CAPÍTULO 2. , para 0 p 1. [] x

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CAPÍTULO 2. , para 0 p 1. [] x"

Transcripción

1 CAPÍTULO LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO FEDERICO PALACIOS GONZÁLEZ JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES Deprtmento de Métodos Cuntittivos pr l Economí y l Empres Fcultd de Ciencis Económics y Empresriles Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN A prtir de l distribución de probbilidd de un vrible letori de tipo continuo, finit no negtiv, X, se puede obtener l curv de Lorenz correspondiente, que viene dd por, Css y Núñez, (99), F ( p) t df( t) L( p), pr p () E [] siendo F( l función de distribución y E( el vlor esperdo de dich vrible. Por tnto, pr obtener un curv de Lorenz prtir de un función generdor,, en principio, se podrí buscr primero l función de distribución de l vrible letori generd por y, prtir de ell, medinte l epresión dd en (), encontrr l epresión de l curv correspondiente. Sin embrgo l ví recogid en este trbjo no corresponde l nteriormente epuest, sino más bien por quell que permit obtener un curv de Lorenz prtir de un función, medinte l integrción decud. Es decir se pretende, por un prte, encontrr ls condiciones que debe un función pr que, prtir de ell, se pued obtener un curv de Lorenz, y por otr prte encontrr l form funcionl de lguns curvs de Lorenz, por este método obtenids. Precedentes de est ví se pueden encontrr en Css, Herrerís y Núñez, (99), en cuyo trbjo presentn dos forms de obtención de funciones que modelizn l curv de Lorenz: un medinte combinciones lineles conves de forms funcionles utilizds en l estimción de dich curv por otros

2 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN utores y otr, utilizndo l ecución diferencil que gener l fmili de distribuciones continus univrintes de Person e inicindo el estudio de l relción entre un función que verific l ecución diferencil que define l fmili de Person y l curv de Lorenz Es precismente l utilizción de l ecución diferencil que define l fmili de Person, l que permite, en su generlizción más mpli pr el cso de un sol vrible, llegr l concepto de función generdor de un curv de Lorenz. El concepto de función generdor de un distribución continu univrinte de probbilidd surgió l considerr el segundo miembro de l ecución f '( ( ) () f b b b igul un función rel de vrible rel, f '( (3) f ( por tnto, de igul form, se puede considerr que un función generdor,, de un curv de Lorenz, en principio, h de verificr (3), pr todo comprendido entre cero y uno. Ls condiciones necesris y suficientes pr que un función que verific (3) se generdor de un curv de Lorenz se estudin en el epígrfe siguiente. Lfuente (994) utiliz distintos csos prticulres de funciones generdors de curvs de Lorenz. Tods ells obedecen lgun de ls siguientes epresiones: d >, b ln c, con, b, c, d > c ( >,, con ; < b, c, b ( k ( ) k e >,, con k > k e y c no son cero l vez. FUNCIÓN GENERADORA DE UNA CURVA DE LORENZ En l siguiente proposición se obtienen ls condiciones que debe cumplir un función rel de vrible rel, pr que, prtir de (3), se pued obtener un curv de Lorenz, f(. Se un función rel de vrible rel, entonces, prtir de

3 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON f '( f ( se obtiene d f ( K e (4) donde K es l constnte de integrción, cuyo vlor se determinrá l considerr ls condiciones necesris pr que f( se un curv de Lorenz. PROPOSICIÓN Se un función rel de vrible rel, y se G ( d. Pr que l función f( definid en (4)se un curv de Lorenz, es condición necesri y suficiente que se verifique G() ) K e ) lim G( o 3) g ( >, / < g > < 4) ( ( )) ' ( ), / g En efecto, son condiciones necesris puesto que si f( es un función que modeliz un curv de Lorenz, entonces es posible definir d f '( g ( ln f ( G'( (5) d f ( de donde, l integrl result: G( f ( K e y puesto que f ( es un curv de Lorenz, se verific G() G() ) f ( ) luego K e, de donde K e G( G() b) f ( ) lo que implic que se verifique lim e, de donde lim G( c) En el intervlo (,], es f(>, y demás f ( es creciente, f '( >, entonces g ( > d) Por l concvidd de l función f, l segund derivd es positiv, f ''(. f ''( f ( g'(, y puesto que Derivndo en (3) result, ( ) f(> qued probdo entonces que ( ( )) '( ) [ ] g g >.

4 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN Recíprocmente, dd un función rel de vrible rel,, que verific ls condiciones impuests en ) ), 3) y 4), entonces, prtir de (4), y l condición ) se puede definir, pr todo comprendido entre cero y uno, l función G( G() f ( e, siendo, G ( d (6) cuy gráfic verific los requisitos necesrios pr ser considerd un curv de Lorenz, puesto que i) Est función f es definid positiv y demás f() ii) Puesto que, según ), lim G(, entonces lim f ( iii) iv) o o Si g es definid positiv, es decir verific l condición 3), el crecimiento de l función f se observ sin más que comprobr el signo de su derivd primer: derivndo en (6), f '( f (, y puesto que tnto f como g son definids positivs, l derivd f ( tmbién es positiv. Del hecho de que f se definid positiv y de l condición 4) se deduce l concvidd de l función f. A prtir de (6) se obtiene [( ) g' ( ] f ''( f (, y si demás f ( > y ( ( ) g'( > g entonces f ''( >. Obsérvese que i), ii) iii) y iv), junto l necesri eistenci de G(), pues sin ello no serí posible l definición (6) se obtiene un función que modeliz un curv de Lorenz.. EJEMPLO Si es un función polinómic, prtir de ell no se puede generr un curv de Lorenz, pues su integrl, G(, tmbién es un polinomio, lo que hce imposible que lim G(. o EJEMPLO L función definid por >, con >, > verific ls condiciones necesris y suficientes pr que, prtir de ell, se pued obtener un curv de Lorenz, utilizndo l definición (6). En efecto G( d ln siendo G ( ) y se verific que

5 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 3 ) lim G( n ) g ( > (,] ( ) 3) ( ) g' ( y puesto que >, >, l sum ( g ( ) g' ( es positiv, (,]. Por tnto, se puede generr un curv de Lorenz, cuy form funcionl es: EJEMPLO 3 G( G() ( ) f ( e e (7) L función definid por >, con,, > > > verific ls condiciones necesris y suficientes pr que, prtir de ell, se pued obtener un curv de Lorenz, utilizndo l definición (6). En efecto G( d ln siendo G( ) y se verific que ) lim G( n ) g ( > (,] ( ) ( ) 3) ( g ( ) g' ( 3 4 y puesto que >, >, >, l sum ( g ( ) g' ( es positiv, (,] Por tnto, se puede generr un curv de Lorenz, cuy form funcionl es: G( G() ( ) f ( e e (8) En el neo I se representn ls gráfics obtenids en (7) y (8), con el objetivo de observr, ls distints posiciones que ocup, (áre del recinto que delimit con l bisectriz del primer cudrnte), en función del vlor de sus prámetros, y. En mbos csos l myor concentrción corresponde vlores myores de sus prámetros. Puede modelizrse desde un csi nul concentrción hst un concentrción muy lt.

6 4 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN En el neo II se recogen, sobre los mismos ejes, dos gráfics de l función (8), pr distintos vlores de sus prámetros. En este cso el objetivo consiste en observr que se cortn en un punto y, por tnto, pudiern utilizrse pr un mism modelizción. 3. FUNCIÓN GENERADORA DE UNA CURVA DE LORENZ Y EL SITEMA UNIVARIANTE CONTINUO DE PEARSON L curv de Lorenz (7), obtenid prtir de l función generdor del ejemplo, verific l ecución diferencil que define el sistem de Person univrinte continuo. Sin embrgo l obtenid en (8), ejemplo 3, sólo l verific si es cero. El método de los momentos, utilizdo pr estimr l función de densidd de un distribución continu univrinte, que pertenece l fmili de Person, tmbién puede utilizrse pr, obtener l correspondiente curv de Lorenz. Por ello, result interesnte conocer qué funciones de ls que verificn l ecución diferenci de Person, pueden ser generdors de un curv de Lorenz. Css, Herrerís y Núñez, (99), mnifestron el deseo de conocer si tods ls curvs que stisfcen l ecución diferencil que define l fmili de Person cumplen l condición necesri de ls curvs de Lorenz. L proposición nterior permite estudir ls condiciones que deben cumplir los coeficientes de l función que verific l ecución diferencil de Person pr que se función generdor de un curv de Lorenz. A continución se hce un estudio completo de ls condiciones que se hn de cumplir pr que un función definid de l form f ' ( f ( b b b permit construir un curv de Lorenz. PRIMER CASO b b Entonces l función es polinómic y no permite generr un b curv de Lorenz. SEGUNDO CASO b ; b Pr que l función se generdor de un curv de Lorenz., b b es condición necesri y suficiente que

7 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 5 ) < ) b 3) < b < En efecto, es condición necesri puesto que si es un función generdor de un curv de Lorenz, entonces b b G ( d ln( b b, b b y de l condición lim G( se desprende, como únic solución, que b ; b > ; <. b De ests dos últims desigulddes se desprende que h de ser negtivo. Sustituyendo estos vlores en g y G qued, b y ln( b G(. b Por otr prte, l ser generdor de curv de Lorenz, se verific que en este cso, de donde ( ( ) g' ( >, / < g, ( g ( ) g' ( ( ) b ( ) b > b > Ddo que es negtivo y está comprendido entre cero y uno, el cso etremo se produce pr, siendo > b de donde > b L suficienci se prueb prtir de ls condiciones de los coeficientes siguiendo los mismos psos en orden inverso, y l función que modeliz l curv de Lorenz es: b ( ) b f ( e (9) Obsérvese que este segundo cso coincide plenmente con el ejemplo número. Constituyen l mism form funcionl y sólo se diferencin en los prámetros utilizdos. Result inmedito comprobr que ls condiciones eigids unos coeficientes y otros tmbién coinciden.

8 6 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN TERCER CASO b El estudio de este cso se reliz tendiendo ls posibles ríces del denomindor: dos reles distints, un rel doble o dos complejs. A) El denomindor posee dos ríces reles distints L condición necesri y suficiente pr que l función, b b b b, < en l que el denomindor posee dos ríces reles, α y β, distints, permit generr un curv de Lorenz es que los coeficientes cumpln: ) b ) < 3) < b < ( b ) 4) < b En efecto, es condición necesri: dd l función generdor con b b b b cuyo denomindor posee dos ríces reles, α y β, distints, se tiene α β G ( d ln( α) ln( β ) b α β β α De l condición α β lim G( ln( α ) ln( β ) b α β β α se deduce que un de ls dos soluciones es cero y l otr negtiv, es decir α < ; β ó bien α ; β <, (no se estudi l posibilidd α β, pues estmos estudindo el cso de que ls dos soluciones reles sen distints). Además, pr que el límite nterior se menos infinito, se h cumplir que α b >. Sin pérdid de generlidd se α < ; β. Si un de ls soluciones del denomindor es cero, su término independiente h de ser cero, b. Si l otr solución h de ser negtiv, no es cero, entonces h de ser b. De α < y α b > se deduce que b <, es decir y b tienen distinto signo. L función puede escribirse como:

9 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 7 con b b b y b por tnto ls soluciones del denomindor son β y α b b y puesto que α h de ser negtivo se deduce que b y b tienen el mismo signo. L función G(, se puede escribir: b b G( ln( b b ) ln bb b y ddo que < y que b y b hn de tener el mismo signo, pr que G( eist, es condición indispensble que b y b sen positivos y por tnto negtivo. Ls dos condiciones hst hor impuests hcen que se negtiv que b vlg cero y que b y b, sen positivos. Puesto que l función f(, modeliz un curv de Lorenz, su derivd h de ser positiv, por tnto se verific g ( > b b de donde, y teniendo en cuent ls condiciones nteriormente epuests que deben cumplir los coeficientes, b y b, (mbos positivos), sólo se deduce que <, lgo que tmbién y es conocido. Sólo qued por estudir cómo condicion los coeficientes l concvidd de l curv de Lorenz. Puesto que se h de cumplir que y por tnto ( g ( ) g' ( >, / < ( b ) ( b ) ( b ) > ( b b ) ( ) ( b ) ( b ) > con < b () Este trinomio de segundo grdo se estudi bjo distintos supuestos pr el coeficiente b, del que y sbemos que h de ser positivo: ) Si < b <, (obsérvese que este cso b b < b ), -b /b -b b l función y ( b ) ( b ) ( b ) ( ( b b ))., posee un mínimo en el punto

10 8 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN L inecución () se verific cundo: ) El mínimo está en el segundo cudrnte o sobre eleje, es decir ( b b ) y puesto que es negtivo, b b, luego b b. b) El mínimo está en el tercer cudrnte, pero l prábol cort l eje y en un vlor myor o igul que cero, es decir: ( b b ) < l vez que ( b ). b De mbs condiciones se deduce que < < b. b Por tnto se puede concluir que pr < b < l inecución () se verific si y sólo si < b ) Si b >, (obsérvese que b < b b ), -b -b /b b l función y ( b ) ( b ) ( b ) ( ( b b )).,, posee un máimo en el punto

11 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 9 L inecución () se verific cundo el máimo está por encim del eje de ls, ( b b ) > es decir < b b y demás un de ls dos ríces del polinomio ( b ) ( b ) ( b ) es myor o igul que uno, (l otr evidentemente es negtiv). Pr que un ríz se myor o igul que uno, cundo, l prábol h de ser positiv o cero, esto es: b b b ; ( b ) b y pr que el conjunto de posibles vlores de b no se vcío h de ocurrir que ( b) >, de donde se deduce que < b. Por tnto se puede concluir que pr b > l inecución () se verific si y sólo si < b. 3) Si b entonces ( b ). Puesto que es negtiv, entonces < b Recíprocmente el mismo cmino seguido en l necesidd se puede utilizr pr demostrr l suficienci, pues si los coeficientes verificn ls condiciones eigids, se verific l inecución (), por lo que f es cóncv, es positiv, luego f es creciente, eiste G() y el límite de G( cundo tiende cero es menos infinito, de donde se deduce que l función G( G() f ( e modeliz un curv de Lorenz. B) El denomindor posee un ríz rel doble L condición necesri y suficiente pr que l función, b, < b b b

12 3 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN cuyo denomindor posee un ríz rel doble, α, permit generr un curv de Lorenz es que es que los coeficientes cumpln: ) b ) b 3) < 4) < b En efecto, es condición necesri: dd l función generdor b b b con cuyo denomindor posee un ríz rel doble, α, se tiene α G ( d ln( α) b α De l condición α lim G( ln( α ) b α h de ser α, b b, y b. Entonces: >, G ( ln( b b Puesto que l función f modeliz l curv de Lorenz, h de ser positiv, y teniendo en cuent que b > h de ocurrir que > y por tnto <. Sólo qued por estudir cómo condicion los coeficientes l concvidd de l curv de Lorenz. Puesto que se h de cumplir que ( g ( ) g'( >, / < ( b ) ( b ) ( b ) > y por tnto ( b ) ( b ) > con < () De l mism form que en l proposición nterior, este trinomio de segundo grdo se estudi bjo distintos supuestos pr el coeficiente b, del que y sbemos que h de ser positivo:

13 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 3 ) Si < < b, l función ( ) ( ) y b b mínimo en el punto (, b ), posee un. L inecución () se verific siempre pues l ordend del mínimo es positiv. y b b, posee un máimo ) Si > b, l función ( ) ( ) en el punto (, b ). que pertenece l segundo cudrnte. L inecución () se verific cundo un de ls ríces del polinomio ( b ) ( b ) es myor o igul que uno. De igul form que ntes, cundo, l prábol h de ser positiv o cero, esto es: b b ; b Obsérvese que el conjunto de posibles vlores de b no es vcío pues >, y que <. 3) Si b entonces qued. que evidentemente siempre se verific. L demostrción de l suficienci se puede hcer siguiendo los mismos psos pero en orden inverso. Obsérvese que est proposición es el cso prticulr de l nterior en el que b C) El denomindor no posee ríces reles Un función de l form, b, < b b b cuyo denomindor no posee ríces reles, no permite generr un curv de Lorenz. En efecto, sen α y β dos números reles tles que

14 3 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN clculndo l función G(, result: b ( α ) b b b ) β α α ) ( α) β rctg βb G( d ln b β el límite de G( cundo tiende cero h de ser igul menos infinito, lo que supone que α β. Se trtrí entonces del cso nterior, un solución rel doble. BIBLIOGRAFÍA CALLEJÓN, J. (995). Un nuevo método pr generr distribuciones de probbilidd. Problems socidos y Aplicciones. Universidd de Grnd. CALLEJÓN J. (995). Función generdor de un curv de Lorenz IX Reunión ASEPELT- Espñ. Volumen IV. Análisis de Empres. Métodos estdísticos y econométricos. Sntigo de Compostel, pp CASAS, J.M., HERRERÍAS, R. y NÚÑEZ, J. (99). Fmilis de forms funcionles pr estimr l curv de Lorenz. IV Reunión Anul ASEPELT-ESPAÑA. Murci. CASAS, J.M. y NÚÑEZ, J. (99). Sobre l medición de l desiguldd y conceptos fines. Acts de l V Reunión Anul ASEPELT-ESPAÑA. Ls Plms. HERRERÍAS, R.(975). Sobre ls estructurs estdístics de Person y eponenciles, problems socidos. Publicciones de l Fcultd de Ciencis de Grnd. LAFUENTE, M. (994). Medids de cuntificción de l Desiguldd: L Desiguldd de l Rent en Espñ según l E.P.F Tesis Doctorl. Universidd de Murci.

15 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 33 ANEXO I f ( e ( ),8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,,, 5,,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8, 4,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8, 5

16 34 RAFAEL HERRERÍAS - FEDERICO PALACIOS JOSÉ CALLEJÓN ANEXO I f ( e ) (,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,,,,,,,,,,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,, 3,,,,,,,8,6,4,,,4,6,8,8,6,4,,,4,6,8,, 3, 5, 5, 5 5

17 LAS CURVAS DE LORENZ Y EL SISTEMA DE PEARSON 35 ANEXO II f ( e ) (,8,6,4 L L,,,4,6,8 L,5,,,,,,,, L

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES

SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES Junio 009 SELECTIVIDAD CASTILLA Y LEÓN/ MATEMÁTICAS / ANÁLISIS DE FUNCIONES PR-.- Un cmpo de tletismo de 00 metros de perímetro consiste en un rectángulo y dos semicírculos en dos ldos opuestos, según

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 6 Curso preprtorio de l prueb de cceso l universidd pr myores de 5 ños curso 1/11 Nuri Torrdo Robles Deprtmento de Estdístic Universidd Crlos III de Mdrid

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .. Problems de plicciones de máimos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores etremos en los llmdos: problems de plicciones o problems de

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio.

Grado en Biología Tema 3 Integración. La regla del trapecio. Grdo en Biologí Tem Integrción Sección.: Aproximción numéric de integrles definids. Hy funciones de ls que no se puede hllr un primitiv en términos de funciones elementles. Esto sucede, por ejemplo, con

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL

MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL MODELOS ALEATORIOS PARA EL TIPO DE INTERÉS REAL RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ Deprtmento de Economí Aplicd Universidd de Grnd. INTRODUCCIÓN Se supone que el Sr. Corto dispone de

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx

dx x 2 dx 22. x2 +x-2 dx cos 2 x+cosx senx Integrles Clculr l integrl: +e + -+ + sen(+) 6-7 - 8 9 - + ln - 9- + (-)cos 6 ln 7 e 8 sen 9 e - + + + +- +- -6 - ++ () Describir el método de integrción por cmbio de vrible () Usndo el cmbio de vrible

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS

APUNTES DE MATEMÁTICAS APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 8: FUNCIONES.LÍMITES º BACHILLERATO FUNCIONES.Límites y continuidd ÍNDICE. LíMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES...3. Definición límite de un función en un punto...4 3. Definición

Más detalles

Aplicaciones del cálculo integral

Aplicaciones del cálculo integral Aplicciones del cálculo integrl Aplicciones del cálculo integrl Cálculo del áre de un función Pr clculr el áre encerrd por un función en un intervlo [,] con el eje X, dee utilizrse l integrl definid. Csos:

Más detalles

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos)

TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) .0. Problems de plicciones de máximos y mínimos En est sección se muestr como usr l primer y segund derivd de un función en l búsqued de vlores extremos en los llmdos: problems de plicciones o problems

Más detalles

Inecuaciones con valor absoluto

Inecuaciones con valor absoluto Inecuciones con vlor soluto El vlor soluto de un número rel se denot por y está definido por:, si 0 si 0 Propieddes Si y son números reles y n es un número entero, entonces: 1.. 3. n 4. n L noción de vlor

Más detalles

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES

el blog de mate de aida.: ECUACIONES 4º ESO pág. 1 ECUACIONES el blog de mte de id.: ECUACIONES º ESO pág. ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Un ecución de segundo grdo tiene l form generl: +b+c=0. (El primer sumndo del primer miembro no puede ser nunc nulo,

Más detalles

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=±

Signo 2. Signo 1. 9x 6x 8 = 0, se arregla la ecuación así: 3x 1=± CAPÍTULO X ECUACIÓN DE º GRADO Y FUNCIÓN CUADRÁTICA 9.. ECUACIÓN DE º GRADO Un ecución de segundo grdo con un incógnit es tod quell que puede ser puest en l form x + bx + c = 0 siendo, b y c coeficientes

Más detalles

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO)

REPASO DE ECUACIONES (4º ESO) TIPOS DE ECUACIONES.- REPASO DE ECUACIONES ( ESO) Eisten diversos tipos de ecuciones, entre ells estudiremos: Polinómics: En ells, l incógnit prece solmente en epresiones polinómics. El grdo de un ecución

Más detalles

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente:

FUNCIONES. Analíticamente, la correspondencia anterior se escribe del modo siguiente: FUNCIONES.- CONCEPTO DE FUNCIÓN Se dice que un correspondenci f definid entre dos conjuntos A B es un función (o plicción), si cd elemento del conjunto A le sign un elemento sólo uno del conjunto B. De

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración.

INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Aproximación intuitiva al concepto de integral definida. Propiedades con respecto al integrando y al intervalo de integración. INTEGRAL DEFINIDA Apuntes de A. Cñó Mtemátics II 6. Aproimción intuitiv l concepto de integrl definid. Propieddes con respecto l integrndo y l intervlo de integrción. 6. El teorem fundmentl del cálculo

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

O(0, 0) verifican que. Por tanto,

O(0, 0) verifican que. Por tanto, Jun Antonio González Mot Proesor de Mtemátics del Colegio Jun XIII Zidín de Grnd SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Un unción es simétric respecto del origen O, su simétrico respecto de O

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES TEMA 5 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 5.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. LÍMITES LATERALES 5.1.1. Concepto de tendenci Decimos que " tiende " si tom los vlores de un sucesión que se proim. Se

Más detalles

Descomposición elemental (ajustes por constantes)

Descomposición elemental (ajustes por constantes) Descomposición elementl (justes por constntes) OBSERVACIONES. Ls primers integrles que precen se hn obtenido del libro de Mtemátics I (º de Bchillerto) McGrw-Hill, Mdrid 007.. Otros problems se hn obtenido

Más detalles

Definición de la función logaritmo natural.

Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se sbe que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

FUNCIONES ELEMENTALES

FUNCIONES ELEMENTALES FUNCIONES ELEMENTALES.- FUNCIONES POLINÓMICAS.- Funciones Lineles Son funciones cu le es un polinomio de primer grdo, es decir, f() = m + n Sus gráfics son rects pr representrls bst con obtener dos puntos

Más detalles

LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1

LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bach 1 LÍMITES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS MATEMÁTICAS I 1º Bch 1 LÍMITES, CONTINUIDAD, ASÍNTOTAS LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 11.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de un función en un punto f () l Se lee: El

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES.

I.E.S. PADRE SUÁREZ Álgebra Lineal 1 TEMA I MATRICES. DETERMINANTES. I.E.S. PDRE SUÁREZ Álgebr Linel TEM I. Mtrices.. Operciones con mtrices. Determinnte de un mtriz cudrd.. Mtriz invers de un mtriz cudrd. MTRICES. DETERMINNTES.. MTRICES. Llmmos mtriz de números reles,

Más detalles

5. Integral y Aplicaciones

5. Integral y Aplicaciones Métodos Mtemáticos (Curso 203 204) Grdo en Óptic y Optometrí 29 5. Integrl y Aplicciones Primitiv de un función Un función F es un primitiv de f, en un intervlo I, si F (x) = f(x) pr todo x en I. Observción

Más detalles

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS

UNIDAD N 3: EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Mtemátic Unidd - UNIDAD N : EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS ÍNDICE GENERAL DE LA UNIDAD Epresiones Algebrics Enters...... Polinomios..... Actividdes... 4 Vlor Numérico del polinomio........ 4 Concepto

Más detalles

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006

Resolución del examen de Matemáticas II de Selectividad Andalucía Junio de 2006 Resolución del emen de Mtemátics II de Selectividd Andlucí Junio de 6 Antonio Frncisco Roldán López de Hierro * de junio de 6 Opción A Ejercicio [ 5 puntos] Determin un punto de l curv de ecución y e pendiente

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

Matemáticas Bachillerato

Matemáticas Bachillerato Mtemátics Bchillerto Continuidd CONTINUIDAD DE FUNCIONES. Definición de continuidd en un punto Definición: Un función f se dice continu en un punto de bscis (o se, en = ) si lím f ( ) f ( ). Esto es equivlente

Más detalles

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA

AREA DE CIENCIAS BÁSICAS - CÁLCULO INTEGRAL INTEGRAL DEFINIDA GUIA DE INTEGRALES DEFINIDAS INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Teorem Fundmentl del Cálculo Áre jo l curv de un región Áre entre dos regiones COMPETENCIA: Resolver integrles plicndo

Más detalles

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 1 TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 5.1.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

Ecuaciones de 1 er y 2º grado

Ecuaciones de 1 er y 2º grado Ecuciones de 1 er y º grdo Antes de empezr resolver estos tipos de ecuciones hemos de hcer un serie de definiciones previs, que irán compñds por lgunos ejemplos. Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones

Más detalles

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas)

1. Cálculo de primitivas. 2. Reglas de cálculo de primitivas. (I Integrales inmediatas) Tem : L integrl definid. Cálculo de primitivs. Aplicciones.. Cálculo de primitivs. Definición. Dds f, F : D R R, decimos que F es un primitiv de l función f si: F ( f(, D. Está clro que si F es un primitiv

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES IMPROPIAS Ing. Jun Scerdoti Deprtmento de Mtemátic Fcultd de Ingenierí Universidd de Buenos Aires V INDICE INTEGRALES IMPROPIAS.- PUNTOS SINGULARES

Más detalles

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID. Departamento de Matemáticas CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Deprtmento de Mtemátics MATEMÁTICAS CAPÍTULO 4 CURSO PREPARATORIO DE LA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 2010 2011 Elbordo por Elen Romer Índice generl 4. Cálculo

Más detalles

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 1: FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Conceptos preinres TEMA : FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD Un función es un relción entre dos mgnitudes, de tl mner que cd vlor de l primer le sign un único vlor de l segund. Si A y B son dos conjuntos,

Más detalles

D I F E R E N C I A L

D I F E R E N C I A L D I F E R E N C I A L µ dy y = d Si un función y = f() dmite derivd finit en un punto su incremento puede epresrse como y = f () + ε, siendo ε un infinitésimo pr 0. Al primer término se lo llm diferencil

Más detalles

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si:

pág CONTINUIDAD 1.1 FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continua en a si: .- CONTINUIDAD TEMA 6 Continuidd, Cálculo Diferencil. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO Decimos que f es continu en si: Lim f( ) f( ) Pr que un función se continu en un punto se h de cumplir: º f ( ) D º Lim

Más detalles

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x)

X = x ) pierde su significado. Lo que se hace es sustituir la definida sólo para x,..., por una función f (x) rte Vriles letoris. Vriles letoris continus En l sección nterior se considerron vriles letoris discrets, o se vriles letoris cuo rngo es un conjunto finito o infinito numerle. ero h vriles letoris cuo

Más detalles

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 + + + + 4 4 n n + es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de

Más detalles

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz

Repartido N 5. Limites ISCAB 3 EMT prof. Fernando Diaz Reprtido N 5 Limites ISCAB EMT prof. Fernndo Diz El resultdo de un límite es un vlor de y en un función cundo el vlor de se proim mucho un vlor ddo sin llegr ser igul él. Es cercrse mucho un vlor en pr

Más detalles

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5

Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5 UNIDAD 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Fíjte en el comportmiento de l unción ( x ) x 1 tom vlores cercnos. cundo x Si x se proxim, l unción tom vlores cercnos 5. Se escribe:

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas

Estudio de funciones exponenciales y logarítmicas FUNCIÓN EXPONENCIAL Recomendciones l Docente: L ctividd proponer debe puntr que los lumnos puedn nlizr los siguientes spectos: 1. Cómo vrí el gráfico de l función eponencil y de qué depende su monotoní.

Más detalles

ECUACIONES (4º ESO Op B)

ECUACIONES (4º ESO Op B) ECUACIONES ( ESO Op B) IDENTIDADES, IGUALDADES FALSAS Y ECUACIONES.- Un iguldd lgebric está formd por dos epresiones lgebrics (un de ells puede ser un número), seprds por el signo. Ejemplos.- + + 1 ( +

Más detalles

Integral impropia Al definir la integral definida b

Integral impropia Al definir la integral definida b Mte Univ II, 14 FCE-BUAP CÁLCULO INTEGRAL ALEJANDRO RAMÍREZ PÁRAMO 1. Sucesiones y series Integrl impropi Al definir l integrl definid b f(x)dx, pretendimos que l función f estb definid; demás de cotd,

Más detalles

Métodos de Integración I n d i c e

Métodos de Integración I n d i c e Métodos de Integrción I n d i c e Introducción Cmbio de Vrible Integrción por prtes Integrles de funciones trigonométrics Sustitución Trigonométric Frcciones prciles Introducción. En est sección, y con

Más detalles

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural.

La función logaritmo. Definición de la función logaritmo natural. L función logritmo Definición de l función logritmo nturl. Se se que un primitiv o ntiderivd de l función f() = n es l función F() n / (n+), es decir n n n cte. Est fórmul es válid sólo cundo n. Cundo

Más detalles

UTalca - Versión Preliminar

UTalca - Versión Preliminar 1. Definición L hipérbol es el lugr geométrico de todos los puntos del plno cuyo vlor bsoluto de l diferenci de ls distncis dos puntos fijos es constnte. Más clrmente: Ddos (elementos bses de l hipérbol)

Más detalles

2.3.1 Cálculo de primitivas

2.3.1 Cálculo de primitivas Mtemátics I.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3 Lists de ejercicios de Cálculo Integrl.3. Cálculo de primitivs 75. Encontrr l epresión de ls siguientes integrles indefinids: ) p) tg b) e sen cos

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA

a x0 x x... x x b, con lo que los (n+1) números reales dividen al intervalo, 1. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA UNIDAD 6: Integrles Definids. Aplicciones. ÁREAS DE RECINTOS PLANOS. INTEGRAL DEFINIDA Nos plntemos el cálculo de áres de recintos limitdos por curvs que vienen dds por funciones reles,como por ejemplo

Más detalles

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano

Tema 5. Trigonometría y geometría del plano 1 Tem. Trigonometrí y geometrí del plno 1. Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Ddo un ángulo culquier, si desde un punto, A, de uno de sus ldos se trz su proyección, A, sobre el otro ldo se obtiene

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Funciones de variable compleja

Funciones de variable compleja Funciones de vrible complej Integrles impropis. Mrí Eugeni Torres Universidd Ncionl de Entre Ríos Fcultd de Ingenierí Funciones de Vrible Complej (Bioingenierí, Pln 28) Myo 29 Integrles impropis Alcnce

Más detalles

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS

CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS CAPÍTULO XII. INTEGRALES IMPROPIAS SECCIONES A. Integrles impropis de primer especie. B. Integrles impropis de segund especie. C. Aplicciones l cálculo de áres y volúmenes. D. Ejercicios propuestos. 9

Más detalles

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

pág. 71 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones. LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión

Más detalles

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA TEMA CÁLCULO DE PRIMITIVAS. - PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(): F() es un primitiv de f() si F () = f() Ejemplos: función: f() Primitiv: F() sen - cos Not: Un función tiene

Más detalles

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva

Teoría Tema 7 Integral definida. Área encerrada por una curva Colegio Mrist L Inmculd de Grnd Profesor Dniel Prtl Grcí www.dniprtl.net Asigntur: Mtemátics II 2ºBchillerto Teorí Tem 7: Integrl definid. Áre encerrd por un curv págin /0 Teorí Tem 7 Integrl definid.

Más detalles

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.)

(Ésta es una versión preliminar de la teoría del tema.) Estudio de funciones periódics Ést es un versión preliminr de l teorí del tem. Un función fx se dice que es periódic de periodo cundo fx = fx +, x. Si se conoce fx en el intervlo [, ] su ciclo, se l conoce

Más detalles

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m

3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: Log a a m = m, ya que a m =a m LOGARITMOS Ddo un número rel positivo, no nulo y distinto de 1, ( > 0; 0; 1), y un número n positivo y no nulo (n > 0;n 0), se llm ritmo en bse de n l exponente x l que hy que elevr dich bse pr obtener

Más detalles

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Nº 5... 112 FACULTAD DE INGENIERÍA - UNJ Unidd : olinomios UNIDAD olinomios Introducción - Epresiones lgebrics - Clsificción de ls epresiones lgebrics - Epresiones lgebrics enters 7 - Monomios 7 - Grdo de un monomio

Más detalles

LÍMITES DE FUNCIONES

LÍMITES DE FUNCIONES LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de

1º (junio 1994) i) Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de Sistems de ecuciones lineles SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD º (junio 994) i) Estudir, pr los diferentes vlores del prámetro, l eistenci de soluciones del sistem resolverlo cundo

Más detalles

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE

INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE Cpítulo INTEGRACIÓN. CÁLCULO DE ÁREAS.. Introducción Si el problem del cálculo de l rect tngente llevó los mtemáticos del siglo XVII l desrrollo de ls técnics de l derivción, otro problem, el del cálculo

Más detalles

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por.

Números Reales. Los números naturales son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se representa por. Se distinguen distints clses de números: Números Reles Los números nturles son {1; 2; 3; }, el conjunto de todos ellos se represent por. El primer elemento es el 1 y no tiene último elemento Todo número

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Se quiere hllr l rect tngente l curv en el punto ( ; f()) = f() 8 Se tom un punto rbitrrio ( ; f()) se trz l rect secnte que ps por esos dos puntos (; f()) (; f()) 8 Cuál

Más detalles

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos

UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA. Objetivos UNI DAD 2 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA Objetivos Geometrí nlític Introducción funciones trigonométrics Vribles: dependientes independientes Constnte: numéric bsolut rbitrri, y z., b, c, Funciones: función

Más detalles

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma

Hasta el momento solo hemos trabajado con funciones reales de la forma Función eponencil: Hst el momento solo hemos trbjdo con funciones reles de l form f( ) = P( ) donde P ( ) es un polinomio f ( ) = donde y es un vrible, entre otros pero hor vmos trbjr con funciones donde

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas:

Apellidos: Nombre: Curso: 1º Grupo: C Día: 10 - XI- 14 CURSO Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones obtenidas: EXAMEN DE MATEMÁTICAS ALGEBRA Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Dí: - XI- 4 CURSO 4-5. Hll el vlor de log log ), 4 log log b) log4 6 -log -log log 7 4 6. Clcul x pr que se cumpl: ) log 6,45,5 b) 5 +,58.

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES

LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREAS Y VOLÚMENES L integrl definid Se y f un función definid en el intervlo,, se llm integrl definid de f en n el intervlo, y se denot por fd lim fc i i i. n i y se llmn límites

Más detalles

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x

INTEGRAL DEFINIDA. El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho x en INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integrl definid está relciondo con el vlor que determin el áre jo l curv dd por un función f (x) el [, ]. (ve l intervlo gráfic) Uno de los primeros psos pr llegr este

Más detalles

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}.

Espacios vectoriales y Aplicaciones Lineales II: Núcleo e imagen. Diagonalización. Ker(f) = {x V f(x) = 0} Im(f) = {f(x) x V}. UNIVERSIDAD DE JAÉN ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR Deprtmento de Mtemátics (Áre de Álgebr) Curso 28/9 PRÁCTICA Nº Espcios vectoriles y Aplicciones Lineles II: Núcleo e imgen. Digonlizción. NÚCLEO E IMAGEN

Más detalles

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. FUNCIONES REALES. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.. CONCEPTO DE FUNCIÓN. Llmmos correspondenci entre dos conjuntos A B culquier form de signr lgunos o todos los elementos de A otros elementos de

Más detalles

UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD UNIDAD 8: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD Introducción Ide de ite Propieddes de los ites Operciones con. Indeterminciones Regls práctics pr l obtención del ite Asíntots horizontles y verticles Continuidd

Más detalles

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES.

TEMA 1. LOS NÚMEROS REALES. TEMA. LOS NÚMEROS REALES... Repso de números enteros y rcionles - Operciones con números enteros - Pso de deciml frcción y de frcción de deciml - Operciones con números rcionles - Potencis. Operciones

Más detalles

Tema 4: Integrales Impropias

Tema 4: Integrales Impropias Prof. Susn López 1 Universidd Autónom de Mdrid Tem 4: Integrles Impropis 1 Integrl Impropi En l definición de un integrl definid f (x) se exigió que el intervlo [, b] fuese finito. Por otro ldo el teorem

Más detalles

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange.

2. Derivada: tangente a una curva. Los teoremas de Rolle y Lagrange. . Derivd: tngente un curv. Los teorems de Rolle y Lgrnge. Se f : x I f( x) un función definid en un intervlo I y se un punto interior del intervlo I. L pendiente de l rect tngente l curv y f( x), f( )

Más detalles

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial. Relción entre el cálculo integrl y el cálculo diferencil. Por: Miguel Solís Esquinc Profesor de tiempo completo Universidd Autónom de Chips En est sección presentmos l relción que gurdn l función derivd

Más detalles

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que:

3º) (Andalucía, Junio, 00) Determina una matriz A simétrica (A coincide con su traspuesta) sabiendo que: PROLEMS SORE MTRICES. PROFESOR: NTONIO PIZRRO. http://ficus.pntic.mec.es/pis NDLUCÍ-MTEMÁTICS PLICDS LS CCSSII: º) (ndlucí, Junio, 98) Si son dos mtrices culquier, es correct l siguiente cden de igulddes?:

Más detalles

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas

Formalización de los Números Reales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas Formlizción de los Números Reles M. en I. Gerrdo Avilés Ross Agosto de 016 Tem Formlizción de los Números Reles Objetivo: El lumno plicrá ls propieddes de los números reles y sus subconjuntos, pr demostrr

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales

Matemáticas II TEMA 7 Repaso del conjunto de los números reales y de funciones reales Mtemátics II TEMA 7 Repso del conjunto de los números reles y de funciones reles El conjunto de los números reles El conjunto de los números reles, R, es el más mplio de los números usules Puede considerrse

Más detalles

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS

EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS EJERCICIOS DE INTEGRALES IMPROPIAS. Integrles impropis de primer especie. Clculr Pr n, n con >. F (b) = b n n+ = n + Si n >, entonces F (b) =, con lo que Si n

Más detalles

TRANSFORMADA DE LAPLACE

TRANSFORMADA DE LAPLACE HUGO BARRANTES TRANSFORMADA DE LAPLACE Mteril complementrio ii Revisión filológic Mrí Benvides González Digrmción Hugo Brrntes Cmpos Encrgdo de cátedr Eugenio Rojs Mor Producción cdémic y sesorí metodológic

Más detalles

Optimización de funciones

Optimización de funciones Tem 5 Optimizción de funciones 5.1. Extremos de funciones de vris vribles Definición 5.1.1. Sen f : D R n R, x 0 D y el problem de optimizción: mximizr / minimizr f(x 1, x,, x n ), (x 1, x,, x n ) D en

Más detalles

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja.

3.- Derivada e integral de funciones de variable compleja. 3.- Derivd e integrl de funciones de vrile complej. ) Derivds, funciones nlítics e interpretción geométric. ) Regls de diferencición. c) Ecuciones de uch-riemnn. d) Funciones rmónics. e) Integrción complej.

Más detalles

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE

LÍMITES CONCEPTO INTUITIVO DE LÍMITE Mrí Teres Szostk Ingenierí Comercil Mtemátic II Clse Nº, LÍMITES El concepto de ite, es uno de los pilres en que se bs el Análisis Mtemático, se encontrb en 8 en estdo potencil, ern más principios intuitivos

Más detalles

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función.

Tema 6: LA DERIVADA. Índice: 1. Derivada de una función. LA DERIVADA Tem 6: LA DERIVADA Índice:. Derivd de un unción... Derivd de un unción en un punto... Interpretción geométric.3. Derivds lterles..4. Función derivd. Derivds sucesivs.. Derivbilidd y continuidd.

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García

ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clasificación, formas y problemas bien planteados. Por Guillermo Hernández García ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Clsificción, forms y problems bien plntedos Por Guillermo Hernández Grcí Clsificción Aquí se estudirán tres tipos de ecuciones diferenciles prciles: Ecuciones elíptics,

Más detalles

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica

Factorización de polinomios. Sandra Schmidt Q. sschmidt@tec.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Artículo de sección Revist digitl Mtemátic, Educción e Internet (www.cidse.itcr.c.cr/revistmte/). Vol. 12, N o 1. Agosto Ferero 2012. Fctorizción de polinomios. Sndr Schmidt Q. sschmidt@tec.c.cr Escuel

Más detalles

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias

CURSO DE MATEMÁTICA 1. Facultad de Ciencias CURSO DE MATEMÁTICA 1. Fcultd de Ciencis Reprtido Teórico 1 Mrzo de 2008 1. Conceptos Básicos de Funciones Definiciones 1. Si A y B son conjuntos no vcíos, un función de A en B es un correspondenci tl

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

X obtener las relaciones que deben

X obtener las relaciones que deben odelo. Ejercicio. Clificción áxi puntos ) ( punto) Dd l triz y l triz t z y x X otener ls relciones que deen cuplir x, y, z, t pr que l triz X verifique X X. ) (, puntos) Dr un ejeplo de l triz X distint

Más detalles