Tema 1: Repaso de Cinemática

Transcripción

1 Tea : Repa de Cineáica.- El iien y u decripción..- La Velcidad: 3.- La aceleración. 4.- Claificación de l iien 5.- Cpición de iien. 6.- Prblea Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 9

2 Tea I: Cineáica.- El iien y u decripción. Se dice que un cuerp e uee cuand cabia u pición repec de la de r, upue fij, que e an c referencia. El iien e, pr an, cabi del ecr pición de un pun repec a un iea de referencia que e cnidera fij cn el iep. Enende iea de referencia, el pun repec del cual a a eudiar el iien. En nuer ca uilizare c iea de referencia l eje de crdenada careian. El ead de rep de iien de un cuerp n e, pr an, ablu independiene de la iuación del beradr, in relai, e decir, depende del iea de referencia dede el que e bere. La idea de iien e acia a la neceidad de un iea de referencia que, c nra general, e cncrea cn una erna de eje crdenad careian cuy rigen n eá eid a aceleración alguna (e un pun fij pee iien recilíne y unifre). E ip de iea de referencia e deninan inerciale...- Vecr de pición: Indica la pición de una parícula cuerp repec al iea de referencia. En crdenada careiana recangulare, u cpnene X, Y y Z pueden er eudiada pr eparad. Generalene e deigna pr el ecr r iˆ + yj ˆ + zkˆ que a dede el rigen del iea de crdenada O, haa el lugar dnde e encuenra la parícula. Se dice que una parícula e uee repec a un iea de crdenada, cuand u ecr de pición cabia a edida que rancurre el iep. En el iea inernacinal (SI), el ecr de pición e eprea en []. z r y.3.- Trayecria: Se llaa rayecria a la línea que decribe el pun que repreena al cuerp en iien, cnfre a cupand picine uceia a l larg del iep. E una agniud ecalar, nralene edida en er (S.I.) en kilóer. Según ea la fra de u rayecria, l iien e claifican en recilíne y curilíne..4.- Vecr deplazaien: Si una parícula e uee dede un pun a r, el ecr deplazaien, repreenad pr r, e define c el ecr que a dede la pición inicial a la final, e decir: r r r r r r ( )ˆ i ( y y ) ˆj ( z z ) kˆ + + z r r En general el deplazaien n cincide cn la rayecria que igue la parícula. En el iea Inernacinal, el deplazaien e eprea en []. y.5.- Ecuación de iien: Un iien queda definid cuand e cnce u ecuación; e decir una epreión aeáica que peria deerinar en cada inane la pición del óil. La epreión Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 0

3 r r () e caraceríica de cada iien y recibe el nbre de ecuación del iien..- La Velcidad: La decripción de un iien upne el cncer alg á que u rayecria. Una caraceríica que añade una infración iprane bre el iien e la elcidad...- Velcidad edia: Supnga que en cier inane, una parícula e encuenra en la pición definida pr el ecr de pición r y lueg en el inane e encuenra en la pición definida pr r. El ineral de iep que ha rancurrid e y el deplazaien que ha efecuad la r r r parícula e r r r. Se denina elcidad edia a: un ecr dirigid en la dirección de r S y cuy ódul n iene que cincidir cn el cciene ecalar, cncid c celeridad edia. En el iea inernacinal, la elcidad e eprea en [/]...- Velcidad inanánea: En general, la elcidad cn la que e uee un cche, un aión una ciclea, pr ejepl, aría de un inane a r. Ell queda reflejad en el iien de la aguja de u repeci elcíer. El alr que a la elcidad en un inane dad recibe el nbre de elcidad inanánea. dr ( ) ( ) d En el ca de que r enga epread en función de la cpnene recangulare r iˆ + yj ˆ + zkˆ, el ecr elcidad endrá dad pr: dr dr dr y drz iˆ + ˆj + kˆ d d d d Y en cnecuencia: dr dr y drz, y, z d d d iend el alr de la celeridad y Velcidad Angular: Si el óil decribe una rayecria circular, el arc recrrid en un inane dad iene definid pr la epreión: S ϕ r, iend ϕ el ángul decri pr el ecr de pición y r el radi de la cura a la que perenece la rayecria. Según e: ds dϕ r dϕ r ϖ r d d d Vecrialene: ϖ r dϕ La epreión ϖ e denina elcidad angular, y en el S.I. e ide en [rad/eg]. d.4.- Perid: (T) E el iep que arda el óil en dar una uela cplea en el iien circular y e ide en egund. z.5.- Frecuencia: Mide el núer de uela que recrre un óil en un egund en el iien circular. E la agniud inera al perid. Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página

4 f T T f + Ejepl : La ecuacine paraérica de un iien n: 3 6 y + 4 Deducir: a) La ecuación del iien. b) La ecuación de la rayecria. c) La celeridad en el inane egund. a) r + iˆ + ( + 4) ˆj 3 6 b) Depejand en la egunda y uiuyend en la priera e iene: y 6 + 3, que crrepnde a la ecuación de una reca. c) d dy ; y d 3 d + y + 3 ( 37 ) La aceleración. La aceleración e la agniud que ide la ariación del ecr elcidad repec del iep Aceleración edia: Cnidere que en l inane y, la elcidade inanánea de la parícula n y. E decir, en el ineral de iep, la parícula ufre una ariación de elcidad. Pr l an, la aceleración edia iene dada pr: a Y e una agniud ecrial cuy ódul en el S.I. e ide en [/ ] Aceleración inanánea: E la deriada del ecr elcidad (deriada egunda del ecr de pición) repec del iep. d a d Cpnene inríneca de la aceleración: Tand el ecr elcidad c un ódul pr un ecr uniari, e decir, c: uˆ y deriand e iene que, uilizand la regla del prduc para la deriada, d d duˆ a u d + d ˆ d angencial nral De ea d cpnene la priera e denina aceleración angencial prque, c e deprende de u prpia definición, u dirección e la del ecr uniari û y e, pr an, angene a la rayecria. La ra cpnene e la aceleración nral cenrípea. De la aceleración angencial dire que u ódul e a d d Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página

5 y u dirección uˆ Ea a e encarga de edir" la ariación de la elcidad in iprarle u dirección ni enid, in l u ódul, e decir, u inenidad". La egunda e denina aceleración nral, y ide la ariación de la dirección del ecr elcidad, u ódul e: a n R iend R el radi de curaura de la rayecria, ya que u dirección e iepre perpendicular a la rayecria y apuna hacia el inerir de la cura". De acuerd cn l eplicad para la cpnene recangulare de un ecr: a a n + a L ecre a n y a reciben el nbre de cpnene inríneca de la aceleración. Significad fíic de la aceleracine angencial y nral: La aceleración angencial urge c cnecuencia de la ariación del ódul del ecr elcidad. La aceleración nral e debe a la ariación del ecr elcidad. Se deduce, c cnecuencia, que l iien unifre carecen de aceleración angencial y l iien recilíne n peen aceleración nral Aceleración Angular: En d l iien circulare eie un cabi en el alr de la elcidad angular del óil (y en cnecuencia, de u elcidad lineal), cupliénde para alre edi: α ϖ Siend el ineral eplead en el cabi de la elcidad angular, y α la llaada aceleración angular edia cuy alr e eprea en [rad/ ] (S.I.). Para alre inanáne: Y c O abién: ϖ r a α r dϖ α d ( ) d r d a α d r d r Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 3

6 Ejepl : El ecr de pición en un pun, en función del iep eá dad pr: ˆ r i + ( + ) ˆj + kˆ ( S. I.) Calcula u pición, u elcidad y u aceleración en el inane egund. dr La ecuación de la elcidad e: iˆ + j ˆ + kˆ d d La ecuación de la aceleración e: a ˆj + kˆ d Suiuyend en ella : r 6 ˆ 4 ˆ ˆ i + j + k ˆ 4 ˆ 4 ˆ i + j + k a ˆ ˆ j + k 4.- Claificación de l iien Según ea la rayecria que decriba un óil, el iien de ée puede er: recilíne ó circular. Y egún ea u aceleración (angencial nral) puede er: unifre, unifreene acelerad acelerad n unifreene. El iguiene cuadr reue al claificación: Miien Ac. Nral Ac. Tangencial Recilíne y unifre 0 0 Recilíne unifreene ariad 0 Cnane Circular y unifre Cnane 0 Circular unifreene ariad Variable Cnane 4..- Recilíne y unifre (MRU): En ee ip de iien n eien ni aceleración nral, ni angencial, y pr an la celeridad e cnane. En cnecuencia: S d d + K La cnane K repreena el alr de en el rigen de iep, epaci inicial. La ecuación del epaci recrrid e: X X 0 + Que n deuera que el epaci recrrid pr el óil e direcaene prprcinal a u celeridad y al iep que eplea en el iien. Gráfic: Para el ca paricular de un óil iénde cn celeridad V en el enid pii del eje X, al que en 0 paa pr la pición ˆ i hacia la derecha del eje: Gráfic S- Gráfic V- Gráfic a- Pición XX 0 +V Celeridad VCe. Aceleración a0 X S a Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 4

7 Para el ca de un óil iénde cn celeridad V en el enid negai del eje X, al que en 0 paa pr la pición ˆ i hacia la derecha del eje: Gráfic S- Gráfic V- Gráfic a- Pición X-X 0 -V Celeridad V-Ce. Aceleración a0 X S- a 4..- Recilíne unifreene acelerad (M.R.U.A.): En ee ip de iien la aceleración angencial e ce. a d a d a + K Dnde k repreena la elcidad del óil en el inane 0, elcidad inicial V. Pr an: V V a Suiuyend ea ecuación en la general del epaci e iene: 0 + d ( + a) d + a + K ' En la que la cnane k repreena el epaci inicial recrrid. + + a Eliinand en la ecuacine de la celeridad y del epaci llega a la ecuación: a Gráfic S- Gráfic V- Gráfic a- + a + a ace + X V a V Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 5

8 Ejepl 3: Un cche pare del rep y acelera unifreene durane 50 de recrrid para alcanzar una elcidad de 0 /. A parir de ee inane aniene ea elcidad una diancia de 500, para deenere a cninuación cn una deceleración de 4 /. Calcular el iep inerid en d el recrrid. En la priera fae del iien e raa de un M.R.U.A. + a y + + a De aquí uiuyend l alre que n dan bene: a ; a Reliend ee iea bene 5. En la egunda fae del iien e M.R.U. De aquí: , de dnde 75 + De dnde En la ercera fae del iien ene un M.R.U.A. cn aceleración negaia 3 5 a El iep al del recrrid e: Caída libre: E el ca paricular á iprane de iien unifreene acelerad en el que la aceleración e la aceleración de la graedad, g ( a g ˆj ) y a un alr apriad de 9,8 [/ ] Circular unifre: Para inerprear aeáicaene e iien baa recrdar que da agniud lineal e prduc de u crrepndiene angular pr el radi ( ϕ r, ϖ r, a α r ) En ee ip de iien: ϕ ϕ 0 + ϖ Dnde ω e la elcidad angular y φ e el arc recrrid Circular Unifreene acelerad: Siguiend un crieri iilar al eplead anerirene endría: ω ω + α φ φ + ω + α ω ω α φ Dnde φ e el arc recrrid, ω e la elcidad angular y α la aceleración angular. Ejepl 4: Un lane gira a razón de 60 rp y al cab de 5 egund pee una elcidad angular de 37,7 rad/. cuána uela di en ee iep?. La elcidad angular inicial de 60 rp equiale a 6,8 rad/. La aceleración aldrá: ϖ ϖ (37,7 6,8) rad / α 6,8rad / 5 O abién α π rad / El ángul decri e: Que equiale a: rad rad ϕ ϖ + α π 5 + π (5) 35π uela 35 π rad 7,5 uela π rad rad Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 6

9 5. Cpición de iien. Si un pun eá eid iuláneaene a ari iien eleenale, el iien reulane e biene al uar ecrialene l iien cpnene. E decir, en cada inane: El ecr de pición reulane e la ua ecrial de l ecre de pición de l iien cpnene: r r + r La elcidad reulane e la ua ecrial de la elcidade de l iien cpnene: + La aceleración reulane e la ua ecrial de la aceleracine de l iien cpnene: a a + a Ea re leye de cpición eán baada en el principi de Galile de la independencia de iien. Si un pun eá eid, pr caua diina, a iien iuláne, u cabi de pición e independiene de que l iien engan lugar uceia eparadaene Cpición de d iien recilíne y unifre: De la ia dirección y enid: El iien reulane e un M.R.U. cn la ia dirección y enid que u cpnene. V + c elcidad reulane y S + ( + ) c epaci recrrid De la ia dirección y enid cnrari: El iien reulane e un M.R.U. cn la ia dirección, per cn enid crrepndiene al de ayr celeridad. Aquí y S De direccine cualequiera: El iien reulane en ee ca abién e M.R.U. cn celeridad + + cθ Dnde θ e el ángul que fran la direccine de l iien. Si la direccine n perpendiculare: + y el epaci recrrid + Y c y quedará finalene: + Y la dirección del iien reulane e deduce de: an θ Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 7

10 Ejepl 5: Una cana, que a a cniderar punual, araiea perpendicularene un rí de 50 de anch, cn una elcidad de 4 /. La elcidad de la crriene e de 3 /. Calcular: a) El iep que ardará en llegar a la rilla puea. b) En qué pun de la rilla puea aracará. c) La elcidad real de la cana y el epaci recrrid pr ella. a) El iep que ardará en llegar al r lad e: 50,5 4 b) El epaci recrrid pr la cana en la dirección de la crriene e: y y 3,5 37, 5 c) La elcidad real de la cana e: + y (4 ) + (3 ) Cpición de d M.R.U.A De la ia dirección: Sean a y a la ecuacine de d M.R.U.A. reula que la ua de aba e: ( ± ) + ( ± ) + ( a ± a ) ' + ' a ± ' que e la ecuación de r M.R.U.A. en la que el epaci inicial, la elcidad inicial y la aceleración n la ua algebraica de aba agniude De diina dirección: C e lógic, la aceleración reulane e la ua ecrial de la aceleracine crrepndiene, iend el iien reulane r M.R.U.A.. En efec, i cnidera que ab iien paren del rep, e decir, 0, ene: 0 0 a y a Pr eliinación del iep en aba ecuacine y en irud del principi de la independencia de iien, e biene la ecuación de la rayecria: a a Que e la ecuación de una reca. Si l d iien n perpendiculare, la aceleración del iien reulane e: a a + a ce. Traánde, pr l an, de un M.R.U.A. de ecuación a Cpición de un M.R.U. y un M.R.U.A De la ia dirección: El iien reulane e un M.R.U.A. Sean: + De dnde pr ua e biene: + ( 0 + 0) + ( + 0) + a 0 + y a Un ca paricular iprane de ee ip de iien e el lanzaien erical de pryecile en el ací. En efec, el pryecil e encuenra eid a d iien recilíne: un unifre, debid al ipul prducid pr la eplión de la pólra que lanza el pryecil y r unifreene ariad, a caua del cap graiari errere. Se cuple que: Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 8

11 g + g En un iien de acen de ee ip inerea cncer la alura áia, Y a,que puede alcanzar el pryecil. C e lógic, el pryecil alcanzará u alura áia cuand u elcidad ea cer, cupliénde en ee inane que: 0 g De dnde: 0 g 0 Y uiuyend en la ecuación del epaci recrrid: Ya g g g g La alura áia que alcanza un pryecil lanzad ericalene en el ací e direcaene prprcinal al cuadrad de la elcidad de lanzaien. Ejepl 6: Se lanza ericalene hacia arriba un óil cn una elcidad inicial de 80 /. Cniderand g0/, Qué alura áia alcanzará y qué iep inerirá en alcanzarla?. Cuand alcance la alura áia, 0 /. Pr l an: 0 g 80 0 de dnde 8 eg. ( 80 ) 0 El epaci recrrid erá: Ya 30 g De direccine perpendiculare: E el ca de un pryecil diparad hriznalene en el ací cn una elcidad dede una ciera alura H. El óil eá eid iuláneaene a d iien: un hriznal, recilíne y unifre, de aance, cn la elcidad, y r erical, recilíne y unifreene ariad, in elcidad inicial de caída. Elegire un iea plan de eje crdenad, cn el rigen en el pun del uel Y iuad ericalene debaj del pun del YH lanzaien, y cn el eje OX hriznal en enid del aance y el OY erical acendene. Al er caida aance iuláne l d iien, el iep de caída e igual al iep de aance, cupliénde para cada iien eleenal que: X Caída: y H g θ Aance: y V El ái alcance que lgra el pryecil e calcula halland el iep que arda en caer y uiuyéndl en la epreión general del aance. Cuand el pryecil llegue al uel y0, de dnde H g y en cnecuencia: Ve que: X a En un ir hriznal el alcance depende de la elcidad de alida del pryecil y de la alura dede dnde e dipara. H g Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 9

12 La elcidad cn que llega el pryecil al uel erá la reulane de la elcidad erical cneguida en la caída ( y g ) y de la elcidad hriznal cnane de aance, iend u ódul: + y + g. Si θ e ángul que fran el ecr elcidad cn la hriznal: La rayecria eguida pr el óil crrepnde a una parábla. y an θ De direccine cualequiera (Tir Parabólic) En ee ip de iien la elcidad inicial e decpne en y (erical) M.R.U.A. y (hriznal) M.R.U. y y Cα Senα y V α y a Y en cualquier inane del iien: y y 0 Cα g enα g L deplazaien hriznal y erical eperienad pr el óil erán: Deplazaien hriznal: ( cα ) Deplazaien erical: Si de la ecuación del deplazaien hriznal depeja ; y l ee en la ecuación del deplazaien erical: bene: g ( en ) g y α y cα y enα cα g y anα Que e la ecuación de la rayecria. c α Para calcular la celeridad (ódul de la elcidad) del pryecil en un pun cualquiera de u rayecria baa cn: g c α + y c α + ( enα g ) + g g enα Y i ene en cuena la ecuación del deplazaien erical, ea ecuación queda: g h El pryecil alcanzará u alura áia cuand la cpnene erical de la elcidad ea nula. De aquí deduci el iep que ardará en cneguir dicha alura áia. 0 enα g Y pr l an: en y α a g Suiuyend ee alr en la ecuación el deplazaien erical bene: Y a enα en α en α enα g g g g Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página 0

13 Para calcular el alcance final del pryecil, el iep que arda el pryecil en caer al uel e el dble del enα iep que arda en alcanzar u alura áia. 0 g Si uiui en la ecuación del deplazaien hriznal: X a enα g El ái alcance e cneguirá cuand en α ; e decir α 90, y pr l an α 45. Ejepl 7: Se dipara un pryecil cn una elcidad de 400 /, frand un ángul de 30 cn la hriznal. Calcular: a) Cpnene recangulare de la elcidad de alida. b) Tiep que arda en alcanzar la alura áia. c) Alura áia alcanzada. d) Alcance del pryecil. a) 3 cα 400 c y enα 400 en b) La alura áia e alcanza cuand la cpnene erical de la elcidad e hace cer: 400 en α y 0 a g 0 c) Aplicand la ecuación del deplazaien erical: en Y α (400 ) 4 a 000 g 0 d) El iep de uel erá el dble del inerid en alcanzar la alura áia: 0 40 Y aplicand la ecuación del alcance final: 3 en X α (400 ) a 8000 g Ejercici.- Una parícula e uee a l larg del eje OX de d que u pición en cualquier inane aiende a: (S.I.). Calcula u celeridad edia en l iguiene ineral de iep: a) 5 y 6, b) 5 y 5,, c) 5 y La función de cier iien e: (SI). Calcular el alr de la aceleración angencial en el inane Un ren pare del rep pr una ía circular de 400 de radi y e uee cn un iien unifreene acelerad haa que a l 5 egund de iniciada u archa alcanza la elcidad de 36 k/h, dede cuy en cnera al elcidad. Calcular: a) La aceleración angencial en la priera eapa de u iien. b) La aceleración nral en 5. c) La aceleración al en dich inane. 4.- Sea un pryecil diparad ericalene hacia arriba cuya pición al pun de parida iene dada pr 80 5 (SI). Calcular: a) La epreión crrepndiene a u celeridad. b) Su aceleración. c) El iep en llegar a la alura áia. 5.- D óile A y B, eparad pr una diancia de k. Salen iuláneaene en la ia dirección y enid, ab cn M.R.U.A. iend la aceleración del á len de 0,3 c/. El encuenr e realiza a 3,05 k de diancia del pun de parida de B. Calcular: Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página

14 a) El iep inerid pr ab óile. b) La aceleración de A. c) La elcidade de ab en el pun de encuenr. 6.- Se lanza dede el uel ericalene hacia arriba una pela cn una elcidad inicial de 45 /. a) Qué alura alcanzará al cab de eg? b) Qué alura áia alcanzará? c) Cuan iep ardará en paar pr un pun iuad a 5 er bre el uel?. Inerprear fíicaene l reulad benid. 7.- Se deja caer una piedra en un pz de 50 de prfundidad. Al cab de cuan iep e irá el nid del chque cnra el fnd? 8.- Un barc efecúa un erici de paajer enre d ciudade A y B, iuada en la ia ribera de un rí y eparada pr 75 k. Se upne que la elcidad del barc y del rí e cnane. Si en ir de A a B arde 3 hra y en ler de B a A arda 5 hra, deducir la elcidade del barc y de la crriene. 9.- Una pela e deliza pr un ejad que iene un ángul de inclinación de 30 bre la hriznal, de anera que llega a u ere cn una elcidad de 0 /. La alura del edifici e de 40 y la anchura de la calle a la que iere el ejad, 30. Deerinar i la pela llegará direcaene al uel chcará ane cn la pared puea. 0.- En el i inane en que una parícula que e uee en el plan XY paa pr el rigen de crdenada, aniada de una elcidad V en el enid pii del eje OY, e le cunican d aceleracine cnane y del i ódul a, una dirigida en el enid pii del eje OX y la ra en el enid negai del eje OY. Hallar: a) La ecuación de la rayecria decria pr la parícula. b) El pun del plan XY en que la elcidad de la ia parícula e ínia. Fíica º Bachillera Raúl.G.M. 00 Página