Aplicación del Cálculo Integral para la Solución de. Problemáticas Reales

Transcripción

1 Aplicción del Cálculo Integrl pr l Solución de Problemátics Reles Jun S. Fierro Rmírez Universidd Pontifici Bolivrin, Medellín, Antioqui, En este rtículo se muestr el proceso de solución numéric del ejercicio N 40, págin 544, del libro Cálculo de un vrible, con l finlidd de cumplir los requerimientos pr el trbjo finl de modelción de l signtur Cálculo Integrl. Por medio de l plicción de integrles, se determinrá l ecución pr el cálculo de l longitud de un cble telefónico y se hllrá l ltur l cul debe estr conectdo el cble teniendo en cuent l ltur mínim de este respecto l suelo, y l distnci de seprción entre mbos postes. Nomencltur = distnci en el eje horizontl desde el origen hst el poste y = ltur del poste respecto l eje verticl c = desplzmiento en y del punto de origen de l función I. Introducción El cálculo integrl se encrg del estudio de ls ntiderivds y ls integrles, ls cules son utilizds pr el cálculo de áres, volúmenes y longitudes de rco. Su plicción en el áre de ls ingenierís, comprende un grn número de temátics, como pueden ser: hllr l mgnitud de un crg distribuid sobre un vig, clculr l energí consumid en un periodo de tiempo, conocer el volumen de fluido que ps por un ducto durnte un periodo estblecido, entre otrs. Es de grn importnci que un estudinte conozc ls diverss plicciones de ls integrles en Estudinte, Fcultd de Ingenierí Aeronáutic, Cir. 3 # 68C-5

2 su áre de estudio, principlmente siendo est un ingenierí, con el fin de que pued plicrl l solución de problemátics de l vid diri o de l industri. El rtículo epone l solución del comportmiento de un cble telefónico, descrito por un función trigonométric, medinte el plntemiento de ls ecuciones necesris pr el desrrollo del ejercicio. De igul form epone, medinte el uso de softwre, un solución concret, como se solicit en el prtdo resolver. II. Plntemiento del Problem Un cble telefónico que cuelg entre dos postes en = b y = b. Ver Figur 1. El cble tom l form de un ctenri con ecución y = c + cosh (1 1. Hlle l longitud del cble. 2. Supong que dos postes de teléfono están prtdos entre sí 50 pies y que l longitud del cble entre dos postes es de 51 pies. Si el punto mínimo del cble debe estr 20 pies sobre el suelo, qué ltur debe estr tdo el cble en cd poste? Fig. 1 Esquem del ejercicio N 40, págin 544. Tomd de Cálculo de un vrible [1]. 2

3 III. Solución Mnul del Problem Al nlizr el ejercicio y lo solicitdo en el numerl 1, es clro que l solución se obtiene por medio de l plicción de l integrl pr longitud de rco L = y que el numerl 1 solicit que hllemos l longitud del cble. b 1 + [f (] 2 d (2 A. Primer Derivd de l Función (1 Pr continur con l solución del ejercicio, se procede hllr l primer derivd de l función f( = c + cosh f ( = sinh De igul form, se comprueb que el dominio de l nuev función comprende todos los reles. B. Simplificción de l Ríz Con el objetivo de fcilitr l solución, se simplific l ríz que se encuentr dentro de l integrl. 1 + [ sinh ( ] sinh 2 ( cosh 2 ( cosh ( C. Limites de Integrción Anlizndo el plntemiento del ejercicio, se tiene que b b, por lo cul l función posee un comportmiento simétrico; entonces se sume que l integrl puede ser evlud en el intervlo 0 b y est debe ser multiplicd su vez por 2, pr obtener l longitud totl del cble. Se obtiene entonces l siguiente integrl L = 2 b que será l encrgd de proporcionr l longitud finl. 0 cosh d (3 3

4 D. Solución de l Integrl Se procede solucionr l integrl obtenid nteriormente. b cosh d ] b L = 2 0 [ L = 2 sinh [ ( 0 b L = 2 sinh sinh ( ] 0 [ ( ] b L = 2 sinh (4 L ecución (4 es l que describe l longitud del cble telefónico, en función del vlor que tome b. E. Numerl 2 L distnci que sepr mbos postes es 50 pies, por lo que l distnci del poste b l origen es 25 pies y l longitud del cble es 51 pies. Con l informción nterior, se resuelve l ecución (4 pr obtener el vlor de. [ ( ] = 2 sinh [ ( ] 25 0 = 2 sinh 51 = = Se seleccion el vlor positivo pr, el cul finlmente tendrá un vlor de Ahor, l ecución que describe l ltur (l es ( y = c cosh (5 4

5 Debido que l ltur mínim del cble debe ser 20, tenemos que y(0 = 20, por lo tnto: ( y( = c cosh ( 0 y(0 = c cosh = c cosh (0 = c = c c = c = Y con los vlores necesrios pr resolver l ecución que describe l ltur (l, se procede reemplzr vlores y obtener l ltur l que se deben encontrr los postes. Recordr que: = 25 c = = Entonces: ( 25 y = cosh y = ft Finlmente, se obtiene que l ltur l que deben encontrrse mbos postes, pr cumplir con ls condiciones iniciles, debe ser ft. IV. Solución Medinte Softwre Se decide hcer uso de Ecel 2016 y Wolfrm Alph pr relizr l comprobción del desrrollo mnul, debido que son progrms mplimente utilizdos, que poseen l cpcidd de poder grficr funciones, y l grn fcilidd pr cceder ellos, como es el cso de Ecel, y que su licenci es provist por l universidd pr los estudintes. 5

6 A. Primer Derivd de l Función Fig. 2 Primer derivd de l función que describe el cble telefónico. Tomd de Wolfrm Alph. B. Simplificción de l Ríz Fig. 3 Simplificción de l ríz. Tomd de Wolfrm Alph. C. Solución de l Integrl Fig. 4 Solucion de l integrl. Tomd de Wolfrm Alph. D. Solución del Numerl 2 5. Pr este cso, se decidió obtener el vlor de l vrible medinte Wolfrm Alph. Ver Figur 6

7 Fig. 5 Obtención del vlor de l vrible. Tomd de Wolfrm Alph. A prtir de este punto, l solución tom lugr en Ecel. Se construye un tbl, en l cul se introducen los vlores de ls diferentes vribles, y con el sistem de ecuciones de Ecel, se procede l solución del ejercicio. Se obtiene l gráfic que describe el comportmiento del cble telefónico. Ver Figur 6. Fig. 6 Representción gráfic de l ecución que describe el cble telefónico. Tomd de Ecel

8 Finlmente, se observ que el modelo rroj como ltur de los postes, el vlor correspondiente ft. E. Utilidd del Modelo Obtenido en Ecel 2013 El modelo relizdo en Ecel puede ser mplimente usdo, y que hll ls lturs del cble en diferentes puntos y de igul form clcul l longitud del cble. Desfortundmente, lgunos dtos deben ser clculdos con progrms eternos, como es el cso de l vrible, l cul hllmos con Wolfrm Alph. V. Conclusiones L plicción de integrles en l solución de problems reles, represent un prte importnte de ls ingenierís. Permite el cálculo preciso de diferentes elementos, en un mpli vriedd de csos. Al relizr el modelmiento del problem, se compruebn los dtos obtenidos de form mnul, y se rtific l precisión de mbs metodologís pr l solución del problem propuesto. Finlmente, se logr l mplición de conocimientos en l utilizción de softwre pr l solución de problemátics reles y se observ de primer mno l importnci del Cálculo. VI. Referencis [1] Jmes Stewrt. Cálculo de un vrible: trscedentes temprns. Cengge Lerning,