Concepto clave. La derivada de una función se define principalmente de dos maneras: 1. Como el límite del cociente de Fermat ( )( )

Transcripción

1 Concepto clve L derivd de un función se define principlmente de dos mners: 1. Como el límite del cociente de Fermt f ( ) lím x f ( x) f ( ) x. Como el límite del cociente de incrementos f ( x) lím x 0 f ( x x) f ( x) x Conocid tmién como l regl de los cutro psos. Tnto un como otr definición permiten otener l derivd de un función. A lo lrgo de est sección plicremos l primer definición pr otener l derivd de funciones polinomiles y en l siguiente sección utilizremos l segund definición, con l finlidd de comprr los dos procedimientos. El procedimiento consiste principlmente en otener en primer lugr el f ( x) f ( ) cociente y posteriormente clculr el límite cundo x tiende l vlor. x Antes de clculr el límite es conveniente eliminr el fctor x- del denomindor Hremos primermente un repso de operciones lgerics que serán necesris pr relizr simplificciones l otener l derivd de funciones polinomiles. Alguns fctorizciones importntes son l diferenci de cudrdos o diferenci de cuos, que se muestrn enseguid. Diferenci de cudrdos x y x y x y ( )( ) Un cso más generl 4 4 x y x y x y x y x y x y ( )( ) ( )( )( ) Diferenci de cuos 3 3 x y ( x y)( x xy y ) En generl se puede relizr l fctorizción de un diferenci de l mner siguiente: x y x y x x y x y x y xy y n n n1 n n3 n3 n n1 ( )(... ) Unidd L Derivd: Estudio de l vrición y el cmio - 31

2 Por ejemplo x y ( x y)( x x y x y xy y ) Como tmién 1 1 x y ( x ) ( y ) x y ( x ) ( y ) y plicr ls regls nteriores, de ser necesrio. Vemos lgunos ejemplos Ejemplo.8 Clcul l derivd de l función f(x)= 7x 9 f ( x) f ( ) (7x 9) (7 9) 7x ( x ) 7 x x x x f ( x) f ( ). Clculmos el límite f ( ) lím lím7 7 x x x f ( ) 7 y en generl f (x)= 7 Por consiguiente, Ejemplo.9 Clcul l derivd de f ( x) 3x 9x 3 f x f x x x x x x x ( ) ( ) ( 3 9 3) ( 3 9 3) Unidd L Derivd: Estudio de l vrición y el cmio

3 Se cnceln los números 3 y podemos grupr los términos de segundo grdo y de primer grdo. x x 3( x ) 9( x ) 3( x )( x ) 9( x ) Y simplificmos utilizndo l fctorizción de un diferenci de cudrdos, oteniendo 3( x ) 9.. Aplicmos finlmente el límite f ( ) lim 3( x ) 9 3( ) x Por lo tnto, f ( ) 6 9 y en generl f ( x) 6x 9, x x x Ejemplo.10 Clcul l derivd de 3 5 f ( x) x x 10 3 Se cnceln los números 10 y se grupn por un ldo, los términos de tercer grdo y por otro los de primer grdo ( x ) ( x ) 3 plicmos l fctorizción de diferenci de cuos, lo x cul nos permitirá simplificr el fctor (x ), entonces tendremos 5 ( x )( x x ) ( x ) 3 5 ( x x ) x 3. Finlmente plicmos el límite lím ( x x ) (3 ) x 3 3 Unidd L Derivd: Estudio de l vrición y el cmio - 33

4 Y, en generl f ( x) x 5 Ejemplo.11 Otén l derivd de l 4 3 función f ( x) x x 4x 7x (x x 4x 5) ( 4 5) x Se eliminn los 5 y se grupn por potencis los términos en x y en ( x ) ( x ) 4( x ) 7( x ) x Se fctorizn ls diferencis de cudrdos y cuos pr simplificr ( x )( x )( x ) ( x )( x x ) 4( x )( x ) 7( x ) x Dividiendo cd término entre (x - ), otenemos ( x )( x ) ( x x ) 4( x ) 7. Aplicmos el límite lím ( x )( x ) ( x x ) 4( x ) 7 ( )( ) 3 4( ) 7 x = 3 Por lo tnto f x x x x 3 ( ) Unidd L Derivd: Estudio de l vrición y el cmio

5 Ejemplo.1 Tmién es posile otener, utilizndo este límite, l derivd de funciones como f ( x) x En este cso el límite de Fermt se puede escriir como lim x x x Hy dos posiiliddes pr otener este límite, un es considerndo x como un diferenci de cudrdos y plicndo l fctorizción correspondiente. Vemos est posiilidd x x x x ( x ) ( ) ( x )( x ) ( x ) Simplificmos términos igules y plicmos el límite ( x ). f ( ) lim x Por lo tnto 1 f ( x) x Otr posiilidd pr otener l derivd es rcionlizndo el numerdor de l frcción Recordemos que pr rcionlizr el numerdor o denomindor de un frcción que contiene un sum o diferenci de rdicles, hy que multiplicr tnto numerdor y denomindor de l frcción por el inomio conjugdo. Por ejemplo, pr rcionlizr el numerdor de l siguiente frcción Se multiplicn numerdor y denomindor por el inomio conjugdo del numerdor, que en este cso es l sum de rdicles Considerndo l frcción, si queremos rcionlizr el numerdor, multiplicmos numerdor y denomindor por Unidd L Derivd: Estudio de l vrición y el cmio - 35

6 ( ) Clculemos de est mner l derivd de f ( x) Otenemos el cociente y rcionlizmos el denomindor 1. x x x x x x x ( x )( x ) Simplificmos x y plicmos el límite cundo x tiende l vlor lím x( x ) Y ovimente otuvimos el mismo resultdo que ntes. x Ejemplo.13 Otén l derivd de l función f ( x) 3x 5 f ( x) f ( ) 3x x x Rcionlizmos el denomindor f ( x) f ( ) 3x x (3x 5) 4(3 5) x x 3x ( x )( 3x 5 3 5) 1x ( x ) 1 ( x )( 3x 5 3 5) ( x )( 3x 5 3 5) ( 3x 5 3 5).Aplicmos el límite - 36 Unidd L Derivd: Estudio de l vrición y el cmio

7 1 1 3 lím x( 3x 5 3 5) Por lo tnto f ( x) 3 3x 5 Ejercicio.3 Otén l derivd de cd un de ls siguientes funciones usndo el límite del cociente de Fermt 1. f ( x) 6x f x x x ( ) f ( x) x x f ( x) 5x 7x f ( x) x 3x 13x f ( x) 3x 4x 5x f ( x) x 6x f ( x) 6x 8x x f ( x) 5x f ( x) x 3x 11x 7x Unidd L Derivd: Estudio de l vrición y el cmio - 37