Ejercicios de Matemáticas Financieras Para desarrollar en clase

Transcripción

1 ANEXO 5 Ejercicios de Matemáticas Fiacieras Para desarrollar e clase Istructor: Dr. Arturo García Satillá Aportació del equipo coformado por: Auilar Carmoa Deisse Barradas García Eda A. Coria Kavaah Marisol Terá Gutiérrez Irma E. 555

2 GRADIENTES Se refiere a ua serie aboos o paos que aumeta o dismiuye (e $ o %), sea para liquidar ua deuda o e su defecto para acumular u determiado fodo de ahorro que puede ser a corto, mediao o laro plazo, icluso a perpetuidad. La catidad costate de aumeto de aumeto o dismiució recibe el ombre de radiete y la catidad usada como iicio de la serie recibe el ombre de catidad base o simplemete base. Se cosidera tres tipos de radietes: Gradiete Aritmético Gradiete Geométrico Gradiete Aritmético- Geométrico 556

3 GRADIENTES ARITMÉTICOS El radiete aritmético (Ga) o uiforme es ua serie de cuotas periódicas o flujos de caja que aumeta o dismiuye de maera uiforme. Los flujos de efectivo (cuotas) cambia e la misma catidad etre cada periodo. A esto se le llama radiete aritmético. PROBLEMA.- Jua Carlos pide prestada cierta catidad de diero y firma u cotrato-paaré e el que se estipula la obliació de paar e u año co paos mesuales vecidos y ua tasa del iterés del 3% aual co capitalizació mesual. Si el primer pao mesual es por $,3. y los paos sucesivos aumetara $2. cada mes, ecuetre la catidad de diero que Jua Carlos pidió prestada.,3,5,7,9 2, 2,3 2,5 2,7 2,9.. Sucesivamete hasta 3,5 Aualidad vecida Moto del cojuto VALOR FUTURO Los paos forma ua sucesió aritmética, e dode la catidad base es $,3. y el radiete es iual a $2.. RP=$,3. Ga=$2. =2 i=3% aual =3/2=2.5% mesual 557

4 ( ) [( ) ] Sustitució de Valores e la Formula: ( ) * ( ) + ( ) * ( ) + ( ) [ ] ( ) [ ] ( )[ ] RP=$,3. Ga=$2. =2 i=3% aual =3/2=2.5% mesual VALOR ACTUAL [( ) [( ) ] ] ( ) *( ) * ( ) + + ( ) *( ) * ( ) + + ( ) [( ) [ ] ] ( ) 558

5 [( ) [ ] ] ( ) [( )[ ] ]( ) [ ]( ) ( )( ) Problema 2.- El señor Martíez desea coocer el importe total de uos equipos de cómputo que paara e 6 paos, siedo el primer depósito de $8, y que cada mes crece e forma aritmética si se realiza a ua tasa de iterés del 24% capitalizable mesualmete. Cuál será el moto fial del señor Martíez? 8, 8,2 8,4 8,6 8,8 8, Aualidad vecida Moto del cojuto VALOR FUTURO i/m =.2( tasa de iterés capitalizable e m periodos por año) 559

6 Para resolverlo se ocupa la fórmula del Moto de u cojuto de retas variables vecidas co radiete aritmético, la cual es la siuiete: ( ) [( ) ] Así teemos: ( ) [( ) ] ( ) * ( ) + ( ) [ ( ) ] ( )[ ] VALOR ACTUAL i/m =.2(tasa de iterés capitalizable e m periodos por año) [( ) [( ) ] ] ( ) [( ) [ ( ) ] ] ( ) 56

7 *( ) * ( ) + + ( ) *( ) * ( ) + + ( ) [( )[ ] ]( ) [ ]( ) PROBLEMA 3.- Ricky Ricó desea coocer el moto de 3 cuotas vecidas, las que crece e forma aritmética a razó Ga=$,5.; co ua tasa omial del 35% capitalizable mesualmete, co paos de $4,2.. Cuál sería el moto de esas cuotas al termiar el plazo? 4,2 5,7 7,2 8,7,2,7 3,2 4,7 6,2.. Sucesivamete hasta 47,7 Aualidad vecida Moto del cojuto

8 VALOR FUTURO = 3 mesualidades Ma=? i= 35% omial co cap. mesual Rp=$4,2. a = $,5. a ( i / m) * a Ma ( Rp ) i / m i / m i / m 3 $,5. (.35/ 2) 3 * $,5. Ma ($4,2. ).35/2.35/2.35/2 3 $,5. ( ) $45,. Ma ($4,2. ) ( ) Ma ($4,2. $5, ) $,542, Ma ($4,2. $5, ) $,542, Ma $55, $,542, Ma $2,6,.627 $,542, Ma $,68, = 3 mesualidades Ma= $ 68, i= 35% omial co cap. mesual Rp=$4,2. a = $,5. VALOR ACTUAL 562

9 a ( i / m) * a VA ( Rp ) ( i / m) i / m i / m i / m VA Ma i m ( / ) 3 $,5. (.35/ 2) 3* $,5. VA ($4,2. ) (.35/ 2).35/ 2.35/ 2.35/ $45,. VA ($4,2. $5, ) ( ) VA ($55, ) $,542,857.8 ( ) VA $2,6,.63 $,542,857.8 ( ) VA $,68, ( ) VA $45, PROBLEMA 4.- La compañía Alfa & Omea, S.A. pide u préstamo y para ello firma u cotrato co su respectivo paare e el que se estipula la obliació de paar e meses co paos mesuales vecidos y ua tasa de iterés del 2% aual co capitalizació mesual. Si el primer pao mesual es de $35, y los paos sucesivos aumetará $6. cada mes, ecuetre la catidad de diero que la compañía Alfa &Omea paará. $35,. 35,6 36,2 36,8 37,4 38, 38,6... Sucesivamete hasta Aualidad vecida Moto del cojuto

10 RP: $35,. Ga: $6. : i/m: 2% capitalizable:.2/2:.6666 VALOR FUTURO ( ) [( ) ] ( ( )) [ ] ( ) * + [ ] VALOR ACTUAL RP: $35,. Ga: $6. : i/m: 2% capitalizable:.2/2: ( ) ( ) 564

11 [( ( )) [ ] ] ( ) *( ) * + + ( ) [ [ ] ] ( ) [ ] ( ) [ ]

12 GRADIENTES GEOMÉTRICOS Serie de cuotas (retas) periódicas ó flujos de caja que aumeta o dismiuye e porcetajes costates e períodos cosecutivos de pao, e vez de aumetos costates de diero. Los flujos de efectivo (cuotas) cambia e el mismo porcetaje etre cada periodo. A esto se le llama radiete eométrico. PROBLEMA.- Catalia Creel desea coocer el moto acumulado de ua iversió de 8 mesualidades (cuotas aticipadas), las que crece e forma aritmética a razó G=4.3%; co ua tasa omial del 27% capitalizable mesualmete, siedo su primer deposito de $2,7. Cuál sería el moto de la iversió al termiar el plazo? Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto depósitos del fodo de Cuotas Aticipadas (Prepaables) co G: = 8 mesualidades M=? i= 27% cap. mesual =.225 mesual Rp=$2,7. G = 4.3% 566

13 Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G M 8 8 (.27 /2) (.43) $2,7.(.27 /2) (.27 /2).43 M 8 8 (.225) (.43) $2,7.(.225) (.225) M $2, M $2, M $2, M $86, TABLA DE DESPEJES Fórmula oriial: Valor Actual del Rp Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G Despeje: M Rp ( i / m) ( G) ( i/ m) ( i / m) G = 8 mesualidades M=$86, i= 27% cap. mesual Rp=? G = 4.3% Valor de plazo Fórmula: x x Ma G i / m *( i / m G) Rp i / m Se tiee que satisfacer la fórmula: x x $86, /2 *(.27 /2.43) $2,7..27 /2 A prueba y error utilizamos para x = 7, 9 respectivamete y obteemos: 7 7 $86, /2 *(.27 /2.43) $2,7..27 /2 ( ) *(.25) ( )

14 $86, Rp 8 8 (.27 / 2) (.43) (.27 /2) (.27 /2).43 $86, (.225) (.43) (.225) (.225) Rp $86, Rp (.225) $86, /2 *(.27 /2.43) $2, /2 $86, *(.25) 2, *(.25) está etre 7 y 9 $86, Rp (.225).25 $86, Rp (.225) $86, $2,7. Rp Rp Cuotas Pospaables (vecidas) co G: = 8 mesualidades M=? i= 27% cap. mesual =.225 mesual R p =$2,7. G = 4.3% 568

15 De la Fórmula: Si( i / m) G Se Modifica: Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G M ( i / m) ( G) Rp ( i / m) G M M 8 8 (.27 /2) (.43) $2,7. (.27 /2).43 M 8 8 (.225) (.43) $2,7. (.225).43 ( $2,7..25 M M $2,7..25 $2, M $84, TABLA DE DESPEJES Valor Actual Rp Fórmula oriial: Si( i / m) G M ( i / m) ( G) Rp ( i / m) G Despeje: M ( i / m) ( G) ( i / m) G Rp Fórmula Oriial: Valor de plazo x x Ma G i / m *( i / m G) Rp Se tiee que satisfacer la fórmula: x x $84, / 2 *(.27 / 2.43) $2, 7. A prueba y error utilizamos para x = 7, 9 respectivamete y obteemos: 569

16 7 7 $84, /2 *(.27 /2.43) $2, 7. = 8 mesualidades M = 84, i= 27% omial co capitalizació mesual =.225 mesual Rp=? G = 4.3% $84, (.27 / 2) (.43) (.27 /2) $84, (.225) (.43) (.225) Rp Rp $84, Rp ( ) *(.25) ( ) $84, / 2 *(.27 / 2.43) $2, 7. $84, *(.25) 2, *(.25) está etre 7 y 9 $84, Rp $84, Rp $2,7. Rp 57

17 PROBLEMA 2.- U padre de familia ha destiado cierta catidad de diero para que su hijo estudie ua carrera uiversitaria que dura 9 semestres y debido a la iflació, la coleiatura aumeta el 3.5% semestral. Si el padre deposita el diero e ua cueta bacaria que paa el % semestral capitalizable cada semestre, qué catidad de diero acumulará y que será similar a lo que tea que paar por el estudio de su bebe? Lo aterior, cosiderado que la coleiatura correspodiete al primer semestre es de $24,87. Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto depósitos del fodo de iversió = 9 M=? i= % semestral Rp=$24,87. G = 3.5% semestral Cuotas Aticipadas (Prepaables) co G: Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G 57

18 M M 9 9 (.) (.35) $24,87(.) (.).35 ( ) ( ) $24,87.(.) (.) M $27, M $27, M $48, TABLA DE DESPEJES Fórmula oriial: Valor Actual del Rp Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G Despeje: M Rp ( i / m) ( G) ( i/ m) ( i / m) G = 9 M= $48, i= % semestral Rp=? G = 3.5% semestral $48, Rp 9 9 (.) (.35) (.) (.).35 Valor de plazo Fórmula oriial: x x M G i / m *( i / m G) Rp i / m Se tiee que satisfacer la fórmula: x x $48, *(..35) $24,87.. A prueba y error utilizamos para x = 8, respectivamete y obteemos: 8 8 $48, *(..35) $24,87.. ( ) *(.65) ( ) ( )

19 $48, Rp ( ) ( ) (.) (.).35 $48, Rp (.).65 $48, (.)( ) $48, ( ) Rp Rp $48, *(..35) $24,87.. $48, *(..35) $27, *(.65) COMPROBACIÓN 9 9 $48, *(..35) $24,87.. ( ) *(.65) ( ) Cuotas Pospaables (vecidas) co G: = 9 M=? i= % semestral Rp=$24,87. G = 3.5% semestral De la Fórmula: Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G 573

20 Se Modifica: Si( i / m) G M ( i / m) ( G) Rp ( i / m) G M 9 9 (.) (.35) M $24,87. (.).35 ( ) ( ) $24,87. (.) M $24, M $24, M $38,72.57 TABLA DE DESPEJES Fórmula oriial: Si( i / m) G M Valor Actual Rp ( i / m) ( G) Rp ( i / m) G Despeje: = 9 M=$38,72.57 i= % semestral Rp=? G = 3.5% M ( i / m) ( G) ( i / m) G Rp Fórmula Oriial : Valor de plazo x x M G i / m *( i / m G) Rp Se tiee que satisfacer la fórmula: x x $38, *(..35) $24,87. A prueba y error utilizamos para x = 8, respectivamete y obteemos: 8 8 $38, *(..35) $24, *(.65)

21 $38,72.57 (.) (.35) (.) Rp $38,72.57 Rp ( ) ( ).65 $38,72.57 ( ).65 Rp $38, *(..35) $24,87. (.45876) *(.65) ) está etre 8 y $38,72.57 Rp $38,72.57 Rp $24,87. Rp 575

22 PROBLEMA 3.- Grupo Apolo creó u fodo de iversió el cual esta costituido por 5 depósitos mesuales que crece a ua tasa de G: 7.6%, siedo el importe del primer depósito de $2,.. Dichos depósitos tiee ua tasa de iterés del 5% omial capitalizable mesualmete. Cuál será el moto acumulado que obtedrá Grupo Apolo? Depósitos a iicio de mes Moto del cojuto depósitos del fodo de iversió = 5 depósitos M=? Cuotas Aticipadas (Prepaables) co G: i = 5% omial que es iual a: i/m= (Tasa de iterés mesual capitalizable e m periodos por año) Rp=$2,. G = 7.6% 576

23 Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) * ( ) ( ) + ( ) [ ( ) ] ( ) [ ] ( )[ ] ( ) TABLA DE DESPEJES Fórmula oriial: Valor Actual del Rp Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G Despeje: M Rp ( i / m) ( G) ( i/ m) ( i / m) G Valor de plazo Fórmula Oriial: x x M G i / m *( i / m G) Rp i / m Se tiee que satisfacer la fórmula: x x $57, / 2 *(.5 / 2.76) $2,.5 /2 A prueba y error utilizamos para x = 4, 6 respectivamete y obteemos: 4 4 $57, / 2 *(.5 / 2.76) $2,.5 /2 ( ) *(.635) 577

24 (Tasa de iterés omial capitalizable e m periodos por año) ( ) $57, / 2 *(.5 / 2.76) $2,.5 /2 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) *(.635) ( ) ( ) * ( ) ( ) + ( ) * ( ) + está etre 4 y 6 ( ) * + ( )[ ] COMPROBACIÓN 5 5 $57, /2 *(.5 /2.76) $2,.5 /2 ( ) *(.635) ( ) ( ).5 578

25 Cuotas Pospaables (vecidas) co G: Rp= $2,. G = 7.6% = úmero de depósitos 5 m = capitalizació mesual (Tasa de iterés omial capitalizable e m periodos por año) De la Fórmula: Si( i / m) G Se Modifica: Si( i / m) G ( i / m) ( G) M Rp ( i / m) ( i / m) G M ( i / m) ( G) Rp ( i / m) G [ ( ) ( ) ] * ( ) ( ) + [ ( ) ] [ ] ( ) TABLA DE DESPEJES Valor Actual Rp Fórmula oriial: Si( i / m) G M ( i / m) ( G) Rp ( i / m) G Valor de plazo Fórmula Oriial x x M G i / m *( i / m G) Rp Se tiee que satisfacer la fórmula: x x $56, / 2 *(.5 / 2.76) $2, 579

26 Despeje: M ( i / m) ( G) ( i / m) G Rp A prueba y error utilizamos para x = 4, 6 respectivamete y obteemos: 4 4 $56, / 2 *(.5 / 2.76) $2, ( ) *(.635) ( ) [ ( ) ( ) * ( ) ( ) + ] 6 6 $56, / 2 *(.5 / 2.76) $2, ( ) ( ) *(.635) [ ( ) ] está etre 4 y 6 [ ] [ ] COMPROBACIÓN 5 5 $56, /2 *(.5 /2.76) $2,.5 /2 $56, *(.25.76) $2, 25 ( ) *(.635) *(.635) ( ) ( ).5 58