo en un punto =, entonces =. El teorem recíproco no es cierto: Vemos l unción = 3. En este cso =3 y ocurre que = > > Cómo se discrimin si un punto es máimo o mínimo? Criterio : Usndo solmente l derivd primer < = > < = > mínimo máimo Criterio : Usndo l derivd primer y l derivd segund Máimo Mínimo = y < = y > IMPORTANTE : =, se debe utilizr el criterio primero I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric

11 TEMA.- Derivds - Mtemátics I.8 CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD L derivbilidd de un unción supone un progreso en relción con l simple continuidd de un unción; se trt de un unción más restrictiv, y que eisten unciones continus que no son derivbles. Es decir: es derivble en = entonces es continu en = Es importnte destcr que el teorem recíproco no es cierto, unque si un unción NO es continu en = entonces NO es derivble en =. Ejemplo: = m = - m = En =, ls derivds lterles son distint, l unción no es derivble Culquier unción no será derivble en lo que llmmos punto nguloso cmbio brusco de pendiente. Ejemplo: y= +3 y= - 4 Continu en todo R Continu en todo R NO es derivble en = 3 NO es derivble en = - y en = I.E.S. Vlle del Sj Segundo Polnco Lequeric

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo

UNIDAD 6: DERIVADAS. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] a, como: = siendo IES Pdre Poved (Gudi UNIDAD 6: DERIVADAS.. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine l ts de vrición medi de un unción y en un intervlo [ b] T. M. [, b] ( b (, como: b (,, B,, Si considero l rect que une A ( b

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

el blog de mate de aida. MATE I. Derivadas. Pág. 1

el blog de mate de aida. MATE I. Derivadas. Pág. 1 el blo de mte de id. MATE I. erivds. Pá. TASAS E VARIACIÓN L siuiente tbl orece el número de ncimientos en cd mes lo lro de un ño en un determind poblción: Meses 7 8 9 Ncimientos 7 8 98 9 8 7 Pr sber,

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL. Lím h. Definición: Se dice que f(x) es derivable en A cuando es derivable en todo punto de A.

CÁLCULO DIFERENCIAL. Lím h. Definición: Se dice que f(x) es derivable en A cuando es derivable en todo punto de A. CÁLCULO DIFERENCIAL MATEMÁTICAS II Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte Plsenci 1.- CONCEPTO DE DERIVADA. Se un unción rel deinid en un entorno del punto. Deinición: Se dice que es derivle en

Más detalles

Diremos que lim f(x) b si podemos lograr que los valores de f( x) como queramos, con tal de tomar valores de x tan próximos a a como sea preciso.

Diremos que lim f(x) b si podemos lograr que los valores de f( x) como queramos, con tal de tomar valores de x tan próximos a a como sea preciso. Límite de un unción en un punto Diremos que () b si podemos logrr que los vlores de ( ) sen tn próimos b como quermos, con tl de tomr vlores de tn próimos como se preciso. Podemos dr un deinición más orml

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál

Más detalles

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: .- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice: 1. Derivd de un unción. 1.1. Derivd de un unción en un punto. 1.. Interpretción geométric 1.3. Derivds lterles. 1.4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd

Más detalles

TEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda:

TEMA 8. DERIVADAS. Derivadas laterales: Derivada por la derecha: Derivada por la izquierda: I.E.S. Tierr de Ciudd Rodrio TEMA 8. DERIVADAS Deinición de derivd de un unción en un punto. Consideremos un unción, se un punto de su dominio. Se llm derivd de l unción en el punto se desin por l siuiente

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Funciones trascendentes

Funciones trascendentes Cálculo 1 _Comisión -3 Año 017 Funciones trscendentes I) Funciones trigonométrics Son quells unciones cuys regls de deinición corresponden relciones trigonométrics (seno, coseno, tngente, cotngente, secnte

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN N DE VARIAS VARIABLES Deinición de derivd prcil en un punto lim + Se : A R con A R se un punto interior de A. Se denominn derivds prciles de respecto ls vriles e en el

Más detalles

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS

TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS TEMA8: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio: º) Resuelve ls siguientes ecuciones plicndo ls propieddes de ls potencis:. = 8 + 6 9. 5. = = 0. + = 6 8

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie

CURSOSO. MóduloIV: Continuidadyderivabilidad MATEMÁTICASESPECIALES(CAD) M.TeresaUleciaGarcía RobertoCanogarMcKenzie CURSOSO CURSOSO MATEMÁTICASESPECIALESCAD MóduloIV: Continuiddyderivbilidd MTeresUleciGrcí RobertoCnogrMcKenzie DeprtmentodeMtemáticsFundmentles FcultddeCiencis Curso de Mtemátics Especiles Introducción

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e

2. [ANDA] [JUN-B] Considera la función f: definida por f(x) = e Selectividd CCNN 5. [ANDA] [JUN-A] Se sbe que ls dos gráfics del dibujo corresponden l función f: definid por f() = e y su función derivd f'. ) Indic, rzonndo l respuest, cuál es l gráfic de f y cuál l

Más detalles

Nombre: Carnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%) Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas.

Nombre: Carnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA-1111 (40%) Conteste las siguientes preguntas justificando detalladamente sus respuestas. Universidd Simón Bolívr. Deprtmento de Mtemátics Purs Aplicds. MA-.Tipo A Nombre: Crnet Sección: TERCER EXAMEN PARCIAL MA- (0% Conteste ls siguientes pregunts justiicndo detlldmente sus respuests..- (

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL INDICE 3.1. Definición de función vectoril de un vrile rel, dominio y grficción.2 3.2. Límites y continuidd..3 3.3. Derivción de funciones vectoriles y sus

Más detalles

FUNCIONES. f(x)=y. Notación: f(2)=4, si x=2, entonces y=4 Ejemplos: f(x)=x+2 g(x)=x 2-3 h(x)=-3x a) f(-2) = -2+2=0

FUNCIONES. f(x)=y. Notación: f(2)=4, si x=2, entonces y=4 Ejemplos: f(x)=x+2 g(x)=x 2-3 h(x)=-3x a) f(-2) = -2+2=0 FUNCIONES FUNCIÓN: RELACIÓN ENTRE DOS MAGNITUDES X E Y TAL QUE A CADA VALOR DE X LE CORRESPONDE UN ÚNICO VALOR DE Y X: vrible independiente Y: vrible dependiente f()= Notción: f(2)=4, si =2, entonces =4

Más detalles

CAPÍTULO. La derivada

CAPÍTULO. La derivada CAPÍTULO 5 L derivd 5. L derivd de un función A continución trtremos uno de los concetos fundmentles del cálculo, que es el de l derivd. Este conceto es un ite que está estrecmente ligdo l rect tngente,

Más detalles

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL º BT Mt I CNS FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL Función rel de vrible rel.- Un unción rel de vrible rel es un plicción de D en R, siendo D un subconjunto de R distinto del conjunto vcío D Φ. Al conjunto

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

TEMA 6.- DERIVADAS. La siguiente tabla da el precio, en euros, de un producto durante 8 años sucesivos:

TEMA 6.- DERIVADAS. La siguiente tabla da el precio, en euros, de un producto durante 8 años sucesivos: TEMA 6.- DERIVADAS.- TASA DE VARIACIÓN MEDIA L siguiente tbl d el precio, en euros, de un producto durnte 8 ños sucesivos: Si llmmos P( l unción precio según el ño, podemos medir l vrición del precio en

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

Matemáticas Bachillerato

Matemáticas Bachillerato Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente

Más detalles

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales

Matemáticas 2º de Bachillerato Ciencias Sociales FUNCIONES ELEMENTALES LÍMITES Y CONTINUIDAD DERIVADAS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Mtemátics º de Bchillerto Ciencis Sociles Proesor: Jorge Escribno Colegio Inmculd Niñ Grnd www.coleinmculdnin.org TEMA.-

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Ejemplo : Consideremos l gráic de l unción: si < si > Si tom vlores próimos, distintos de y menores que ej.: 9, 99, 999,, se not

Más detalles

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Plntemiento y resolución de los problems de optimizción Se quiere construir un cj, sin tp, prtiendo de un lámin rectngulr de cm de lrg por de nch. Pr ello se recortrá un cudrdito

Más detalles

Tema 11: Integrales denidas

Tema 11: Integrales denidas Tem : Integrles denids My 9, 7 Denición y propieddes Denición. Si f ) es un función continu en un intervlo [, b] y denid positiv, f ), l integrl denid en ese intervlo l denimos como: f ). Si f ) > l integrl

Más detalles

UNIDAD 9 DERIVADAS Y APLICACIONES. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b]

UNIDAD 9 DERIVADAS Y APLICACIONES. 1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se define la tasa de variación media de una función f ( x) y = en un intervalo [ b] IES Padre Poveda (Guadi UNIDAD 9 DERIVADAS Y APLICACIONES. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se deine la tasa de variación media de una unción y en un intervalo [ b] T. V. M. [ a, b] a, como: ( ( a b a ( a, a,

Más detalles

Función Cuadrática. 1. Si f ( x) x x 2, determine su forma canónica

Función Cuadrática. 1. Si f ( x) x x 2, determine su forma canónica Función Cudrátic. Si f ( ), determine su form cnónic. Determine el ámbito de l función ( 4). Hlle l ecución de l prábol que tiene vértice V (,) y cort l eje y en el punto (0,5). 4. Grfique l función f

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

BLOQUE 3. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

BLOQUE 3. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES BLOQUE 3 FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Funciones reles de un vrile rel Límite de un unción rel Continuidd de un unción rel Con este tem se inici el estudio de

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS

INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS INTEGRALES INDEFINIDAS INTEGRALES DEFINIDAS: CÁLCULO DE ÁREAS Mtemátics º de Bchillerto Ciencis y Tecnologí Profesor: Jorge Escribno Colegio Inmculd Niñ Grnd www.coleinmculdnin.org TEMA 7.- INTEGRALES

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL

FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) 1-FUNCION LOGARITMO NATURAL FUNCIONES TRASCENDENTALES (O NO ALGEBRAICAS ) -FUNCION LOGARITMO NATURAL Definición propieddes L funcion logritmo nturl de un numero positivo se not ln su dominio es el conjunto de los números reles positivos

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

Ficha 4. Funciones lineales y cuadráticas

Ficha 4. Funciones lineales y cuadráticas Fich 4. Funciones lineles y cudrátics ) Deinición de unción linel Sen A y B dos conjuntos no vcíos y un unción deinid de A hci B ( : A B ), entonces se le llm un unción linel si su criterio es de l orm

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

VISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA

VISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA VISUALIZACIÓN DE LA RELACIÓN GEOMÉTRICA ENTRE LOS TEOREMAS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO CON GEOGEBRA Doris Espernz Álvrez Quintero Profesor Colegio Los Nogles Bogotá D.C, Colombi dorislv@gmil.com Mrth Cristin

Más detalles

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EJERCICIOS PRIMERA FASE CONCEPTOS CLAVE: FUNCIONES, GRAFICA DE UNA FUNCIÒN, COMPOSICIÒN DE FUNCIONES, INVERSA DE UNA FUNCIÒN, LIMITE DE UNA FUNCIÒN, LIMITES LATERALES, TEOREMAS

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución.

Cálculo de áreas de figuras planas. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de áreas de superficies de revolución. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Cálculo de áres de figurs plns. Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución. Cálculo de longitud de rco de curv. Cálculo de áres de superficies de revolución. Cálculo

Más detalles

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un

Más detalles

Aplicaciones de la derivada (II)

Aplicaciones de la derivada (II) UNIVERSIDAD DEL CAUCA Fcultd de Ciencis Nturles, Ects de l Educción Deprtmento de Mtemátics CÁLCULO I Ejercicios Rects tngentes Aplicciones de l derivd (II) 1. Se l curv gráfic de l ecución ( ) =. Encuentre

Más detalles

UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Introducción Ide de ite Propieddes de los ites Operciones con. Indeterminciones Regls práctics pr l obtención del ite Asíntots horizontles y verticles Continuidd

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5 UNIDAD 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Fíjte en el comportmiento de l unción ( x ) x 1 tom vlores cercnos. cundo x Si x se proxim, l unción tom vlores cercnos 5. Se escribe:

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

Fórmulas de cuadratura.

Fórmulas de cuadratura. PROYECTO DE ANALISIS MATEMATICO I : Integrción numéric. Ojetivos: Aprender los métodos más sencillos de integrción númeric y plicrlos en diversos prolems. Fórmuls de cudrtur. Se (x un unción continu deinid

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

Determinantes y la Regla de Cramer

Determinantes y la Regla de Cramer Determinntes y l Regl de Crmer Mtriz Invers Not: un mtriz cudrd que no tiene invers se llm mtriz singulr. Ejemplo: Hllr l invers de A. A 4 Si l plicr el método de Guss se obtiene ceros en los elementos

Más detalles

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de

Más detalles

Geodesia Física y Geofísica

Geodesia Física y Geofísica Geodesi Físic y Geofísic I semestre, 016 Ing. José Frncisco Vlverde Clderón Emil: jose.vlverde.clderon@un.cr Sitio web: www.jfvc.wordpress.com Prof: José Fco Vlverde Clderón Geodesi Físic y Geofísic I

Más detalles

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica.

Integral de Riemann. Introducción a la integración numérica. Cálculo Mtemático (Práctics) M. I. Berenguer Mldondo mribel@ugr.es. 1 Integrl de Riemnn. Introducción l integrción numéric. En est práctic usremos l clculdor ClssPd pr trtr el problem de integrción. Se

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre )

Dadas las matrices: y. a) Hallar A 10. b) Hallar la matriz inversa de B. c) En el caso particular de k=0, halla B 10. (PAU Septiembre ) Dds ls mtrices: ) Hllr A. b) Hllr l mtri invers de B. c) En el cso prticulr de k=, hll B. (PAU Septiembre 4-5) ) A = = A = = = O A 4 = A A= O A = O ; lo mismo A 5, A 6 por tnto A = b) B = = ; Es un mtri

Más detalles

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Mtemátics II LE.Tem 4: Introducción l teorí de integrción Integrles inmedits MÉTODOS DE INTEGRACIÓN x α = xα+ α+ + C, si α - (f(x)) α f '(x) = (f(x))α+ + C, si α - α + x = x + C f '(x) = f(x) + C f(x)

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Definición de la función logaritmo natural.

Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se sbe que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA.- Definición.- Se denomin ritmo en bse de un número, l eponente que es preciso elevr pr que resulte. debe ser un número positivo y distinto de l unidd. Pr epresr que y es el ritmo

Más detalles

TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS (en horas)

TREN DE PASAJEROS TREN DE MERCANCÍAS (en horas) Unidd. L integrl definid Resuelve Págin Dos trenes Un tren de psjeros un tren de mercncís slen de l mism estción, por l mism ví en idéntic dirección, uno trs otro, csi simultánemente. Ests son ls gráfics

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0.

CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES. Valor absoluto. Definición 1. El valor absoluto del número real a, que se designa por a, se define por. a si a < 0. CÁLCULO ELEMENTAL APUNTES Vlor bsoluto Definición 1. El vlor bsoluto del número rel, que se design por, se define por { si 0, = si < 0. Definición 2. L distnci entre los números x 1 y x 2 de l rect rel

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO

UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO MODELO Curso / MATERIA MATEMATICAS II INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El lumno

Más detalles

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS

UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS Tem 4 UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS 1. ÍNDICE 1. Introducción 2. Potencis funciones eponenciles 3. Función rítmic ritmos 4. Ecuciones eponenciles rítmics 2. INTRODUCCIÓN GENERAL A LA UNIDAD Y ORIENTACIONES

Más detalles

MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS

MATEMÁTICAS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 25 AÑOS LOGARITMOS PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS LOGARITMOS Unidd 4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MAYORES 5 AÑOS UNIDAD DIDÁCTICA 4: LOGARITMOS. ÍNDICE. Introducción. Potencis funciones eponenciles.

Más detalles

Límite de funciones. Continuidad MATEMÁTICAS II 1

Límite de funciones. Continuidad MATEMÁTICAS II 1 Límite de funciones. Continuidd MATEMÁTICAS II LÍMITE FINITO DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo determinr el límite de un función cundo l vrible se proim un vlor 0? En generl, pr tener un ide de l respuest

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES

TEMA 12 INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES Tema Derivadas. Aplicaciones Matemáticas I º Bacillerato TEMA INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO EJERCICIO : Halla la tasa de variación

Más detalles

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos

2. Estimar el área debajo de la gráfica de f(x) = cosx desde x = 0 hasta x = π/2, usando cuatro rectángulos 1. Estimr el áre debjo de l gráfic de f(x) = cosx desde x = hst x = π/2, usndo cutro rectángulos de proximción y como puntos muestr, los extremos derechos de los intervlos. Dibuje l curv y los rectángulos

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS

REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS TRIIGONOMETRÍÍA REPASO DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Y EQUIVALENCIAS Recuerd que los ángulos los medímos en grdos o en rdines. Además, los grdos podín dividirse en minutos segundos, de form similr como se distribuen

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO DE CUALQUIER BASE Y LA DERIVACIÓN LOGARÍTMICA Sugerencis pr quien imprte el curso: Se esper que con l propuest didáctic presentd en conjunción con los prendizjes logrdos

Más detalles

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍITE DE UNA FUNCIÓN. Limite de un unción en un punto.. Límites lterles.. Limites ininitos.. Límites en el ininito.. Propieddes de los límites. 6. Operciones con ininito. 7. Cálculo de límites. 8. Cálculo

Más detalles